Tào Quang Sơn GV Trường THCS Tây Vinh – TâySơn – Bình Đònh ĐỀ THI HSG TOÁN 9 HUYỆN TÂYSƠN(2009-2010) (Thời gian làm bài 150’) ------------------------------ Bài 1: (3đ) Tìm hai số tự nhiên chẵn biết tổng của chúng bằng 4042 và giữa chúng có 2009 số lẻ. Bài 2: (4đ) Cho a + b + c = 0. Chứng minh: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + Bài 3: (4đ) Cho 2a b+ ≥ . Chứng minh rằng: 3 3 4 4 a b a b+ ≤ + Bài 4: (5đ) a) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’ ) tiếp xúc ngoài tại A. BC là tiếp tuyến chung ngoài (B ∈ (O), C ∈ (O)) . Chứng minh BC = 2 'RR . b) Đường tròn (I; r) tiếp xúc với (O; R) ; (O’; R’) và tiếp xúc với đoạn BC tại D. Chứng minh: 1 1 1 'R R r + = . Bài 5: (4đ) Tính diện tích một tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu giữa trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7 cm . -----------Hết------------ 1 4 3 2 1 r r R' R' R R A P N M F E D O O' I B C Tào Quang Sơn GV Trường THCS Tây Vinh – TâySơn – Bình Đònh Bài giải Bài 1: (3đ) Vì giữa hai số tự nhiên chẵn có 2009 số lẻ. Suy ra có 2010 số chẵn. Gọi số thứ nhất ( số chẵn nhỏ) là n (n ∈ N). Thì: Số chẵn thứ hai là: n + 2 = n + 2 × 1. Số chẵn thứ ba là: n + 4 = n + 2 × 2. Số chẵn thứ tư là: n + 6 = n + 2 × 3. ………………………………………………………………… Số chẵn thứ 2010 là: n + 4018 = n + 2 × 2009. Theo bài ra ta có: n + n + 4018 = 4042 ==> 2n = 24 ==> n = 12( thoã điều kiện) Trả lời : Số chẵn đầu là: 12. Số chẵn thứ 2010 là: 4030. Bài 2: (4đ) Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 a b c a b c a b c ab ac bc a b c abc a b c + + = + + + + + = + + + + + = + + ÷ ÷ Vậy: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c a b c a b c + + = + + = + + ÷ Bài 3: (4đ) Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 2 3 0 2 4 b a b a b a ab b a b a b + = + − + = + + + ÷ f (vì a + b ≥ 2 , suy ra 2 2 3 0 2 4 b a b + + ÷ f ) Vậy 3 3 0a b+ f vì a + b ≥ 2 ==> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2a b a b a b a b a b a b+ + ≥ + => − + ≥ − + + Xét ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 4 3 3 4 4 3 3 4 3 4 3 2 2 2 2 2a b a b a b a b a b a a b b ab a b a ab b o+ − + ≥ + − + + = − + − = − + + ≥ ==> ( ) ( ) 4 4 3 3 2 2 0a b a b+ − + ≥ ==> 3 3 4 4 a b a b+ ≤ + Bài 4: (5đ) a) Chứng minh BC = 2 'RR : Gọi tiếp điểm của đường tròn (I) Với đường tròn (O) và đường tròn (O’) lần lượt là E và F. Kí hiệu như hình vẽ. Ta có DB, DA là tiếp tuyến (O), DA, DC là tiếp tuyến (O’). Nên ¶ ¶ ¶ ¶ 1 2 3 4 D D D D= = = 2 4 3 2 1 r r R' R' R R A P N M F E D O O' I B C 4 3 2 1 r r R' R' R R A P N M F E D O O' I B C 4 3 2 1 r r R' R' R R A P N M F E D O O' I B C 4 3 2 1 r r R' R' R R A P N M F E D O O' I B C x M H B A C Tào Quang Sơn GV Trường THCS Tây Vinh – TâySơn – Bình Đònh Mà: ¶ ¶ ¶ ¶ 1 2 3 4 180D D D D+ + + = o (do ba điểm B, D, C thẳng hàng) ==> ¶ ¶ 2 3 90D D+ = o ==> · ' 90ODO = o Xét 'ODOV vuông tại D có DA là đường cao ==> 2 ' 'DA OA O A R R= × = × ==> 'DA R R= × Mà DB = DC = DA ( vì DB, DA là tiếp tuyến (O); DA, DC là tiếp tuyến (O’)). ==> BC = 2 DA = 2 'R R× * Nhận xét độ dài đoạn tiếp tuyến chung ngoài bằng hai lần đoạn tiếp tuyến chung trong bằng hai lần trung bình nhân của hai bán kính hai đường tròn đó. b) Chứng minh: 1 1 1 'R R r + = : Ta có: BC = BD + DC ( do ba điểm B, D, C thẳng hàng) (1) Mà: BC = 2 'R R× (Cmt) Ta có BD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (I) Tương tự trên: BD = 2 R r× Ta có CD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O’) và (I) Tương tự trên: CD = 2 'R r× Thay vào (1) ta có 2 'R R× = 2 R r× + 2 'R r× . (2) Do R ≠ 0, R’ ≠ 0, r ≠ 0 ==> 'R R r× × ≠ 0. Chia hai vế (2) cho 2 'R R r× × Ta có: 1 1 1 'R R r + = . Bài 5: (4đ) Gọi AM = x (cm) ( x > 0 ) ==> BC = 2AM = 2x (cm) ==> AH = x – 7 (cm) Xét ABCV vuông tại A với AH là đường cao. Nên AB × AC = BC × AH = 2x(x – 7) Mặt khác AB 2 + AC 2 = BC 2 = 4x 2 ==> AB 2 + 2AB × AC + AC 2 = 4x 2 + 4x(x – 7) Hay: (AB + AC) 2 = 8x 2 – 28x (1) Ta lại có: AB + AC = 72 – BC = 72 – 2x ==> (AB + AC) 2 = (72 – 2x) 2 = 5184 – 288x + 4x 2 (2) Từ (1) và (2) ==> 8x 2 – 28x = 5184 – 288x + 4x 2 ==> 4x 2 + 260x – 5184 = 0 ==> x 2 + 65x – 1296 = 0 ==> (x – 16)(x + 81) = 0 ==> x – 16 = 0 ( vì x > 0 => x + 81 > 0) ==> x = 16 (thoã điều kiện) 3 Taứo Quang Sụn GV Trửụứng THCS Taõy Vinh Taõy Sụn Bỡnh ẹũnh Vaọy BC = 2 ì 16 = 32 (cm); AH = 16 7 = 9 (cm) ==> ( ) 2 1 1 9 32 144 2 2 ABC S AH BC cm= ì = ì = V ---------------Heỏt-------------- 4 . T o Quang Sơn GV Trường THCS T y Vinh – T y Sơn – Bình Đònh ĐỀ THI HSG TOÁN 9 HUYỆN T Y SƠN (20 09- 2010) (Thời gian làm bài 150’). C thẳng hàng) (1) Mà: BC = 2 'R R× (Cmt) Ta có BD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (I) T ơng t trên: BD = 2 R r× Ta có CD là tiếp