Bài tập và lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc

Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT r r r Vectơ phương đường thẳng: a ≠ VTCP d giá a song song trùng với d Góc hai đường thng: ã a //a, b //b ( aả, b ) = ( a· ', b ' ) r r r r • Giả sử u VTCP a, v VTCP b, (u , v ) = α neá u 00 ≤ α ≤ 1800 ( a¶,b) = α Khi đó: u 900 < α ≤ 1800 180 − α nế • Nếu a//b a ≡ b ( a¶, b ) = 00 Chú ý: 00 ≤ ( a¶, b ) ≤ 900 Hai đường thẳng vng góc: • a ⊥ b ⇔ ( a¶, b ) = 900 r r rr • Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a ⊥ b ⇔ u.v = • Lưu ý: Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo B – BÀI TẬP Câu 1: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a , b , c Khẳng định sau đúng? A Nếu a b vng góc với c a // b B Nếu a // b c ⊥ a c ⊥ b C Nếu góc a c góc b c a // b D Nếu a b nằm mp ( α ) // c góc a c góc b c Hướng dẫn giải: Chọn B Nếu a b vng góc với c a b song song chéo C sai do: Giả sử hai đường thẳng a b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c đường vng góc chung a b Khi góc a c với góc b c 90° , hiển nhiên hai đường thẳng a b không song song D sai do: giả sử a vng góc với c , b song song với c , góc a c 90° , cịn góc b c 0° Do B Câu 2: Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c (hoặc b trùng với c ) B Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c C Góc hai đường thẳng góc nhọn D Góc hai đường thẳng góc hai véctơ phương hai đường thẳng Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 3: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vng góc Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Tứ diện có mặt tam giác nhọn B Tứ diện có hai mặt tam giác nhọn C Tứ diện có ba mặt tam giác nhọn D Tứ diện có bốn mặt tam giác nhọn Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 4: Trong mệnh đề mệnh đề là? A Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ vng góc với đường thẳng thứ hai B Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song với C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với chúng cắt D Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba vng góc với Hướng dẫn giải: Chọn A Theo lý thuyết Câu 5: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c B Cho ba đường thẳng a, b, c vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với a d song song với b c C Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b song song với đường thẳng c a vng góc với c D Cho hai đường thẳng a b song song với Một đường thẳng c vng góc với a c vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng ( a, b ) Hướng dẫn giải: Chọn C Câu 6: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng B Ba đường thẳng cắt đôi khơng nằm mặt phẳng đồng quy C Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng D Ba đường thẳng cắt đơi nằm mặt phẳng Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi d1 , d , d3 đường thẳng cắt đôi Giả sử d1 , d cắt A , d khơng nằm mặt phẳng với d1 , d mà d cắt d1 , d nên d3 phải qua A Thật giả sử d không qua A phải cắt d1 , d hai điểm B , C điều vơ lí, đường thẳng cắt mặt phẳng hai điểm phân biệt Câu 7: Trong khẳng định sau, khẳng định ? A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song với B Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c C Cho hai đường thẳng phân biệt a b Nếu đường thẳng c vng góc với a b a , b , c khơng đồng phẳng D Cho hai đường thẳng a b song song, a vng góc với c b vng góc với c Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D Câu 8: Mệnh đề sau đúng? A Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc song song với đường thẳng lại Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vuông góc – HH 11 B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D Câu 9: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với B Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng cịn lại C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D Câu 10: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Cho hai đường thẳng a, b song song với Một đường thẳng c vng góc với a c vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng ( a,b) B Cho ba đường thẳng a, b, c vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với a d song song với b c C Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c đường thẳng a vng góc với đường thẳng c D Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b song song với đường thẳng c đường thẳng a vng góc với đường thẳng c Hướng dẫn giải: Chọn D Theo định lý-sgk Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 DẠNG 1: TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: Để tính góc hai đường thẳng d1 ,d2 khơng gian ta thực theo hai cách Cách Tìm góc hai đường thẳng d1 , d2 cách chọn điểm O thích hợp ( O thường nằm hai đường thẳng) Từ O dựng đường thẳng d1' ,d2' song song ( trịng O nằm hai đường thẳng) với d1 d2 Góc hai đường thẳng d1' ,d2' góc hai đường thẳng d1 , d2 Lưu ý 1: Để tính góc ta thường sử dụng định lí cơsin tam giác b2 + c2 − a2 cos A = 2bc uu r uu r Cách Tìm hai vec tơ phương u1 ,u2 hai đường thẳng d1 ,d2 uu r uu r u1.u2 r uu r Khi góc hai đường thẳng d1 , d2 xác định cos( d1 ,d2 ) = uu u1 u2 uu ruu r uu r uu r r r r u u , u , u Lưu ý 2: Để tính 2 ta chọn ba vec tơ a,b,c khơng đồng phẳng mà tính độ dài uu r uu r r r r góc chúng,sau biểu thị vec tơ u1 ,u2 qua vec tơ a,b,c thực tính tốn Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a , IJ = a ( I , J trung điểm BC AD ) Số đo góc hai đường thẳng AB CD A 30° B 45° Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi M , N trung điểm AC , BC Ta có: 1 a   MI = NI = AB = CD = 2 ⇒ MINJ hình thoi   MI // AB // CD // NI Gọi O giao điểm MN IJ · · Ta có: MIN = MIO Trang C 60° D 90° http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 a IO · · · = = = ⇒ MIO = 30° ⇒ MIN = 60° Xét ∆MIO vuông O , ta có: cos MIO a MI 2 · Mà: ( AB, CD ) = ( IM , IN ) = MIN = 60° Câu 2: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Giả sử tam giác AB′C A′DC ′ có góc nhọn Góc hai đường thẳng AC A′D góc sau đây? · · ′B A BDB B ·AB′C C ′ DB · ′C ′ D DA Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: AC // A′C ′ (tính chất hình hộp) · ′C ′ (do giả thiết ⇒ ( AC , A′D ) = ( A′C ′, A′D ) = DA cho ∆DA′C ′ nhọn) Câu 3: Cho tứ diện ABCD (Tứ diện có tất cạnh nhau) Số đo góc hai đường thẳng AB CD A 30° B 45° C 60° D 90° Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD ⇒ AH ⊥ ( BCD ) Gọi E trung điểm CD ⇒ BE ⊥ CD (do ∆BCD đều) Do AH ⊥ ( BCD ) ⇒ AH ⊥ CD CD ⊥ BE ⇒ CD ⊥ ( ABE ) ⇒ CD ⊥ AB ⇒ (·AB, CD ) = 90° Ta có:  CD ⊥ AH Câu 17 [1H3-2] Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi cos ( AB, DM ) 3 A B C D 2 Hướng dẫn giải: Chọn A Khơng tính tổng qt, giả sử tứ diện ABCD có cạnh a Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD ⇒ AH ⊥ ( BCD ) Gọi E trung điểm AC ⇒ ME // AB ⇒ ( AB, DM ) = ( ME , MD ) uuur uuuu r · Ta có: cos ( AB, DM ) = cos ( ME , MD ) = cos ME , MD = cos EMD ( ) Do mặt tứ diện tam giác đều, từ ta dễ dàng tính độ dài cạnh ∆MED : a ME = a , ED = MD = 2 2 a a 3 a 3 ÷ − ÷  ÷ + 2 2      ME + MD − ED · Xét ∆MED , ta có: cos EMD = = = ME.MD a a 2 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Từ đó: cos ( AB, DM ) = Quan hệ vng góc – HH 11 3 = 6 Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc ( MN , SC ) A 30° B 45° C 60° D 90° Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ O tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD (1) Ta có: SA = SB = SC = SD ⇒ S nằm trục đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD (2) Từ (1) (2) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN đường trung bình ∆SAD ) ⇒ ( MN , SC ) = ( SA, SC )  SA2 + SC = a + a = 2a ⇒ ∆SAC vuông S ⇒ SA ⊥ SC Xét ∆SAC , ta có:  2  AC = AD = 2a ⇒ ( SA, SC ) = ( MN , SC ) = 90° Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm SC BC Số đo góc ( IJ , CD ) A 30° B 45° C 60° D 90° Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ O tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD (1) Ta có: SA = SB = SC = SD ⇒ S nằm trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD (2) Từ (1) (2) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) Từ giả thiết ta có: IJ // SB (do IJ đường trung bình ∆SAB ) ⇒ ( IJ , CD ) = ( SB, AB ) · = 60° ⇒ ( SB, AB ) = 60° ⇒ ( IJ , CD ) = 60° Mặt khác, ta lại có ∆SAB đều, SBA Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB = CD Gọi I , J , E , F trung điểm AC , BC , BD , AD Góc ( IE , JF ) A 30° B 45° C 60° D 90° Hướng dẫn giải: Chọn D  IJ // EF // AB Từ giả thiết ta có:  (tính chất đường trung bình  JE // IF // CD tam giác) Từ suy tứ giác IJEF hình bình hành 1 Mặt khác: AB = CD ⇒ IJ = AB = JE = CD ⇒ ABCD hình thoi 2 ⇒ IE ⊥ JF (tính chất hai đường chéo hình thoi) ⇒ ( IE , JF ) = 90° Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 uuu r uuuu r Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB DH ? A 45° B 90° C 120° D 60° Hướng dẫn giải: Chọn B AB ⊥ AE  ·  ⇒ AB ⊥ DH ⇒ ( AB, DH ) = 90° AE // DH  Câu 8: Trong không gian cho hai hình vng ABCD ABC ' D ' có chung cạnh AB nằm uuuu r uuu r hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O ' Hãy xác định góc cặp vectơ AB OO ' ? A 60° B 45° C 120° D 90° Hướng dẫn giải: Chọn D Vì ABCD ABC ' D ' hình vng nên AD // BC '; AD = BC ' ⇒ ADBC ' hình bình hành Mà O; O ' tâm hình vng nên O; O ' trung điểm BD AC ' ⇒ OO ' đường trung bình ADBC ' ⇒ OO ' // AD Mặt khác, AD ⊥ AB nên OO ' ⊥ AB ⊥⇒ (·OO ', AB ) = 90o · · · Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD BAC = BAD = 600 , CAD = 900 Gọi I J lần uu r uuur lượt trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ IJ CD ? A 45° B 90° C 60° D 120° Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có BAC BAD tam giác đều, I trung điểm AB nên CI = DI (2 đường trung tuyến tam giác chung cạnh AB ) nên CID tam giác cân I Do IJ ⊥ CD · · Câu 10: Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC ·ASB = BSC Hãy xác định góc cặp = CSA uur uuur vectơ SB AC ? A 60° B 120° C 45° D  90° Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: ∆SAB = ∆SBC = ∆SCA ( c − g − c ) ⇒ AB = BC = CA Do đótam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Vì hình chóp S ABC có SA = SB = SC nên hình chiếu S trùng với G Hay SG ⊥ ( ABC )  AC ⊥ BG ⇒ AC ⊥ ( SBG ) Ta có:   AC ⊥ SG Suy AC ⊥ SB uur uuur Vậy góc cặp vectơ SB AC 900 · · · Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD BAC = BAD = 600 , CAD = 900 Gọi I J trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp uu r uuu r vectơ AB IJ ? A 120° B 90° C 60° D 45° Hướng dẫn giải: Chọn B Xét tam giác ICD có J trung điểm đoạn CD Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 uur uur uur Ta có: I J = IC + ID · Vì tam giác ABC có AB = AC BAC = 60° Nên tam giác ABC Suy ra: CI ⊥ AB Tương tự ta có tam giác ABD nên DI ⊥ AB uu r uuu r uur uur uuu r uur uuu r uur uuu r r Xét IJ AB = IC + ID AB = IC AB + ID.AB = 2 uur u2uu r uu r uuu r Suy IJ ⊥ AB Hay góc cặp vectơ AB IJ 900 Câu 12: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Chọn khẳng định đúng? 2 2 2 2 2 A AB + AC + AD + BC + BD + CD = ( GA + GB + GC + GD ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 B AB + AC + AD + BC + BD + CD = ( GA + GB + GC + GD ) 2 2 2 2 2 C AB + AC + AD + BC + BD + CD = ( GA + GB + GC + GD ) 2 2 2 2 2 D AB + AC + AD + BC + BD + CD = ( GA + GB + GC + GD ) Hướng dẫn giải: Chọn B AB + AC + AD + BC + BD + CD uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = AG + GB + AG + GC + AG + GD + BG + GC + BG + GD + CG + GD uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = AG + 3BG + 3CG + 3DG + AG.GB + AG.GC + AG.GD + BG.GD + BG.GD + CG.GD ( 1) ( ) ( Lại có: ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) uuu r uuu r uuur uuur r GA + GB + GC + GD = ) ⇔ GA2 + GB + GC + GD uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = AG.GB + AG.GC + AG.GD + BG.GD + BG.GD + CG.GD ( ) ( ) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Câu 13: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD tam giác Góc AB CD là? A 120° B 60° 90° C D 30° Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi I trung điểm AB Vì ABC ABD tam giác CI ⊥ AB Nên   DI ⊥ AB Suy AB ⊥ ( CID ) ⇒ AB ⊥ CD Câu 14: Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh  a Gọi I J trung điểm SC BC Số đo góc ( IJ , CD ) bằng: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vuông góc – HH 11 A 90° B 45° C 30° D 60° Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi O tâm hình thoi ABCD Ta có: OJ //CD Nên góc IJ CD góc I J OJ Xét tam giác IOJ có a a a IJ = SB = , OJ = CD = , IO = SA = 2 2 2 IOJ Nên tam giác Vậy góc IJ CD góc I J OJ · O = 600 góc IJ Câu 15: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Giả sử tam giác AB′C A′DC ′ có góc nhọn Góc hai đường thẳng AC A′D góc sau đây? · ′C ′ · ′D · A ·AB′C B DA C BB D BDB ′ Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: AC //A′C ′ nên góc hai đường thẳng AC A′D góc hai đường thẳng A′C ′ A′D · ′C ′ (Vì tam giác A′DC ′ có góc nhọn góc nhọn DA Câu 16: Cho tứ diện ABCD Số đo góc hai đường thẳng AB CD bằng: A 60° B 30° C 90° D 45° Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi G trọng tâm tam giác ABC Vì tứ diện ABCD nên AG ⊥ ( BCD ) CD ⊥ AG ⇒ CD ⊥ ( ABG ) ⇒ CD ⊥ AB Ta có:  CD ⊥ BG Vậy số đo góc hai đường thẳng AB CD 900 Câu 17: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vng góc Cắt tứ diện mặt phẳng song song với cặp cạnh đối diện tứ diện Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Thiết diện hình chữ nhật B Thiết diện hình vng C Thiết diện hình bình hành D Thiết diện hình thang Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Hướng dẫn giải: Chọn A Gỉa sử thiết diện tứ giác MNPQ Ta có: MN //PQ MN = PQ nên MNPQ hình bình hành Lại có AC ⊥ BD ⇒ MQ ⊥ PQ Vậy tứ giác MNPQ hình chữ nhật A Q M B D P N C uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r Câu 18: Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB AC = AC AD = AD AB AB ⊥ CD , AC ⊥ BD , AD ⊥ BC Điều ngược lại không? Sau lời giải: uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur Bước 1: AB AC = AC AD ⇔ AC.( AB − AD ) = ⇔ AC.DB = ⇔ AC ⊥ BD uuur uuur uuur uuu r Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC AD = AD AB ta AD ⊥ BC uuu r uuur uuur uuu r AB AC = AD AB ta AB ⊥ CD Bước 3: Ngược lại đúng, trình chứng minh bước trình biến đổi tương đương Bài giải hay sai? Nếu sai sai đâu? A Sai bước B Đúng C Sai bước D Sai bước Hướng dẫn giải: Chọn B Bài giải · · Câu 19: Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC ·ASB = BSC Hãy xác định góc cặp = CSA uuu r uuu r vectơ SC AB ? A 120° B 45° C 60° D 90° Hướng dẫn giải: S Chọn D uuu r uuur uuu r uur uur uuu r uur uuu r uur Ta có: SC AB = SC SB − SA = SC.SB − SC SA ( ) · = SA.SB cos BSC − SC.SA.cos ·ASC = · Vì SA = SB = SC BSC = ·ASC uuu r uuur Do đó: SC , AB = 90 ( ) C A B Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc ( MN , SC ) bằng: A 45° B 30° C 90° D 60° Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: AC = a ⇒ AC = 2a = SA2 + SC ⇒ ∆SAC vuông S Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 · · Câu 31: Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC ·ASB = BSC Hãy xác định góc cặp = CSA uur uuur vectơ SA BC ? A 1200 B 900 Hướng dẫn giải: Ta có uur uuur uur uuu r uur uur uuu r uur uur SA.BC = SA SC − SB = SA.SC − SA.SB ( C 600 D 450 ) = SA.SC.cos ·ASC − SA.SB.cos ·ASB = uur uuur ⇒ SA, BC = 900 ( ) Câu 32: Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi cos ( AB, DM ) B Hướng dẫn giải: Giả sử cạnh tứ diện a uuur uuuur uuu r uuuur uuur uuuur AB.DM AB.DM cos AB, DM = uuu r uuuur = Ta có a AB DM a Mặt khác A ( C D ) uuu r uuuur uuu r uuuu r uuur uuu r uuuu r uuu r uuur AB.DM = AB AM − AD = AB AM − AB.AD = AB AM cos 300 − AB AD.cos 600 ( ) Do có a 3 3a a a − a.a = − = 2 4 uuu r uuuur 3 Suy cos ( AB, DM ) = cos AB, DM = 6 Câu 33: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD , AB = CD = M điểm thuộc cạnh BC cho MC = x.BC ( < x < 1) mp ( P ) song song với AB CD cắt BC , DB, AD, AC M , N , P, Q Diện tích lớn tứ giác ? A B 11 C 10 D Hướng dẫn giải:  MQ //NP //AB Xét tứ giác MNPQ có   MN //PQ //CD ⇒ MNPQ hình bình hành Mặt khác, AB ⊥ CD ⇒ MQ ⊥ MN Do đó, MNPQ hình chữ nhật MQ CM = = x ⇒ MQ = x AB = x Vì MQ //AB nên AB CB Theo giả thiết MC = x.BC ⇒ BM = ( − x ) BC MN BM = = − x ⇒ MN = ( − x ) CD = ( − x ) Vì MN //CD nên CD BC Diên tích hình chữ nhật MNPQ = a ( ) Trang 14 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11  x +1− x  S MNPQ = MN MQ = ( − x ) x = 36.x ( − x ) ≤ 36  ÷ =9   Ta có S MNPQ = x = − x ⇔ x = MNPQ Vậy diện tích tứ giác lớn M trung điểm BC Câu 34: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Góc AO CD ? A 00 B 300 C 900 D 600 Hướng dẫn giải: uuur uuur uuur uuu r uuur Ta có AO.CD = CO − CA CD uuur uuur uuu r uuur = CO.CD − CA.CD = CO.CD.cos 300 − CA.CD.cos 600 ( ) a 3 a2 a2 a − a.a = − = 2 2 Suy AO ⊥ CD = Câu 35: Cho tứ diện ABCD có AB = CD Gọi I , J , E , F trung điểm AC , BC , BD, AD Góc ( IE , JF ) A 300 B 450 Hướng dẫn giải: Tứ giác IJEF hình bình hành   IJ = AB Mặt khác  mà AB = CD nên IJ = JE  JE = CD  Do IJEF hình thoi Suy ( IE , JF ) = 90 Câu 36: Cho tứ diện ABCD với AC = C ϕ = 300 ) Mặt khác uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur AB.CD = AB AD − AC = AB AD − AB AC ( D 900 · · AD, CAB = DAB = 600 , CD = AD Gọi ϕ góc AB CD Chọn khẳng định ?   = A cosϕ B ϕ = 600 Hướng dẫn giải: uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.CD AB.CD r uuur = Ta có cos AB, CD = uuu AB CD AB.CD ( C 600 ) = AB AD.cos 600 − AB AC.cos 600 1 = AB AD − AB AD = − AB AD = − AB.CD 2 4 Trang 15   = D cosϕ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Do có Quan hệ vng góc – HH 11 1 uuu r uuur − AB.CD Suy cos ϕ = cos AB, CD = =− AB.CD ( ) Câu 37: Trong không gian cho hai hình vng ABCD ABC ' D ' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O ' Tứ giác CDD ' C ' hình gì? A Hình bình hành B Hình vng C Hình thang D Hình chữ nhật Hướng dẫn giải: Tứ giác CDD ' C ' hình bình hành Lại có: DC ⊥ ( ADD ') ⇒ DC ⊥ DD ' Vậy tứ giác CDD ' C ' hình chữ nhật Câu 38: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ= a I, J ( trung điểm BC AD ) Số đo góc hai đường thẳng AB CD : A 300 B 450 C 600 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm AC Góc hai đường thẳng AB CD góc hai đường thẳng MI MJ IM + MJ − IJ Tính được: cosIMJ   = =− 2MI MJ Từ suy số đo góc hai đường thẳng AB CD là: 600 D 900 A J M B D I Câu 38: Cho tứ diện ABCD với AB ⊥ AC , AB ⊥ BD Gọi P, Q trung điểm AB CD Góc PQ AB là? A 900 B 600 C 300 D 450 Hướng uuu r uuur dẫn giải: AB.PQ ⇒ AB ⊥ PQ r r r r r r r r Câu 39: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a = 4; b = 3; a − b = Gọi α góc hai vectơ a, b Chọn khẳng định đúng? A cos α = B α = 300 Hướng dẫn giải: r r r2 r2 rr rr (a − b) = a + b − 2a.b ⇒ a.b = rr a.b   = r r = Do đó: cosα a.b C cos α = D α = 600 uuu r uuur uuur uuur uuur uuur Câu 40: Cho tứ diện ABCD Tìm giá trị k thích hợp thỏa mãn: AB.CD + AC.DB + AD.BC = k A k = B k = C k = Hướng dẫn giải: uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r AB.CD + AC.DB + AD.BC = AC + CB CD + AC DB − AD.CB uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur = AC CD + DB + CB CD − AD = AC.CB + CB AC = ( ) ( ( ) ) Trang 16 D k = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Chọn đáp án C Câu 41: Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G Chọn hệ thức đúng? 2 2 2 A AB + AC + BC = ( GA + GB + GC ) B AB + AC + BC = GA2 + GB + GC 2 2 2 C AB + AC + BC = ( GA + GB + GC ) 2 2 2 D AB + AC + BC = ( GA + GB + GC ) Hướng dẫn giải: Cách Ta có uuu r uuu r uuur GA + GB + GC = uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur ⇔ GA2 + GB + GC + 2GA.GB + 2GA.GC + 2GB.GC = ( ) ⇔ GA2 + GB + GC + ( GA2 + GB − AB ) + ( GA2 + GC − AC ) + ( GB + GC − BC ) = ⇔ AB + AC + BC = ( GA2 + GB + GC ) Cách 2: Ta có: 2 ìï ïï MA2 = AB + AC - BC AB + AC BC ö ùù ị GA2 = ổ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ùù 9ỗ ø è ïï GA = MA ỵï Tương tự ta suy æAB + AC BC BA2 + BC AC CA2 + CB AB ÷ ÷ GA2 + GB + GC = ỗ + + ç ÷ ÷ ç 9è 4 ø AB + BC + CA2 ) ( Û 3( GA2 + GB + GC ) = AB + BC + CA2 = Chọn đáp án D Cách 3: Chuẩn hóa giả sử tam giác ABC có cạnh Khi ìï AB + BC + CA2 = ïí Þ 3( GA2 + GB + GC ) = AB + BC + CA2 2 ïï GA + GB + GC = ỵ Chọn đáp án D Câu 42: Trong khơng gian cho tam giác ABC Tìm M cho giá trị biểu thức P = MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ A M trọng tâm tam giác ABC B M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C M trực tâm tam giác ABC D M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hướng dẫn giải: uur uuu r uuu r r Gọi G trọng tâm tam giác ABC Þ G cố định GA + GB + GC = Trang 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 uuur uur uuur uuu r uuur uuu r P = MG + GA + MG + GB + MG + GC uuur uur uuu r uuu r = 3MG + 2MG GA + GB + GC + GA2 + GB + GC ( ) ( ( ) ( ) ) = 3MG + GA2 + GB + GC ³ GA2 + GB + GC Dấu xảy Û M º G 2 Vậy Pmin = GA + GB + GC với M º G trọng tâm tam giác ABC Chọn đáp án A r r r r r r r r Câu 43: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a = 26; b = 28; a + b = 48 Độ dài vectơ a − b bằng? A 25 B 616 C Hướng dẫn giải: r r2 r r r2 r2 rr r2 r2 r r a − b = a − b = a + b − 2a.b = a + b − a + b ( ( ) ) ( D 618 ) r2 r2 r r2 =  a + b ÷− a + b = 26 + 282 − 482 = 616   r r ⇒ a − b = 616 ( ) · · Câu 44: Cho tứ diện ABCD có DA = DB = DC BDA = 600 , ·ADC = 900 , BDC = 1200 Trong mặt tứ diện đó: A Tam giác ABD có diện tích lớn C Tam giác ACD có diện tích lớn Hướng dẫn giải: Đặt DA = DB = DC = a B Tam giác BCD có diện tích lớn D Tam giác ABC có diện tích lớn a2 Tam giác ABD cạnh a nên diện tích S ABD = a2 Tam giác ACD vuôn D nên diện tích S ACD = DA.DC = 2 a2 Diện tích tam giác BCD S BCD = DB.DC sin1200 = Tam giác ABC có AB = a, AC = a 2, BC = a nên tam giác ABC vng A Diện tích tam giác ABC S ABC = a2 AB AC = 2 Vậy diện tích tam giác ABC lớn r r rr r r u r r r r r r Câu 45: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a = 4; b = 3; a.b = 10 Xét hai vectơ y = a − b x = a − 2b, Gọi r u r α góc hai vectơ x, y Chọn khẳng định −2 A cos α = B cos α = C cos α = D cos α = 15 15 15 15 Hướng dẫn giải: ru r r r r r r r rr Ta có x y = a − 2b a − b = a + b − 3a.b = r x = u r y = r ( x) u r ( y) ( 2 = = )( ) ( ) ( ) r r r r rr ( a − 2b ) = ( a ) + ( b ) − 4a.b = r r r r rr ( a − b ) = ( a ) + ( b ) − 2a.b = 2 2 Trang 18 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 ru r x y cos α = r u = r = 15 x y ABC có diện tích S Tìm giá trị k thích hợp thỏa mãn: u u u r u u u r u u u r u u ur 2 S= AB AC − 2k AB AC 1 A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải: 1 S = AB AC.sin C = AB AC sin C = AB AC ( − cos C ) 2 u u u r u u u r u u u r u u u r 2 = AB AC − AB AC Chọn C Câu 47: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD tam giác a) Khẳng định sau A AB CD chéo B AB CD vuông góc với C AB CD đồng phẳng D AB CD cắt b) Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AC , BC , BD, DA Khẳng định sau nhất? Chứng minh MNPQ hình chữ nhật A MNPQ hình vng B MNPQ hình bình hành C MNPQ hình chữ nhật D MNPQ hình thoi Hướng dẫn giải: a) Đặt AB = AD = AC = a uuur uuur uuur uuur uuur Ta có CD AB = AD − AC AB uuur uuur uuu r uuur 1 = AB AD cos 600 − AB AC cos 600 = a.a − a.a = 2 Vậy AB ⊥ CD AB a = nên tứ giác b) Ta có MN PPQ P AB MN = PQ = 2 MNPQ hình bình hành  MN P AB  Lại có  NP PCD ⇒ MN ⊥ NP , MNPQ hình chữ nhật  AB ⊥ CD  Câu 48: Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC = a BC = a Tính góc hai đường thẳng AB SC A ·AB, SC = 600 B Câu 46: Cho tam giác ( ) ( ( ( ) ) ) (·AB, SC ) = 450 C (·AB, SC ) = 300 (·AB, SC ) = 900 D Hướng dẫn giải: Trang 19 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Gọi M , N , P trung điểm SA, SB, AC , MN P AB nên (·AB, SC ) = (·MN , SC ) · Đặt ϕ = NMP , tam giác MNP có MN + MP − NP ( 1) MN MP a 5a Ta có MN = MP = , AB + AC = BC ⇒ ∆ABC vuông A , PB = AP + AC = , 3a Trong tam giác PBS theo cơng thứ tính đường trung tuyến ta có PS = 5a 3a + 2 PB + PS SB a 3a 4 PN = − = − = 4 Thay MN , MP, NP vào ( 1) ta cos ϕ = − ⇒ ϕ = 120 · · Vậy AB, SC = MN , SC = 60 cos ϕ = ( ) ( ) Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi, SA = AB SA ⊥ BC a) Tính góc hai đường thẳng SD BC A (·BC , SD ) = 300 B (·BC , SD ) = 450 C (·BC , SD ) = 600 D (·BC , SD ) = 500 b) Gọi I , J điểm thuộc SB SD cho IJ P BD Chứng minh góc AC IJ khơng phụ thuộc vào vị trí I J A (·IJ , AC ) = 900 B (·IJ , AC ) = 600 C (·IJ , AC ) = 300 D (·IJ , AC ) = 450 Hướng dẫn giải: a) (·BC , SD ) = 450 b) (·IJ , AC ) = 900 Câu 50: Cho hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác a) Khẳng định sau nhất? A AD ⊥ BC B AD cắt BC C AD BC chéo D Cả A, B, C uuur uuur uuur uuur b) Gọi M , N điểm thuộc đường thẳng AB DB cho MA = k MB, ND = k NB Tính góc hai đường thẳng MN BC A (·MN , BC ) = 900 B (·MN , BC ) = 800 C (·MN , BC ) = 600 D (·MN , BC ) = 450 Hướng dẫn giải: a) Gọi P trung điểm BC , tam giác  AP ⊥ BC ABC DBC cân nên   DP ⊥ BC uuur uuur uuur uuur uuu r Ta có BC AD = BC PD − PA = Vậy BC ⊥ AD ( ) Trang 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 uuur uuur uuur uuur MA ND MA ND = k , ND = k NB ⇒ =k ⇒ = b) Ta có MA = k MB ⇒ MB NB MB NB suy MN P AD ⇒ (·MN , BC ) = (·AD, BC ) = 900 ( Theo câu a) Câu 51: Cho hình hộp thoi ABCD A ' B ' C ' D ' có tất cạnh a ·ABC = B · ' BA = B · ' BC = 600 Tính góc hai đường thẳng AC B’D’ A ·AC, B 'D' = 900 B ·AC, B 'D' = 600 C ·AC, B 'D' = 450 ( ) ( ) ( ) D (·AC, B 'D' ) = 300 Hướng dẫn giải: HS tự giải Câu 52: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh BC AD Cho biết AB = CD = 2a MN = a Tính góc hai đường thẳng AB CD A (·AB, CD ) = 300 B (·AB, CD ) = 450 C (·AB, CD ) = 600 D (·AB, CD ) = 900 Hướng dẫn giải: Gọi O trung điểm AC , ta có OM = ON = a OM P AB · ⇒ ( AB, CD ) = (·OM , ON )  ON P CD  Áp dụng định lí cơsin cho tam giác OMN ta có ( OM + ON − MN a + a − a · cos MON = = 2OM ON 2.a.a ) =− Vậy (·AB, CD ) = 600 Câu 53: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a , AC = BD = b, AD = BC = c a)Khẳng định sau A đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vng góc với hai cạnh B đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối khơng vng góc với hai cạnh C đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vng góc khơng vng góc với hai cạnh D A, B, C sai b) Tính góc hai đường thẳng AC BD ( a2 − c2 ) · AC , BD = arccos ) A ( b2 Trang 21 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 ( a2 + c2 ) · B ( AC , BD ) = arccos b2 ( a2 − c2 ) · C ( AC , BD ) = arccos 3b 2 ( a2 − c2 ) · D ( AC , BD ) = arccos b2 Hướng dẫn giải: Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, CD, AD a) Do hai tam giác ACD BCD có CD chung AC = BD, AD = BC nên chúng nhau, suy MC = MD Vậy tam giác MCD cân M có trung tuyến MN nên MN ⊥ CD Tương tự MN ⊥ AB Chứng minh tương tự cho hai cặp cạnh đối lại  PM P BD · ⇒ ( BD, AC ) = (·PM , PN ) b) Ta có   PN P AC Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có 2 CA2 + CB AB 2 ( b + c ) − a CM = − = 4 2 2 b +c −a Tương tự DM = , nên 2 MC + MD CD 2 ( b + c ) − a a b + c − a 2 MN = − = − = 4 Áp dụng định lí sin cho tam giác PMN ta có 2 2 b b b +c −a + −  ÷ ( a2 − c2 ) PM + PN − MN  ÷ 2   · cos MPN = = = 2.PM PN b2  b  b   ÷ ÷    ( ) ( a2 − c2 ) · Vậy ( AC , BD ) = arccos b2 Trang 22 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GĨC VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN Phương pháp: Để chứng minh d1 ⊥ d2 ta có phần ta thực theo cách sau: uu ruu r uu r uu r • Chứng minh d1 ⊥ d2 ta chứng minh u1u2 = u1 ,u2 vec tơ phương d1 d2 bPc ⇒ a ⊥ b • Sử dụng tính chất  a ⊥ c • Sử dụng định lí Pitago xác định góc d1 ,d2 tính trực tiếp góc • Tính độ dài đoạn thẳng, diện tích đa giác • Tính tích vơ hướng… Câu 1: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có tất cạnh Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A A′C ′ ⊥ BD B BB′ ⊥ BD C A′B ⊥ DC ′ D BC ′ ⊥ A′D Hướng dẫn giải: Chọn B Chú ý: Hình hộp có tất cạnh cịn gọi hình hộp thoi A vì:  A′C ′ ⊥ B′D′ ⇒ A′C ′ ⊥ BD  ′ ′ B D // BD  B sai vì:  A′B ⊥ AB′ ⇒ A′B ⊥ DC ′ C vì:   AB′ // DC ′  BC ′ ⊥ B′C ⇒ BC ′ ⊥ A′D D vì:   B′C // A′D uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r Câu 2: Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB AC = AC AD = AD AB AB ⊥ CD , AC ⊥ BD , AD ⊥ BC Điều ngược lại không? Sau lời giải: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bước 1: AB AC = AC AD ⇔ AC AB − AD = ⇔ AC.DB = ⇔ AC ⊥ BD ( ) Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC AD = AD AB ta AD ⊥ BC AB AC = AD AB ta AB ⊥ CD Bước 3: Ngược lại đúng, trình chứng minh bước trình biến đổi tương đương Bài giải hay sai? Nếu sai sai đâu? A Đúng B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai bước Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD Mặt phẳng ( P ) song song với AB CD cắt BC , DB, AD, AC M , N , P, Q Tứ giác MNPQ hình gì? A Hình thang B Hình bình hành C Hình chữ nhật D Tứ giác khơng phải hình thang Trang 23 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Hướng dẫn giải: Chọn C ( MNPQ ) //AB ⇒ MQ //AB Ta có:  MNPQ ∩ ABC = MQ ( ) ( )  Tương tự ta có: MN //CD, NP //AB , QP //CD Do tứ giác MNPQ hình bình hành lại có MN ⊥ MQ ( AB ⊥ CD ) Vậy tứ giác MNPQ hình chữ nhật Câu 5: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M , N , P, Q, R trung điểm AB, CD, AD, BC AC a) Khẳng định sau nhất? A MN ⊥ RP, MN ⊥ RQ C MN chéo RP; MN chéo RQ b) Tính góc hai đường thẳng AB CD? A ·AB, CD = 600 B MN ⊥ RP, MN cắt RQ D Cả A, B, C sai B (·AB, CD ) = 300 ( ) C (·AB, CD ) = 450 D (·AB, CD ) = 900 Hướng dẫn giải: a nên tam giác MCD cân M , MN ⊥ CD Lại có RP PCD ⇒ MN ⊥ RQ b) Tương tự ta có QP ⊥ AD Trong tam giác vng PDQ ta có a) Ta có MC = MD =  a   a 2 a QP = QD − DP =  ÷ ÷ −  ÷ = Ta có :   2 2 2 a a RQ + RP =  ÷ +  ÷ = a = QP 2 2 Do tam giác RPQ vuông R , hay RP ⊥ RQ 2  AB P RQ  Vì CD P RP ⇒ AB ⊥ CD  RP ⊥ RQ  Câu 6: Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC ′ có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AC , CB, BC ′ C ′A Tứ giác MNPQ hình gì? A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình vng D Hình thang Hướng dẫn giải: Chọn B Vì M , N , P, Q nên dễ thấy tứ giác MNPQ hình bhình hành Gọi H trung điểm AB Trang 24 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 CH ⊥ AB Vì hai tam giác ABC ABC ′ nên  C ′H ⊥ AB Suy AB ⊥ ( CHC ′ ) Do AB ⊥ CC ′  PQ //AB  Ta có:  PN //CC ′ ⇒ PQ ⊥ PN  AB ⊥ CC ′  Vậy tứ giác MNPQ hình chữ nhật Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành với AB = a, AD = 2a Tam giác SAB vuông can A , M điểm cạnh AD ( M khác A D ) Mặt phẳng ( α ) qua M song sog với ( SAB ) cắt BC , SC , SD N , P, Q a) MNPQ hình gi? A MNPQ hình thang vng B MNPQ hình vng C MNPQ hình chữ nhật D MNPQ hình bình hành b)Tính diện tích MNPQ theo a 3a a2 3a a2 A S MNPQ = B S MNPQ = C S MNPQ = D S MNPQ = 8 4 Hướng dẫn giải: ( α ) P( SAB )  a) Ta có ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB ⇒ MN P AB  ( α ) ∩ ( ABCD ) = MN ( α ) P( SAB )  Tương tự ( SBC ) ∩ ( SAB ) = SB ⇒ NP PSB  ( α ) ∩ ( SBC ) = NP ( α ) P( SAB )  ( SAD ) ∩ ( SAB ) = SA ⇒ MQ PSA  ( α ) ∩ ( SAD ) = MQ Dễ thấy MN P PQ P AB PCD nên MNPQ hình bình hành  MN P AB  Lại có  MQ PSA ⇒ MN ⊥ MQ  AB ⊥ SA  Vậy MNPQ hình thang vng SA a CD a = , PQ = = b) Ta có MN = AB = a , MQ = 2 2 1 a  a 3a Vậy S MNPQ = ( MN + PQ ) MQ =  a + ÷ = 2 22 Câu 8: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Trên cạnh DC BB ' lấy điểm M N cho MD = NB = x ( ≤ x ≤ a ) Khẳng định sau đúng? a) Khẳng định sau đúng? Trang 25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A AC ' ⊥ B ' D ' C AC’và B’D’ đồng phẳng b) khẳng định sau ? A AC ' ⊥ MN B AC’ MN cắt C AC’ MN đồng phẳng D Cả A, B, C Hướng uuurdẫnr giải: uuu r r uuur r Đặt AA ' = a, AB = b, AD = c uuuu r r r r uuuuur r r a) Ta có AC ' = a + b + c , B ' D ' = c − b nên uuuu r uuuuur r r r r r AC '.B ' D ' = a + b + c c − b r r r r2 r = a c − b + c − b = a2 − a2 = ( ) ( )( Quan hệ vng góc – HH 11 B AC’ cắt B’D’ D Cả A, B, C ) ⇒ AC ' ⊥ B ' D ' uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuur  r x r   r x r  x r  x  r r b) MN = AN − AM = AB + BN − AD + DM =  b + a ÷-  c + b ÷ = a +  1- ÷b - c a   a  a   a uuuu r uuuu r r r r r x r  r x r x r  x r r Từ ta có AC '.MN = a + b + c [  b + a ÷-  c + b ÷ = a + 1- ÷b - c ] a   a  a   a r r r 2 x  x  x = a +  − ÷b − c = x.a + 1 − ÷a − a = a  a  a Vậy AC ' ⊥ MN Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AC = a , BD  = 3a Gọi M N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN a 10 a 3a 2a A MN = B MN = C MN = D MN = 3 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi E , F trung điểm AB CD  EN // AC ⇒ ( AC , BD ) = ( NE , NF ) = 90° ⇒ NE ⊥ NF (1) Ta có:   NF // BD   NE = FM = AC Mà:  (2)  NF = ME = BD  Từ (1), (2) ⇒ MENF hình chữ nhật ( ) ( ( ) ) 2 2 AC   BD  a 10  a   3a  Từ ta có: MN = NE + NF =  ÷ + ÷ =  ÷ + ÷ =     2   Chọn D Câu 10: Trong không gian cho ba điểm A, B, C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng? uuu r uuur uuu r uuur A AB AC = AB + AC − BC B AB AC = AB + AC − BC uuu r uuur uuu r uuur C AB AC = AB + AC − BC D AB AC = AB + AC − BC Hướng dẫn giải: Chọn A uuu r uuur BC = AB + AC − AB AC.cos ( AB, AC ) = AB + AC − AB AC 2 Trang 26 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vuông góc – HH 11 uuu r uuur Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Tính AB.EG A a B a C a2 2 D a 2 Hướng dẫn giải: Chọn B uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur Ta có AB.EG = AB AC , mặt khác AC = AB + AD uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuuur2 uuu r uuur Suy AB.EG = AB AC = AB AB + AD = AB + AB AD = a ( ) Câu 12: Cho tứ diện ABCD có AB = a , BD = 3a Gọi M , N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN A MN = a B MN = a 10 C 2a D MN = 3a Hướng dẫn giải: Chọn B Kẻ NP //AC ( P ∈ AB ) , nối MP a NP đường trung bình ∆ABC ⇒ PN = AC = 2 3a MP đường trung bình ∆ABD ⇒ PM = BD = 2 uuuuuu r Lại có ( AC , BD ) = ( PN , PM ) = NPM = 90° suy ⇒ ∆MNP vuông P a 10 Vậy MN = PN + PM = MN = Câu 13: Cho tứ diện ABCD AB = , CD = , góc AB CD 60° điểm M BC cho BM = MC Mặt phẳng ( P ) qua M song song với AB CD cắt BD , AD , AC M , N , Q Diện tích MNPQ bằng: A 2 B C D Hướng dẫn giải: Chọn C Thiết diện MNPQ hình bình hành · = 60° Ta có ( AB, CD ) = ( QM , MP ) = QMP Suy S MPNQ = QN QN sin 60° Lại có CM MO ∆CMQ # ∆CBA ⇒ = = ⇒ MQ = AB AB AQ QN ∆AQN # ∆ACD ⇒ = = ⇒ QN = AC CD Do S MPNQ = QM QN sin 60° = 2.2.sin 60° = Trang 27 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vng góc – HH 11 Câu 14: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD , AB = 4, CD = M điểm thuộc cạnh BC cho MC = BM Mặt phẳng ( P ) qua M song song với AB CD Diện tích thiết diện ( P) với tứ diện là? A B C Hướng dẫn giải: · = 90° Ta có ( AB, CD ) = ( MN , MQ ) = NMQ Suy thiết diện MNPQ hình chữ nhật Lại có: CM MN ∆CMN : ∆CBA ⇒ = = ⇒ MN = CB AB 3 AN NP ∆ANP : ∆ACD ⇒ = = ⇒ MP = AC CD 16 Suy SMNPQ = MN.NP = Trang 28 17 D 16 ... góc – HH 11 B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường. .. vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng lại C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường. .. đường thẳng b vng góc với đường thẳng c đường thẳng a vng góc với đường thẳng c D Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b đường thẳng b song song với đường thẳng c đường thẳng a vng góc