Công thức tích phân bội

công thức tích phân bội công thức tích phân bội công thức tích phân bội công thức tích phân bội công thức tích phân bội công thức tích phân bội công thức tích phân bội công thức tích phân bội công thức tích phân bội công thức tích phân bội

TỐN 3-TG: BÙI CHÍ CƯỜNG TĨM TẮT CƠNG THỨC CHƯƠNG 13 CHƯƠNG 13: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, TRƯỜNG VECTOR TÍCH PHÂN ĐƯỜNG DẠNG 1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI ∫ 𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝑆 ℎ𝑜ặ𝑐 ∫ 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑆 𝐶 𝐶 𝑥(𝑡) Bước 1: Dựa vào phương trình đường cong C để tham số hóa: {𝑦𝑥 = ℎ𝑜ặ𝑐 = 𝑦(𝑡) 𝑥 = 𝑥(𝑡) {𝑦 = 𝑦(𝑡) 𝑧 = 𝑧(𝑡) 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑏 Bước 2: Xác định cận lấy tích phân: 𝑥 |𝑥 ; |𝑦 ; 𝑧 |𝑧 → 𝑡 | 1 𝑎 𝑏 Bước 3: Áp dụng công thức: ∫ 𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓[𝑥(𝑡); 𝑦(𝑡)]√[𝑥 ′ (𝑡)]2 + [𝑦 ′ (𝑡)]2 𝑑𝑡 𝐶 𝑎 𝑏 Hoặc ∫ 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓[𝑥 (𝑡 ); 𝑦(𝑡 ); 𝑧(𝑡)]√[𝑥 ′ (𝑡 )]2 + [𝑦 ′ (𝑡 )]2 + [𝑧 ′ (𝑡 )]2 𝑑𝑡 𝐶 𝑎 Chú ý: Khi gặp đường tròn (𝑥 − 𝑎 )2 + (𝑦 − 𝑏 )2 = 𝑟 → ta tham số hóa 𝑥 = 𝑎 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡 cách đặt { 𝑦 = 𝑏 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑏 ĐỘ DÀI CUNG: 𝐿 = ∫ 𝑑𝑠 = ∫ √[𝑥′ (𝑡)] 𝐶 2 + [𝑦′ (𝑡)] 𝑑𝑡 𝑎 TOÁN 3-TG: BÙI CHÍ CƯỜNG 𝑏 Hoặc: 2 𝐿 = ∫ 𝑑𝑠 = ∫ √[𝑥′ (𝑡)] + [𝑦′ (𝑡)] + [𝑧′ (𝑡)] 𝐶 𝑑𝑡 𝑎 DẠNG 2: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄 𝑑𝑦 ℎ𝑜ặ𝑐 ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 𝐶 𝐶 tích phân đường trường vector 𝐹 = 𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 + 𝑅𝑘 đường cong C biểu diễn phương trình tham số 𝑅 = 𝑥 (𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑧(𝑡)𝑘 Bước 1: Dựa vào phương trình đường cong C để tham số hóa: 𝑥 = 𝑥(𝑡) 𝑥 = 𝑥(𝑡) 𝑦 ℎ𝑜ặ𝑐 { = 𝑦(𝑡) { 𝑦 = 𝑦(𝑡) 𝑧 = 𝑧(𝑡) 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑏 Bước 2: Xác định cận lấy tích phân: 𝑥 |𝑥 ; |𝑦 ; 𝑧 |𝑧 → 𝑡 | 1 𝑎 𝑏 Bước 3: Áp dụng công thức: ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = ∫[𝑃 𝑥 ′ (𝑡) + 𝑄 𝑦′(𝑡)] 𝑑𝑡 𝐶 𝑎 𝑏 Hoặc ∫ 𝐹𝑑𝑅 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = ∫[𝑃 𝑥 ′ (𝑡) + 𝑄 𝑦 ′ (𝑡) + 𝑅 𝑧′(𝑡)] 𝑑𝑡 𝐶 𝐶 𝑎 Chú ý: Tính công thực lực 𝑭 = 𝑷𝒊 + 𝑸𝒋 + 𝑹𝒌 di chuyển vật theo đường cong C biểu diễn phương trình tham số 𝑹 = 𝒙(𝒕)𝒊 + 𝒚(𝒕)𝒋 + 𝒛(𝒕)𝒌 là: 𝑏 𝑊 = ∫ 𝐹𝑑𝑅 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = ∫[𝑃 𝑥 ′ (𝑡) + 𝑄 𝑦 ′ (𝑡) + 𝑅 𝑧′(𝑡)] 𝑑𝑡 𝐶 𝐶 𝑎 TỐN 3-TG: BÙI CHÍ CƯỜNG DẠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TRÊN ĐƯỜNG CONG KÍN ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄 𝑑𝑦 với C đường cong kín 𝐶 Bước 1: Tìm 𝑃𝑥 ; 𝑄𝑦 sau dựa vào miền D miền bao quanh đường cong C Bước 2: Xác định cận lấy tích phân sử dụng cơng thức tính - Chiều lấy tích phân NGƯỢC chiều kim đồng hồ: ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = + ∬(𝑄𝑥 − 𝑃𝑦 )𝑑𝐴 𝐶 - Chiều lấy tích phân CÙNG chiều kim đồng hồ: 𝐷 ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = − ∬(𝑄𝑥 − 𝑃𝑦 )𝑑𝐴 𝐶 𝐷 Chú ý: Nếu đường cong khơng kín ta bổ sung them đường thẳng dạng 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 𝒙 = 𝒄𝒚 + 𝒅 để trở thành đường cong kín sau trừ bớt phần mà ta bổ sung DẠNG 4: TÍCH PHÂN KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ĐƯỜNG ĐI ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 𝐶 có 𝑄𝑥 = 𝑄𝑦 dạng 𝐹 = 𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 với C đường cong biễu diễn 𝑅 = 𝑥 (𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑧(𝑡)𝑘 Bước 1: Tìm 𝑃𝑥 ; 𝑄𝑦 kiểm tra điều kiện 𝑄𝑥 = 𝑄𝑦 TỐN 3-TG: BÙI CHÍ CƯỜNG Bước 2: Xác định điểm đầu tương ứng với 𝑡 = 𝑡1 điểm cuối 𝑡 = 𝑡2 Bước 3: Cách 1: Vẽ đường thẳng song song với trục tung 𝑥 = 𝑎 → 𝑑𝑥 = 𝑦2 𝑥2 0; 𝑦 |𝑦 song song trục hoành 𝑦 = 𝑐 → 𝑑𝑦 = 0; 𝑥 |𝑥 để nối điểm đầu 1 điểm cuối sau tính tích phân theo đường chọn Cách 2: Sử dụng hàm 𝑓(𝑥; 𝑦) thõa mản: ′ { 𝑓𝑥 = 𝑃 → 𝑓 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦) → ( ∫ 𝑃𝑑𝑥) 𝑓𝑦 = 𝑄 + 𝑔′(𝑦) = 𝑄 → 𝑓 (𝑥; 𝑦) = ⋯ 𝑦 Sử dụng công thức để tìm tích phân: ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = ∫ 𝐹𝑑𝑅 = ∫ ∇𝑓 𝑑𝑅 = 𝑓[𝑅(𝑡2 ] − 𝑓[𝑅(𝑡1 )] 𝐶 𝐶 𝐶 TRƯỜNG VECTOR Cho trường vector 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑃(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑖 + 𝑄(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑗 + 𝑅(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑘 Độ phân kỳ trường vector: 𝐹⃗ : 𝑑𝑖𝑣𝐹⃗ = 𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 -Nếu 𝒅𝒊𝒗𝑭(𝑨) = 𝟎, ∀𝑨 ∈ 𝑫 F gọi trường ống D -Nếu 𝒅𝒊𝒗𝑭(𝑨) > 𝟎 F gọi điểm nguồn, 𝒅𝒊𝒗𝑭(𝑨) < 𝟎 F gọi điểm dò Vector xốy trường vector: ⃗𝑭⃗: 𝐶𝑢𝑟𝑙𝐹⃗ = (𝑅𝑦 − 𝑄𝑧 )𝑖⃗ + (𝑃𝑧 − 𝑅𝑥 )𝑗⃗ + (𝑄𝑥 − 𝑃𝑦 )𝑘⃗⃗ -Nếu 𝑪𝒖𝒓𝒍𝑭(𝑨) = 𝟎, ∀𝑨 ∈ 𝑫 𝐹⃗ gọi trường D TỐN 3-TG: BÙI CHÍ CƯỜNG TÍCH PHÂN MẶT DẠNG 1: S có phương trình 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) với D hình chiếu S lên Oxy (tương ứng z = 0) Bước 1: Tính 𝑧𝑥 ; 𝑧𝑦 Bước 2: Xác định hình chiếu S lên Oxy từ suy cận Bước 3: Áp dụng cơng thức tính tích phân mặt ∬ 𝑔(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑆 = ∬ 𝑔[𝑥; 𝑦; 𝑓(𝑥; 𝑦)]√1 + 𝑧𝑥2 + 𝑧𝑦2 𝑑𝐴 𝑆 𝐷 Chú ý: Diện tích mặt cong S: 𝐴𝑆 = ∬ 𝑑𝑆 = ∬ √1 + 𝑧𝑥2 + 𝑧𝑦2 𝑑𝐴 𝑆 𝑅 Nếu D miền có dạng hình tròn Ellipse ta đổi biến hệ tọa độ cực DẠNG 2: S có phương trình 𝑅(𝑢; 𝑣 ) = 𝑥 (𝑢; 𝑣 )𝑖 + 𝑦(𝑢; 𝑣 )𝑗 + 𝑧(𝑢; 𝑣 )𝑘 ∈ 𝐷 Bước 1: Tính 𝑅𝑢 , 𝑅𝑣 → 𝑅𝑢 × 𝑅𝑣 → ‖𝑅𝑢 × 𝑅𝑣 ‖ Bước 2: Xác định hình chiếu S lên Oxy từ suy cận Bước 3: Áp dụng cơng thức tính tích phân mặt: ∬ 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑆 = ∬ 𝑓(𝑅)‖𝑅𝑢 × 𝑅𝑣 ‖ 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝑆 Chú ý: Diện tích mặt cong S: 𝐷 𝐴𝑆 = ∬‖𝑅𝑢 × 𝑅𝑣 ‖𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐷 TỐN 3-TG: BÙI CHÍ CƯỜNG DẠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT CỦA TRƯỜNG VECTOR 𝐹 (𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 + 𝑅𝑘, D hình chiếu S lên Oxy Chú ý: Nếu P, Q, R có chứa z ta 𝒛 = 𝒇(𝒙; 𝒚) từ đề vào đề để tính tốn Nếu S định hướng 𝐹𝑙𝑢𝑥 = ∬ 𝐹 𝑁𝑑𝑠 = ∬〈𝑃; 𝑄; 𝑅〉 〈−𝑧 ; −𝑧 ; 1〉𝑑𝐴 𝑥 𝑦 lên (ra ngoài) 𝑆: 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) với D 𝑆 𝐷 hình chiếu S lên Oxy Nếu S định hướng 𝐹𝑙𝑢𝑥 = ∬ 𝐹 𝑁𝑑𝑠 = ∬〈𝑃; 𝑄; 𝑅〉 〈𝑧 ; 𝑧 ; 1〉𝑑𝐴 𝑥 𝑦 xuống (vào trong) 𝑆 𝐷 𝐹𝑙𝑢𝑥 = ∬ 𝐹 𝑁𝑑𝑠 = ∬〈𝑃; 𝑄; 𝑅〉 (𝑅𝑢 × 𝑅𝑣 )𝑑𝐴 𝑆: 𝑅(𝑢; 𝑣) = 𝑥(𝑢; 𝑣)𝑖 + 𝑦(𝑢; 𝑣)𝑗 + 𝑧(𝑢; 𝑣)𝑘; (𝑢; 𝑣) ∈ 𝐷 𝑆 𝐷 ĐỊNH LÝ ĐỘ PHÂN KỲ (Áp dụng cho S mặt cong kín) Vector pháp tuyến đơn vị có hướng ngồi S 𝐹𝑙𝑢𝑥 = ∬ 𝐹 𝑁𝑑𝑠 = + ∭ 𝑑𝑖𝑣𝐹𝑑𝑣 Vector pháp tuyến đơn vị có hướng vào S 𝐹𝑙𝑢𝑥 = ∬ 𝐹 𝑁𝑑𝑠 = − ∭ 𝑑𝑖𝑣𝐹𝑑𝑣 𝑆 𝐷 𝑆 𝐷 Chú ý: Nếu mặt cong S mặt chưa kín ta bổ sung them vào mặt 𝑺𝟎 : 𝒛 = ⋯ đơn giản theo chiều hợp lý với S để tạo thành mặt 𝒔 ∪ 𝒔𝟎 kín để áp dụng định lý độ phân kỳ sau trừ phần mặt 𝑺𝟎 bổ sung vào: 𝐹𝑙𝑢𝑥 = ∬ 𝐹 𝑁𝑑𝑠 = ∬ 𝐹 𝑁𝑑𝑠 − ∬ 𝐹𝑑𝑆 𝑆 𝑆∪𝑆0 𝑆0 ... cuối sau tính tích phân theo đường chọn Cách 2: Sử dụng hàm