Đẳng thức tổ hợp 5

5.3 Các toán 137 1 1 + + + + (mod p) p−2 p−1 Theo định lí Wolstenholme ta có Tóm lại ta ln có S ≡ + 1+ 1 1 + + + + ≡0 p−2 p−1 (mod p) ⇒ S ≡ (mod p) ⇒ S p Ví dụ 5.14 Cho số ngun khơng âm i; j; n thoả mãn : i + j ≤ n Chứng minh rằng: n 2n−i−j p=0 n p p i p j Lời giải Khơng tính tổng quát giả sử i ≥ j p n−i n n p p = Ta có: n−p j j i i p n n n−i p Đặt Aj = n−p j i p=0 Xét biểu thức n Aj x j F (x) = j=0 n n = j=0 p=0 n = = Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp n i n i p=0 n p=0 n i n−i n−p n−i n−p n j=0 p j x j p j x j n−i (1 + x)p n−p Diễn đàn Toán học 138 5.3 Các toán = = = n (1 + x)n i n p=0 n−i n − p (1 + x)n−p n (1 + x)n + 1+x i n (1 + x)i (2 + x)n−i i Tài liệu tham khảo n−i n Vậy F (x) = (1 + x)i (2 + x)n−i Aj hệ số xj khai i triển F (x) Dễ thấy hệ số đơn thức x có bậc bé j khai triển (2 + x)n−i chia hết cho 2n−i−j Do 2n−i−j |Aj Đây đpcm [1] http://diendantoanhoc.net/forum/ [2] http://www.artofproblemsolving.com/ [3] http://www.math.net.vn [4] http://forum.mathscope.org/ [5] 102 Combinatorial Problems, Titu Andreescu, Zuming Feng Ví dụ 5.15 (Australia MO) Tìm giá trị k tự nhiên nhỏ cho số k 2n ∀n ≥ m : ∈N m+n+1 n+m Lời giải Trước hết ta chứng minh 2m m+1 m ∈Z Ta có: 2m m+1 m = = 2m 2m (2m)! = − m m (m − 1)!(m + 1)! 2m (2m)! 2m 2m − = − ∈Z m (m − 1)!(m + 1)! m m−1 1− m m+1 Giả sử cho trước số m ∈ N Vì với n = m, số k 2n m+n+1 n+m = k phải số tự nhiên nên giá trị phải tìm k ∈ N phải chia hết 2m + cho 2m + 1, k ≥ 2m + Diễn đàn Toán học Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp 171 170 6.5 Bài tập Bài Chứng minh với số tự nhiên n ≥ có: n r r=1 n r =n 2n − n−1 5.3 Các toán Giả sử k = 2m + 1, với n = m, số dương 2m + 2n n+m+1 n+m Bài (IMC 2002) Trong thi tốn học có 200 sinh viên tham dự Họ đề nghị giải toán tốn giải 120 sinh viên Chứng minh ln có hai sinh viên mà với tốn hai thí sinh giải tốn k! = nk , (k1 , k2 , , kn ) k1 !k2 ! kn ! thỏa mãn k1 + k2 + + kn = k Bài Chứng minh rằng: (−1)k k=0 n k m−k m−k−n = = = n−m 2n n+m+1 n+m 2n (2n)! − n+m (n + m + 1)!(n − m − 1)! 2n − ∈Z n+m n+m+1 1− Vậy giá trị k nhỏ 2m + Ví dụ 5.16 (T8/419-THTT) Tìm tất cặp số nguyên dương n, k thỏa mãn điều kiện 3n = 3n nk n Lời giải Ta có: 3n n (3n)! ⇔ n!(2n)! (3n − 2)!(3n − 1).3n ⇔ 2n2 (n − 1)!(2n − 1)! (3n − 2)! ⇔ (n − 1)!(2n − 1)! Bài Cho m; n số nguyên không âm Chứng minh : E(m; n) = n+m k n+m+1 2n số tự nhiên với n > m Bài (IMO 1989) Cho n, k số nguyên dương S tập hợp gồm n điểm mặt phẳng thỏa mãn: (1) Khơng có ba điểm thuộc tập S thẳng hàng (2) Với điểm P thuộc tập S có k điểm thuộc S cách với điểm P √ Chứng minh rằng: k < + 2n n 139 =1 Với m ≥ 2n = 3n nk = 3n nk = 3n nk = 2.3n−1 nk+1 3n − Vì (3n − 2)! = (n − 1)!(2n − 1)! 3n − n−1 ∈ Z ⇒ 2.3n−1 nk+1 3n − (5.4) Lại có (3, 3n − 1) = (n, 3n − 1) = nên từ (5.4) suy 3n − ⇒ 3n − ≤ ⇒ n ≤ Diễn đàn Toán học Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 140 5.3 Các toán 6.5 Bài tập r 3n = 3n nk ⇔ = 3.1k n Đẳng thức thỏa mãn với số k nguyên dương Vậy cặp số (n, k) cần tìm (1, k) với k số nguyên dương Để ý = (1 − 1)r = Do n = Ta Nhận xét Có thể giải toán cách khác sau: Với n = 1, ta có kết trên; với n ≥ 2, quy nạp ta chứng n 3n minh nên tốn khơng thỏa mãn n Ví dụ 5.17 (IMO 1974) Chứng minh với số nguyên dương n n 2n + 3k 2k + k=0 Lời giải (1) Ta có: n k=0 2n + 3k = 2k + n 2n + 3(n−k) 2k k=0 Mặt khác 16 chia dư nên ta có: 23(n−i) ≡ n n Suy k=0 n với S2n+1 = k=0 2n−i = 2i 2n (mod 5) 2n + 23k ≡ S2n+1 (mod 5) 2k + 2n + i 2k 169 k=0 √ 2n + i 2k 2n+1 2n+1 Xét hàm sinh f (x) = (1 + x 2) = i=0 (−1)i−1 Vậy có i=1 r i r (−1)i−1 =1− i=1 r i = 1, tức x đếm lần vế phải Vậy nguyên lí bù trừ chứng minh Nhận xét Qua số tốn ví dụ bạn thấy, phương pháp đếm hai cách diễn tả ngơn ngữ hồn tồn dễ hiểu Bằng cách áp dụng giải nhanh gọn số toán mà phương pháp khác tỏ hữu hiệu phức tạp Bên cạnh ưu điểm phương pháp đếm hai cách có nhiều nhược điểm tương đối yếu toán phức tạp (như tổng đan dấu, tổng chứa phân thức) Vấn đề quan trọng việc sử dụng phương pháp ta phải phân tích đề dạng toán đếm! Điều cần tới quan sát khả nhạy bén người Tuy nhiên số cách nhận biết dấu hiệu chuyển đổi hệ thống cho phương pháp này, song thời gian gấp rút nên tác giả chưa có điều kiện giới thiệu đến bạn đọc chuyên đề Hẹn gặp lại bạn vào dịp khác! i 2i ,theo định lí 2n + 6.5 Bài tập Bài Chứng minh với số tự nhiên n ≥ k ≥ có: RUF thì: √ √ 1 = (f (1) + f (−1)) = (1 + 2)2n+1 + (1 − 2)2n+1 2 Diễn đàn Toán học i=0 r r i Sau cùng, mời bạn luyện tập với số toán sau: n Do vậy, ta tính S2n+1 = S2n+1 (−1)i Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp k n k Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp =n n−1 k−1 = (n − k + 1) n k−1 Diễn đàn Toán học 168 6.4 Ứng dụng đếm hai cách giải toán rời rạc c k = 141 √ √ Đây số quen thuộc, 1+ 1− nghiệm phương trình x2 − 2x − = nên S2n+1 công thức tổng quát dãy số cho công thức truy hồi : Từ có: b = h 5.3 Các toán c(c − 1) k(k − 1) un+2 = 2un+1 + un Và u0 = 1; u1 = nên un khơng chia hết cho Ví dụ 6.17 (Ngun lí bù trừ) Cho A1 , A2 , , An tập Khi có: n Lời giải (2) n Gọi Sn = n i=1 k=0 |Ai | − Ai = i=1 Vì 23 = = 10 − chia cho dư −2, nên 23k chia cho có số dư số dư (−2)k chia cho Do đó, ta cần chứng minh S |Ai ∩ Aj | + 1≤i nên p − (p − 1)(2p − 1) = 2p2 + − 3p ≡ 2.1 + ≡ (mod 3) hay (p − 1)(2p − 1) Suy Như vậy: n+1 5.3 Các toán √ 5+3 = 10 √ 1+ n √ 5−3 + 10 √ 1− p−1 p−1 n a2k b2k ≡ ≡ (mod p) k=1 k=1 Tức (5.6) Ta có đpcm Ví dụ 6.13 Cho k1 ; k2 ; ; kn số nguyên dương lớn Chứng minh rằng: n 1≤i cho ∀k ∈ N∗ \ {1} : n k Bài Chứng minh rằng: 2.1 2000 2000 2000 + 3.2 + + 2000.1999 1999 3998000 Bài 10 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ k : ƯCLN n n+1 n+k ; ; ; k k k =1 n k Lời giải • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc Giả sử có n bạn tham gia thi hội khỏe Phù Đổng vòng sơ tuyển cần chọn số bạn vào vòng chung kết Diễn đàn Tốn học Chun đề Đẳng Thức Tổ Hợp Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 6.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp 159 xk+1 > max {x1 , x2 , , xk } Hỏi có cách chọn? • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) Ứng với xk+1 = i + 1, (1 ≤ i ≤ n), ta có i chọn x1 , i cách chọn x2 , ; i cách chọn xk Do đó, số cách chọn là: S = 1k + 2k + + nk • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Ta chọn k + số từ n + số, số lớn nhất, ta chọn làm xk+1 , số lại, ta sếp thứ tự xong Gọi i(0 ≤ i ≤ k) số phần tử nhóm x1 , x2 , , xk n+1 Chọn k − i + số khác từ n + số, ta có cách k−i+1 Xếp thứ tự k − i số khác vào k chỗ trống (các chỗ trống lại, hiển nhiên dành cho i số nhau), ta có Ak−i cách k Vậy số cách chọn là: k−1 Ak−i k S= i=0 n+1 k−i+1 Từ ta có điều phải chứng minh Ví dụ 6.8 n 2k k=0 n k n−k n−k = 2n + n Lời giải • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc Thầy Thế, GVCN lớp 10A gồm n học sinh nam n học sinh nữ Tối nay, Rạp chiếu phim quốc gia, chiếu phim hay, thầy định tổ chức cho lớp xem Cuối thầy Thế mua n vé Thầy suy nghĩ: Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 158 6.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp Chương • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) Cho 8n viên bi vào 4n hộp, hộp có viên: Đầu tiên chọn k hộp cho hộp có viên bi lấy – Số cách chọn 2n − 2k hộp 4n hộp 4n 2n − 2k – Trong hộp 2n − 2k hộp ta chọn bi, viên bi có hộp, nên số cách chọn 22n−2k = 4n−k – Chọn 2k viên bi lại 2n+2k hộp lại cho 2n + 2k hộp có bi chọn k hộp nên có k cách chọn • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Ta đếm số cách chọn 2n viên bi từ 8n viên bi có 8n cách 2n Từ suy số cách chọn 2n 8n viên bi theo cách đếm thứ n 4n 2n + 2k 4n−k 2n + 2k k k=0 Kỹ thuật đếm hai cách chứng minh đẳng thức tổ hợp 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Nguyên lí đếm hai cách 152 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp 153 Ứng dụng phương pháp đếm giải toán đồ thị 165 Ứng dụng đếm hai cách giải toán rời rạc 167 Bài tập 169 Hoàng Minh Quân (batigoal) Nguyễn Hiền Trang (tranghieu95) Từ ta có điều phải chứng minh Ví dụ 6.7 Chứng minh rằng: k−1 Ak−i k 1k + 2k + + nk = i=0 n+1 k−i+1 với k = 1, 2, 3, Lời giải • Bước 1: Phát biểu lại thành tốn đếm quen thuộc: Từ tập số nguyên dương A = {1, 2, , n + 1}, ta chọn thứ tự (x1 , x2 , , xk+1 ) thỏa mãn điều kiện: Diễn đàn Toán học Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Tóm tắt nội dung Kỹ thuật đếm hai cách phương pháp phổ biến có nhiều tác giả viết Tuy nhiên để bạn đọc hiểu lại giải thế, cách xây dựng bước giải cho toán sử dụng kĩ thuật nhiều viết lại chưa đề cập đến Trong khuôn khổ viết nhỏ tác giả hy vọng cung cấp phần ý tưởng phương pháp tới bạn đọc 151 152 6.1 Nguyên lí đếm hai cách 6.1 Nguyên lí đếm hai cách 6.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp Ví dụ 6.5 Với n nguyên dương cho trước Chứng minh rằng: n “Cùng số lượng kết đếm theo hai cách nhau” Nguyên lí tưởng chừng đơn giản lại khởi nguồn nhiều ý tưởng để giải tốn tổ hợp hay khó Bài viết sau phân tích số ý tưởng cho việc sử dụng nguyên lí Để chứng minh đẳng thức tổ hợp có dạng A = B Chúng ta thực bước dự đoán sau để sử dụng phương pháp đếm hai cách: 6.1.1 Các bước thực k=0 2k k 2n − 2k n−k = 4n Lời giải • Bước 1: Phát biểu lại thành tốn đếm quen thuộc: Một đoạn thẳng có độ dài n tô màu, D, X, V, T • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) Ta chọn tập cách tô màu D X cho D + X = k k i k 2k số cách chọn = k k−i k i=0 • Bước 1: Phát biểu lại toán đếm kiện quen thuộc • Bước 2: Đếm theo vế trái đẳng thức • Bước 3: Đếm theo vế phải đẳng thức 6.1.2 157 số cách chọn đoạn màu V, T k n−k n−k 2n − 2k = j k−j n−k j=0 • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Rõ ràng ta có 4n cách Ghi nhớ cần thiết • Nếu vế trái (hoặc vế phải) tổng biểu thức cách đếm vế trái (hoặc vế phải) ta chia thành trường hợp riêng để đếm dùng quy tắc cộng • Nếu vế trái (hoặc vế phải) tích biểu thức cách đếm vế trái (hoặc vế phải) ta chia thành cơng đoạn hồn thành để đếm dùng quy tắc nhân Do với k cố định ta số cách tơ n Cho k chạy từ đến n ta số cách tô màu i=0 2n − 2k n−k 2n − 2k n−k Từ ta có điều phải chứng minh Ví dụ 6.6 n 4n−k 4n 2n + 2k Trong viết này, minh họa kỹ thuật đếm hai cách thông qua toán tiếng đa phần toán, định lý có tên nhằm minh họa cho ý tưởng viết Sau số ứng dụng phương pháp đếm hai cách Chúng phân tích trình bày chi tiết hai ví dụ mở đầu, ví dụ sau ý tưởng phân tích tương tự Lời giải Diễn đàn Toán học Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp 2k k 2k k k=0 2n + 2k k = 8n ; n ∈ N∗ 2n • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc: Xét 8n viên bi Diễn đàn Toán học 156 6.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp Ví dụ 6.4 Chứng minh với n ≥ m n k k≥0 k m 6.2 n n−m m = 6.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp 153 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp Ví dụ 6.1 (Chứng minh đẳng thức Pascal) Với số nguyên dương n ≥ k ≥ có Lời giải • Bước 1: Phát biểu lại toán đếm quen thuộc: Giả sử từ n học sinh lớp học, giáo viên chủ nhiệm cần chọn đội văn nghệ số lượng người tùy ý, có m học sinh cầm micro Khi giáo viên chủ nhiệm có hai phương án thực • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) n k cách chọn , sau từ k người chọn lấy m người cầm micro Cho k chạy từ đến n có Trước hết giáo viên chọn k người từ n người Khi có n k k≥0 k m • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Chọn m học sinh cầm Micro từ n học sinh lớp, sau chọn bổ sung thêm nhóm tùy ý từ n−m người lại Trong n − m người người chọn khơng chọn nên có 2n−m cách chọn n n−m Vậy thảy có m n k Do có k≥0 k m n n−m m = Nhận xét Với ý tưởng tương tự ví dụ trên, bạn đọc chứng minh đẳng thức sau: Chứng minh với n, m ∈ N m r=0 Diễn đàn Toán học n−r n r m r n = r=0 n+m−r m n r Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp n k = n−1 n−1 + k−1 k Lời giải • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc: Trại hè toán học có n học sinh tham dự ban tổ chức cần chọn k học sinh làm thi môn tổ hợp Như ban tổ chức có hai cách đếm số cách chọn • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) Nếu chọn k học sinh n học sinh ban tổ chức có n cách chọn k • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Quan sát vế phải ta thấy vế phải “tổng” hai biểu thức tổ hợp nên điều gợi cho nhớ tới xét khả để dùng quy tắc cộng Giả sử Long n học sinh – Phương án : Nếu Long chọn tham dự thi mơn tổ hợp cần chọn k − người số n − người lại Khi ban tổ chức n−1 có cách chọn k−1 – Phương án : Nếu Long khơng chọn thi mơn tổ hợp cần chọn cho đủ k người số n − người lại Khi ban tổ n−1 chức có cách chọn k Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 154 6.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp Như theo nguyên lí đếm hai cách có đẳng thức chứng minh Ví dụ 6.2 Chứng minh rằng: n n n + + + n = 2n • Bước 1: Phát biểu toán lại dạng toán đếm quen thuộc: Tìm số cách chọn số số từ n số cho trước • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) n cách + Nếu chọn viên có n cách n n cách Vậy tổng cộng có • Bước 1: Phát biểu lại thành tốn đếm quen thuộc Cơng ty X gồm n nhân viên nam m nhân viên nữ cần chọn k người để lập thành đội tình nguyện • Bước 3: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 2) Quan sát vế trái ta thấy vế trái số hạng thành phần “tích” hai biểu thức tổ hợp nên điều gợi cho nhớ tới xét khả để dùng quy tắc nhân n m Chọn i nhân viên nam k−i nhân viên nữ có i k−i cách Vì số người chọn tùy ý giới hạn cho phép k người nên cho i chạy từ đến k, ta có tổng tất cách chọn là: n + + Nếu chọn n viên có n n n n + + + + n m n + k cách Như ta có điều cần chứng minh i=0 n i m k−i n m = m+n ; với k ≤ n ≤ m k Lời giải Diễn đàn Toán học m+n k n i = 2n n n2 nr k2 kr = i=0 b Với (0 ≤ ki ≤ ni ); i = 1, r k1 +k2 + +kr =k Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp = Khi đó: a Với m = n có đẳng thức quen thuộc Ví dụ 6.3 (Chứng minh đẳng thức Vandermonde.) m n + + k−1 k m Nhận xét Đẳng thức Vandermonde viết thu gọn sau: k m n + k m n + + k−1 k Vậy đẳng thức chứng minh • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Mỗi số có trạng thái (được chọn khơng chọn), mà có n số nên có 2n cách chọn n 155 • Bước 2: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 1) Chọn ngẫu nhiên k người công ty gồm n + m người có m+n cách chọn k Lời giải + Nếu chọn viên có 6.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp n1 k1 Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp n1 + n2 + + nr k Diễn đàn Toán học ... minh đẳng thức tổ hợp Ví dụ 6.4 Chứng minh với n ≥ m n k k≥0 k m 6.2 n n−m m = 6.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp 153 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp Ví dụ 6.1 (Chứng minh đẳng thức. .. Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 6.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp 159 xk+1 > max {x1 , x2 , , xk } Hỏi có cách chọn? • Bước 2: Xét biểu thức vế trái... đếm hai cách chứng minh đẳng thức tổ hợp 6.1 6.2 6.3 6.4 6 .5 Nguyên lí đếm hai cách 152 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp 153 Ứng dụng phương pháp đếm giải toán đồ thị 1 65 Ứng dụng đếm hai cách