Thông tin tài liệu
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN I Phương trình đường thẳng: ur • Cho đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) • với a12 + a2 + a32 ≠ làm vectơ phương Khi ∆ có phương trình tham số : x = x0 + a1t y = y0 + a t ; ( t ∈ ¡ ) z = z + a t ur Cho đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) cho a1a2a3 ≠ làm vectơ phương Khi ∆ có phương trình tắc : x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 II Góc: Góc hai đường thẳng: ur ∆1 có vectơ phương a1 uu r ∆ có vectơ phương a2 ur uu r a1.a2 r Gọi ϕ góc hai đường thẳng ∆1 ∆ Ta có: cos ϕ = ur uu a1 a2 Góc đường thẳng mặt phẳng: uur ∆ có vectơ phương a∆ uur ( α ) có vectơ phương nα uur uur a∆ nα Gọi ϕ góc hai đường thẳng ∆ (α ) Ta có: sin ϕ = uur uur a∆ nα III IV Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ : uur ∆ qua điểm M có vectơ phương a∆ uur uuuuur a∆ , M M d ( M , ∆) = uur a∆ Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: ur ∆1 qua điểm M có vectơ phương a1 uu r ∆ qua điểm N có vectơ phương a2 ur uu r uuuu r a1 , a2 MN d ( ∆1 , ∆ ) = ur uu r a1 , a2 Các dạng tốn thường gặp: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua hai điểm phân biệt A, B uuur Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ AB Đường thẳng ∆ qua điểm M song song với d Cách giải: Trang 1/42 Trong trường hợp đặc biệt: • Nếu ∆ song song trùng bới trục Ox ∆ có vectơ uur r phương a∆ = i = ( 1;0;0 ) • Nếu ∆ song song trùng bới trục Oy ∆ có vectơ uur r phương a∆ = j = ( 0;1;0 ) • Nếu ∆ song song trùng bới trục Oz ∆ có vectơ uur r phương a∆ = k = ( 0;1;0 ) uur uu r uu r Các trường hợp khác ∆ có vectơ phương a∆ = ad , với ad vectơ phương d Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( α ) uur uu r uur Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ = nα , với nα vectơ pháp tuyến ( α ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M vng góc với hai đường thẳng d1 , d (hai đường thẳng không phương) uur ur uu r ur uu r Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ = a1 , a2 , với a1 , a2 vectơ phương d1 , d Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M vng góc với đường thẳng d song song với mặt phẳng ( α ) uur uu r uu r uu r Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ = ad , nα , với ad uur vectơ phương d , nα vectơ pháp tuyến ( α ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A song song với hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) ; ( ( α ) , ( β ) hai mặt phẳng cắt nhau) uur uur uur uu r uur Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ = nα , nβ , với nα , nβ vectơ pháp tuyến ( α ) , ( β ) Viết phương trình đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) ( β ) Cách giải: • Lấy điểm ∆ , cách cho ẩn số tùy ý uur uur uur uur uur • Xác định vectơ phương ∆ a∆ = nα , nβ , với nα , nβ vectơ pháp tuyến ( α ) , ( β ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cắt hai đường thẳng d1 , d ( A ∉ d1 , A ∉ d ) uur ur uu r ur uu r Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ = n1 , n2 , với n1 , n2 vectơ pháp tuyến mp ( A, d1 ) , mp ( A, d ) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng ( α ) cắt hai đường thẳng d1 , d uur uuu r Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ = AB , với A = d1 ∩ ( α ) , B = d ∩ ( α ) 10 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A , vng góc cắt d Trang 2/42 Cách giải: • Xác định B = ∆ ∩ d • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, B 11 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A , vng góc với d1 cắt d , với A ∉ d Cách giải: • Xác định B = ∆ ∩ d • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, B 12 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A , cắt đường thẳng d song song với mặt phẳng ( α ) Cách giải: • Xác định B = ∆ ∩ d • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, B 13 Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng ( α ) cắt vng góc đường thẳng d Cách giải: • Xác định A = d ∩ ( α ) • Đường thẳng ∆ qua A có vectơ phương ∆ uur uu r uu r uu r uur a∆ = ad , nα , với ad vectơ phương d , nα vectơ pháp tuyến ( α ) 14 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng ( α ) , nằm ( α ) vng góc đường thẳng d (ở d khơng vng góc với ( α ) ) Cách giải: • Xác định A = d ∩ ( α ) • Đường thẳng ∆ qua A có vectơ phương ∆ uur uu r uu r uu r uur a∆ = ad , nα , với ad vectơ phương d , nα vectơ pháp tuyến ( α ) 15 Viết phương trình đường thẳng ∆ đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 , d Cách giải: AB ⊥ d1 • Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d cho AB ⊥ d • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua hai điểm A, B 16 Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 , d Cách giải: uuu r uu r uu r • Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d cho AB, ad phương, với ad vectơ phương d • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A có vectơ uu r uur phương ad = a∆ Viết phương trình đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng ( α ) cắt hai đường thẳng d1 , d Cách giải: 17 Trang 3/42 • uuu r uu r uur Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d cho AB, nα phương, với nα vectơ pháp tuyến ( α ) • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A có vectơ uu r uu r phương ad = nα 18 Viết phương trình ∆ hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng ( α ) uuur uu r uu r Cách giải : Xác định H ∈ ∆ cho AH ⊥ ad ,với ad vectơ phương d • Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d vng góc với mặt phẳng ( α ) • Viết phương trình đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) ( β ) 19 Viết phương trình ∆ hình chiếu song song d lên mặt phẳng ( α ) theo phương d ' Cách giải : • Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d có thêm véc tơ uur phương ud' • Viết phương trình đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) ( β ) B KỸ NĂNG CƠ BẢN Học sinh xác định vectơ phương điểm thuộc đường thẳng cho trước phương trình Học sinh biết cách chuyển từ phương trình tham số qua phương trình tắc ngược lại Học sinh lập phương trình tắc phương trình tham số Học sinh tìm hình chiếu, điểm đối xứng C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM x = − 2t Câu Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : y = − 2t d’: z = − 3t x = + 2t ' y = + 2t ' Xét mệnh đề sau: z = + 9t ' ur d qua A(2 ;3 ;1) có véctơ phương a ( 2; 2;3) (I) uu r d’ qua A’ (0;-3;-11) có véctơ phương a ' ( 2; 2;9 ) (II) r không phương nên d không song song với d’ (III) ar auu ' ur uur uuur ur (IV) Vì a ; a ' AA ' = nên d d’ đồng phẳng chúng cắt Dựa vào phát biểu trên, ta kết luận: A Các phát biểu (I), (III) đúng, phát biểu (II), (IV) sai B Các phát biểu (I), (II) đúng, phát biểu (III), (IV) sai C Các phát biểu (I) đúng, phát biểu (II), (III), (IV) sai D Các phát biểu (IV) sai, phát biểu lại Trang 4/42 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương Câu x = + t trình tham số y = −3t Phương trình tắc đường thẳng d là? z = −1 + 5t x−2 y z +1 = = −3 x + y z −1 x+2 y z −1 = = = = C D −1 −5 −3 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương A x − = y = z + B x − y +1 z = = Phương trình tham số đường thẳng ∆ là? −3 x = + 2t x = + 3t x = −3 + 2t x = −3 − 2t A y = −1 − 3t B y = −3 − t C y = − 3t D y = + 3t z = t z = t z = t z = t Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng uu r x + y −1 z − d: = = Đường thẳng d qua điểm M có vectơ phương ad −1 có tọa độ là: uu r uu r A M ( 2; −1;3) , ad = ( −2;1;3) B M ( 2; −1; −3 ) , ad = ( 2; −1;3) uu r uu r C M ( −2;1;3) , ad = ( 2; −1;3) D M ( 2; −1;3) , ad = ( 2; −1; −3) trình tắc x = t − Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = + 3t z = 1+ t uu r Đường thẳng d qua điểm M có vectơ phương ad có tọa độ là: uu r uu r A M ( −2; 2;1) , ad = ( 1;3;1) B M ( 1; 2;1) , ad = ( −2;3;1) uu r uu r C M ( 2; −2; −1) , ad = ( 1;3;1) D M ( 1; 2;1) , ad = ( 2; −3;1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau Câu phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M ( −2;3;1) có vectơ r phương a = ( 1; −2; ) ? x = + t A y = −3 − 2t z = −1 + 2t x = − 2t x = −2 + t C y = −2 + 3t D y = − 2t z = + t z = + 2t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình sau Câu x = + 2t B y = −2 − 3t z = − t phương trình tắc ∆ đường thẳng qua hai điểm A ( 1; −2;5 ) B ( 3;1;1) ? x −1 y + z − x − y −1 z −1 = = = = B −4 −2 x +1 y − z + x −1 y + z − = = = = C D −4 1 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác A ABC có A ( −1;3;2 ) , B ( 2;0;5) , C ( 0; −2;1) Phương trình đường trung tuyến AM tam giác ABC Trang 5/42 x −1 y + z + x −1 y + z + = = = = B −2 −1 −4 x +1 y − z − x − y + z +1 = = = = C D −4 1 −1 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác A ABC với A ( 1;4; −1) , B ( 2;4;3) , C ( 2;2; −1) Phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với BC x = x = x = x = A y = + t B y = + t C y = + t D y = −t z = −1 + 2t z = + 2t z = −1 − 2t z = −1 + 2t Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M ( 1;3;4 ) song song với trục hoành x = 1+ t A y = y = x = B y = + t y = x = C y = y = 4−t D x = y = y = 4+t x = − 2t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = t z = −3 + 2t Câu 11 Phương trình tắc đường thẳng ∆ qua điểm A ( 3;1; −1) song song với d x + y +1 z −1 = = A −2 x + y −1 z − = = C −1 x − y −1 z + = = −2 x − y +1 z + = = D −1 x − y −1 z − = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : Phương −1 B trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M ( 1;3; −4 ) song song với d x = + t A y = −1 + 3t z = − 4t x = −1 + 2t B y = −3 − t z = + 3t x = −1 + 2t C y = −3 − t z = + 3t D x = + 2t y = 3−t z = −4 + 3t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Phương trình tắc của đường thẳng ∆ qua điểm M ( −2;1;1) vng góc với ( P) x + y −1 = = −1 x + y −1 = = C Trong không gian với A z −1 x − y −1 z −1 = = B −1 z −1 x + y −1 z −1 = = D −1 −1 hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( α ) : x − y + z − = Phương trình tham số đường thẳng d qua A ( 2;1; −5 ) vng góc với ( α ) Trang 6/42 x = −2 + t x = −2 − t x = + t A y = −1 − 2t B y = −1 + 2t C y = − 2t D z = + 2t z = − 2t z = −5 + 2t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình đường thẳng ∆ x = + 2t y = −2 + t z = − 5t qua điểm A ( 2; −1;3) vng góc với mặt phẳng ( Oxz ) Trong x = A y = − t z = không gian x = B y = + t z = với hệ tọa độ x = C y = −1 + t z = Oxyz, cho x = + t D y = −1 z = + t ABC tam giác có A ( 2;1; −2 ) , B ( 4; −1;1) , C ( 0; −3;1) Phương trình d qua trọng tâm tam giác ABC vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) x = + t A y = −1 − 2t z = −2t x = −2 + t B y = −1 − 2t z = −2t x = + t C y = − 2t z = −2t D x = + t y = + 2t z = 2t (ĐH D2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 1;4; ) B ( −1; 2; ) Phương trình d qua trọng tâm ∆OAB vng góc với mặt phẳng ( OAB ) x y −2 z −2 = = −1 x y −2 z −2 = C = 1 không gian với A Trong x y+2 z+2 = = −1 x y+2 z+2 = = D 1 Oxyz, cho tam giác B hệ tọa độ ABC có A ( 0;1;2 ) , B ( −2; −1; −2 ) , C ( 2; −3; −3) Đường thẳng d qua điểm B vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Phương trình sau khơng phải phương trình đường thẳng d x = −2 − t x = −2 + t x = −2 − 6t x = −2 − t A y = −1 − 3t B y = −1 + 3t C y = −1 − 18t D y = −1 − 3t z = −2 + 2t z = −2 − 2t z = −2 + 12t z = −2 − 2t Oxyz , Trong không gian với hệ tọa độ phương trình đường thẳng ∆ qua điểm r r M ( 2;1; −5) , đồng thời vng góc với hai vectơ a = ( 1;0;1) b = ( 4;1; −1) x − y −1 z + x + y +1 z − = = = = B −1 −1 x + y +1 z − x + y − z −1 = = = = C D −5 −1 −5 (ĐH B2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1; −1;1) , B ( −1;2;3) A x +1 y − z − = = Phương trình đường thẳng qua điểm −2 A , đồng thời vng góc với hai đường thẳng AB ∆ đường thẳng ∆ : A x −7 y −2 z −4 = = −1 B x −1 y + z −1 = = Trang 7/42 x +1 y −1 z + = = x − y z +1 = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : −1 C x +1 y −1 z + = = −2 D x = 1+ t d : y = − 2t Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A ( 2;3; −1) vng z = − 2t góc với hai đường thẳng d1 , d x = −8 + 2t A y = + 3t z = −7 − t x = − 8t B y = + 3t z = −1 − 7t x = −2 − 8t C y = −3 + t z = − 7t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng thẳng ∆ : D x = −2 + 8t y = −3 − t z = + 7t ( P ) : x + y + 2z − = đường x +1 y z − = = Phương trình đường thẳng d qua điểm B ( 2; −1;5) −1 song song với ( P ) vng góc với ∆ x − y +1 = = −5 x + y −1 = = C −2 Trong không gian với A z −5 x + y −1 z + = = B −5 z +5 x −5 y + z + = = D −4 −1 hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( α ) : x − y + z + = ( β ) : 3x − y − z − = Phương trình đường thẳng d qua điểm M ( 1;3; −1) , song song với hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) x = + 14t A y = + 8t z = −1 + t x = −1 + 14t B y = + 8t z = −1 + t x = −1 + t C y = + 8t z = 1+ t D x = −1 + t y = 3− t z = 1+ t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( α ) : x − y + z − = Phương trình đường thẳng d qua điểm A ( 2; −3; −1) , song song với hai mặt phẳng ( α ) , ( Oyz ) x = − t x = x = x = 2t A y = −3 B y = −3 + 2t C y = −3 − 2t D y = − t z = −1 + t z = −1 + t z = −1 + t z = 1− t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) : x − 3y + z = (β) :x+ y−z+4=0=0 Phương trình tham số đường thẳng d x = + t A y = t z = + 2t x = + t x = − t x = −2 + t B y = t C y = −t D y = t z = −2 + 2t z = −2 − 2t z = + 2t Oxyz , Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) : x − y − z + = ( β ) : x + y − 3z − = Phương trình đường thẳng d qua điểm M (1; −1;0) song song với đường thẳng ∆ Trang 8/42 x −1 = x −1 = C A y −1 z = y +1 z = x +1 y −1 z = = x − y −1 z = = D 1 B Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x −1 y + z = = Phương −2 trình đường thẳng ∆ qua điểm A ( 2; −1; −3) , vng góc với trục Oz d x = − t A y = −1 + 2t y = −3 x = −2 − t B y = + 2t y = x = −2t C y = − 2t y = D x = − t y = −1 + 2t y = −3 ( P ) : x − y + 5z − = Phương A ( −2;1; −3) , song song với ( P ) vng góc Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng trình đường thẳng ∆ qua điểm với trục tung x = −2 + 5t A y = y = −3 + 2t x = −2 + 5t B y = y = −3 + 2t x = −2 − 5t C y = − t y = −3 + 2t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu D ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = Phương trình đường thẳng d qua tâm mặt cầu ( α ) : 2x + y − z − = vng góc với đường thẳng ∆ : x = 1− t A y = −2 + 5t z = − 8t x = −1 + t B y = − 5t z = −3 − 8t x = −2 + 5t y =1 y = −3 − 2t ( S) , song song với x +1 y − z − = = −1 x = 1− t C y = −2 − 5t z = − 8t D x = 1− t y = −2 + 5t z = + 8t x = + 2t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = −1 + t Hình chiếu z = + t vng góc d lên mặt phẳng ( Oxy ) có phương trình x = + 2t A y = −1 + t z = x = −1 + 2t B y = −1 + t z = x = −1 + 2t C y = + t z = D x = y = −1 − t z = x = + 2t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = −2 + 3t Hình chiếu z = 3+ t vng góc d lên mặt phẳng ( Oxz ) có phương trình x = −1 + 2t A y = z = + t x = B y = z = 3+ t x = + 2t C y = z = 3+ t D x = + 2t y = z = −3 + t Trang 9/42 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : thẳng ( P ) : 3x + y − z − = x − 12 y − z − = = , mặt Gọi d ' hình chiếu d lên ( P ) Phương trình tham số d ' x = −62t A y = 25t z = − 61t x = 62t B y = −25t z = + 61t x = 62t x = 62t C y = −25t D y = −25t z = −2 + 61t z = + 61t x = + 2t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = −2 + 4t Hình chiếu song z = 3+ t song d lên mặt phẳng ( Oxz ) theo phương ∆ : x +1 y − z − = = có phương −1 −1 trình là: x = + 2t A y = z = − 4t x = 3+ t B y = z = + 2t x = −1 − 2t C y = z = − 4t x = − 2t D y = z = 1+ t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x = − 3t d : y = −2 + t Phương trình đường thẳng nằm z = −1 − t x − y −1 z −1 = = −1 ( α ) : x + y − 3z − = cắt hai đường thẳng d1 , d là: x+3 = x−3 = C −5 (ĐH D2009) A ∆: y − z −1 x + y − z −1 = = = B −1 −5 −1 y + z +1 x+8 y −3 z = = = D −1 −4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x+2 y−2 z = = mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Phương trình tham số 1 −1 đường thẳng d nằm ( P ) , cắt vng góc đường thẳng ∆ là: x = − 3t A y = −2 + 3t z = −1 + t x = −3 − 3t x = −3 + t C y = + 2t D y = − 2t z = + t z = − t Oxyz , (ĐH D2006) Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng d1 : x = −3 + 2t B y = − t z = + t x−2 y+2 z−3 x −1 y −1 z +1 = = = = d : Phương trình đường thẳng ∆ −1 −1 qua điểm A ( 1;2;3) vng góc với d1 cắt d là: x −1 y − z − = = −3 −5 x +1 y + z + = = C −1 A x −1 y + z + = = −3 −5 x −1 y + z + = = D −2 −3 B Trang 10/42 Giao điểm d mặt phẳng ( Oxz ) : M (5;0;5) x = + 2t Trên d : y = −2 + 4t chọn M khơng trùng với M (5;0;5) ; ví dụ: z = 3+ t M (1; −2;3) Gọi A hình chiếu song song M lên mặt phẳng ( Oxz ) theo x +1 y − z − = = −1 −1 +/ Lập phương trình d’ qua M song song trùng với x +1 y − z − ∆: = = −1 −1 +/ Điểm A giao điểm d’ ( Oxz ) phương ∆ : +/ Ta tìm A(3;0;1) x = + 2t Hình chiếu song song d : y = −2 + 4t lên mặt phẳng ( Oxz ) theo phương z = + t x +1 y − z − = = đường thẳng qua M (5;0;5) A(3;0;1) −1 −1 x = 3+ t Vậy phương trình là: y = z = + 2t ∆: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x = − 3t d : y = −2 + t Phương trình đường thẳng nằm z = −1 − t x − y −1 z −1 = = −1 ( α ) : x + y − 3z − = cắt hai đường thẳng d1 , d là: x + y − z −1 = = −1 x − y + z +1 = = C −5 −1 Hướng dẫn giải Gọi d đường thẳng cần tìm Gọi A = d ∩ ( α ) • A x + y − z −1 = = −5 −1 x+8 y −3 z = = D −4 B A ∈ d1 ⇒ A ( − a;1 + 3a;1 + 2a ) A ∈ ( α ) ⇒ a = −1 ⇒ A ( 3; −2; −1) • Gọi B = d ∩ ( α ) • B ∈ ( α ) ⇒ b = ⇒ B ( −2; −1; −2 ) uuu r d qua điểm A ( 3; − 2; − 1) có vectơ phương AB = ( −5;1; −1) B ∈ d ⇒ B ( − 3b; −2 + b; −1 − b ) Vậy phương trình tắc d x − y + z +1 = = −5 −1 Trang 29/42 (ĐH D2009) ∆: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x+2 y−2 z = = mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Phương trình tham số 1 −1 đường thẳng d nằm ( P ) , cắt vng góc đường thẳng ∆ là: x = − 3t A y = −2 + 3t z = −1 + t x = −3 + 2t B y = − t z = + t x = −3 − 3t C y = + 2t z = + t D x = −3 + t y = − 2t z = − t Hướng dẫn giải Gọi M = ∆ ∩ ( P ) M ∈ ∆ ⇒ M ( − + t;2 + t ; − t ) M ∈ ( P ) ⇒ t = −1 ⇒ M ( −3;1;1) uur có vectơ pháp tuyến nP = ( 1; 2; −3) uur ∆ có vectơ phương a∆ = ( 1;1; −1) uu r uur r uur uur d ⊂ ( P ) ⇒ ad ⊥ nP uu ⇒ ad = nP , a∆ = ( 1; −2; −1) u u r u u r Có d ⊥ ∆ ⇒ a ⊥ a d ∆ uur d qua điểm M ( − 3;1;1) có vectơ phương ad ( P) x = −3 + t Vậy phương trình tham số d y = − 2t z = − t (ĐH D2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, d1 : cho hai đường thẳng x−2 y+2 z−3 x −1 y −1 z +1 = = = = d : Phương trình đường thẳng ∆ −1 −1 qua điểm A ( 1;2;3) vng góc với d1 cắt d là: x −1 y + z + x −1 y − z − = = = = B −3 −5 −3 −5 x +1 y + z + x −1 y + z + = = = = C D −1 −2 −3 Hướng dẫn giải Gọi B = ∆ ∩ d B ∈ d ⇒ B ( − t;1 + 2t; −1 + t ) uuu r AB = ( − t; 2t − 1; t − ) ur d1 có vectơ phương a1 = ( 2; −1;1) uuu r ur ∆ ⊥ d1 ⇔ AB ⊥ a1 uuu r ur ⇔ AB.a1 = ⇔ t = −1 uuu r ∆ qua điểm A ( 1;2;3) có vectơ phương AB = ( 1; −3; −5 ) x −1 y − z − = = Vậy phương trình ∆ −3 −5 A Trang 30/42 x = −3 + 2t (ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = − t z = −1 + 4t Phương trình tắc đường thẳng qua điểm A ( − 4; − 2;4 ) , cắt vng góc với d là: x − y − z +1 = = A −4 −2 x−4 y−2 z+4 C = = −3 −2 Hướng dẫn giải Gọi ∆ đường thẳng cần tìm Gọi B = ∆ ∩ d B ∈ d ⇒ B ( −3 + 2t;1 − t; −1 + 4t ) uuu r AB = ( + 2t;3 − t ; −5 + 4t ) uu r d có vectơ phương ad = ( 2; −1; ) uuu r uu r ∆ ⊥ d ⇔ AB ⊥ ad uuu r uu r ⇔ AB.ad = (ĐH x−4 y−2 z+4 = = −1 x+4 y+2 z−4 D = = −1 B ⇔ t =1 uuu r ∆ qua điểm A ( − 4; − 2; ) có vectơ phương AB = ( 3; 2; −1) x+4 y+2 z−4 = = Vậy phương trình ∆ −1 A2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x −1 y + z − = = mặt phẳng −1 ( P ) : 2x + y − 2z + = Gọi A giao điểm d ( P ) Phương trình tham số đường thẳng ∆ nằm ( P ) , qua điểm A vng góc với d là: x = x = t A y = −1 + t B y = −1 z = −4 + t z = t Hướng dẫn giải Gọi A = d ∩ ( P ) x = t C y = −1 z = + t D x = 1+ t y =1 z = t A ∈ d ⇒ A ( − t; −3 + 2t ;3 + t ) A ∈ ( P ) ⇒ t = ⇒ A ( 0; −1; ) uur có vectơ pháp tuyến nP = ( 2;1; −2 ) uur d có vectơ phương ad = ( − 1; 2;1) uur Gọi vecto phương ∆ a∆ ( P) Ta có : uur uur uur uu r ∆ ⊂ ( P ) ⇒ a∆ ⊥ nP uur uu r uur ⇒ a∆ = nP , ad = ( 5;0;5 ) d ⊥ ∆ ⇒ ad ⊥ a∆ uur ∆ qua điểm A ( 0; − 1; ) có vectơ phương a∆ = ( 5;0;5 ) Trang 31/42 x = t Vậy phương trình tham số ∆ y = −1 z = + t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, d: cho điểm A ( 1;2; − 1) đường thẳng x−3 y−3 z = = Phương trình đường thẳng qua điểm A , cắt d song song với mặt phẳng ( Q ) : x + y − z + = là: x −1 y − z +1 = = −2 −1 x +1 y + z −1 = = C −1 Hướng dẫn giải Gọi ∆ đường thẳng cần tìm Gọi B = ∆ ∩ d B ∈ d ⇒ B ( + t;3 + 3t ; 2t ) uuu r AB = ( t + 2;3t + 1; 2t + 1) uur ( Q ) có vectơ pháp tuyến nQ = ( 1;1 − 1) uuur uur ∆ / / ( Q ) ⇒ AB ⊥ nQ uuu r uur ⇔ AB.nQ = A x +1 y + z −1 = = x −1 y − z +1 = = D −1 B ⇔ t = −1 uuu r ∆ qua điểm A ( 1;2; − 1) có vectơ phương AB = ( 1; −2; −1) x −1 y − z +1 = = Vậy phương trình ∆ −2 −1 x +1 y − z −1 = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 : x = x −1 y z +1 ∆2 : = = Phương trình đường thẳng song song với d : y = −1 + t z = + t cắt hai đường thẳng ∆ 1; ∆ là: x = A y = − t z = − t x = −2 B y = −3 − t z = −3 − t x = −2 C y = −3 + t z = −3 + t D x = y = −3 + t z = + t Hướng dẫn giải Gọi ∆ đường thẳng cần tìm Gọi A = ∆ ∩ ∆1 , B = ∆ ∩ ∆ A ∈ ∆ ⇒ A ( −1 + 3a;2 + a;1 + 2a ) B ∈ ∆ ⇒ B ( + b;2b; −1 + 3b ) uuur AB = ( −3a + b + 2; − a + 2b − 2; −2a + 3b − ) uu r d có vectơ phương ad = ( 0;1;1) uuur uu r ∆ / / d ⇔ AB, ad phương uuu r uu r ⇔ có số k thỏa AB = kad Trang 32/42 −3a + b + = −3a + b = −2 a = ⇔ −a + 2b − = k ⇔ − a + 2b − k = ⇔ b = −2a + 3b − = k −2a + 3b − k = k = −1 Ta có A ( 2;3;3) ; B ( 2;2;2 ) uuu r ∆ qua điểm A ( 2;3;3) có vectơ phương AB = ( 0; −1; −1) x = Vậy phương trình ∆ y = − t z = − t (ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x = − + 2t x y −1 z + d1 : = = d : y = + t Phương trình đường thẳng vng góc với −1 z = ( P ) : x + y − 4z = cắt hai đường thẳng d1 , d là: x−7 y z+4 = = 1 x + y z −1 = = C −7 −1 Hướng dẫn giải Gọi d đường thẳng cần tìm Gọi A = d ∩ d1 , B = d ∩ d A x − y z +1 = = −4 x − y z +1 = = D B A ∈ d1 ⇒ A ( 2a;1 − a; − + a ) B ∈ d ⇒ B ( −1 + 2b;1 + b;3) uuur AB = ( −2a + 2b − 1; a + b; − a + 5) uur ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 7;1; −4 ) uuu r uu r d ⊥ ( P ) ⇔ AB , n p phương uuu r uu r ⇔ có số k thỏa AB = kn p − a + 2b − = k −2 a + 2b − k = a = ⇔ a + b = k ⇔ a + b − k = ⇔ b = − − a + = −4k − a + k = −5 k = −1 uu r uur d qua điểm A ( 2;0; − 1) có vectơ phương ad = nP = ( 7;1 − ) Vậy phương trình d x − y z +1 = = −4 x −1 y − z = = Viết −1 phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A ( 2;3; −1) cắt d B cho Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( α ) : x + y + z − = x−3 y−6 z+2 = = −1 x−7 y z+4 = = B 1 A Trang 33/42 C x−3 y−6 z +2 = = −2 −3 D x−3 y−6 z+2 = = −1 Hướng dẫn giải B ∈ d ⇒ B ( + t ; + 2t ; −t ) x+3 y+6 z−2 = = −5 −9 uuur B ( 3;6; −2 ) , AB = ( 1;3; − 1) t = d ( B, ( α ) ) = ⇔ ⇒ uuur t = − B ( − 3; − 6; ) , AB = ( − 5; − 9;5 ) uuur ∆ qua điểm B có vectơ phương AB x+3 y+6 z−2 x−3 y−6 z+2 = = = = Vậy phương trình ∆ −1 −5 −9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A ( −2;2;1) cắt trục tung B cho OB = 2OA x y+6 z = = −8 −1 x+3 y+6 z−2 C = = −5 −9 Hướng dẫn giải B ∈ Oy ⇒ B ( 0; b;0 ) A x y−6 z = = −1 x y−6 z x y+6 z D = = = = −1 −8 −1 B uuur B ( 0;6;0 ) , AB = ( 2;4; −1) b = OB = 2OA ⇔ ⇒ uuur b = − B ( 0; − 6;0 ) , AB = ( 2; − 8; −1) uuur ∆ qua điểm B có vectơ phương AB x y−6 z x y+6 z = = = Vậy phương trình ∆ = −1 −8 −1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm B ( 1;1;2 ) cắt đường thẳng d : x − y − z +1 = = C cho tam giác OBC có −2 83 x −1 y −1 z − = = A −2 −1 x y−6 z = B = −1 x −1 y −1 z − x −1 y −1 z − = = = = C −2 −1 31 78 −109 x −1 y −1 z − = = D 31 78 −109 Hướng dẫn giải diện tích Trang 34/42 C ∈ d ⇒ C ( + t ;3 − 2t ; − + t ) uuur OC = ( + t ;3 − 2t ; − + t ) uuur OB = ( 1;1;2 ) uuur uuur OB, OC = ( 5t − 7; t + 5;1 − 3t ) uuur t = ⇒ BC = ( 3; −2; − 1) uuur uuur S∆OBC = OB, OC ⇔ − uuur 31 78 109 t = 35 ⇒ BC = 35 ; 35 ; − 35 ÷ uuur ∆ qua điểm B có vectơ phương BC x −1 y −1 z − x −1 y −1 z − = = = = Vậy phương trình ∆ −2 −1 31 78 −109 x − y −1 z − = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : −1 −1 x = t d2 : y = Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng z = −2 + t d1 , d x = + t x = + t A y = + 2t B y = − 2t z = − t z = − t Hướng dẫn giải Gọi d đường thẳng cần tìm Gọi A = d ∩ d1 , B = d ∩ d x = + 3t C y = − 2t z = − 5t D x = + t y = z = 1− t A ∈ d1 ⇒ A ( + a;1 − a;2 − a ) B ∈ d ⇒ B ( b;3; −2 + b ) uuu r AB = ( −a + b − 2; a + 2; a + b − ) ur d1 có vectơ phương a1 = ( 1; −1; −1) uu r d có vectơ phương a2 = ( 1;0;1) uuu r ur uuu r ur AB ⊥ a1 AB.a1 = d ⊥ d1 a = ⇔ uuu ⇔ ⇒ A ( 2;1;2 ) ; B ( 3;3;1) r uu r ⇔ uuu r uu r d ⊥ d AB ⊥ a2 AB.a2 = b = uu r uuu r d qua điểm A ( 2;1;2 ) có vectơ phương ad = AB = ( 1;2; −1) x = + t Vậy phương trình d y = + 2t z = − t (ĐH A2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x + y z − mặt phẳng = = , ( P ) : x + y − z + = A ( 1; −1; ) Đường thẳng 1 ∆ cắt d ( P ) M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng ∆ d: Trang 35/42 x −1 y +1 z − = = x +1 y + z + = = C −2 Hướng dẫn giải M ∈ d ⇒ M ( −1 + 2t ; t ; t + ) x +1 y −1 z + = = x−2 y−3 z−2 = = D −1 A B A trung điểm MN ⇒ N ( − 2t; −2 − t; − t ) N ∈ ( P ) ⇒ t = ⇒ M ( 3;2;4 ) uur uuuu r ∆ qua điểm M ( 3;2; ) có vectơ phương a∆ = AM = ( 2;3;2 ) Vậy phương trình ∆ x −1 y +1 z − = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : x − = y − = z − , mặt cầu −1 2 ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z + 1) = 29 A ( 1; −2;1) Đường thẳng ∆ cắt d ( S ) M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng ∆ x −1 y + z −1 x + y − z +1 = = = = A 11 −10 −1 x +1 y − z +1 x −1 y + z −1 = = = = B 11 −10 −1 x −1 y + z −1 x −1 y + z −1 = = = = C 11 −10 −1 x +1 y − z +1 x + y − z +1 = = = = D 11 −10 −1 Hướng dẫn giải M ∈ d ⇒ M ( + t ;1 + 2t ;1 − t ) A trung điểm MN ⇒ N ( −t ; −5 − 2t;1 + t ) uuuu r t = ⇒ MN = ( −4; −10;2 ) = −2 ( 2;5; −1) N ∈ ( S ) ⇒ 6t + 14t − 20 = ⇒ r 14 22 20 10 uuuu t = − ⇒ MN = ; ; − ÷ = ( 7;11; −10 ) 3 3 uur uuuu r ∆ qua điểm A ( 1; −2;1) có vectơ phương a∆ = MN x −1 y + z −1 x −1 y + z −1 = = = = 11 −10 −1 gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt Vậy phương trình ∆ (ĐH B2009) Trong không ( P) : x − y + 2z − = phẳng hai điểm A ( −3;0;1) , B ( 1; −1;3) Trong đường thẳng qua A song song với ( P ) , đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ có phương trình x + y z −1 x − y +1 z − = = = = A B 26 11 −2 26 11 −2 x − y z +1 x + y −1 z + = = = = C D 26 11 −2 26 11 −2 Hướng dẫn giải Gọi ∆ đường thẳng cần tìm Trang 36/42 Gọi mặt phẳng ( Q ) qua A ( −3;0;1) song song với ( P ) Khi đó: ( Q ) : x − y + 2z + = Gọi K , H hình chiếu B lên ∆, ( Q ) Ta có d ( B, ∆ ) = BK ≥ BH Do AH đường thẳng cần tìm uur ( Q ) có vectơ pháp tuyến nQ = ( 1; −2; ) uuur uur BH qua B có vectơ phương aBH = nQ = ( 1; −2;2 ) x = 1+ t BH : y = −1 − 2t z = + 2t H ∈ BH ⇒ H ( + t ; −1 − 2t;3 + 2t ) H ∈ ( P) ⇒ t = − 10 11 ⇒ H − ; ; ÷ 9 9 ∆ qua điểm A ( −3;0;1) có vectơ phương uur uuur 26 11 a∆ = AH = ; ; − ÷ = ( 26;11; −2 ) 9 9 Vậy phương trình ∆ ∆ : x + y z −1 = = 26 11 −2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : x − = y + = z + , mặt −1 phẳng ( P ) : x + y + z + = Gọi M giao điểm d ( P ) Gọi ∆ đường thẳng nằm ( P) vng góc với d cách M khoảng Phương trình đường thẳng ∆ A x − y + z + x + y + = = = = −3 −3 x−5 y + z +5 = = B −3 x+3 y + z −5 = = C −3 x+3 y +4 z −5 x+3 y+4 = = = = D 3 Hướng dẫn giải Gọi M = d ∩ ( P ) z −5 z −5 M ∈ d ⇒ M ( + 2t ; −2 + t; −1 − t ) M ∈ ( P ) ⇒ t = −1 ⇒ M ( 1; −3;0 ) uur ( P ) có vecttơ pháp tuyến nP = ( 1;1;1) uu r d có vecttơ phương ad = ( 2;1; −1) uur uu r uur ∆ có vecttơ phương a∆ = ad , nP = ( 2; −3;1) Gọi N ( x; y; z ) hình chiếu vng góc M ∆ , uuuu r MN = ( x − 1; y + 3; z ) Trang 37/42 42 uuuu r uur 2 x − y + z − 11 = MN ⊥ a∆ ⇔ x + y + z + = Ta có: N ∈ ( P ) 2 MN = 42 ( x − 1) + ( y + 3) + z = 42 Giải hệ ta tìm hai điểm N ( 5; −2; −5) N ( −3; −4;5) x−5 = x+3 = Với N ( −3; −4;5) , ta có ∆ : Trong khơng gian với hệ tọa độ Với N ( 5; −2; −5) , ta có ∆ : y+2 z+5 = −3 y+4 z−5 = −3 Oxyz, cho điểm I ( 1;1; ) , hai đường thẳng x = 3+ t x+2 y z−2 ∆1 : y = −1 + 2t ∆ : = = Phương trình đường thẳng d qua 1 z = điểm I cắt hai đường thẳng ∆1 , ∆ x −1 y −1 z − = = A −1 x −1 y −1 z − = = C 1 −1 • x = + 2t B y = − t z = + t D x = + 2t y = 1+ t z = + t Hướng dẫn giải Gọi ( α ) mặt phẳng qua I ∆ 1 ur ∆ qua M ( 3; −1;4 ) có vectơ phương a1 = ( 1;2;0 ) uuuu r IM = ( 2; −2;2 ) ur ur uuuu r ( α1 ) có vectơ pháp tuyến n1 = a1 , IM = ( 4; −2; −6) Gọi ( α ) mặt phẳng qua I ∆ 2 • uu r ∆ qua M ( −2;0;2 ) có vectơ phương a2 = ( 1;1;2 ) uuuur IM = ( −3; −1;0 ) uu r uu r uuuu r ( α2 ) có vectơ pháp tuyến n2 = a2 , IM = ( 2; −6;2 ) uu r ur uu r qua điểm I ( 1;1;2 ) có vectơ phương a = n , n = ( −40; −20; −20 ) d d 2 • x = + 2t Vậy phương trình đường thẳng d y = + t z = + t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : d2 : x −1 y +1 z = = , 1 x −1 y − z = = mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Gọi ∆ đường thẳng song song với ( P ) cắt d1 , d hai điểm A, B cho AB = 29 Phương trình tham số đường thẳng ∆ Trang 38/42 x = + 4t A ∆ : y = 2t ∆ : z = + 3t x = + 4t C ∆ : y = −2t z = + 3t x = −1 + 2t y = −2 + 4t z = −1 + 3t x = + 4t B ∆ : y = 2t z = + 3t x = −1 + 2t D ∆ : y = −2 + 4t z = −1 + 3t Hướng dẫn giải A ∈ d1 ⇒ A ( + 2a; −1 + a; a ) B ∈ d ⇒ B ( + b;2 + 2b; b ) uuur ∆ có vectơ phương AB = ( b − 2a;3 + 2b − a; b − a ) uur ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 1;1; −2 ) uuu r uuu r uu r Vì ∆ / / ( P ) nên AB ⊥ nP ⇔ b = a − Khi AB = ( − a − 3; a − 3; −3) uuu r A ( 3;0;1) , AB = ( −4; −2; −3) a = ⇒ uuu r Theo đề bài: AB = 29 ⇔ a = −1 A ( −1; −2; −1) , AB = ( −2; −4; −3) x = + 4t x = −1 + 2t Vậy phương trình đưởng thẳng ∆ y = 2t y = −2 + 4t z = + 3t z = −1 + 3t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : x −1 y z + = = −1 x −1 y + z − = = Gọi ∆ đường thẳng song song với ( P ) : x + y + z − = −2 cắt d1 , d hai điểm A, B cho AB ngắn Phương trình đường thẳng ∆ d2 : x = − t B y = z = − + t x = 12 − t A y = z = −9 + t x = C y = − t z = − + t x = − 2t D y = + t z = − + t Hướng dẫn giải A ∈ d1 ⇒ A ( + a ; a ; − − a ) B ∈ d ⇒ B ( + b; −2 + 3b; − 2b ) uuur ∆ có vectơ phương AB = ( b − 2a;3b − a − 2; − 2b + a + ) uur ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 1;1;1) uuur uuu r uur uuu r uur Vì ∆ / / ( P ) nên AB ⊥ nP ⇔ AB.n P = ⇔ b = a − Khi AB = ( − a − 1;2a − 5;6 − a ) AB = ( −a − 1) + ( a − 5) + ( − a ) 2 = 6a − 30a + 62 49 = 6a − ÷ + ≥ ; ∀a ∈ ¡ 2 2 Trang 39/42 Dấu " = " xảy a = r 7 uuu ⇒ A 6; ; − ÷, AB = − ;0; ÷ 2 2 uur 9 Đường thẳng ∆ qua điểm A 6; ; − ÷ vec tơ phương ud = ( −1;0;1) 2 x = − t Vậy phương trình ∆ y = z = − + t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 : x +1 y + z = = x − y −1 z −1 = = Đường thẳng d song song với ( P ) : x + y − z + = cắt 1 hai đường thẳng ∆ 1; ∆ A, B cho AB ngắn Phương trình đường thẳng d x −1 y − z − = = A x − = y − = z − B 1 x +1 y + z + = = C x + = y + = z + D 1 Hướng dẫn giải Gọi A = d ∩ ∆ , B = d ∩ ∆ ∆2 : A ∈ ∆1 ⇒ A ( −1 + a; −2 + 2a; a ) B ∈ ∆ ⇒ B ( + 2b;1 + b;1 + b ) uuu r AB = ( − a + 2b + 3; −2a + b + 3; − a + b + 1) uuu r uur d / / ( P ) ⇒ AB.nP = ⇔ b = a − uuu r AB = ( a − 5; − a − 1; −3) AB = ( a − ) + 27 ≥ 3; ∀a ∈ ¡ Dấu " = " xảy a = ⇒ A ( 1; 2; ) , B ( −2; −1; −1) uuu r AB = ( −3; −3; −3) uur d qua điểm A ( 1; 2; ) có vectơ phương ad = ( 1;1;1) Vậy phương trình d x − = y − = z − Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x − = y = z + , mặt phẳng 1 ( P ) : x − y − z + = M ( 1; −1;0 ) Đường thẳng ∆ qua điểm M , cắt d tạo với ( P ) góc 300 Phương trình đường thẳng ∆ x+2 = x−2 = B A y z−2 x +4 y +3 z +5 = = = 5 −2 y z+2 x − y −3 z −5 = = = 5 −2 Trang 40/42 C x − y + z x − y + z = = = = 1 −2 23 14 −1 x+2 y z−2 x −4 y −3 z −5 = = = = D 5 1 −2 Hướng dẫn giải Gọi N = ∆ ∩ d N ∈ d ⇒ N ( + 2t ; t; −2 + t ) uuuu r ∆ có vectơ phương MN = ( + 2t;1 + t; −2 + t ) uur ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 2; −1; −1) uuuu r uuuu r uur t = ⇒ MN = ( 1;1 − ) MN nP sin d , ( P ) = uuuu r uur ⇔ uuuu r 23 14 MN nP t = ⇒ MN = ; ;− ÷ 5 5 uu r uuuu r ∆ qua điểm M ( 1; −1;0 ) có vectơ phương ad = MN x −1 y +1 z x −1 y +1 z = = = = 1 −2 23 14 −1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi d qua A ( 3; −1;1) , nằm mặt phẳng Vậy phương trình ∆ ( P) : x − y + z − = , đồng thời tạo với ∆ : trình đường thẳng d x = + 7t A y = −1 − 8t z = −1 − 15t x y−2 z = = góc 450 Phương 2 x = + t B y = −1 − t z = x = + 7t C y = −1 − 8t z = − 15t D x = + t x = + 7t y = −1 − t y = −1 − 8t z = − 15t z = Hướng dẫn giải uur ∆ có vectơ phương a∆ = ( 1;2;2 ) uu r d có vectơ phương ad = ( a; b; c ) uur ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 1; −1;1) uu r uur d ⊂ ( P ) ⇒ ad ⊥ nP ⇔ b = a + c; ( 1) ( ∆, d ) = 450 ⇔ cos ( ∆, d ) = cos 450 ⇔ a + 2b + c a +b +c 2 = 2 ⇔ ( a + 2b + c ) = ( a + b2 + c ) ; ( ) c = Từ ( 1) ( ) , ta có: 14c + 30ac = ⇔ 15a + 7c = x = + t Với c = , chọn a = b = , phương trình đường thẳng d y = −1 − t z = Trang 41/42 Với 15a + 7c = , chọn a = ⇒ c = −15; b = −8 , phương trình đường thẳng d x = + 7t y = −1 − 8t z = − 15t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua điểm A ( 1; −1;2 ) , song song với ( P ) : x − y − z + = , đồng thời tạo với đường thẳng ∆ : x +1 y −1 z = = góc −2 lớn Phương trình đường thẳng d x −1 y +1 z − x −1 y +1 z + = = = = A B −5 −5 x −1 y +1 z − x −1 y +1 z − = = = = C D −5 −7 Hướng dẫn giải uur ∆ có vectơ phương a∆ = ( 1; −2;2 ) uu r d có vectơ phương ad = ( a; b; c ) uur ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 2; −1; −1) uu r uur uu r uur Vì d / / ( P ) nên ad ⊥ nP ⇔ ad nP = ⇔ 2a − b − c = ⇔ c = 2a − b ( 5a − 4b ) cos ( ∆, d ) = = 2 5a − 4ab + 2b2 5a − 4ab + 2b 5a − 4b Đặt t = a t − ( ) , ta có: cos ( ∆, d ) = b 5t − 4t + Xét hàm số f ( t ) = Trong ( 5t − ) 1 , ta suy được: max f ( t ) = f − ÷ = 5 5t − 4t + 2 Do đó: max cos ( ∆, d ) = ⇔ t = − ⇒ a = − 27 b a = ⇒ b = − 5, c = Chọn x −1 y +1 z − = = Vậy phương trình đường thẳng d −5 khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua A ( −1;0; −1) , cắt x −1 y − z + x−3 y−2 z+3 = = = = , cho góc d ∆ : nhỏ −1 −1 2 Phương trình đường thẳng d x +1 y z +1 x +1 y z +1 x +1 y z +1 = = = = C = = D A B 2 −1 −2 −5 −2 x +1 y z +1 = = 2 Hướng dẫn giải Gọi M = d ∩ ∆1 ⇒ M ( + 2t ;2 + t ; −2 − t ) uu r uuuu r d có vectơ phương ad = AM = ( 2t + 2; t + 2; −1 − t ) uu r ∆ có vectơ phương a2 = ( −1;2;2 ) ∆1 : cos ( d ; ∆ ) = t2 6t + 14t + Trang 42/42 t2 , ta suy f ( t ) = f ( ) = ⇔ t = 6t + 14t + uuuu r Do cos ( ∆, d ) = ⇔ t = ⇒ AM = ( 2;2 − 1) Xét hàm số f ( t ) = Vậy phương trình đường thẳng d Trong không gian với hệ tọa độ x +1 y z +1 = = 2 −1 Oxyz , cho ba đường thẳng x = t d1 : y = − t z = −1 + 2t x y−2 z x +1 y −1 z +1 = = = = d : Gọi ∆ đường thẳng cắt d1 , d , d −3 −3 điểm A, B, C cho AB = BC Phương trình đường thẳng ∆ x−2 y−2 z x y−2 z x y − z −1 x y − z −1 A B = C = = = = = D = = 1 1 1 1 −1 −1 Hướng dẫn giải Gọi A ∈ d1 , B ∈ d , C ∈ d d2 : Ta có: A ( a;4 − a; −1 + 2a ) , B ( b;2 − 3b; −3b ) , C ( −1 + 5c;1 + 2c; −1 + c ) Yêu cầu toán ⇔ A, B, C thẳng hàng AB = BC ⇔ B trung điểm AC Suy A ( 1;3;1) , B ( 0;2;0, ) , C ( −1;1; −1) a − + 5c = 2b a = ⇔ − a + + 2c = ( − 3b ) ⇔ b = c = −1 + 2a − a + c = ( −3b ) uuu r ∆ qua điểm B ( 0;2;0, ) có vectơ phương CB = ( 1;1;1) Vậy phương trình đường thẳng ∆ x y−2 z = = 1 Trang 43/42
Ngày đăng: 30/03/2020, 18:16
Xem thêm:
