Câu [2H2-3.5-3] (HSG 12 Bắc Giang) Cho hình chóp S ABC có SA , SB , SC đơi vng góc SA SB SC a Tính bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABC (mặt cầu nội tiếp hình chóp mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình chóp có tâm nằm hình chóp) a a a a r r r r 3 A B C D Lời giải Tác giả:Vũ Thị Thanh Huyền; Fb: Vu Thi Thanh Huyen Chọn C Cách 1: Đào Văn Tiến Do SA , SB , SC đơi vng góc SA SB SC a nên AB BC CA a � SOAB SOAC SOBC a2 a S ABC , Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABC , ta có: VOABC VIOAB VIOBC VIOAC VIABC �r � 1 OA.OB.OC r SOAB SOBC SOAC S ABC a 3 Vậy bán kính mặt cầu cần tìm r a 3 Cách 2: S E K H O A C P I M N B Do SA , SB , SC đơi vng góc SA SB SC a nên AB BC CA a Suy ABC tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC tâm đường tròn nội tiếp ABC SAB , SBC , SAC Thật vậy: Nhận thấy: Mọi điểm nằm SI cách ba mặt Lấy điểm O tùy ý thuộc SI Gọi M , N , P trung điểm AB , BC , CA Vẽ OH , OK , OE vng góc với SM , SN , SP H �SM , K �SN , E �SP a a a IM IN IP , 6 Ta có: � NSI � PSI � � SOH SOK SOE � SIM SIN SIP c c c � MSI (cạnh SM SN SP huyền – góc nhọn) � OH OK OE 1 �BC SI � � BC SAN � BC OK � OK SBC Do �BC AN Mà OK SN Tương tự: Từ OH SAB OE SAC 3 , 1 , , 3 SAB , SBC , SAC suy O cách ba mặt Gọi O tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABC O cách tất mặt hình chóp S ABC Suy O thuộc SI bán kính mặt cầu cần tìm r OK Để O cách tất mặt hình chóp S ABC OI OK Suy NO đường phân � a a OI NI OI NI SI SN IN NS � , , OS NS IS NI NS với a giác SIN a � OI NI 3 Vậy r OI a 3 Cách 3: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O �S , tia Ox tia OA , tia Oy tia OB , tia Oz tia OC Khi đó: A a ; 0;0 , B 0; a;0 , C 0;0; a SAB : z , SBC : x , SAC : y , Phương trình mặt phẳng là: x y z ABC : � x y z a a a a Gọi điểm I x; y; z tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABC Do I nằm hình chóp S ABC nên x a , y a , z a Ta có: d I ; SAB d I ; SBC d I ; SAC d I ; ABC r �zxy Mặt khác: x y z a r �r a 1 3� d I ; ABC d S ; ABC 1 1 a d S ; ABC SA2 SB SC a Từ 1 2 suy a 3 r Vậy bán kính mặt cầu cần tìm Câu r a 3 SA ABC [2H2-3.5-3] (Cụm trường Chuyên Lần 1) Cho hình chóp S ABC có , SA a � ACB 300 Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC a Tính độ dài cạnh AB a a a AB AB AB AB a A C D B Lời giải Tác giả:Trần Quốc Khang Fb:Bi Trần Chọn C Cách 1: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC M trung điểm SA SAO , dựng đường thẳng d qua O , d // SA đường trung trực Mx SA Mx Trong mp SA ABC � d ABC cắt d I Vì mà d qua O nên đường thẳng d trục đường tròn ngoại tiếp ABC �I �d �IA IB IC �� � � IS IA IB IC Ta có �I �Mx �IS IA � I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Theo giả thiết ta có SI R a ) � ) � MI OA R1 R Tứ giác OAMI có O M A 90�nên OAMI hình chữ nhật , với bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC 2a a SA2 2 SI SM MI R1 � R1 a SMI vuông M : AB a a R1 � AB .s in30� � 2 ABC có sin ACB 2 Cách 2: Áp dụng cơng thức tính bán kính Rc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC trường hợp SA ABC , ta có: Rc 1 ta có tam giác ABC Từ SA � Rđáy � � � 1 R �2 � với đáy bán kính đường tròn ngoại tiếp Rđáy Rc 2 2a a �SA � � � a �2 � � a a AB Rđáy sin ACB sin 300 2 Suy Câu [2H2-3.5-3] (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Cho tứ diện ABCD có CD a , ABC tam BCD vng góc với mặt phẳng ABD giác cạnh a , ACD vng A Mặt phẳng Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 4 a a3 a3 A B C 4 a D Lờigiải Tácgiả: Lê Cảnh Dương; FB: Cảnh Dương Lê Chọn A Tam giác ACD vng A có AC a, CD a � AD a , suy tam giác ABD cân A ABD BCD � AH BCD Gọi H trung điểm BD , AH BD Mặt khác � AHC AHD � HC HD HB BD � BCD vuông C � BD a , đồng thời a AH AH trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Khi đó, IA IB ID I �AH � IB IC ID Suy IA IB IC ID Do I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bán kính R IA đồng thời bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD AB AD.BD a.a.a R a 4 a a S ABD Vk / c 2.a 3 Ta có Vậy