Nghiệm Yếu Của Bài Toán Biên Dirichlet Chứa Toán Tử Laplace Phân Thứ

Lời cam đoanTôi xin cam đoan luận văn "Nghiệm yếu của bài toán biênDirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ" là công trình nghiên cứukhoa học độc lập của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN THÌN

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn "Nghiệm yếu của bài toán biênDirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ" là công trình nghiên cứukhoa học độc lập của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS NguyễnVăn Thìn Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trungthực và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây

Ngoài ra, trong luận văn tôi còn sử dụng một số kết quả, nhận xétcủa các tác giả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc

Nếu phát hiện bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu tráchnhiệm về nội dung luận văn của mình

Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019

Lời cảm ơn

Để hoàn thành đề tài luận văn và kết thúc khóa học, với tình cảmchân thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới trường Đại học Sư phạmThái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi có môi trường học tập tốt trong suốtthời gian tôi học tập, nghiên cứu tại trường

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS Nguyễn Văn Thìn đã giúp đỡ tôitrong suốt quá trình nghiên cứu và trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành đềtài luận văn tốt nghiệp này Đồng thời, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy

cô trong Khoa Toán, bạn bè đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong suốtquá trình học tập và hoàn thiện luận văn tốt nghiệp này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019

Tác giả

Nguyễn Văn Tấn

Mục lục

1.1 Biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng chậm 3

1.2 Không gian Sobolev thứ 4

1.2.1 Tính chất phép nhúng 6

1.2.2 Không gian Sobolev Hs(Ω) 10

1.3 Toán tử Laplace phân thứ 10

1.3.1 Hằng số C(n, s): Một vài tính chất 13

1.3.2 Toán tử Laplace phân thứ qua biến đổi Fourier 17

2 Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ 20 2.1 Nghiệm Mountain pass cho bài toán biên Dirichlet chứa toán Laplace phân thứ 20

2.2 Sự tồn tại nhiều nghiệm cho bài toán Laplace phân thứ với độ tăng tới hạn 42

Lời mở đầu

Trong thời gian gần đây, các nhà toán học dành sự quan tâm vàonghiên cứu các toán tử không địa phương loại elliptic (bao gồm toán tửLaplacian phân thứ) trong cả nghiên cứu toán học thuần túy và toán ứngdụng trong thế giới thực Các lớp toán tử này phát sinh khá tự nhiên trongnhiều bối cảnh khác nhau như: Tối ưu hóa, toán tài chính, mặt cực tiểu, địnhluận bảo toàn, cơ học lượng tử, khoa học vật liệu, sóng nước, phản ứng hóahọc của chất lỏng, động lực học dân số, động lực học về chất lỏng địa vật lý.Toán tử Laplacian phân thứ (fractional Laplacian) cũng cung cấp một môhình đơn giản để mô tả các quá trình Lévy trong lý thuyết xác suất Toán tửLaplace phân thứ là một dạng mở rộng của toán tử Laplace, được định nghĩathông qua tích phân kỳ dị như sau: Với s ∈ (0, 1) và u ∈ L2(R)n, n > 2shàm khi đó toán tử Laplace phân thứ (−∆)su được định nghĩa bởi

Caffarelli-Silvestre [3] Như vậy khái niệm toán tử Laplace phân thứ là mộtkhái niệm toán học giàu cách tiếp cận Do đó, các bài toán nghiên cứu vềtoán tử Laplace phân thứ đã nhận được sự quan tâm lớn của các nhà toánhọc trên thế giới trong thời gian gần đây Mục đích của luận văn là nghiêncứu sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet cho toán tử Laplacephân thứ có dạng

u trong đó 2∗s = 2n

n − 2s

là số mũ tới hạn Sobolev Trong trường hợp bài toán chứa số mũ tới hạn,khó khăn gặp phải là phép nhúng X0 → L2∗s(Ω) liên tục, không compact

Chương 1

Không gian Sobolev thứ

cả hai đều là ánh xạ tuyến tính liên tục từ S(Rn) vào chính nó Hơn nữa, vì

F−1Fϕ = FF−1ϕ = ϕ,

là một phép đẳng cấu và phép đồng phôi của S(Rn) lên S(Rn)

Đặt S0 là tôpô đối ngẫu của S Nếu T ∈ S0, thì

hFT, ϕi := hT,Fϕi , ∀ϕ ∈ S,trong đó h., i là tích đối ngẫu thông thường giữa S và S0 Ta có

u ∈ L2(Rn) nếu và chỉ nếu Fu ∈ L2(Rn) (1.2)và

kukL2 (R n ) = kFukL2 (R n ), ∀u ∈ L2(Rn) (1.3)Công thức (1.3) gọi là công thức Paranchval-Plancherel

Giả sử Ω là tập không trơn, mở trong không gian Euclid Rn và p ∈[1, +∞) Cho s > 0 bất kỳ chúng ta định nghĩa không gian Sobolev thứ

ở đây và về sau ta hiểu k.kLp (Ω) là chuẩn thông thường trong Lp(Ω), và Dα

là α-đạo hàm riêng Phần này tập trung vào không gian Sobolev thứ với

Nó được trang bị chuẩn

Ws,p(Ω) := {u ∈ Wm,p(Ω) : Dαu ∈ Wσ,p(Ω) với bất kì α sao cho |α| = m}

Và được trang bị chuẩn

W0s,p(Ω) := C0∞(Ω)k.kW s,p(Ω);

Ta có thể xây dựng Ws,p(Ω) khi s < 0 Thật vậy, với s < 0 và p ∈ (0, +∞),

ta định nghĩa

Ws,p(Ω) := (W0−s,q(Ω))0;nghĩa là, Ws,p(Ω) là không gian đối ngẫu của W0−s,q(Ω), trong đó

1/p + 1/q = 1

1.2.1 Tính chất phép nhúng

Một số kết quả cơ bản của phép nhúng được phát biểu như sau:

Mệnh đề 1.2.1 Giả sử p ∈ [1, +∞) và tập mở Ω trong Rn Khi đó, cáckhẳng định sau là đúng:

(a) Nếu 0 < s ≤ s0 < 1, thì phép nhúng Ws0,p(Ω) ,→ Ws,p(Ω) là liên tục

Do đó, tồn tại hằng số C1(n, s, p) ≥ 1 sao cho

kukWs,p (Ω) ≤ C1(n, s, p)kukWs0,p (Ω), ∀u ∈ Ws0,p(Ω)

(b) Nếu 0 < s < 1 và Ω là lớp C0,1 và biên ∂Ω bị chặn, thì phép nhúng

W1,p(Ω) ,→ Ws,p(Ω) là liên tục Do đó, tồn tại hằng số C2(n, s, p) ≥ 1sao cho kukWs,p (Ω) ≤ C2(n, s, p)kukW1,p (Ω), ∀u ∈ W1,p(Ω)

(c) Nếu s0 ≥ s > 1 và Ω là lớp C0,1, thì phép nhúng Ws0,p(Ω) ,→ Ws,p(Ω)

là liên tục

Định nghĩa 1.2.2 Với mọi s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞), tập mở Ω ⊂ Rn làmiền mở rộng cho Ws,p nếu tồn tại hằng số dương C := C(n, p, s, Ω) saocho với mọi hàm u ∈ Ws,p(Ω), tồn tạiEu ∈ Ws,p(Rn) sao cho Eu(x) = u(x),

trong đó p∗s := pn

n − sp là số mũ tới hạn phân thứ Vì vậy, không gian

Ws,p(Rn) được nhúng liên tục trong Lq(Rn) với mọi q ∈ [p, p∗s] Hơn nữa,phép nhúng Ws,p(Rn) ,→ Lqloc(Rn) là compact với mọi q ∈ [p, p∗s)

Trong miền mở rộng, kết quả sau vẫn đúng

Định lý 1.2.4 Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp < n Giả

sử Ω ⊂ Rn là miền mở rộng cho Ws,p Khi đó, tồn tại hằng số dương

C := C(n, p, s, Ω) sao cho

kukLq (Ω) := CkukWs,p (Ω), ∀u ∈ Ws,p(Ω), ∀q ∈ [p, p∗s],nghĩa là, không gian Ws,p(Ω) được nhúng liên tục trong Lq(Ω) với mọi q ∈[p, p∗s] Ngoài ra, nếu Ω bị chặn thì không gian Ws,p(Ω) được nhúng compacttrong Lq(Ω) với mọi q ∈ [1, p∗s)

Định lý 1.2.5 Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp = n Khi đó, tồntại hằng số dương C := C(n, p, s) sao cho, với mọi u ∈ Ws,p(Rn),

kukLq (R n ) ≤ CkukWs,p (R n ),với mọi q ∈ [p, +∞); nghĩa là, không gian Ws,p(Rn) liên tục được nhúngtrong Lq(Rn) với mọi q ∈ [p, +∞)

Đối với miền mở rộng, ta có kết quả sau:

Định lý 1.2.6 Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp = n Giả

sử Ω ⊂ Rn là miền mở rộng cho Ws,p Khi đó, tồn tại hằng số dương

C := C(n, p, s, Ω) sao cho, với mọi u ∈ Ws,p(Ω),

Ký hiệu C0,α(Ω) là không gian các hàm liên tục H¨older, với chuẩn

kukC0,α (Ω) := kukL∞ (Ω) + sup

x,y∈Ω x6=y

|u(x) − u(y)|

|x − y|α

Định lý 1.2.7 Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp > n Cho Ω làmiền C0,1 của Rn Khi đó, tồn tại hằng số dương C := C(n, p, s, Ω) saocho, với mọi u ∈ Ws,p(Ω),

kukC0,α (Ω) ≤ CkukWs,p (Ω),với α = (sp − n)/p; nghĩa là, không gian Ws,p(Ω) liên tục được nhúng trong

C0,α(Ω)

Hệ quả 1.2.8 Cho s(0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp > n Cho Ω là một

C0,1 miền bị chặn của Rn Khi đó phép nhúng

Ws,p(Ω) ,→ C0,β(Ω)compact với mọi β < α, với α := (sp − n)/p

Chứng minh Cho {uj}j∈N là dãy bị chặn trong Ws,p Từ Định lý 1.2.7 suy

ra {uj}j∈N bị chặn trong C0,α(Ω) Do đó, tồn tại C > 0 sao cho

kujkL∞ (Ω) + sup

x,y∈Ω x6=y

|uj(x) − uj(y)|

|x − y|α ≤ C, ∀j ∈ N (1.6)

Áp dụng (1.6) và Định lý Ascoli-Arzelà ta có

uj → u∞ đều trong Ω (1.7)khi j → +∞, với u∞ ∈ C(Ω) Hơn nữa, từ (1.6) và (1.7) suy ra

|u∞(x) − u∞(y)| = lim

j→+∞|uj(x) − uj(y)| ≤ C|x − y|α, (1.8)

với mọi x, y ∈ Ω Do đó, hàm u∞ thuộc C0,α(Ω).

Chúng ta phải chứng minh uj → u∞ trong C0,β(Ω) khi j → +∞, vớimọi β < α Từ (1.7), ta có

sup

x,y∈Ω x6=y

|(uj − u∞)(x) − (uj − u∞)(y)|

khi j → +∞ Vì

kuj − u∞kL∞ (Ω) → 0 khi j → +∞,với mọi ε > 0, tồn tại jε ∈ N sao cho

kuj − u∞kL∞ (Ω) ≤ ε

2

 ε2C

β/(α−β)

, ∀j ≥ jε (1.10)Vậy, từ (1.6) và (1.8) ta có

Hơn nữa, khi 2C|x − y|α−β ≥ ε, áp dụng (1.10), với mỗi j ≥ jε, có

|(uj − u∞)(x) − (uj − u∞)(y)| ≤2kuj − u∞kL∞ (Ω)

≤ε ε2C

1.2.2 Không gian Sobolev Hs(Ω)

Trong mục này, ta trình bày trường hợp Hilbert p = 2, nghiên cứumối quan hệ giữa nó với toán tử Laplacian phân thứ Giả sử Ω là tập con

mở trong Rn và

Hs(Ω) := Ws,2(Ω),với mọi s ∈ (0, 1) Không gian Sobolev thứ là không gian Hilbert Thật vậy,tích trong trên Hs(Ω), xác định bởi

Rõ ràng, với mỗi s ∈ (0, 1), ta có

Hs(Rn) := Ws,2(Rn) = {u ∈ L2(Rn) : [u]Ws,2 (R n ) < +∞}, (1.14)trong đó [·]Ws,2 (R n ) đã định nghĩa trong (1.5)

Không gian Hs(Rn) được định nghĩa theo cách khác thông qua biếnđổi Fourier Thật vậy, ta định nghĩa

s ∈ (0, 1) trong phần tiếp theo (xem Hệ quả 1.3.6)

Các phương trình không địa phương đã thu hút nhiều sự chú ý trongnhững thập kỷ gần đây Toán tử cơ bản liên quan đến vấn đề này gọi là

toán tử Laplacian (−∆)s phân thứ với s ∈ (0, 1) Phần này trình bày địnhnghĩa toán tử này và các tính chất của nó.

Cho s ∈ (0, 1) và toán tử (−∆)s : S → L2(Rn) xác định bởi

u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)

Vậy từ (1.21)-(1.23) ta suy ra (1.19) Điều phải chứng minh

Nhận xét 1.3.2 Cho s ∈ (0, 1/2) Với mọi u ∈ S và x ∈ Rn cố định, ta có

trong đó C là hằng số dương phụ thuộc vào số chiều n và L∞-chuẩn củahàm u Vì thế, trong trường hợp s ∈ (0, 1/2), tích phân

Z

Rn

u(x) − u(y)

|x − y|n+2s dy,không là tích phân kỳ dị gần điểm x, nên nó bỏ P.V trong (1.18)

1.3.1 Hằng số C(n, s): Một vài tính chất

Ở phần này, ta nhắc lại một số tính chất của hằng số C(n, s)

Bổ đề 1.3.3 Cho s ∈ (0, 1) và C(n, s) là hằng số được xác định trong(1.17) và cho A(n, s) và B(s) như sau:

dζ0

!

dζ1

=Z

dη0

!

dζ1

=A(n, s)B(s)s(1 − s) .

Bổ đề được chứng minh

dη0 < Sn−2

π

4 +

1

1 + 2s

,

2s

.Mặt khác, ta có

2

π

2s

nếu n = 2

Mệnh đề 1.3.5 Giả sử s ∈ (0, 1) và hằng số C(n, s) như (1.17) Thì, vớimọi ξ ∈Rn, ta có

Z

Rn

1 − cos(ξ · y)

|y|n+2s dy = C(n, s)−1|ξ|2s, (1.25)Chứng minh Trước tiên, với η = (η1, , ηn), ta có

Bây giờ chúng ta định nghĩa ánh xạ J : Rn → R như sau:

J (ξ) = J (|ξ|e1), ξ ∈ Rn, (1.26)trong đó e1 là vectơ hướng đầu tiên trên không gian Rn

Với n = 1, (1.26) là tầm thường vì J là hàm lẻ Khi n ≥ 2, chúng taxét phép quay R mà R(|ξ|e1) = ξ, và ta gọi RT là chuyển vị của nó Vì thế,bằng cách thế y =e RTy, ta có

Rn

1 − cos((|ξ|e1) · (RT · y))

=Z

Rn

1 − cos((|ξ|e1) ·y)e

|y|en+2s dye

=J (|ξ|e1),nên (1.26) được chứng minh

Do đó, từ (1.26), thế ζ = |ξ|y, ta được

J (ξ) =J (|ξ|e1)

=Z

Hệ quả 1.3.6 Giả sử s ∈ (0, 1) và C(n, s) là hằng số như trong (1.17).Thì, với mọi u ∈ Hs(Rn),

[u]2Hs (R n ) = 2C(n, s)−1

Z

Rn

|ξ|2s|Fu(ξ)|2dξ (1.27)Hơn nữa, Hs(Rn) = H(b Rn)

Chứng minh Cố định y ∈ Rn Áp dụng đổi biến số z = x − y, và công thứcParseval-Plancherel đã cho trong (1.3), ta có

=Z

Rn

Z

Rn

u(z + y) − u(y)

|z|n/2+s

2

dy

!dzZ

Rn

F F

u(z + ·) − u(·)

|z|n/2+s

2

L 2 (R n )

!dz.(1.28)

=2Z

1.3.2 Toán tử Laplace phân thứ qua biến đổi Fourier

Ở đây, ta chứng minh các toán tử Laplace phân thứ (−∆)s là toán tửgiải được kí hiệu |ξ|2s

Mệnh đề 1.3.7 Cho s ∈ (0, 1) Khi đó, với mọi u ∈ S,

(−∆)su(x) = F−1(|ξ|2s(Fu)(ξ))(x), x ∈ Rn,trong đó F−1 là biến đổi Fourier ngược được định nghĩa trong (1.1)

Thế (1.25) vào (1.31), dễ thấy hàm S là dạng cần tìm Mệnh đề được chứngminh.

Các định nghĩa khác của toán tử Laplace phân thứ xét các hằng sốchuẩn hóa khác nhau Hằng số C(n, s) được chọn ở đây ((1.17)) là hằng sốđảm bảo tính tương đương của định nghĩa tích phân của (−∆)s với giá trịđược đưa ra từ biến đổi Fourier Hơn nữa, C(n, s) có các tính chất sau:

lim

s→1 −(−∆)su = −∆uvà

lim

s→0 +(−∆)su = u(xem [83, mệnh đề 4.4]) Ở đây, −∆ là các toán tử Laplace cổ điển

Cuối cùng, chúng ta có thể chứng minh mối quan hệ giữa toán tửLaplace phân thứ (−∆)s và không gian Sobolev thứ Hs(Rn)

Mệnh đề 1.3.8 Cho s ∈ (0, 1) và C(n, s) là hàm hằng như trong (1.17).Khi đó, với mọi u ∈ Hs(Rn)

[u]2Hs (R n ) = 2C(n, s)−1k(−∆)s/2uk2L2 (R n ) (1.32)Chứng minh Từ (1.3) kéo theo

k(−∆)s/2uk2L2 (R n ) = kF(−∆)s/2uk2L2 (R n ) (1.33)Mặt khác, từ Mệnh đề 1.3.7 ta có

kF(−∆)s/2uk2L2 (R n ) = k|ξ|Fuk2L2 (R n ) (1.34)Cuối cùng, từ Hệ quả 1.3.6 suy ra

k|ξ|Fuk2L2 (R n ) = 1

2C(n, s)k(−∆)

s/2uk2L2 (R n ) (1.35)

Từ (1.33)-(1.35) ta có (1.32)

Như hệ quả của công thức Paranchval-Plancherel, cũng như các Mệnh

đề 1.3.7 và 1.3.8 và Hệ quả 1.3.6, các chuẩn trong Hs(Rn) được cho bởi

Chương 2

Nghiệm yếu của bài toán biên

Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ

Dirich-let chứa toán Laplace phân thứ

Gần đây, phương trình vi tích phân chứa toán tử không địa phương

đã và đang xuất hiện trong nhiều nghiên cứu với nhiều bối cảnh khác nhau,

cả trong nghiên cứu toán thuần tuý và trong các ứng dụng thực tế cụ thể.Trong phần này, tôi quan tâm đến sự tồn tại vô số nghiệm của bài toán sau:

trong đó Ω là tập con mở, bị chặn của Rn với biên liên tục ∂Ω, n > 2s,

s ∈ (0, 1) hàm f thỏa mãn điều kiện khác nhau và LK là toán tử tích phânđược xác định bởi

trong đó hạt nhân K : Rn\{0} → (0, +∞) sao cho

mK ∈ L1(Rn), trong đó m(x) = min{|x|2, 1} (2.3)và

tồn tại θ > 0 sao cho K(x) ≥ θ|x|−(n+2s) với mọi x ∈ Rn\{0} (2.4)

Mô hình K cho bởi hạt nhân kỳ dị K(x) = |x|−(n+2s), ta nhận lại toán tửLaplace phân thứ −(−∆)s, được định nghĩa

Rn×R n

|u(x) − u(y)|2K(x − y)dxdy

− λ2Z

Ở đây, không gian X0 xác định X0 := {g ∈ X : g = 0 a.e trong Rn\Ω},trong đó không gian hàm X là không gian tuyến tính của các hàm đo được

Lebesgue từ Rn đến R sao cho hạn chế của mọi hàm g trong X từ Ω đến

L2(Ω) và ánh xạ

(x, y) 7→ (g(x) − g(y))

qK(x − y)

thuộc L2((Rn ×Rn)\(CΩ × CΩ), dxdy), với CΩ := Rn\Ω Không gian hàm

X0 được trang bị chuẩn

(u(x) − u(y))(v(x) − v(y))K(x − y)dxdy (2.9)

Không gian Sobolev phân thứ thông thường Hs(Ω) được trang bị chuẩnGagliardo, xác định bởi

Không gian X0 là khác rỗng, vì C02(Ω) ⊆ X0 và hạt nhân K thỏa mãnđiều kiện (2.3) và (2.4), bao gồm:

X0 ⊆ {g ∈ Hs(Rn) : g = 0 a.e trong Rn\Ω},trong trường hợp K(x) = |x|−(n+2s), ta có:

có dãy các giá trị riêng dương

λ1 < λ2 ≤ ≤ λk ≤ λk+1 ≤ ,các hàm riêng tương ứng được ký hiệu là ek Ta có {ek}k∈N là cơ sở trựcchuẩn trong L2(Ω) và cơ sở trực giao trong X0 Tính chất phổ của toán tử

−LK

Để chứng minh các kết quả trong phần này, chúng ta sử dụng Định lýFountain-Bartsch Điều kiện compact được giả định trong Định lý Fountain

là điều kiện Palais-Smale:

Điều kiện Palais-Smale Hàm LK,λ thỏa mãn các điều kiện chặtPalais-Smale ở cấp c ∈ R nếu có dãy {uj}j∈N trong X0 sao cho

JK,λ0 (uj) → c và sup{| hJK,λ(uj), ϕi | : ϕ ∈ X0, kϕkX0 = 1} → 0khi j → +∞, có dãy con hội tụ mạnh trong X0

Cerami giới thiệu điều kiện Cerami, như điều kiện yếu của điều kiệnPalais-Smale

Điều kiện Cerami Hàm JK,λ thỏa mãn các điều kiện chặt Cerami

ở cấp c ∈ R nếu có dãy {uj}j∈N trong X0 sao cho

JK,λ(uj) → c và (1 + kujk) sup{| JK,λ0 (uj), ϕ| : ϕ ∈ X0, kϕkX0 = 1} → 0khi j → +∞, có dãy con hội tụ mạnh trong X0

Khi f vế phải của bài toán (2.1) thỏa mãn điều kiện Rabinowitz, trong chứng minh các kết quả, ta sẽ chỉ ra hàm năng lượngtương ứng Jk,λ thỏa mãn điều kiện compact Palais-Smale, khi chúng ta bỏđiều kiện Ambrosetti-Rabinowitz (2.14) thay nó bằng (2.44) và (2.46) hoặc(2.83), ta chỉ ra rằng JK,λ thỏa mãn điều kiện Cerami

Ambrosetti-Với mọi k ∈ N chúng tôi đặt

Yk := span{e1, , ek} và Zk := span{ek, ek+1, }

Lưu ý, Yk là hữu hạn chiều nên các chuẩn trên Yk là tương đương Khi đó,các điều kiện hình học của Định lý Fountain như sau:

(i) ak := max{JK,λ(u) : u ∈ Yk, kukX0 = rk} ≤ 0,

(ii) bk := inf {JK,λ(u) : u ∈ Zk, kukX0 = γk} → ∞ khi k → ∞

Sau đây chúng tôi phát biểu và chứng minh các kết quả chính trongphần này Các kết quả trong phần này được trình bày từ [7] Trước hết, giả

sử f : Ω ×R → R là một hàm thỏa mãn các điều kiện sau:

tồn tại a1, a2 > 0 và q ∈ (2, 2∗), 2∗ = 2n/(n − 2s), sao cho

|f (x, t)| ≤ a1 + a2|t|q−1 với mọi x ∈ Ω, t ∈ R, (2.13)tồn tại µ > 2 và r > 0 sao cho với mọi x ∈ Ω, t ∈ R, |t| ≥ r,

0 < µF (x, t) ≤ tf (x, t), (2.14)Trong đó F như trong (2.7)

Điều kiện (2.14) là điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz Điều kiện nàythường xét khi xử lý các bài toán giá trị biên elliptic siêu tuyến tính Nóđảm bảo điều kiện bị chặn của dãy Palais-Smale cho hàm năng lượng liênquan đến bài toán đang xét

Điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz là điều kiện siêu tuyến tính trên phituyến tính f Thật vậy, lấy tích phân (2.14) chúng ta có

tồn tại a3, a4 > 0 sao cho F (x, t) ≥ a3|t|µ − a4 với mọi (x, t) ∈ Ω ×R;

(2.15)

Khi tìm vô số nghiệm, chúng ta cần điều kiện f lẻ theo t :

f (x, −t) = −f (x, t) với mọi x ∈ Ω, t ∈ R (2.16)Hàm f (x, t) = a(x)|t|q−2t, với a ∈ C(Ω) và q ∈ (2, 2∗)

Định lý 2.1.1 Cho s ∈ (0, 1), n > 2s và Ω là tập con mở, bị chặn của

Rn với biên liên tục Giả sử K :Rn\{0} → (0, +∞) là một hàm thỏa mãn(2.3) và (2.4) và f : Ω ×R → R là hàm thỏa mãn điều kiện (2.12)-(2.16).Khi đó, với mọi λ ∈ R bài toán (2.1) có vô số nghiệm uj ∈ X0, j ∈ N, cónăng lượng JK,λ(uj) → +∞ khi j → +∞

Chứng minh Để chứng minh Định lý 2.1.1, ta cần các kết quả sau đây

Mệnh đề 2.1.2 Cho λ ∈ R và f : Ω × R → R là hàm thỏa mãn (2.14) Khi đó JK,λ thỏa mãn điều kiện Palais-Smale với mọi cấp c ∈ R.Chứng minh Cho c ∈R và {uj}j∈N là dãy trong X0 sao cho khi j → +∞,

(2.12)-ta có

JK,λ(uj) → c, (2.17)sup{| hJK,λ(uj), ϕi | : ϕ ∈ X0, kϕkX0 = 1} → 0 (2.18)Đầu tiên, chỉ ra dãy {uj}j∈N bị chặn trong X0 và sau đó nó tồn tại dãy conhội tụ mạnh trong X0 Để chứng minh dãy {uj}j∈N bị chặn ta xét riêngtrường hợp khi λ ≤ 0 và λ > 0

Bước 1 Dãy {uj}j∈N bị chặn trong X0

Với mọi j ∈ N, từ (2.17) và (2.18) suy ra tồn tại κ > 0 sao cho

... 2

Nghiệm yếu toán biên< /h2>

Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ< /h2>

Dirich-let chứa toán Laplace phân thứ< /h3>

Gần đây, phương trình vi tích phân chứa tốn tử. .. class="page_container" data-page="21">

1.3.2 Toán tử Laplace phân thứ qua biến đổi Fourier

Ở đây, ta chứng minh toán tử Laplace phân thứ (−∆)s tốn tửgiải kí hiệu |ξ|2s... u(xem [83, mệnh đề 4.4]) Ở đây, −∆ tốn tử Laplace cổ điển

Cuối cùng, chứng minh mối quan hệ toán t? ?Laplace phân thứ (−∆)s không gian Sobolev thứ Hs(Rn)