SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 Mơn thi: Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 08/06/2018 Đề thi có: 01 trang gồm 05 câu Câu I: (2,0 điểm) Giải phương trình: x + x + = 2 x − y = −6 Giải hệ phương trình: 5 x + y = 20 Câu II: (2,0 điểm) x +1 x x : + ÷, với x > x+4 x +4 x+2 x x +2 Rút gọn biểu thức A Tìm tất giá trị x để A ≥ x Câu III: (2,0 điểm) Cho đường thẳng ( d ) : y = ax + b Tìm a, b để đường thẳng ( d ) song song với Cho biểu thức A = đường thẳng ( d ') : y = x + qua điểm A ( 1; −1) Cho phương trình x − (m − 2) x − = ( m tham số) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với m Tìm m để nghiệm thỏa mãn hệ thức x12 + 2018 − x1 = x22 + 2018 + x2 Câu IV: (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = R Gọi d1 d tiếp tuyến đường tròn (O) A B , I trung điểm đoạn thẳng OA , E điểm thay đổi đường tròn (O) cho E khơng trùng với A B Đường thẳng d qua E vuông góc với đường thẳng EI cắt d1 , d M , N Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp Chứng minh IB.NE = 3.IE.NB Khi điểm E thay đổi, chứng minh tích AM BN có giá trị khơng đổi tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác MNI theo R Câu V: (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 1 + ≥ 30 2 a +b +c abc Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Hướng dẫn chấm gồm có: 03 trang Hướng dẫn chung: Nếu học sinh giải cách khác với cách nêu HDC này, mà đúng, điểm tối đa phần (câu) tương ứng Câu Ý NỘI DUNG Giải phương trình: x + x + = Ta thấy phương trình có hệ số thỏa mãn a − b + c = − + = (1,0đ) Do phương trình có hai nghiệm x = −1 ; x = −7 x − y = −6 Giải hệ phương trình: 5 x + y = 20 Điểm I (2,0đ) Hệ tương đương với (1,0đ) 7 x = 14 x = ⇔ 5 x + y = 20 5 x + y = 20 x = x = ⇔ ⇔ 10 + y = 20 y = 10 Rút gọn biểu thức A = 0,5 0,5 0,5 0,5 x +1 x x : + ÷, với x > x+4 x +4 x+2 x x +2 x +1 x x : + ÷ x+4 x +4 x+2 x x +2 x +1 x x = : + ÷ ( x + 2) x ( x + 2) x +2 x +1 x x = : + ÷ ( x + 2) x + x +2÷ Ta có: A = (1,0đ) x +1 x ( x + 1) : ( x + 2) x +2 = x ( x + 2) = II (2,0đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 Tìm tất giá trị x để A ≥ x x > ; x + > x ( x + 2) 1 ≥ Khi A ≥ x ⇔ x x +2 x ⇔ x +2≤3 Với x > ta có A = (1,0đ) III (2,0đ) (1,0đ) ( 0,5 ) 0,25 ⇔ x ≤1 ⇔ x ≤1 Kết hợp với điều kiện ta được: < x ≤ 0,25 Cho đường thẳng ( d ) : y = ax + b Tìm a, b để đường thẳng ( d ) song song với đường thẳng ( d ') : y = x + qua điểm A ( 1; −1) Đường thẳng ( d ) : y = ax + b song song với đường thẳng ( d ') : y = x + nên ta a = có b ≠ 0,5 Khi ( d ) : y = x + b qua điểm A ( 1; −1) nên: 0,5 −1 = 2.1 + b ⇔ b = −3 (thỏa mãn điều kiện b ≠ ) Vậy a = , b = −3 Cho phương trình x − (m − 2) x − = ( m tham số) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với m Tìm m để nghiệm thỏa mãn hệ thức: x12 + 2018 − x1 = x22 + 2018 + x2 Ta có ∆ = (m − 2) + 12 > 0, ∀m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m (Lưu ý: Học sinh nhận xét ac = −3 < để suy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt, trái dấu với m ) Ta có: (1,0đ) x12 + 2018 − x1 = x22 + 2018 + x2 ⇔ x12 + 2018 − x22 + 2018 = x2 + x1 x12 − x22 ⇔ x12 + 2018 + x22 + 2018 x12 + 2018 > x1 ; 0,25 = x2 + x1 (1) x1 + x2 = ⇔ 2 x1 + 2018 + x2 + 2018 = x1 − x2 (2) Theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = m − Khi đó: (1) ⇔ m − = ⇔ m = (2) không xảy Thật vậy: Do 0,25 x22 + 2018 > x2 suy 0,25 0,25 x + 2018 + x + 2018 > x1 + x2 ≥ x1 − x2 Vậy m = IV (3,0đ) 2 Cho đường tròn tâm O , đường kính AB = R Gọi d1 d tiếp tuyến đường tròn (O) A B , I trung điểm đoạn thẳng OA , E điểm thay đổi đường tròn (O) cho E khơng trùng với A B Đường thẳng d qua E vng góc với đường thẳng EI cắt d1 , d M , N Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp (1,0đ) MAI · · = MEI = 900 · · Suy MAI + MEI = 1800 Vậy AMEI nội tiếp 0,5 0,5 Chứng minh IB.NE = 3.IE.NB · · · +) EAI (cùng phụ với EBA ) = EBN 0,5 · · +) ·AEI = BEN (cùng phụ với IEB ) Suy ∆IAE : ∆NBE (1,0đ) ⇒ IA = NB ⇒ IA.NE = IE.NB 0,25 IE NE IB ⇒ NE = IE.NB ⇒ IB.NE = 3IE.NB (đpcm) 0,25 Khi điểm E thay đổi, chứng minh tích AM BN có giá trị khơng đổi tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác MNI theo R Do tứ giác AMEI nội tiếp nên ·AMI = ·AEI (1) · · Tương tự ta có tứ giác BNEI nên BIN (2) = BEN 0,25 · Theo ta có ·AEI = BEN (3) · Từ (1), (2), (3) suy ·AMI = BIN (4) Do tam giác AMI BIN vuông A B , suy ∆AMI : ∆BIN AM AI = ⇒ AM BN = AI BI không đổi Suy ra: BI BN (1,0đ) 0,25 · · Từ (4) ta có: BIN + ·AIM = ·AMI + ·AIM = 900 ⇒ MIN = 900 hay ∆MNI vuông 1 AM + AI BN + BI I Khi đó: S ∆MNI = IM IN = 2 R 3R 3R ≥ AM AI BN BI = AM BN AI BI = AI BI = = 2 0,25 3R 0,25 1 + ≥ 30 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 2 a + b + c abc Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 1 = a + b + c ≥ 3 abc > 0,25 ⇒ ab + bc + ca ≥ 9abc > ⇒ ≥ abc ab + bc + ca ab + bc + ca ≥ 3 ( abc ) > Dấu “=” xảy AM = AI , BN = BI Vậy S ∆MNI đạt GTNN 1 + ≥ + = 2 2 a + b + c abc a + b + c ab + bc + ca 1 = + + + ( 1) 2 a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca 1 Áp dụng bất đẳng thức + + ≥ với x, y , z > ta x y z x+ y+z (1,0đ) 1 + + ≥ 2 2 2 a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca a + b + c + ( ab + bc + ca ) = =9 ( 2) ( a + b + c) Khi đó: V (1,0đ) Lại có = ( a + b + c ) = a + b + c + ( ab + bc + ca ) ≥ ( ab + bc + ca ) 1 + ≥ + 7.3 = 30 2 a + b + c abc Dấu “=” xảy a = b = c = Thay ( ) , ( 3) vào ( 1) ta ( 3) 0,25 0,25 0,25 Hết -4 ... tương đương với (1,0đ) 7 x = 14 x = ⇔ 5 x + y = 20 5 x + y = 20 x = x = ⇔ ⇔ 10 + y = 20 y = 10 Rút gọn biểu thức A = 0,5 0,5 0,5 0,5 x +1 x x : + ÷, với x > x+4 x +4 x+2 x...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Hướng dẫn chấm gồm có: 03 trang... ) ≥ ( ab + bc + ca ) 1 + ≥ + 7.3 = 30 2 a + b + c abc Dấu “=” xảy a = b = c = Thay ( ) , ( 3) vào ( 1) ta ( 3) 0,25 0,25 0,25 Hết -4