HH c3 goc

Chương 33 CHUN ĐỀ GĨC Câu 1: Góc hai đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = ∆ : a2 x + b2 y + c2 = xác định theo công thức: a1a2 + b1b2 a1a2 + b1b2 A cos ( ∆1 , ∆ ) = B cos ( ∆1 , ∆ ) = 2 2 a1 + b1 a2 + b2 a1 + b12 a22 + b22 a1a2 + b1b2 C cos ( ∆1 , ∆ ) = a +b + a +b 2 2 D cos ( ∆1 , ∆ ) = a1a2 + b1b2 + c1c2 a + b2 Lời giải Chọn C cos ( ∆1 , ∆ ) r r n ∆1 n ∆2 r r a1a2 + b1b2 = cos n ∆1 , n ∆ = r r = n ∆1 n ∆ a12 + b12 + a12 + b12 ( ) x = + t Câu 2: Tìm cơsin góc đường thẳng ∆1 : 10 x + y − = ∆ :   y = 1− t A 10 B 10 10 C 10 10 Lời giải Chọn C Véctơ pháp tuyến ur uu r cos ( ∆1 , ∆ ) =| cos n1 , n2 |= ( ) D ur uu r ∆1 ,  ∆  lần lượt n1 (2;1), n2 (1;1) uur uuu r | n1.n2 | uur uuu r= | n1 | | n2 | 10 Câu 3: Tìm cơsin góc đường thẳng ∆1 : x + y − = ∆ : x − y = A 10 10 B C Lời giải Chọn A Véctơ pháp tuyến ur uu r cos ( ∆1 , ∆ ) =| cos n1 , n2 |= ( ) D ur uu r ∆1 ,  ∆  lần lượt n1 (1; 2), n2 (1; −1) uur uuu r | n1.n2 | 10 uur uuu r= = 10 | n1 | | n2 | 10 Câu 4: Tìm cơsin đường thẳng ∆1 : x + y − 10 = ∆ : x − y + = A B C 13 D 13 13 13 Lời giải Chọn D ur uu r Véctơ pháp tuyến ∆1 ,  ∆  lần lượt n1 (2;3), n2 (2; −3) uur uuu r ur uu r | n1.n2 | r= cos ( ∆1 , ∆ ) =| cos n1 , n2 |= uur uuu | n1 | | n2 | 13 ( ) Câu 5: Tìm góc đường thẳng ∆1 : x + y + = ∆ : y − = A 60° B 125° C 145° D 30° Lời giải Trang 1/16 Chọn D Véctơ pháp tuyến ur uu r cos ( ∆1 , ∆ ) =| cos n1 , n2 |= ( ) ur uu r ∆1 ,  ∆  lần lượt n1 (1; 3), n2 (0;1) uur uuu r | n1.n2 | uur uuu r= ⇒ ( ∆1 , ∆ ) = 30° | n1 | | n2 | Câu 6: Tìm góc hai đường thẳng ∆1 : x + y = ∆ : x + 10 = A 45° B 125° C 30° D 60° Lời giải Chọn D ur uu r Véctơ pháp tuyến ∆1 ,  ∆  lần lượt n1 (1; 3), n2 (1;0) uur uuu r ur uu r | n1.n2 | r = ⇒ ( ∆1 , ∆ ) = 60° cos ( ∆1 , ∆ ) =| cos n1 , n2 |= uur uuu | n1 | | n2 | ( ) Câu 7: Tìm góc đường thẳng ∆1 : x − y − 10 = ∆ : x − y + = A 60° B 0° C 90° D 45° Lời giải Chọn D ur uu r Véctơ pháp tuyến ∆1 ,  ∆  lần lượt n1 (2; −1), n2 (1; −3) uur uuu r ur uu r | n1.n2 | r= cos ( ∆1 , ∆ ) =| cos n1 , n2 |= uur uuu ⇒ ( ∆1 , ∆ ) = 45° | n1 | | n2 | ( ) Câu 8: Tìm cơsin góc đường thẳng ∆1 : x + y − = ∆ : x − y + = 3 A B C D 5 5 Lời giải Chọn A ur uu r Véctơ pháp tuyến ∆1 ,  ∆  lần lượt n1 (1; 2), n2 (2; −4) uur uuu r ur uu r | n1.n2 | r= cos ( ∆1 , ∆ ) =| cos n1 , n2 |= uur uuu | n1 | | n2 | ( ) Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng ∆1 : x + y − = ∆ : x − y + = Tính góc tạo ∆1 ∆ A 30° B 135° C 45° D 60° Lời giải Chọn C r r n ∆1 nΔ2 r r ( ∆1 ,Δ ) = cos n∆1, nΔ2 = r r = ⇒ ( ∆1 ,Δ ) = 45 ° n ∆1 n Δ2 ( ) Câu 10: Cho hai đường thẳng d1 : x + y + = 0; d : x − y + = Số đo góc d1 d A 30° B 60° C 45° D 90° Lời giải Chọn D r Véctơ pháp tuyến đường thẳng d1 n1 = ( 1; ) r Véctơ pháp tuyến đường thẳng d n = ( 2; −1) r r Ta có n1.n = ⇒ d1 ⊥ d  x = 10 − 6t Tìm góc đường thẳng ∆1 : x − y + 15 = ∆ :   y = + 5t A 90° B 60° C 0° D 45° Câu 11: Trang 2/16 Lời giải Chọn A ur Vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆1 n1 = (6; −5) uu r Vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ n2 = (5;6) ur uu r Ta có n1.n2 = ⇒ ∆1 ⊥ ∆ Câu 12: A  x = 15 + 12t Tìm cơsin góc đường thẳng ∆1 : x + y + = ∆ :   y = + 5t 56 65 B 63 13 C 65 Lời giải D 33 65 Chọn D ur Vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆1 n1 = (3; 4) uu r Vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ n2 = (5; −12) ur uu r n1.n2 33 r = Gọi ϕ góc gữa ∆1 , ∆ ⇒ cos ϕ = ur uu n1 n2 65 Câu 13: Cho đoạn thẳng AB với A ( 1; ) , B(−3; 4) đường thẳng d : x − y + m = Định m để d đoạn thẳng AB có điểm chung A 10 ≤ m ≤ 40 B m > 40 m < 10 C m > 40 D m < 10 Lời giải Chọn A Đường thẳng d đoạn thẳng AB có điểm chung ⇔ A, B nằm hai phía đường thẳng d ⇔ (4 − 14 + m)(−12 − 28 + m) ≤ ⇔ 10 ≤ m ≤ 40 Câu 14: Cặp đường thẳng phân giác góc hợp đường thẳng ∆ : x + y = trục hoành Ox ? A (1 + 2) x + y = ; x − (1 − 2) y = B (1 + 2) x + y = ; x + (1 − 2) y = C (1 + 2) x − y = ; x + (1 − 2) y = D x + (1 + 2) y = ; x + (1 − 2) y = Lời giải Chọn D Gọi M ( x; y ) điểm thuộc đường phân giác ⇒ d ( M , ∆) = d ( M , Ox) x+ y ⇒ = y ⇒ x + (1 ± 2) y = x = + t Câu 15: Cho đường thẳng d  :  điểm A ( ; ) , B( −2 ; m) Định m để A  y = − 3t B nằm phía d A m < 13 B m ≥ 13 C m > 13 D m = 13 Lời giải Chọn A Phương trình tổng quát đường thẳng d : 3( x − 2) + 1( y − 1) = hay d : 3x + y − = A, B phía với d ⇔ (3 x A + y A − 7)(3xB + yB − 7) > ⇔ −2(−13 + m) > ⇔ m < 13 Trang 3/16 Câu 16: Cặp đường thẳng phân giác góc hợp đường thẳng ∆1 : x + y − = ∆ : x − y + = A x + y = x − y = B x + y = x + y − = C x + y = − x + y − = D x + y + = x − y − = Lời giải Chọn C Gọi M ( x; y ) điểm thuộc đường phân giác ⇒ d ( M , ∆1 ) = d ( M , ∆ ) − x + y − = ⇒ x + y − = ± ( x − y + 3) ⇒  5 3 x + y = 17: Cho hai đường thẳng d1 : x − y − = 0; d : 3x − y + 17 = Số đo góc d1 d π π 3π π A B C − D − 4 Lời giải Chọn A π cos ( d1 , d ) = ⇒ ( d1 , d ) = 18: Cho đường thẳng d : x + y − = điểm A ( 1;3) , B ( 2; m ) Định m để A B nằm phía d 1 A m < B m > − C m > −1 D m = − 4 Lời giải Chọn B A, B nằm hai phía đường thẳng d ⇔ (3 + 12 − 5)(6 + 4m − 5) > ⇔ m > − 19: Cho ∆ABC với A ( 1;3) , B(−2; 4), C (−1;5) đường thẳng d : x − y + = Đường thẳng d cắt cạnh ∆ABC ? A Cạnh AC B Không cạnh C Cạnh AB D Cạnh BC Lời giải Chọn B Thay điểm A vào phương trình đường thẳng d ta −1 Thay điểm B vào phương trình đường thẳng d ta −10 Thay điểm C vào phương trình đường thẳng d ta −11 Suy điểm A B nằm phía d nên d không cắt cạnh AB điểm A C nằm phía d nên d khơng cắt cạnh AC điểm C B nằm phía d nên d không cắt cạnh BC 20: Cho hai đường thẳng ∆1 : x + y + = ∆ : y = −10 Góc ∆1 Δ A 30° B 45° C 88°57 '52 '' D 1°13'8 '' Lời giải Chọn B r Véctơ pháp tuyến đường thẳng ∆1 n1 = ( 1;1) r Véctơ pháp tuyến đường thẳng ∆ n = ( 0;1) r r n1.n r r ⇒ ( ∆1 , ∆ ) = 45° Ta có cos ( ∆1 , ∆ ) = cos n1 , n = r r = n1 n ⇒ Câu Câu Câu Câu x + 2y − = 2x − y + ( ) Trang 4/16 Câu 21: Cho tam giác ABC có A ( 0;1) , B ( 2;0 ) , C ( −2; −5 ) Tính diện tích S tam giác ABC A S = B S = C S = D S = 2 Lời giải Chọn C Ta có AB = ; AC = 40 = 10 ; BC = 41 + 10 + 41 ⇒ p= S = p ( p − AB ) ( p − AC ) ( p − BC ) =  x = m + 2t Cho đoạn thẳng AB với A ( 1; ) , B (−3; 4) đường thẳng d :  Định  y = 1− t m để d cắt đoạn thẳng AB A m < B m = C m > D Khơng có m Lời giải Chọn D Phương trình tổng quát đường thẳng d : x + y − m − = Đường thẳng d đoạn thẳng AB có điểm chung ⇔ A, B nằm hai phía đường thẳng d ⇔ (1 + − m − 2)(−3 + − m − 2) < ⇔ (3 − m)(3 − m) < vô nghiệm Câu 23: Đường thẳng ax + by − = 0, a, b ∈ ¢ qua điểm M ( 1;1) tạo với đường thẳng ∆ : x − y + = góc 45° Khi a − b A B −4 C D Lời giải Chọn D r Gọi đường thẳng d có véctơ pháp tuyến n ∆ = ( a; b ) với a, b ∈ ¢ r r n ∆ n d r r Ta có ( ∆, d ) = 45° ⇔ cos n ∆ , n d = cos 45° ⇔ r r = n∆ nd Câu 22: ( )  a = 2b 2 2 ⇔ = ⇔ 3a − b = a + b ⇔ 2a − 3ab − 2b = ⇔  2 a = − b 10 a + b  Với a = 2b chọn B = 1; A = ⇒ d : x + y − = Với a = − b chọn B = −2; A = ⇒ d : x − y + = Câu 24: Cho d : 3x − y = d ' : mx + y − = Tìm m để cos ( d , d ') = 10 A m = B m = m = C m = m = D m = ± Lời giải Chọn C ur Véctơ pháp tuyến đường thẳng d d = ( 3; −1) ur Véctơ pháp tuyến đường thẳng d ' d ' = ( m;1) 3a − b Trang 5/16 r r r r n d n d ' 1 ⇔ cos n d , n d ' = ⇔ r r = Ta có cos ( d , d ' ) = 10 10 10 nd nd ' ( ) m = 2 ⇔ = ⇔ 3m − = m + ⇔ 8m − 6m = ⇔  m = 10 10 + m  3m − Câu 25: Cho tam giác ABC có A ( 0;1) , B ( −2;0 ) , C ( 2;5 ) Tính diện tích S tam giác ABC A S = B S = C S = D S = 2 Lời giải Chọn A Ta có AB = ; AC = 20 ; BC = 41 + 20 + 41 ⇒ p= S = p ( p − AB ) ( p − AC ) ( p − BC ) = Có hai giá trị m1 , m2 để đường thẳng x + my − = hợp với đường thẳng x + y = góc 60° Tổng m1 + m2 bằng: A −1 B C −4 D Lời giải Chọn C r r n d n d ' r r 1 Ta có cos ( d , d ' ) = 60° ⇔ cos n d , n d ' = ⇔ r r = nd nd ' Câu 26: ( ⇔ m +1 1+ m ⇒ m1 + m2 = − = ) ⇔ m + = m2 + ⇔ m + 4m + = b = −4 a  x = + at Xác định giá trị a để góc tạo hai đường thẳng   y = − 2t đường thẳng x + y + 12 = góc 45° 2 A a = ; a = −14 B a = ; a = 14 C a = 1; a = −14 D a = −2; a = −14 7 Lời giải Chọn A r Véctơ pháp tuyến đường thẳng d1 n1 = ( 2; a ) r Véctơ pháp tuyến đường thẳng d n = ( 3; ) r r n d1 n d2 r r Ta có ( d1 , d ) = 45° ⇔ cos n d1 , n d2 = cos 45° ⇔ r r = n d1 n d2 Câu 27: ( )  a= 2  ⇔ = ⇔ 4a + = a + ⇔ a + 96a − 28 = ⇔  + a2  a = −14 Câu 28: Phương trình đường thẳng qua A ( −2;0 ) tạo với đường thẳng d : x + y − = góc 45° A x + y + = 0; x − y + = B x + y − = 0; x − y + = 4a + Trang 6/16 C x − y + = 0; x − y + = D x + y + = 0; x + y + = Lời giải Chọn A Gọi đường thẳng ∆ qua A ( −2;0 ) có véctơ pháp tuyến r n ∆ = ( A; B ) ; ( A2 + B ≠ ) r r n ∆ n d r r Ta có ( ∆, d ) = 45° ⇔ cos n ∆ , n d = cos 45° ⇔ r r = n∆ nd ( )  A = 2B 2 2 ⇔ = ⇔ A + 3B = A + B ⇔ A − AB − B = ⇔  2 A = − B 10 A + B  Với A = B chọn B = 1; A = ⇒ ∆ : x + y + = Với A = − B chọn B = −2; A = ⇒ ∆ : x − y + = Câu 29: Đường thẳng qua B ( −4;5 ) tạo với đường thẳng ∆ : x − y + = góc 45° có phương trình A x + y + = x − 11 y − 63 = B x + y − = x − 11 y − 63 = C x + y − = x − 11 y + 63 = D x + y + = x − 11 y + 63 = Lời giải Chọn C Gọi đường thẳng d qua B ( −4;5 ) có véctơ pháp tuyến r n ∆ = ( A; B ) ; ( A2 + B ≠ ) r r n ∆ n d r r Ta có ( ∆, d ) = 45° ⇔ cos n ∆ , n d = cos 45° ⇔ r r = n∆ nd A + 3B ( )  A= B  2 ⇔ = ⇔ A − B = A2 + B ⇔ 22 A2 − AB − B = ⇔  2 50 A + B A = − B  11 Với A = B chọn B = 2; A = ⇒ d : x + y − = 2 Với A = − B chọn B = −11; A = ⇒ d : x − 11 y + 63 = 11 Câu 30: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : x + y + = Viết phương trình đường thẳng qua điểm A ( 2; − ) tạo với đường thẳng d góc 45° A y − = x − = B y + = x + = C y − = x + = D y + = x − = Lời giải Chọn D r Gọi đường thẳng ∆ có véctơ pháp tuyến n ∆ = ( a; b ) với a + b ≠ r r n ∆ n d r r Ta có ( ∆, d ) = 45° ⇔ cos n ∆ , n d = cos 45° ⇔ r r = n∆ nd 7A− B ( ⇔ a+b a + b2 = ) a = ⇔ a + b = a + b ⇔ ab = ⇔  b = Trang 7/16 Với a = chọn b = ⇒ ∆ : y + = Với b = chọn a = ⇒ ∆ : x − = Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy , hãy lập phương trình đường phân giác của góc tù tạo bởi hai đường thẳng ∆1 : x − y + 12 = 0, ∆ :12 x + y − = ( ) ( ) B d : ( 60 − 17 ) x + ( 15 + 12 17 ) y − 35 − 36 17 = C d : ( 60 + 17 ) x + ( 15 + 12 17 ) y + 35 + 36 17 = D d : ( 60 + 17 ) x + ( 15 − 12 17 ) y − 35 + 36 17 = A d : 60 − 17 x + 15 − 12 17 y − 35 + 36 17 = Lời giải Chọn B r Véctơ pháp tuyến đường thẳng ∆1 n Δ1 = ( 3; −4 ) r Véctơ pháp tuyến đường thẳng ∆ n Δ2 = ( 12;3) r r Vì n Δ1 n Δ2 = 24 > nên đường phân giác góc tù tạo hai đường thẳng 3x − y + 12 12 x + y − = ⇔ 60 − 17 x + 15 + 12 17 y − 35 − 36 17 = 17 Câu 32: Cho hình vng ABCD có đỉnh A ( −4;5 ) đường chéo có phương trình x − y + = Tọa độ điểm C A C ( 5;14 ) B C ( 5; − 14 ) C C ( −5; − 14 ) D C ( −5;14 ) Lời giải Chọn B Vì A ( −4;5 ) ∉ x − y + = nên đường chéo BD : x − y + = ( ) ( ) Phương trình đường chéo AC qua A ( −4;5 ) vng góc với BD x + y − 31 = Gọi tâm hình vng I ( x; y ) , tọa độ điểm I ( x; y ) thỏa mãn 7 x − y + = 1 9 ⇔ I  ; − ÷  2 2  x + y − 31 =  xC = xI − x A = ⇒ C ( 5; − 14 ) I trung điểm AC suy   yC = yI − y A = −14 Câu 33: Cho d : 3x − y = d ' : mx + y − = Tìm m để cos ( d , d ' ) = A m = C m = m = B m = ± D m = − m = Lời giải Chọn C m = 3m − 1 ⇔ = ⇔ 3m − = m + ⇔ m − 3m = ⇔  m = m2 + Câu 34: Có hai giá trị m1 , m2 để đường thẳng mx + y − = hợp với đường thẳng x + y = góc 60° Tổng m1 + m2 A −3 B C D −4 Lời giải Chọn D cos ( d , d ' ) = Trang 8/16 r r n ∆ n d r r Ta có ( ∆, d ) = 60° ⇔ cos n ∆ , n d = cos 60° ⇔ r r = n∆ nd ( m +1 ) b ⇔ m + = m + ⇔ m + 4m + = ⇒ m1 + m2 = − = −4 a m +1 Câu 35: Cặp đường thẳng phân giác góc hợp đường thẳng ∆1 : x + y + = ∆ : x − y + = ⇔ = A (3 + 5) x + 2(2 − 5) y + + = (3 − 5) x + 2(2 + 5) y + + = B (3 + 5) x + 2(2 − 5) y + + = (3 − 5) x + 2(2 + 5) y + − = C (3 − 5) x + 2(2 − 5) y + + = (3 + 5) x + 2(2 + 5) y + − = D (3 + 5) x + 2(2 + 5) y + + = (3 − 5) x + 2(2 − 5) y + − = Lời giải Chọn B Cặp đường thẳng phân giác góc tạo ∆1 , ∆  x + y + = 5( x − y + 4)  x + y + = 5( x − y + 4) | x + y + 1| | x − y + | = ⇔ ⇔ 5 3 x + y + = − 5( x − y + 4) 3 x + y + = − 5( x − y + 4) (3 − 5) x + 2(2 + 5) y + − = ⇔ (3 + 5) x + 2(2 − 5) y + + = Câu 36: Đường thẳng bx + ay − = 0, a, b ∈ ¢ qua điểm M ( 1;1) tạo với đường thẳng ∆ : x − y + = góc 45° Khi 2a − 5b A −8 B C −1 D Lời giải Chọn A r Gọi đường thẳng d có véctơ pháp tuyến n ∆ = ( A; B ) với A2 + B ≠ r r n ∆ n d r r Ta có ( ∆, d ) = 45° ⇔ cos n ∆ , n d = cos 45° ⇔ r r = n∆ nd ( )  A = 2B 2 2 ⇔ = ⇔ A − B = A + B ⇔ A − AB − B = ⇔  2 A = − B 10 A + B  B = 1; A = ⇒ d : x + y − = Với A = B chọn Với A = − B chọn B = −2; A = ⇒ d : x − y + = Câu 37: Viết phương trình đường thẳng qua B ( −1; ) tạo với đường thẳng d :  x = + 3t góc 60°   y = −2t 3A − B ( B ( C ( D ( A ) 645 + 24 ) x + y + 645 − 24 ) x + y + 645 − 24 ) x + y + ( 645 + 30 = 0; ( 645 − 30 = 0; ( 645 − 30 = 0; ( 645 + 24 x + y + 645 − 30 = 0; ) 645 − 24 ) x − y + 645 + 24 ) x + y + 645 + 24 ) x − y + 645 + 24 x − y + 645 + 30 = 645 + 30 = 645 + 30 = 645 + 30 = Lời giải Chọn D Trang 9/16 r Gọi đường thẳng Δ qua B ( −1; ) có véctơ pháp tuyến n ∆ = ( a; b ) với a + b2 ≠ r r n ∆ n d r r Ta có ( ∆, d ) = 60° ⇔ cos n ∆ , n d = cos 60° ⇔ r r = n∆ nd ( ⇔ 2a + 3b 13 a + b = ) ⇔ 2a + 3b = 13 a + b ⇔ 3a + 48ab − 23b =  −24 + 645 b a = ⇔  −24 − 645 b a =  −24 + 645 Với a = b chọn b = 3; a = −24 + 645 ⇒ Δ : 645 − 24 x + y + 645 − 30 = −24 − 645 Với a = b chọn b = −3; a = 24 + 645 ⇒ Δ : 645 + 24 x − y + 645 + 30 = Câu 38: Cho đoạn thẳng AB với A ( 1; ) , B ( −3; ) đường thẳng d : x − y + m = Tìm m để d đường thẳng AB tạo với góc 60° A m = B m = { 1; 2} C m ∈ ¡ D không tồn m Lời giải Chọn B r Gọi đường thẳng AB có véctơ pháp tuyến n AB = ( 2; ) = ( 1; ) r r n AB n d r r 13 r = Ta có ( AB, d ) = cos n AB , n d = r 13 n AB n d ( ( ) ( ) ) ⇒ ( AB, d ) ≈ 56° Câu 39: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆1 : x + y − = ∆ : x − y + = Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo ∆1 ∆2 ( C ( A ) ( − 1) x + ( ) ( − 3) y − ( ) + ) = + x + 2 + y − + = ( D ( B ) ( − 1) x + ( ) ( + 3) y + ( ) + ) = − x + 2 + y − + = Lời giải Chọn B r Véctơ pháp tuyến đường thẳng ∆1 n Δ1 = ( 1; ) r Véctơ pháp tuyến đường thẳng ∆ n Δ2 = ( 1; −3) r r Vì n Δ1 n Δ2 = −5 < nên đường phân giác góc tù tạo hai đường thẳng x + y − x − 3y + = ⇔ −1 x + 2 + y − + = 10 Câu 40: Lập phương trình ∆ qua A ( 2;1) tạo với đường thẳng d : x + y + = góc 45° A x + y − 11 = 0; x − y + = B x + y + 11 = 0; x − y + = C x + y − 11 = 0; x − y − = D x + y − 12 = 0; x − y + = Lời giải Chọn A ( ) ( ) ( ) Trang 10/16 r Gọi đường thẳng Δ qua A ( 2;1) có véctơ pháp tuyến n ∆ = ( a; b ) với a + b2 ≠ r r n ∆ n d r r Ta có ( ∆, d ) = 45° ⇔ cos n ∆ , n d = cos 45° ⇔ r r = n∆ nd ( )  a = 5b 2 2 ⇔ = ⇔ 2a + 3b = 26 a + b ⇔ 10a − 48ab − 10b = ⇔  2 a = − b 13 a + b  b = 1; a = ⇒ Δ : x + y − 11 = Với a = 5b chọn Với a = − b chọn b = −5; a = ⇒ Δ : x − y + = Câu 41: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy , cho hai đường thẳng d1 và d lần lượt có phương trình: d1 : x + y = 1, d : x − y + = Hãy viết phương trình đường thẳng d đối xứng với d qua đường thẳng d1 A d : x − y − = B d : 3x − y + = C d : x + y + = D d : x + y − = Lời giải Chọn B Gọi I ( x; y ) = d1 ∩ d Khi tọa độ điểm I nghiệm hệ phương trình x + y = x = ⇔ ⇒ I ( 0;1)  x − 3y + = y =1 2a + 3b Chọn M ( −3;0 ) ∈ d Gọi ∆ qua M vng góc với d1 Suy ∆ có dạng x − y + c = Vì M ( −3;0 ) ∈ ∆ ⇒ c = ⇒ ∆ : x − y + = Gọi H ( x; y ) = d1 ∩ ∆ Khi tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình x − y + =  x = −1 ⇔ ⇒ H ( −1; )  x + y = y = Gọi N điểm đối xứng M qua d1 Khi H trung điểm MN  x N = x H − xM = ⇔ ⇒ N ( 1; )  y N = y H − yM = Vậy đường thẳng d đường thẳng IN , ta có x − y −1 = ⇔ 3x − y + = Câu 42: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy , cho hai đường thẳng d1 : x − y − = và d : x + y − = Viết phương trình đường thẳng qua điểm P ( 3;1) cùng với d1 , d tạo thành tam giác cân có đỉnh là giao điểm của d1 d2  d : 3x + y − 10 =  d : 3x − y − 10 = d : x + y − =  d : x + y − 10 = A  B  C  D  d : x + y = d : x − y = d : x − y − = d : x − y = Lời giải Chọn D Gọi phương trình đường thẳng d qua điểm P có véctơ pháp tuyến r n = ( A; B ) , A2 + B ≠ Theo giả thiết ta có ( d , d1 ) = ( d , d ) ⇔ cos ( d , d1 ) = cos ( d , d ) Trang 11/16 ⇔ 2A − B A2 + B = A + 4B A2 + B  A = 3B 2 ( A − B ) = A + 4B ⇔ 2 A − B = A + B ⇔  ⇔ A = − B  ( A − B ) = −2 A − B  Với A = 3B chọn B = 1; A = ⇒ d : x + y − 10 = Với A = − B chọn B = −3; A = ⇒ d : x − y = Câu 43: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy , cho tam giác cân PRQ , biết phương trình cạnh đáy PQ : x − y + = 0, cạnh bên PR : x + y + = Tìm phương trình cạnh bên RQ biết rằng nó qua điểm D ( 1;1) A RQ :17 x + y + 24 = B RQ :17 x − y − 24 = C RQ :17 x + y − 24 = D RQ :17 x − y + 24 = Lời giải Chọn C r Gọi phương trình cạnh bên RQ qua điểm D có véctơ pháp tuyến n = ( A; B ) , A2 + B ≠ Vì tam giác PRQ cân R nên ( RQ, PQ ) = ( PQ, PR ) ⇔ cos ( RQ, PQ ) = cos ( PQ, PR ) A − 3B ⇔ = ⇔ 2 A − 3B = A2 + B 2 13 13 A + B 17  A= B  2 ⇔ A − 24 AB + 17 B = ⇔  A = B 17 Với A = B chọn B = 7; A = 17 ⇒ RQ :17 x + y − 24 = Với A = B chọn B = 1; A = 11 ⇒ RQ : x + y − = loại RQ // PR Vậy đường thẳng cần tìm RQ :17 x + y − 24 = Câu 44: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d1 : x + y − = ; d : x + y − = d3 : y = Gọi A = d1 ∩ d ; B = d ∩ d3 ; C = d ∩ d1 Viết phương trình đường phân giác góc B A x − y − = B x − y + = C x + y − = D x + y + = Lời giải Chọn A 3 x + y − = A = d1 ∩ d2 , suy ta tọa độ điểm A ( x; y ) thỏa mãn  ⇒ A ( −2;3) 4 x + y − = y = 1  B = d ∩ d3 , suy ta tọa độ điểm B ( x; y ) thỏa mãn  ⇒ B  ;0 ÷ 4  4 x + y − = 3 x + y − = C = d ∩ d1 , suy ta tọa độ điểm C ( x; y ) thỏa mãn  ⇒ C ( 2;0 ) y = 4x + y −1 = ±y Phương trình đường phân giác góc B  x − y − = ( ∆1 ) ⇔  x + y − = ( ∆ ) Xét đường thẳng ( ∆1 ) : x − y − = , ta có ( x A − y A − 1) ( xC − yC − 1) = −105 < Suy A C nằm khác phía ( ∆1 ) Trang 12/16 Do đường phân giác góc B ( ∆1 ) : x − y − = Câu 45: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy , cho hai đường thẳng d1 và d lần lượt có phương trình: d1 : x + y = 1, d : x − y + = Hãy viết phương trình đường thẳng d3 đối xứng với d1 qua đường thẳng d A x + y − = B x + y + = C x − y − = D x − y + = Lời giải Chọn A Gọi I ( x; y ) = d1 ∩ d Khi tọa độ điểm I nghiệm hệ phương trình x + y = x = ⇔ ⇒ I ( 0;1)  x − 3y + = y =1 Chọn M ( 1;0 ) ∈ d1 Gọi ∆ qua M vng góc với d Suy ∆ có dạng x + y + c = Vì M ( 1;0 ) ∈ ∆ ⇒ c = −3 ⇒ ∆ : x + y − = Gọi H ( x; y ) = d ∩ ∆ Khi tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình   x = 3 x + y − = 3 6 ⇔ ⇒ H  ; ÷  5 5 x − 3y + = y =  Gọi N điểm đối xứng M qua d Khi H trung điểm MN   xN = xH − xM =  12  ⇔ ⇒ N  ; ÷ 5   y = y − y = 12 N H M  Vậy đường thẳng d3 đường thẳng IN , ta có x−0 y −1 = ⇔ 7x + y −1 = 12 0− −1 5 Câu 46: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho ΔABC có đỉnh A ( 3;0 ) và phương trình hai đường cao ( BB ') : x + y − = và ( CC ') : x − 12 y − = Viết phương trình cạnh BC A x − y − 20 = B x + y + 20 = C x + y − 20 = D x − y + 20 = Lời giải Chọn C Gọi H ( x; y ) trực tâm tam giác ΔABC Khi tọa độ điểm H ( x; y ) 11  x=  x + y − =    11  ⇔ ⇒ H  ; ÷ nghiệm hệ phương trình   6 3x − 12 y − = y =  Phương trình cạnh AC qua A ( 3;0 ) vng góc với BB′ nên ( AC ) có dạng x − y + c = Vì A ( 3;0 ) ∈ ( AC ) nên + c = ⇒ c = −6 Do ( AC ) : x − y − = ⇔ x − y − = Ta có C = AC ∩ CC ′ nên tọa độ điểm C ( x; y ) nghiệm hệ phương trình Trang 13/16 35  x=  3 x − 12 y − =   35  ⇔ ⇒ C  ; ÷   9 x − y − = y =  uuur    35  Phương trình cạnh BC qua điểm C  ; ÷ nhận AH =  ; ÷ = ( 4;5 ) làm  9 3 6 véctơ pháp tuyến ⇒ ( BC ) : x + y − 20 = Câu 47: Cho tam giác ABC , đỉnh B ( 2; − 1) , đường cao AA′ : x − y + 27 = đường phân giác góc C CD : x + y − = Khi phương trình cạnh AB A x − y − 15 = B x + y + = C x + y − = D x − y − = Lời giải Chọn C Phương trình cạnh BC qua B ( 2; − 1) vng góc với AA′ x + y − = x + y − =  x = −1 ⇔ ⇒ C ( −1;3) Gọi C ( x; y ) , tọa độ điểm C ( x; y ) thỏa mãn  4 x + y − = y = Gọi M điểm đối xứng B qua CD Khi tọa độ điểm M ( x; y ) thỏa mãn  ( x − ) − ( y + 1) = 2 x − y − =  ⇔ ⇒ M ( 4;3) x+2  y −1   x + y − 10 =  +  ÷− =    Phương trình cạnh AC MC , ta có AC : y = 3 x − y + 27 =  x = −5 ⇔ ⇒ A ( −5;3) Gọi A ( x; y ) , tọa độ điểm A ( x; y ) thỏa mãn  y = y = x +5 y −3 = ⇔ x + y − = Phương trình cạnh AB −4 Câu 48: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy , cho ∆ABC có điểm A ( 2; − 1) và hai đường phân giác của hai góc B, C lần lượt có phương trình ( ∆ B ) : x − y + = 0, ( ∆ C ) : x + y + = Viết phương trình cạnh BC A BC : x + y + = B BC : x − y + = C BC : x − y − = D BC : x + y − = Lời giải Chọn B +) Gọi H x H ; yH hình chiếu điểm A lên ∆ B uuur r uuur r ⇒ AH ⊥ u ∆ B ⇔ AH u ∆ B = Ta có H ( yH − 1; yH ) ∈ ∆ B ; uuur r AH = ( yH − 3; yH + 1) ; u ∆ B = ( 2;1) uuur r ⇒ AH u ∆B = ⇔ ( yH − 3) + ( yH + 1) = ⇔ yH = ⇒ H ( 1;1) ( ) Gọi M điểm đối xứng A qua ∆ B  xM = xH − x A = ⇒ M ( 0;3) Khi H trung điểm AM ⇔   yM = y H − y A = uuur r uuur r +) Gọi K x K ; yK hình chiếu điểm A lên ∆ C ⇒ AK ⊥ u ∆C ⇔ AK u ∆C = uuur r Ta có K ( xK ; − xK − 3) ∈ ∆ C ; AK = ( xK − 2; − xK − ) ; u ∆C = ( 1; −1) uuuuur r ⇒ ADK u ∆C = ⇔ xK − + xK + = ⇔ xK = ⇒ K ( 0; − 3) ( ) Trang 14/16 Gọi N điểm đối xứng A qua ∆ C  xN = xK − x A = −2 ⇒ N ( −2; − ) Khi K trung điểm AN ⇔   y M = y K − y A = −5 Phương trình đường thẳng BC phương trình đường thẳng MN x−0 y−3 ⇒ đường thẳng BC : = ⇔ 4x − y + = −2 −8 Câu 49: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy , cho ∆ABC vuông cân tại A ( 4;1) và cạnh huyền BC có phương trình: x − y + = Viết phương trình hai cạnh góc vuông AC và AB A x − y − = và x + y + = B x − y + = và x + y − = x − y + = x + y + = C và D x + y − = và x − y + = Lời giải Chọn A Cách 1: Viết phương trình đường thẳng qua A tạo với đường thẳng BC góc 45° Cách 2: Gọi H ( x; y ) hình chiếu A ( 4;1) lên BC d qua A ( 4;1) vng góc với BC nên d có dạng x + y + c = Vì A ( 4;1) ∈ d ⇒ + c = ⇔ c = −7 nên d : x + y − = 3 x − y + = Khi tọa độ điểm H ( x; y ) nghiệm hệ phương trình  x + 3y − =   x = −  13  ⇔ ⇒ H  − ; ÷  5  y = 13  Vì ∆ABC vng cân A nên A, B, C thuộc đường tròn ( C ) ngoại tiếp ∆ABC  13  10 có tâm H  − ; ÷ bán kính R = AH =  5 2 4  13  128  Phương trình đường tròn ( C ) :  x + ÷ +  y − ÷ = 5  5  3 x − y + =  2 Tọa độ điểm B, C nghiệm hệ phương trình  4  13  128  x + ÷ +  y − ÷ =      y = 3x +  2 ⇔  4  13  128  x + ÷ +  x + − ÷ =     37  x = ⇒ y =  y = 3x + ⇔ ⇔  x = − 12 ⇒ y = − 11 25 x + 40 x − 48 =  5  37   12 11   37   12 11  Suy điểm B  ; ÷; C  − ; − ÷ C  ; ÷; B  − ; − ÷ 5 5 5   5   Vậy phương trình hai cạnh AB AC Trang 15/16 x−4 y −1 x−4 y −1 = AC ) : = ( ⇔ 2x + y − = ; ⇔ x − 2y − = 37 12 11 −4 −1 − − − −1 5 5 x−4 y −1 x−4 y −1 AC ) : = AB ) : = ( ( ⇔ 2x + y − = ; ⇔ x − 2y − = 37 12 11 Hoặc −4 −1 − − − −1 5 5 Câu 50: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ∆ABC vng A , có đỉnh C ( −4;1) , phân giác góc A có phương trình x + y − = Viết phương ( AB ) : trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ∆ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương A BC : 3x − y + 16 = B BC : 3x − y − 16 = C BC : 3x + y + 16 = D BC : 3x + y + +8 = Lời giải Chọn A Cách 1: Gọi D điểm đối xứng C ( −4;1) qua đường thẳng x + y − = D suy tọa độ điểm D ( x; y ) nghiệm d ( x + ) − ( y − 1) = B  ⇒ D ( 4;9 ) hệ phương trình  x − y + + −5 =   2 A Điểm A thuộc đường tròn đường kính CD C  x + y − = nên tọa độ điểm A ( x; y ) thỏa mãn  với x > 0, suy điểm  x + ( y − ) = 32 A ( 4;1) 2S AB AC = 24 ⇔ AB = ABC = AC B thuộc đường thẳng AD : x = 4, suy tọa độ B ( 4; y ) thỏa mãn ( y − 1) = 36 Ta có S ABC = ⇒ B ( 4;7 ) B ( 4; − ) uuur uuur Do d phân giác góc A , nên AB AD hướng, suy B ( 4;7 ) Do đó, đường thẳng BC có phương trình : x − y + 16 = Cách 2: Gọi đường thẳng AC qua điểm C ( −4;1) có véctơ pháp tuyến r d n = ( a; b ) , a + b ≠ r r Vì ( AC , d ) = 45° ⇔ cos n AC , n d = a+b  a = 0; b = ⇔ = b = 0; a = a + b2 ( ) B 45° 45° C A Với b = 0; a = suy đường thẳng AC : x + = ⇒ A = AC ∩ d ⇒ A ( −4; ) ( loại xA > ) Với a = 0; b = suy đường thẳng AC : y − = ⇒ A = AC ∩ d ⇒ A ( 4; 1)  x + y − = nên tọa độ điểm A ( x; y ) thỏa mãn  với x > 0, suy điểm  x + ( y − ) = 32 A ( 4;1) Trang 16/16 Gọi điểm B ( x; y ) uuur uuur Ta có ∆ABC vuông A nên AB AC = ⇔ x = ⇒ B ( 4; y ) 2S Lại có S ABC = AB AC = 24 ⇔ AB = ABC = ⇔ ( y − 1) = 36 AC ⇒ B ( 4;7 ) B ( 4; − ) Do d phân giác góc A , nên hai điểm A B nằm khác phía đường thẳng d , suy B ( 4;7 ) Do đó, đường thẳng BC có phương trình : x − y + 16 = Trang 17/16