SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐƠN Năm học 2018 - 2019 Mơn thi: TỐN (KHƠNG CHUN) Ngày thi: 05/6/2018 (Thời gian: 120 phút - khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài 1: (2,00 điểm) a) Giải phương trình 2x −1 x + + +5 = x2 − − x b) Hai người xây tường Sau làm giờ, người thứ nghỉ, người thứ hai tiếp tục xây thêm hồn thành tường Hỏi từ đầu người xây sau tường hoàn thành, biết người thứ xây tường nhanh người thứ hai ? Bài 2: (2,00 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( P) có phương trình y = x đường thẳng (d ) có phương trình y = 2( m − 1) x + m + (với m tham số) a) Chứng minh (d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt với giá trị m b) Tìm giá trị m để (d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 − = Bài 3: (2,00 điểm) 1 + + + 1+ 2+ 2017 + 2018 1 + + + > 2018 − b) Chứng minh + 2017 a) Rút gọn biểu thức A = ( ) Bài 4: (4,00 điểm) Cho đường tròn ( O; R ) dây cung AB không qua O Từ điểm M nằm tia đối tia BA ( M không trùng với B ), kẻ hai tiếp tuyến MC , MD với đường tròn ( O; R ) ( C , D tiếp điểm) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB a) Chứng minh điểm M , D, H , O thuộc đường tròn b) Đoạn thẳng OM cắt đường tròn ( O; R ) điểm I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD c) Đường thẳng qua O vng góc với OM cắt tia MC , MD E F Xác định hình dạng tứ giác MCOD để diện tích tam giác MEF nhỏ M di động tia đối tia BA HẾT - Đề thi có 01 trang; - Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: SBD: /Phòng: Giám thị 1: Giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN LÊ Q ĐƠN MƠN: TỐN (KHƠNG CHUN) NĂM HỌC 2018 – 2019 - Hướng dẫn chấm có 03 trang; - Các cách giải khác đúng, cho điểm tối đa phần tương ứng Bài Đáp án 2x −1 x + + +5 = a) Giải phương trình x −4 2− x Điều kiện: x ≠ ±2 Phương trình cho trở thành x − − ( x + 3) ( x + ) + ( x − ) = x = ⇔ x − 3x − 27 = ⇔ x = − Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình x = − , x = b) Hai người xây tường, sau làm người thứ nghỉ, người thứ hai tiếp tục xây thêm hồn thành tường Hỏi từ đầu người xây sau tường hoàn thành, biết người thứ Bài xây tường nhanh người thứ hai ? (2,0đ) Gọi x (giờ) thời gian người thứ xây xong tường Gọi y (giờ) thời gian người thứ hai xây xong tường ( x > 0, y > ) 1 Trong người thứ hồn thành cơng việc, người thứ hai hồn thành cơng việc y x 12 y = x + y = x + + =1 ⇔ 12 ⇔ Theo giả thiết ta có x y + = x − 10 x − 24 = y − x = x x + Bài (2,0đ) y = x + ⇔ x = 12 Kết hợp với điều kiện ta có x = 12, y = 18 x = −2 Vậy người xây người thứ hoàn thành sau 12 giờ, người thứ hai hoàn thành sau 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) có phương trình y = x đường thẳng ( d ) có phương trình y = 2(m − 1) x + m + (với m tham số) Điểm 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 a) Chứng minh ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt Phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) : x = ( m − 1) x + m + ⇔ x − ( m − 1) x − m − = (1) 0,25 Ta có ∆ ' = (m − 1) − (− m − 1) = m − m + 0,25 Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm ( d ) ( P ) 1 Ta có m − m + = m − ÷ + > với giá trị m 2 Suy ∆ ' > với giá trị m phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m hay ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt b) Tìm giá trị m để ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 − = Theo câu a), ta có x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) nên theo Viet: 0,25 0,25 1,0 0,25 Bài Đáp án Điểm x1 + x2 = ( m − 1) = 2m − x1 x2 = −m − x1 + x2 = 2m − (2) Kết hợp giả thiết ta có x1 x2 = −m − (3) x + x − = (4) Từ (2) (4), tính x1 = 3m − 7; x2 = −m + 0,25 0,25 m = Thay vào (3), tính (5 − m)(3m − 7) = −m − ⇔ 3m − 23m + 34 = ⇔ m = 17 17 Vậy m = 2; m = thỏa mãn đề 1 + + + a) Rút gọn biểu thức A = 1+ 2+ 2017 + 2018 1 = − 1; = − 2; ; = 2018 − 2017 Ta có: 1+ 2+ 2017 + 2018 Vậy A = − + − + + 2017 − 2016 + 2018 − 2017 = 2018 − b) Chứng minh + Bài (2,0đ) ( ( ) 1,0 0,5 0,5 ) 2018 − 1 1 1 + + + + + + Ta có B = + 2017 2 2 1 1 1 > ; = > ; ; > Nhận xét: = 1+1 1+ 2 2+ 2+ 2017 1 1 1 + + + > + + + Suy + 2 2 2017 + 2+ 2017 + Đặt B = + Vậy B > Bài (4,0đ) 1 + + + >2 2017 0,25 1,0 ÷ 2017 2017 + 2018 2018 =A 2018 − Cho đường tròn ( O; R ) dây cung AB không qua O Từ điểm M nằm tia đối tia BA ( M không trùng với B ), kẻ hai tiếp tuyến MC , MD với đường tròn ( O; R ) ( C , D tiếp điểm) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB d) Chứng minh điểm M , D, H , O thuộc đường tròn · Vì H trung điểm AB nên OH ⊥ AB ⇒ OHM = 900 (5) · Lại có OD ⊥ MD (tính chất tiếp tuyến ) ODM = 900 (6) Từ (5) (6), suy điểm M, D, H, O thuộc đường tròn đường kính MO b) Đoạn thẳng OM cắt đường tròn ( O; R ) điểm I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5 0,75 0,75 1,5 Bài Đáp án MC = MD · · ⇒ OM đường phân giác CMD Vì COD OC = OD » (7) Do OM cắt ( O; R ) I nên I trung điểm cung nhỏ CD ¼ · ¼ · = sđ DI Lại có ICD ; MCI = sđ CI (8) 2 · Từ(7) (8) suy IC đường phân giác MCD Tam giác MCD có I giao điểm hai đường phân giác nên I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD c) Đường thẳng qua O vng góc với OM cắt tia MC , MD E F Xác định hình dạng tứ giác MCOD để diện tích tam giác MEF nhỏ M di động tia đối tia BA Vì CD // EF ( vng góc với OM) nên tam giác MCD đồng dạng với tam giác MEF Mà ∆MCD cân M ⇒ ∆MEF cân M S ∆MEF = S∆OM F = OD.MF Mà OD = R (không đổi) nên S ∆MEF nhỏ MF nhỏ Điểm 0,5 0,5 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 Ta có MF = MD + DF ≥ MD.DF = 2OD = R , Dấu đẳng thức xảy MD = DF ⇒ ∆MOF vuông cân O ⇒ OM = OD = R Khi S ∆MEF đạt giá trị nhỏ 2R 0,25 Khi tứ giác MCOD hình vng cạnh R 0,25 - HẾT - ...HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ Q ĐƠN MƠN: TỐN (KHƠNG CHUN) NĂM HỌC 2018 – 2019 - Hướng dẫn chấm có 03 trang;... thành cơng việc y x 12 y = x + y = x + + =1 ⇔ 12 ⇔ Theo giả thiết ta có x y + = x − 10 x − 24 = y − x = x x + Bài (2,0đ) y = x + ⇔ x = 12 Kết hợp với điều kiện ta có... x1 x2 = −m − (3) x + x − = (4) Từ (2) (4), tính x1 = 3m − 7; x2 = −m + 0,25 0,25 m = Thay vào (3), tính (5 − m)(3m − 7) = −m − ⇔ 3m − 23m + 34 = ⇔ m = 17 17 Vậy m = 2; m = thỏa mãn