Luận án tiến sĩ toán học một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN HIỂN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN HIỂN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Huy Chiêu PGS TS Đinh Huy Hoàng NGHỆ AN - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án tiến sĩ “Một số kết tính quy mêtric giải tích biến phân ứng dụng” cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hướng dẫn TS Nguyễn Huy Chiêu PGS TS Đinh Huy Hoàng Các kết viết chung với tác giả khác cho phép đồng tác giả đưa vào luận án Các kết trình bày luận án chưa công bố cơng trình nghiên cứu từ trước đến Tác giả Lê Văn Hiển LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS Nguyễn Huy Chiêu người đặt tốn tận tình bảo tác giả suốt trình nghiên cứu PGS TS Đinh Huy Hoàng người hướng dẫn, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu trường Đại học Vinh Tác giả xin chân thành cảm ơn q thầy Bộ mơn Tốn Giải tích, Hội đồng khoa học ngành Tốn, Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Xin chân thành cảm ơn TS Trần Thái An Nghĩa (Đại học Oakland, Mỹ) chia sẻ kinh nghiệm nghiên cứu đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tác giả suốt trình thực luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa thầy cô, anh chị em bạn bè đồng nghiệp Trường Đại học Hà Tĩnh, Khoa Sư phạm quan tâm động viên tạo điều kiện thuận lợi công việc cho tác giả tập trung học tập hoàn thành luận án Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thành viên gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, chia sẻ giúp đỡ tác giả suốt trình dài học tập nghiên cứu Nghệ An, ngày 03 tháng năm 2019 Tác giả Lê Văn Hiển MỤC LỤC Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 21 1.1 Một số khái niệm tính chất bổ trợ 21 1.2 Tính chất quy điều kiện chuẩn hóa 25 1.3 Kết luận Chương 31 Chương Đạo hàm ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện quy mêtric 2.1 Tính tốn đạo hàm ánh xạ nón pháp tuyến 2.2 Áp dụng vào lý thuyết phương trình suy rộng 32 32 52 2.3 Kết luận Chương 60 Chương Ổn định xiên thông qua đạo hàm ánh xạ vi phân cho lớp tốn tối ưu với giả thiết quy gần kề 62 3.1 Đặc trưng bậc hai tính ổn định xiên cho lớp tốn tối ưu khơng ràng buộc 63 3.2 Ổn định xiên quy hoạch phi tuyến với giả thiết quy mêtric 74 3.3 Kết luận Chương 102 Kết luận chung kiến nghị 104 Danh mục cơng trình NCS có liên quan đến luận án 106 Tài liệu tham khảo 107 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN ∃x tồn x ∀x với x f :X→Y ánh xạ đơn trị từ X vào Y F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y gphF đồ thị ánh xạ F : X ⇒ Y domF miền hữu hiệu ánh xạ F : X ⇒ Y rgeF ảnh ánh xạ F : X ⇒ Y Br (x) hình cầu đóng tâm x bán kính r > B hình cầu đơn vị đóng ∇f (x) : X → Y đạo hàm f x δΩ (·) hàm tập Ω R tập số thực R− tập số thực không dương R tập số thực suy rộng R ∪ {±∞} Sn tập tất ma trận thực đối xứng cấp n Rn không gian Ơclit n chiều Rn+ tập hợp véctơ với tọa độ không âm Rn Rn− tập hợp véctơ với tọa độ không dương Rn ∅ tập rỗng x ∈ Rn x phần tử tập Rn C ⊂ Rn C tập Rn , tích vơ hướng Rn chuẩn Ơclit Rn intΩ phần tập Ω convΩ bao lồi tập Ω C⊥ phần bù trực giao C Rn , tức C ⊥ := u ∈ Rn | u, x = với x ∈ C Co nón cực C Rn , tức C o := u ∈ Rn | u, x ≤ với x ∈ C posC tổ hợp tuyến tính dương C Rn , tức k λi ci | λi ≥ 0, ci ∈ C ∪ {0}, posC := i=1 i = 1, k, k ∈ N {xi } dãy véctơ ϕ x → x¯ ϕ(x) → ϕ(¯ x) x → x¯ Ω x → x¯ x ∈ Ω ε↓0 ε → ε ≥ [γ]+ phần dương γ , tức [γ]+ := max{γ, 0} dΩ (x) khoảng cách từ x đến Ω δΓ hàm tập Γ o(t) vô bé bậc cao t (tức lim o(t) t = 0) P := Q P định nghĩa Q x → x¯ t→0 kết thúc chứng minh lim inf ϕ giới hạn hàm số ϕ lim sup ϕ giới hạn hàm số ϕ NΩ (x) nón pháp tuyến Fréchet Ω x NΩ (x) nón pháp tuyến qua giới hạn Ω x TΩ (x) nón tiếp tuyến Bouligand-Severi Ω x D∗F đối đạo hàm Fréchet ánh xạ F DF đạo hàm đồ thị ánh xạ F ∂ϕ vi phân Fréchet hàm ϕ ∂ϕ vi phân qua giới hạn hàm ϕ I(x) tập số hoạt x I + (λ) tập số bù chặt Λ(x, x∗ ) tập nhân tử KKT tương ứng với (x, x∗ ) Λ(x, x∗ ; v) tập nhân tử nhân tử theo hướng v K(x, x∗ ) nón tới hạn Γ (x, x∗ ) L(x, λ) hàm Lagrange Lg (x, α, λ) hàm Lagrange suy rộng LP(v) toán quy hoạch tuyến tính phụ thuộc tham số v DP(v) tốn đối ngẫu LP(v) subregF (¯ x, y¯) mơđun tính quy mêtric F (¯ x, y¯) tilt(f, x ¯) mơđun xác tính ổn định xiên f x ¯ DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BEPP tính chất điểm cực biên bị chặn CPLD chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính dương CRCQ chuẩn hóa ràng buộc hạng KKT Karush-Kuhn-Tucker LICQ chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính MFCQ chuẩn hóa ràng buộc Mangasaria-Fromivitz MSCQ chuẩn hóa ràng buộc quy mêtric CPLD chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính dương nới lỏng RCQ chuẩn hóa ràng buộc Robinson RUSOSC điều kiện đủ bậc hai nới lỏng SSOSC điều kiện đủ bậc hai mạnh USOSC điều kiện đủ bậc hai 100 Tiếp theo, ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử A ma trận xác định dương −B0 nửa xác định dương Từ q(¯ x) = ∇q(¯ x) = ta có 1 b0 = −B0 x¯, β0 = − x¯T B0 x¯ − bT x¯ = x¯T B0 x¯ 2 Vì −B0 ma trận nửa xác định dương, ta có T 1 x B0 x + bT0 x + β0 = xT B0 x − x¯T B0 x + x¯T B0 x¯ 2 T = (x − x¯) B0 (x − x¯) ≤ 0, với x ∈ Rn Vì Γ = Rn Điều với tính xác định dương A suy điểm dừng x ¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên (3.41) 3.2.24 Nhận xét Trong [29, Example 8.5], Gfrerer Mordukhovich đưa nhận xét: “Không hy vọng có đặc trưng bậc hai điểm xét cho tính ổn định xiên Bài tốn quy hoạch phi tuyến (3.11) điều kiện MSCQ (ngay MFCQ)” Nhưng nhận xét này, theo kết trên, phải loại trừ trường hợp toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương: Định lý 3.2.23 chứng tỏ tồn đặc trưng bậc hai điểm xét cho tính ổn định xiên Bài tốn quy hoạch tồn phương (3.41) điều kiện MSCQ Để kết thúc, đưa ví dụ minh họa cho trường hợp Định lý 3.2.23 xảy chứng tỏ sử dụng Định lý dễ dàng nhận biết cực tiểu địa phương ổn định xiên điểm dừng 3.2.25 Ví dụ Xét tốn quy hoạch tồn phương sau: min2 g(x) := 2x21 + 2x22 | q(x) := x21 − x22 + 2x1 + 2x2 ≤ (3.44) x∈R Ta thấy x ¯ = (0, 0) điểm dừng (3.44) Tính tốn trực tiếp ta có q(¯ x) = (0, 0), ∇q(¯ x) = (2, 2) = (0, 0), ∇g(¯ x) = (0, 0) A = 101 ma trận xác định dương Theo khẳng định (i) Định lý 3.2.23 x¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên (3.44) 3.2.26 Ví dụ Xét tốn quy hoạch toàn phương R2 : min2 g(x) := 4x21 − 2x22 − x1 − x2 | q(x) := 2x21 − 2x22 + 2x1 + 2x2 ≤ x∈R (3.45) Ta có x ¯ = (0, 0) điểm dừng (3.45), q(¯ x) = 0, ∇q(¯ x) = (2, 2), ∇g(¯ x) = (−1, −1), A = −1 , B0 = −1 , b0 = (2, 2) √ 0√ , B0 x¯ + b0 A + A¯ x + a B0 = −3 {w ∈ R2 | B0 x¯ + b0 , w = 0} = {w ∈ R2 |w1 + w2 = 0} Vì thế, với x ∈ R2 với w ∈ {w ∈ R2 | B0 x ¯ + b0 , w = 0}, ta có √ √ √ w, B0 x¯ + b0 A + A¯ x + a B0 w = 2w12 − 2w22 = 2w12 > Theo khẳng định (ii) Định lý 3.2.23 x ¯ = (0, 0) cực tiểu địa phương ổn định xiên (3.45) 3.2.27 Ví dụ Xét tốn: g(x) := x21 + x22 | q(x) := −x21 − x22 ≤ x∈R2 (3.46) Ta thấy MSCQ thỏa mãn x ¯ = (0, 0), q(¯ x) = 0, ∇q(¯ x) = 0R2 A ma trận xác định dương Theo khẳng định (iii) Định lý 3.2.23 x ¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên (3.46) 102 3.3 Kết luận Chương Trong chương này, thu kết sau: - Đưa đặc trưng bậc hai tính ổn định xiên thơng qua đạo hàm đồ thị gradient (Định lý 3.1.3), cách tiếp cận hồn tồn khơng gian để đặc trưng tính ổn định xiên, kết sở quan trọng để thu hiểu biết tính ổn định xiên tốn quy hoạch phi tuyến - Đưa ví dụ chứng tỏ tính quy gần kề tính chất quan trọng, mấu chốt đảm bảo chiều kéo theo Định lý 3.1.3 (xem ví dụ 3.1.4, 3.1.5) - Thiết lập đặc trưng cực tiểu địa phương ổn định xiên Bài toán (3.11) qua điều kiện đủ bậc hai nới lỏng (RUSOSC) phiên sửa đổi (Định lý 3.2.5) - Thiết lập điều kiện đủ bậc hai điểm xét cho tính ổn định xiên Bài tốn (3.11) với môđun (Định lý 3.2.9) không quan tâm đến môđun (Định lý 3.2.11) với điều kiện MSCQ - Đưa khẳng định SSOSC điều kiện đủ cho tính ổn định xiên điều kiện MSCQ (Hệ 3.2.13), Hệ thu kết luận giống với kết mà Mordukhovich Outrata ([59]) thiết lập điều kiện yếu nhiều - Đưa ví dụ chứng tỏ tính ưu việt kết Định lý 3.2.9, 3.2.11 Hệ 3.2.13 so với kết thiết lập [29] [59] (Ví dụ 3.2.14) - Khi thêm vào điều kiện 2-chính quy khơng suy thối chúng tơi thu điều kiện cần bậc hai điểm xét cho cực tiểu địa phương 103 ổn định xiên Bài toán (3.11) với điều kiện MSCQ, điều kiện cần gần với điều kiện đủ thiết lập (Định lý 3.2.20) - Tổng hợp kết đưa đặc trưng bậc hai điểm cho tính ổn định xiên Bài toán (3.11) (Hệ 3.2.21) - Thiết lập đặc trưng cực tiểu địa phương ổn định xiên tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc bất đẳng thức toàn phương với điều kiện MSCQ thông qua điều kiện tường minh hơn (Định lý 3.2.23) đưa ví dụ minh họa cho Định lý (Ví dụ 3.2.25, 3.2.26 3.2.27) 104 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung Luận án dành để nghiên cứu tính quy mêtric với ứng dụng Kết luận án bao gồm: - Thiết lập cơng thức tính đạo hàm đồ thị cho lớp ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện chuẩn hóa quy mêtric Đồng thời, sử dụng công thức này, thu công thức tính đạo hàm đồ thị ánh xạ nghiệm đặc trưng tính ổn định tĩnh lặng lập cho lớp phương trình suy rộng Kết hợp nhiều kết quan trọng theo hướng nghiên cứu - Thiết lập đặc trưng cực tiểu địa phương ổn định xiên cho lớp tốn tối ưu khơng ràng buộc với hàm mục tiêu quy gần kề liên tục vi phân thơng qua tính xác định dương đạo hàm đồ thị gradient hàm mục tiêu Thay sử dụng vi phân bậc hai, sử dụng đạo hàm gradient để nghiên cứu tính ổn định xiên Đây cách tiếp cận mới, chưa sử dụng tác giả trước Hơn nữa, chúng tơi chứng minh giả thiết quy gần kề thiết yếu cho điều kiện cần điều kiện đủ - Thu số điều kiện cần, điều kiện đủ để điểm dừng toán quy hoạch phi tuyến với giả thiết quy mêtric cực tiểu địa phương ổn định xiên Đặc biệt, chứng minh 105 điểm dừng quy hoạch phi tuyến cực tiểu địa phương ổn định xiên điều kiện đủ bậc hai mạnh chuẩn hóa quy mêtric thỏa mãn Thêm vào đó, với quy hoạch tồn phương có ràng buộc bất đẳng thức toàn phương thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa quy mêtric, cách khai thác tính đặc thù tốn, chúng tơi đưa đặc trưng đơn giản, tường minh cho cực tiểu địa phương ổn định xiên Kiến nghị hướng nghiên cứu Chúng thấy đề tài luận án tiếp tục phát triển theo hướng sau: - Sử dụng cách tiếp cận ổn định xiên qua đạo hàm đồ thị, khảo sát tính ổn định xiên cho tốn quy hoạch nón khơng đa diện Gần đây, M Benko cộng ([7]) thu số kết theo cách tiếp cận cho quy hoạch nón bậc hai Đối với lớp quy hoạch nón khác, vấn đề cần nghiên cứu thêm - Khảo sát xem nghiên cứu tính ổn định đầy đủ theo nghĩa Levy-Poliquin-Rockafellar ([50]) cách sử dụng đạo hàm đồ thị gradient không? Hiện nay, chưa có kết thiết lập theo hướng nghiên cứu này, có số đặc trưng ổn định đầy đủ thông qua vi phân bậc hai 106 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN N H Chieu and L V Hien (2017), Computation of graphical derivative for a class of normal cone mappings under a very weak condition, SIAM J Optim., 27, 190–204 N H Chieu, L V Hien and T T A Nghia (2018), Characterization of tilt stability via subgradient graphical derivative with applications to nonlinear programming, SIAM J Optim., 28, 2246–2273 N H Chieu, L V Hien and N T Q Trang (2018), Tilt stability for quadratic programs with one or two quadratic inequality constraints, submitted 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S Adly, F Nacry and L Thibault (2016), Preservation of proxregularity of sets with applications to constrained optimization, SIAM J Optim., 26, 448–473 [2] R Andreani, G Haeser, M L Schuverdt and P J S Silva (2012), A relaxed constrant positive linear dependence contraint qualification and applications, Math Program 135, 255–273 [3] J.-P Aubin (1981), Contingent derivatives of set-valued maps and existence of solutions to nonlinear inclusions and differential inclusions Mathematical analysis and applications, Part A, pp 159-229, Adv in Math Suppl Stud., 7a, Academic Press, New York-London [4] J.-P Aubin, H Frankowska (1990), Set-valued analysis, Birkhăauser Boston, Inc., Boston, MA [5] D Azzam-Laouira, A Makhloufa and L Thibault (2016), On perturbed sweeping process, Applicable Analysis, 95, 303–322 [6] B Bank, J Guddat, D Klatte, B Kummer and K Tammer (1982), Non-Linear Parametric Optimization, Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Berlin [7] M Benko, H Gfrerer and B S Mordukhovich (2018), Characterizations of tilt-stable minimizers in second-order cone programming, submitted, http://arxiv.org/abs/1809.03607 108 [8] J F Bonnans and A Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York [9] J M Borwein (1986), Stability and regular points of inequality systems, J Optim Theory Appl., 48, 9–52 [10] J M Borwein and D M Zhuang (1988), Verifiable necessary and sufficient conditions for openness and regularity of set-valued and single-valued maps, J Math Anal Appl., 134, 441–459 [11] J V Burke (1991), Calmness and exact penalization, SIAM J Control Optim., 29, 493–497 [12] N H Chieu and L V Hien (2017), Computation of graphical derivative for a class of normal cone mappings under a very weak condition, SIAM J Optim., 27, 190–204 [13] N H Chieu, L V Hien and T T A Nghia (2018), Characterization of tilt stability via subgradient graphical derivative with applications to nonlinear programming, SIAM J Optim., 28, 2246–2273 [14] N H Chieu, L V Hien and N T Q Trang (2018), Tilt stability for quadratic programs with one or two quadratic inequality constraints, submited [15] G Colombo and L Thibault (2010), Prox-regular sets and applications, in Handbook of Nonconvex Analysis, D Y Gao and D Motreanu, eds., International Press, Boston, 99–182 [16] R Correa, D.Salas and L Thibault (2018), Smoothness of the metric projection onto nonconvex bodies in Hilbert spaces, J Math Anal Appl., 457, 1307-1332 109 [17] A L Dontchev (1995), Characterizations of Lipschitz stability in optimization In: Recent developments in well-posed variational problems Kluwer, Dordrecht, 95–115 [18] A L Dontchev and R T Rockafellar (1996), Characterizations of strong regularity for variational inequalities over polyhedral convex sets, SIAM J Optim., 6, 1087–1105 [19] A L Dontchev and R T Rockafellar (2001), Ample parameterization of variational inclusions, SIAM J Optim., 12, 170–187 [20] A L Dontchev and R T Rockafellar (2004), Regularity and conditioning of solution mappings in variational analysis, Set-Valued Analysis, 12, 79–109 [21] A L Dontchev and R T Rockafellar (2014), Implicit functions and solution mappings A view from variational analysis Second edition Springer Series in Operations Research and Financial Engineering Springer, New York [22] A L Dontchev, A S Lewis and R T Rockafellar (2003), The radius of metric regularity, Trans Amer Math Soc., 355, 493–517 [23] A L Dontchev, M Quincampoix and N Zlateva (2006), Aubin criterion for metric regularity, J Convex Anal., 13, 281–297 [24] D Drusvyatskiy and A S Lewis (2013), Tilt stability, uniform quadratic growth, and strong metric regularity of the subdifferential, SIAM J Optim., 23, 256–267 [25] D Drusvyatskiy, B Mordukhovich and T T A Nghia (2014), Second-order growth, tilt stability, and metric regularity of the subdifferential, J Convex Anal., 21, 1165–1192 110 [26] A C Eberhard and R Wenczel (2012), A study of tilt-stable optimality and suffcient conditions, Nonlinear Anal., 75, 1260–1281 [27] J F Edmond and L Thibault (2005), Relaxation of an optimal control problem involving a perturbed sweeping process, Math Program., 104, 347–373 [28] H Gfrerer and J V Outrata (2016), On computation of generalized derivatives of the normal cone mapping and their applications, Math Oper Res., 41, 1535–1556 [29] H Gfrerer and B S Mordukhovich (2015), Complete characterizations of tilt stability in nonlinear programming under weakest qualification conditions SIAM J Optim., 25, 2081–2119 [30] H Gfrerer and B S Mordukhovich (2017), Robinson stability of parametric constraint systems via variational analysis, SIAM J Optim., 27, 438–465 [31] H Gfrerer and B S Mordukhovich (2018), Second-order variational analysis of parametric constraint and variational systems, to appear in SIAM J Optim.; arXiv:1711.07082 [32] H Gfrerer and J J Ye (2017), New constraint qualifications for mathematical programs with equilibrium constraints via variational analysis, SIAM J Optim., 27, 842–865 [33] L Guo, J Zhang and G.-H Lin (2014), New results on constraint qualifications for nonlinear extremum problems and extensions, J Optim Theory Appl., 163, 737–754 [34] N T V Hang, B S Mordukhovich and M E Sarabi (2018), Secondorder variational analysis in second-order cone programming, to appear in Math Program., arXiv:1707.07766 111 [35] R Henrion, A Kruger and J V Outrata (2013), Some remarks on stability of generalized equations, J Optim Theory Appl., 159, 681– 697 [36] R Henrion and J V Outrata (2005), Calmness of constraint systems with applications, Math Program., 104, 437–464 [37] R Henrion, J V Outrata and T Surowiec (2012), On regular coderivatives in parametric equilibria with non-unique multipliers, Math Program., 136, 111–131 [38] A D Ioffe (1979), Necessary and sufficient conditions for a local minimum 1: A reduction theorem and first order conditions, SIAM J Control Optim., 17, 245–250 [39] A D Ioffe (1979), Regular points of Lipschitz functions, Trans Amer Math Soc., 251, 61–69 [40] A D Ioffe (2000), Metric regularity and subdifferential calculus Russian Math Surveys, 55, 501–558 [41] A D Ioffe (2016), Metric regularity-A survey part I Theory, J Aust Math Soc., 101, 188–243 [42] A D Ioffe (2016), Metric regularity-A survey part II Applications, J Aust Math Soc., 101, 376–417 [43] A D Ioffe and J V Outrata (2008), On metric and calmness qualification conditions in subdifferential calculus, Set-Valued Analysis, 16, 199–227 [44] D Klatte and B Kummer (2002), Nonsmooth equations in optimization: Regularity, calculus, methods and applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 112 [45] D Klatte and B Kummer (2002), Constrained minima and Lipschitzian penalties in metric spaces, SIAM J Optim., 13, 619–633 [46] D Klatte and B Kummer (2009), Optimization methods and stability of inclusions in Banach spaces, Math Program., 117, 305–330 [47] A J King and R T Rockafellar (1992), Sensitivity analysis for nonsmooth generalized equations, Math Program., 55, 193–212 [48] A B Levy (1996), Implicit multifunction theorems for the sensitivity analysis of variational conditions, Math Program., 74, 333–350 [49] A B Levy (2001), Solution sensitivity from general principles SIAM J Control Optim., 40, 1–38 [50] A B Levy, R A Poliquin and R T Rockafellar (2000), Stability of locally optimal solutions, SIAM J Optim., 10, 580–604 [51] H V Ngai and M Théra (2001) Metric Inequality, subdifferential calculus and applications, Set-valued Analysis, 9, 187-216 [52] H V Ngai and P N Tinh (2015), Metric subregularity of multifunctions: first and second order infinitesimal characterizations, Math Oper Res., 40, 703–724 [53] L Minchenko and S Stakhovski (2011), On relaxed constant rank regularity condition in mathematical programming, Optimization, 60, 429–440 [54] B S Mordukhovich (2003), Complete characterization of openness, metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions, Trans Amer Math Soc., 340, 1–35 [55] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, II: Applications, Springer, Berlin 113 [56] B S Mordukhovich (2018), Variational Analysis and Applications, Springer International Publishing AG [57] B S Mordukhovich and T T A Nghia (2015), Second-order characterizations of tilt stability with applications to nonlinear programming, Math Program., 149, 83–104 [58] B S Mordukhovich and T T A Nghia (2014), Full Lipschitzian and Hăolderian stability in optimization with applications to mathematical programming and optimal control, SIAM J Optim., 24, 1344–1381 [59] B S Mordukhovich and J V Outrata (2012), Tilt stability in nonlinear programming under Mangasarian-Fromovitz constraint qualification, Kybernetika, 49, 446–464 [60] B S Mordukhovich, J V Outrata and H Ramírez C (2015), Second-order variational analysis in conic programming with applications to optimality and stability, SIAM J Optim., 25, 76–101 [61] B S Mordukhovich, J V Outrata and H Ramírez C (2015), Graphical derivatives and stability analysis for parameterized equilibria with conic constraints, Set-Valued Var Anal., 23, 687–704 [62] B S Mordukhovich and R T Rockafellar (2012), Second-order subdifferential calculus with applications to tilt stability in optimization, SIAM J Optim., 22, 953–986 [63] B.S Mordukhovich and M E Sarabi (2017), Critical multipliers in variational systems via second-order generalized differentiation, Math Program., 169, 605–648 [64] J.-P Penot (1989), Metric regularity, openness and Lipschitzian behavior of multifunctions, Nonlinear Anal, 13, 629–643 114 [65] R A Poliquin and R T Rockafellar (1996), Prox-regular functions in variational analysis, Trans Amer Math Soc., 348, 1805–1838 [66] R A Poliquin and R T Rockafellar (1998), Tilt stability of a local minimum, SIAM J Optim., 8, 287–299 [67] R A Poliquin, R T Rockafellar and L Thibault (2000), Local differentiability of distance functions, Trans Amer Math Soc., 352, 5231–5241 [68] L Qi and Z Wei (2000), On the constant positive linear dependence condition and its application to SQP methods, SIAM J Optim., 10, 963–981 [69] S M Robinson (1980), Strongly regular generalized equations, Math Oper Res., 5, 43–62 [70] R T Rockafellar and R J.-B Wets (1998), Variational Analysis, Springer, Berlin [71] R T Rockafellar and D Zagrodny (1997), A derivative-coderivative inclusion in second-order nonsmooth analysis, Set-Valued Analysis, 5, 89–105 [72] M Studniarski and D E Ward (1999), Weak sharp minima: Characterizations and sufficient conditions, SIAM J Control Optim., 38, 219–236 [73] L Thibault (1983), Tangent cones and quasi-interiorly tangent cones to multifunctions, Trans Amer Math Soc., 277, 601–621 [74] J J Ye (2000), Constraint qualifications and necessary optimality conditions for optimization problems with variational inequality constraints, SIAM J Optim., 10, 943–962 ... 8.38]); hàm giá trị thực mở rộng quy gần kề đồ thị quy gần kề ([65, Theorem 3.5]) Đối với ánh xạ đa trị, khái niệm quy kiểu mêtric quy mêtric, quy mêtric mạnh, quy mêtric quy mêtric mạnh có vai trị... nghĩa tính quy cho hàm giá trị thực mở rộng ánh xạ đa trị Chẳng hạn, hàm giá trị thực mở rộng quy vi phân đồ thị quy Clarke ([70, Definition 7.25]); ánh xạ đa trị quy đồ thị đồ thị quy Clarke... tích biến phân cần dùng luận án - Các tính chất quy tính quy mêtric, tính chất Aubin, tính quy mêtric mạnh, tính quy mêtric, tính tĩnh lặng, tính quy mêtric mạnh mối quan hệ chúng - Các điều kiện