THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM KIẾN THỨC CƠ BẢN I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) K F ' ( x ) = f ( x ) với x ∈ K Định lí: 1) Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K với số C , hàm số G ( x ) = F ( x ) + C nguyên hàm f ( x ) K 2) Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K nguyên hàm f ( x ) K có dạng F ( x ) + C , với C số Do F ( x ) + C , C ∈ ¡ họ tất nguyên hàm f ( x ) K Ký hiệu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C Tính chất nguyên hàm ′ Tính chất 1: ∫ f ( x ) dx = f ( x ) ( ) ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k số khác ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Tính chất 2: Tính chất 3: Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f ( x ) liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp Nguyên hàm hàm số sơ cấp ( u = u ( x) ) ∫ dx = x + C ∫ du = u + C ∫x ∫u α dx = α+1 x + C ( α ≠ −1) α +1 du = α+1 u + C ( α ≠ −1) α +1 ∫ x dx = ln x + C ∫ e dx = e + C x α ∫ u du = ln u + C ∫ e du = e + C x u ax + C ( a > 0, a ≠ 1) ln a ∫ sin xdx = − cos x + C u au + C ( a > 0, a ≠ 1) ln a ∫ sin udu = − cos u + C x ∫ a dx = u ∫ a du = ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos udu = sin u + C ∫ cos ∫ sin x dx = tan x + C ∫ cos dx = − cot x + C ∫ sin u du = tan u + C du = − cot u + C x u II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến số Định lí 1: Nếu ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C u = u ( x ) hàm số có đạo hàm liên tục ∫ f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = F ( u ( x ) ) + C Trang 1/34 Hệ quả: Nếu u = ax + b ( a ≠ ) ta có ∫ f ( ax + b ) dx = F ( ax + b ) + C a Phương pháp nguyên hàm phần Định lí 2: Nếu hai hàm số u = u ( x ) v = v ( x ) có đạo hàm liên tục K ∫ u ( x ) v ' ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) −∫ u ' ( x ) v ( x ) dx Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu A KỸ NĂNG CƠ BẢN - Tìm nguyên hàm phương pháp biến đổi trực tiếp - Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số - Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x + hàm số hàm số sau? x 3x x4 A F ( x ) = + B F ( x ) = + 3x + x + C + 2x + C 4 x x C F ( x ) = + + x + C D F ( x ) = x + x + C Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm Câu Hàm số F ( x ) = x + x − x + 120 + C họ nguyên hàm hàm số sau đây? 2 A f ( x ) = 15 x + x − B f ( x ) = x + x + 5x x3 x 2 D f ( x ) = x + x − + − Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm hàm số F ( x ) ta kết Câu Họ nguyên hàm hàm số: y = x − 3x + x x x3 A F ( x ) = − x + ln x + C B F ( x ) = − x + ln x + C 3 x C F ( x ) = + x + ln x + C D F ( x ) = x − − + C x Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) ( x + ) C f ( x ) = x3 2 + x + 2x + C 3 x3 2 F x = x + + C C ( ) D F ( x ) = − x + x + C 3 Hướng dẫn giải: f ( x ) = ( x + 1) ( x + ) = x + 3x + Sử dụng bảng nguyên hàm 2 + + hàm số nào? Câu Nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = − 2x x x 3 A F ( x ) = − ln − x + ln x − + C B F ( x ) = − ln − x + ln x + + C x x 3 C F ( x ) = ln − x + ln x − + C D F ( x ) = − ln − x − ln x + + C x x Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm 4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x A F ( x ) = x3 + x + 2x + C B F ( x ) = Trang 2/34 A C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin xdx = cos x + C Hướng dẫn giải B 1 ∫ sin xdx = cos x + C D ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin xdx = ∫ sin xd (2 x) = − cos x + C π Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = cos x + ÷ 6 π π A ∫ f ( x )dx = sin x + ÷+ C B ∫ f ( x).dx = sin x + ÷+ C 6 6 π π C ∫ f ( x)dx = − sin x + ÷+ C D ∫ f ( x)dx = sin 3x + ÷+ C 6 6 π π π Hướng dẫn giải: ∫ f ( x )dx = ∫ cos x + ÷d x + ÷ = sin x + ÷+ C 6 6 6 x Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = + tan x x A ∫ f ( x)dx = tan + C B ∫ f ( x)dx = tan + C 2 x x C ∫ f ( x) dx = tan + C D ∫ f ( x)dx = −2 tan + C 2 x d ÷ x f ( x) = + tan = dx x Hướng dẫn giải: = 2∫ = tan + C cos x nên ∫ x x cos cos 2 2 f ( x) = π Câu Tìm nguyên hàm hàm số sin x + ÷ 3 π π A ∫ f ( x) dx = − cot x + ÷+ C B ∫ f ( x )dx = − cot x + ÷+ C 3 3 π π C ∫ f ( x)dx = cot x + ÷+ C D ∫ f ( x)dx = cot x + ÷+ C 3 3 π dx+ ÷ dx π 3 =∫ = − cot x + ÷+ C Hướng dẫn giải: ∫ π π 3 sin x + ÷ sin x + ÷ 3 3 Câu 10 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x.cos x sin x +C ∫ sin x C ∫ f ( x )dx = +C sin x +C ∫ sin x D ∫ f ( x)dx = − +C sin x Hướng dẫn giải ∫ sin x.cos x.dx = ∫ sin x.d (sin x ) = +C 4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LƠGARIT Câu 11 Tìm ngun hàm hàm số f ( x) = e x − e − x A f ( x)dx = A ∫ f ( x ) dx = e ∫ f ( x ) dx = e C x + e− x + C x − e− x + C B f ( x)dx = − ∫ f ( x ) dx = −e D ∫ f ( x ) dx = −e B x + e− x + C x − e− x + C Trang 3/34 Hướng dẫn giải: ∫( e x − e − x ) dx = e x + e − x + C Câu 12 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = x.3−2 x A C x ∫ 2 f ( x ) dx = ÷ +C ln − ln ∫ 2 f ( x ) dx = ÷ +C ln − ln B x D x x ∫ 9 f ( x ) dx = ÷ +C ln − ln ∫ 2 f ( x ) dx = ÷ +C ln + ln x x 2 2 Hướng dẫn giải: ∫ dx = ∫ ÷ dx = ÷ +C 9 ln − ln Câu 13 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x (3 + e − x ) x −2 x A F ( x) = 3e x + x + C B F ( x) = 3e x + e x ln e x + C C F ( x ) = 3e x − x + C D F ( x) = 3e x − x + C e x −x x x Hướng dẫn giải: F( x ) = ∫ e (3 + e )dx = ∫ (3e + 1)dx = 3e + x + C x Câu 14 Hàm số F ( x ) = 7e − tan x nguyên hàm hàm số sau đây? e− x x A f ( x ) = e − ÷ cos x B f ( x ) = 7e x + cos x x D f ( x ) = e − ÷ cos x e− x x Hướng dẫn giải: Ta có g '( x) = 7e x − = e (7 − ) = f ( x) cos x cos2 x Câu 15 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = e x − x C f ( x ) = 7e + tan x − x −1 +C B ∫ f ( x ) dx = e x −2 +C D ∫ f ( x ) dx = A ∫ f ( x ) dx = e C ∫ f ( x ) dx = e x −1 +C e x −1 + C ∫ f ( x ) dx = 2x −1 + C e x −2 dx = ∫ e x −1dx = e x −1 + C 4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC Câu 16 Nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2x −1 Hướng dẫn giải: A ∫ f ( x ) dx = ∫ 2x −1 + C B 2x −1 D ∫ f ( x ) dx = −2 x − + C +C 1 d ( x − 1) dx = ∫ = 2x −1 + C Hướng dẫn giải: ∫ 2x −1 2x −1 Câu 17 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = 3− x C ∫ f ( x ) dx = A ∫ f ( x ) dx = −2 − x + C ∫ f ( x ) dx = − x + C C ∫ f ( x ) dx = − − x + C D ∫ f ( x ) dx = −3 − x + C B d ( − x) dx = − ∫ = −2 − x + C 3− x 3− x Câu 18 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = x + Hướng dẫn giải: ∫ Trang 4/34 A ∫ f ( x ) dx = ( x + 1) C ∫ f ( x ) dx = − 2x +1 + C 2x +1 + C B ∫ f ( x ) dx = ( x + 1) D ∫ f ( x ) dx = 2x + + C 2x + + C Hướng dẫn giải: Đặt t = x + ⇒ dx = tdt t3 ⇒ ∫ x + 1dx= ∫ t dt = + C = ( x + 1) x + + C 3 Câu 19 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = − 3x A ∫ f ( x ) dx = − ( − 3x ) C ∫ f ( x ) dx = ( − 3x ) − 3x + C − 3x B ∫ f ( x ) dx = − ( − 3x ) D ∫ f ( x ) dx = − Hướng dẫn giải: Đặt t = − 3x ⇒ dx = − − 3x − 3x + C 2tdt ( − 3x ) − 3x + C Câu 20 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = x − ∫ − xdx = − A ∫ f ( x ) dx = ( x − ) 3 x−2 +C ∫ f ( x ) dx = − ( x − ) x−2 +C − x − ( ) +C ∫ ∫ 3 Hướng dẫn giải: Đặt t = x − ⇒ dx = 3t dt Khi ∫ x − 2dx = ( x − ) x − + C Câu 21 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = − x f ( x ) dx = C A ( x − 2) x − B ∫ f ( x ) dx = − ( − 3x ) − 3x + C ( − 3x ) − 3x + C ∫ Hướng dẫn giải: Đặt 3 ∫ − 3xdx = − ( − 3x ) − 3x + C f ( x ) dx = C f ( x ) dx = D B ∫ f ( x ) dx = − ( − 3x ) D f ( x ) dx = − ( − x ) ∫ − 3 − 3x + C +C t = − 3x ⇒ dx = −t dt Khi Câu 22 Tìm ngun hàm hàm số f ( x ) = e3 x A C e3 x +C ∫ f ( x ) dx = ∫ e3 x f ( x ) dx = +C Hướng dẫn giải: Câu 23 Hàm số ∫ F ( x ) = ( x + 1) B ∫ f ( x ) dx = e3 x +C 3x+2 D f ( x ) dx = 2e +C ∫ 3x + 2 3x 3x x e3 x e3 x dx = ∫ e d ÷ = e + C = +C 3 x + + 2016 nguyên hàm hàm số sau đây? ( x + 1) x + 2 C f ( x ) = ( x + 1) x + A f ( x ) = B f ( x ) = ( x + 1) x + + C D f ( x ) = ( x + 1) x + + C Trang 5/34 ( x + 1) x + Hướng dẫn giải: F ' ( x ) = Câu 24 Biết nguyên hàm hàm số f ( x) = + hàm số F ( x ) thỏa mãn − 3x Khi F ( x ) hàm số sau đây? 2 − 3x + − 3x − A F ( x ) = x − B F ( x ) = x − 3 2 − 3x + 1 − 3x C F ( x ) = x − D F ( x ) = − 3 Hướng dẫn giải d ( − 3x ) F ( x) = ∫ + 1÷dx = − ∫ + x = x− − 3x + C 3 − 3x − 3x 2 F ( −1) = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = x − − 3x + 3 a Câu 25 Biết F ( x) = − x nguyên hàm hàm số f ( x) = Khi giá trị 1− x a A −3 B C D −3 ′ ⇒ a = −3 Hướng dẫn giải: F '( x) = − x = 1− x 4.1.5 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu 26 Tính F ( x) = ∫ x sin xdx F ( −1) = ( ) A F ( x) = sin x − x cos x + C B F ( x) = x sin x − cos x + C C F ( x) = sin x + x cos x + C D F ( x) = x sin x + cos x + C Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp trắc nghiệm: d Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập ( F ( x) ) − f ( x) , CALC dx ngẫu nhiên số điểm x0 thuộc tập xác định, kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng u đạo hàm dv nguyên hàm u ++ v x sin x − cos x -+ − sin x F ( x ) = sin x − x cos x + C Vậy Câu 27 Tính ∫ x ln xdx Chọn kết đúng: 2 2 A x ln x − ln x + + C B x ln x − ln x + + C 2 2 C x ln x + ln x + + C D x ln x + ln x + + C Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần lần ( ) ( ) ( ) ( ) Trang 6/34 Phương pháp trắc nghiệm Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 dx tập xác định, kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng: u đạo hàm u dv nguyên hàm v x + ln x ln x x2 x 2 x (nhận ln x (chuyển qua từ u ) x x dv ) x2 x x 1 (chuyển qua dv ) (nhận từ u ) + x x x2 1 1 Do ∫ x ln xdx = x ln x − x ln x + x + C = x 2 ln x − ln x + + C 2 4 Câu 28 Tính F ( x) = ∫ x sin x cos xdx Chọn kết đúng: ( x A F ( x) = sin x − cos x + C x C F ( x) = sin x + cos x + C Hướng dẫn giải: ) x cos x − sin x + C −1 x D F ( x) = sin x − cos x + C B F ( x) = Phương pháp tự luận: Biến đổi sin x cos x = sin x sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 dx tập xác định, kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng x Câu 29 Tính F ( x) = xe dx Chọn kết ∫ x A F ( x) = 3( x − 3)e + C x B F ( x) = ( x + 3)e + C x − 3x x + 3x C F ( x) = D F ( x) = e +C e +C 3 Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với x u = x, dv = e dx Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = Trang 7/34 d ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 dx tập xác định, kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng x dx Chọn kết Câu 30 Tính F ( x) = ∫ cos x A F ( x) = x tan x + ln | cos x | +C B F ( x) = − x cot x + ln | cos x | +C C F ( x) = − x tan x + ln | cos x | +C D F ( x) = − x cot x − ln | cos x | +C Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với u = x, dv = dx cos x Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 dx tập xác định, kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng Câu 31 Tính F ( x) = ∫ x cos xdx Chọn kết Nhập máy tính A F ( x) = ( x − 2)sin x + x cos x + C B F ( x) = x sin x − x cos x + sin x + C C F ( x) = x sin x − x cos x + 2sin x + C D F ( x) = (2 x + x ) cos x − x sin x + C Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần lần với u = x ; dv = cos xdx , sau u1 = x; dv1 = sin xdx Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 dx tập xác định, kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng Câu 32 Tính F ( x) = ∫ x sin xdx Chọn kết 1 A F ( x) = − (2 x cos x − sin x) + C B F ( x) = (2 x cos x − sin x) + C 4 1 C F ( x) = − (2 x cos x + sin x) + C D F ( x) = (2 x cos x + sin x) + C 4 Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với u = x; dv = sin xdx Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng sử dụng d ( F ( x )) − f ( x ) , CALC ngẫu nhiên số điểm x0 bất kỳ, máy tính: Nhập dx kết xấp xỉ chọn đáp án Câu 33 Hàm số F ( x) = x sin x + cos x + 2017 nguyên hàm hàm số nào? A f ( x) = x cos x B f ( x) = x sin x C f ( x) = − x cos x D f ( x) = − x sin x Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Tính F '( x) có kết trùng với đáp án chọn Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = Trang 8/34 d ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 dx tập xác định, kết xấp xỉ chọn + ln( x + 1) dx Khẳng định sau sai? Câu 34 Tính ∫ x2 −1 + ln( x + 1) x + ln( x + 1) x + ln +C + ln +C A B − x x +1 x x +1 x +1 + ln( x + 1) − ln x + + ln x + C C − D − ( + ln( x + 1) ) + ln | x | +C x x Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với 1 u = + ln( x + 1); dv = − dx biến đổi đặt u = ln( x + 1); dv == − dx x x Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra định nghĩa 4.1.6 ƠN TẬP Câu 35 Hãy chọn mệnh đề Nhập máy tính A ∫ a x dx = xα +1 + C , ∀α ∈ R α +1 f ( x) ∫ f ( x)dx dx = D ∫ g ( x) ∫ g( x)dx ax + C ( < a ≠ 1) ln a B ∫ xα dx = C ∫ f ( x).g ( x) dx = ∫ f ( x) dx.∫ g( x)dx Hướng dẫn giải: A B sai thiếu điều kiện α =/ −1 ; C, D sai khơng có tính chất Câu 36 Mệnh đề sau sai? A ∫ sin xdx = cos x + C B ∫ dx = ln x + C , x ≠ x ax x D a dx = + C , (0 < a ≠ 1) C ∫ ln a x x ∫ e dx = e + C Hướng dẫn giải: ∫ sin xdx = − cos x + C Câu 37 Hàm số f ( x) = x − x + + có nguyên hàm x x x3 A F ( x) = − + x + ln x + C C F ( x) = x − x − + C x x3 B F ( x) = x − + 3x + ln x + C D F ( x) = x − x3 + 3x + ln x + C x x3 Hướng dẫn giải: F ( x) = ∫ ( x − x + + )dx = − + x + ln x + C x Câu 38 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = tan x A F ( x ) = tan x − x + C B F ( x ) = − tan x + x + C C F ( x ) = tan x + x + C D F ( x ) = − tan x − x + C − 1÷dx = tan x − x + C x Câu 39 Hàm số F ( x) = sin x − cos x + nguyên hàm hàm số sau đây? Hướng dẫn giải: ∫ f ( x)dx = ∫ cos A f ( x ) = sin x + cos x C f ( x ) = sin x − cos x B f ( x ) = − sin x + cos x D f ( x ) = − sin x − cos x Trang 9/34 Hướng dẫn giải: F '( x) = cos x + sin x dx Câu 40 Kết tính ∫ sin x cos x A tan x − cot x + C B cot 2x + C C tan 2x − x + C D − tan x + cot x + C 1 dx = ∫ + ÷dx = tan x − cot x + C Hướng dẫn giải: ∫ 2 sin x cos x cos x sin x 1 + − có nguyên hàm Câu 41 Hàm số F ( x) = 3x − x x −x x C f ( x) = x − x + x −x x 1 x − −x D f ( x ) = x − x 1 + − 1÷dx = x − x − − x + C Hướng dẫn giải: Ta có ∫ F ( x)dx = ∫ x − x x x cos x Câu 42 Hàm số f ( x) = có nguyên hàm F ( x) sin x 1 −4 A − B C D 4 4sin x 4sin x sin x sin x cos x 1 +C Hướng dẫn giải: ∫ f ( x )dx = ∫ dx = ∫ d (sin x) = − sin x sin x 4sin x A f ( x ) = x − x − B f ( x) = x − x − Câu 43 Kết tính ∫ x − x dx A − ( − 4x ) 3 ( − x2 ) + C − x2 ) + C D − ( 12 +C B − − x2 ) + C ( Hướng dẫn giải: Đặt t = − x ⇒ tdt = −4 xdx 1 − 4x2 ) + C Ta có ∫ x − x dx = − ∫ t dt = − t + C = − ( 6 sin x Câu 44 Kết ∫ e cos xdx C A esin x + C B cos x.esin x + C C ecos x + C sin x sin x sin x Hướng dẫn giải: Ta có ∫ e cos xdx = ∫ e d (sin x) =e + C Câu 45 Tính ∫ tan xdx A − ln cos x + C B ln cos x + C C Hướng dẫn giải: Ta có ∫ tan xdx = − ∫ Câu 46 Tính ∫ cot xdx D e − sin x + C +C cos x D −1 +C cos x d (cos x) = − ln cos x + C cos x A ln sin x + C B − ln sin x + C Hướng dẫn giải: Ta có ∫ cot xdx = ∫ Câu 47 Nguyên hàm hàm số y = C −1 +C sin x D −C sin x d (sin x) = ln sin x + C sin x x3 x −1 Trang 10/34 C ln x + x + + C Hướng dẫn giải: Câu 95 Tính D −2 ln( x + x + 3) + C x3 + x 4 ∫ x + x2 + 3dx = ∫ x4 + x + 3d ( x + x + 3) = ln x + x + + C x2 + ∫ x3 + 3x − 1dx A ln x + 3x − + C 3 B ln x + 3x − + C D ln( x + 3x − 1) + C x +1 1 Hướng dẫn giải: ∫ dx = ∫ d ( x + 3x − 1) = ln x + x − + C x + 3x − x + 3x − x −5 Câu 96 Tính ∫ e dx C ln x + 3x − + C A e6 x −5 + C B e x −5 + C Hướng dẫn giải: Câu 97 Tính ∫e − x −5 ∫e x −5 dx = C 6e6 x −5 + C e6 x +5 − C x −5 e d (6 x − 5) = e6 x −5 + C ∫ 6 dx A −e − x −5 + C B e − x −5 + C C e x +5 + C − x −5 − x −5 − x −5 +C Hướng dẫn giải: ∫ e dx = − ∫ e d (− x − 5) = −e Câu 98 Tính D ∫ ( − 9x ) 12 D −e x +5 + C dx (5 − x)13 (5 − x)13 (5 − x)13 C D +C +C +C 117 13 (5 − x)13 12 12 Hướng dẫn giải: ∫ ( − x ) dx = − ∫ ( − x ) d (5 − x) = − +C 117 π Câu 99 Tính ∫ cos x + ÷dx 4 π π A sin x + ÷+ C B sin x + ÷+ C 4 4 π π − sin x + ÷+ C C −5sin x + ÷+ C D 4 4 π π π π Hướng dẫn giải: ∫ cos x + ÷dx = ∫ cos x + ÷d x + ÷ = sin x + ÷+ C 4 4 4 4 dx ∫ π Câu 100 Tính 2 cos x + ÷ 4 π π A tan x + ÷+ C B tan x + ÷+ C 4 4 π π tan x + ÷+ C C − tan x + ÷+ C D 4 4 1 π π dx = ∫ d x + ÷ = tan x + ÷+ C ∫ π π Hướng dẫn giải: 4 4 cos x + ÷ cos x + ÷ 4 4 A − (5 − x)13 +C 117 B Trang 21/34 Câu 101 Tính ∫ (cos x + sin x) dx π A − cot x + ÷+ C 4 π C − cot x + ÷+ C 4 Hướng dẫn giải 1 ∫ (cos x + sin x)2 dx = ∫ π B cot x + ÷+ C 4 π − cot x + ÷+ C D 4 π sin x + ÷ 4 12 x + dx 3x + 1 A x + ln x + + C Câu 102 Tính dx = 2∫ π π d x + ÷ = − cot x + ÷+ C π 4 4 sin x + ÷ ∫ 6x2 + 5x +C x3 + x x + ln(3 x + 1) + C C x + ln x + + C D 12 x + dx = ∫ + Hướng dẫn giải: ∫ ÷dx = x + ln x + + C 3x + 3x + 2x + x Câu 103 Tính ∫ dx 2x −1 B x2 x2 B + x + ln x − + C + x + ln x − + C 2 2 x x2 C D + x + ln(2 x − 1) + C + x + ln(2 x − 1) + C 2 2x2 + x x2 dx = ∫ x + + dx = + x + 2x −1 + C Hướng dẫn giải: ∫ ÷ 2x −1 2x −1 2 −x dx Câu 104 Tính ∫ ( x + 1) A − ln x + + C x +1 + ln x + + C C − x +1 − ln x + + C x +1 − − ln( x + 1) + C D x +1 −x dx = ∫ − − ln x + + C Hướng dẫn giải: ∫ ÷dx = − 2 ( x + 1) x +1 x +1 ( x + 1) A − Câu 105 Tính ∫ sin x(2 + cos x)dx B A −2 cos x − cos x + C C cos x + cos x + C B cos x − cos x + C cos x + cos x + C D 1 Hướng dẫn giải: ∫ sin x(2 + cos x)dx = ∫ (2sin x + sin x) dx = − cos x − cos x + C x Câu 106 Tính ∫ x.2 dx bằng: x.2 x 2x − +C ln ln C x ( x + 1) + C A x ( x − 1) +C ln 2 x ( x − 1) + C D B Trang 22/34 Hướng dẫn giải du = dx u = x x.2 x 2x x.2 x 2x x x ⇒ Đặt Ta có x dx = − dx = − +C x ∫ ln ∫ ln ln ln 2 dv = dx v = ln Câu 107 Tính ∫ ln xdx bằng: x2 ln x + C x ln x − + C x A x ln x − x + C B x ln x − C ln x − x + C D x Hướng dẫn giải u = ln x du = dx ⇒ x Ta có ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx =x ln x − x + C Đặt dv = dx v = x Câu 108 Tính ∫ x ln( x − 1)dx bằng: x2 − x+C x2 C ( x + 1) ln( x − 1) − − x + C Hướng dẫn giải dx u = ln( x − 1) du = ⇒ x −1 Đặt dv = xdx v = x − A ( x − 1) ln( x − 1) − x2 − x+C x2 ( x − 1) ln( x − 1) − + x + C B x ln( x − 1) − D Ta có ∫ x ln( x − 1)dx = ( x − 1) ln( x − 1) − ∫ ( x + 1) dx =( x − 1) ln( x − 1) − ÷dx bằng: x A − cos x + tan x + C Câu 109 Tính x2 − x+C ∫ sin x + cos C cos x − tan x + C B cos x + tan x + C − cos x − +C D cos x Hướng dẫn giải: Ta có ∫ sin x + ÷dx = − cos x + tan x + C cos x Câu 110 Hàm số F ( x) = ln sin x − cos x nguyên hàm hàm số sin x + cos x sin x − cos x C f ( x ) = sin x + cos x sin x − cos x sin x + cos x f ( x) = D sin x − cos x (sin x − cos x) ' cos x + sin x = Hướng dẫn giải: Ta có F '( x) = sin x − cos x sin x − cos x Câu 111 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x ) = 3x − x + thỏa mãn điều kiện A f ( x ) = B f ( x) = F (−2) = là: 37 x − x +x− 3 C F ( x) = x − x + x Hướng dẫn giải A F ( x) = x − x + x+C 3 37 F ( x) = x − x + x + 3 B F ( x) = D Trang 23/34 37 Ta có F ( x) = ∫ (3 x − x + 1) = x − x + x + C F (−2) = ⇔ C = − 3 37 Vậy F ( x) = x − x + x − 3 VẬN DỤNG CAO 4.1.1 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC, PHÂN THỨC − x3 + 5x + Câu 112 Kết tính ∫ dx − x2 x2 x2 A − ln − x + C B + ln − x + C 2 x3 x3 C D − ln − x + C + ln x − + C 3 Hướng dẫn giải − x3 + x + x3 − x − ( x + ) ( x − x − 1) = = = x− Sử dụng bảng nguyên hàm 2 4− x x −4 x−2 ( x + 2) ( x − 2) Câu 113 Họ nguyên hàm f ( x ) = x ( x + 1) A F ( x ) = x + 1) + C ( 18 B F ( x ) = 18 ( x + 1) + C 6 x + 1) + C ( Hướng dẫn giải: Đặt t = x + ⇒ dt = 3x dx Khi 6 3 x x + dx = t dt = t + C = x + +C ( ) ( ) ∫ 3∫ 18 18 x + x + x3 + Câu 114 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = hàm số nào? x3 1 1 A F ( x ) = ln x − + x − + C B F ( x ) = ln x + + x − + C x 2x x 2x 3 x 3x x 3x C F ( x ) = − D F ( x ) = + + ln x + C + ln x + C 3 x + x + x3 + 1 1 Hướng dẫn giải: f ( x ) = = + + + Sử dụng bảng nguyên x x x x hàm Câu 115 Giá trị m để hàm số F ( x ) = mx + ( 3m + ) x − x + nguyên hàm C F ( x ) = ( x + 1) + C D F ( x ) = hàm số f ( x ) = x + 10 x − là: A m = B m = C m = D m = Hướng dẫn giải: ∫ ( x + 10 x − ) dx = x + x − x + C , nên m = Câu 116 Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin ( x ) thoả mãn F ( ) = Khi F ( x ) là: 1 1 A F ( x ) = ( x + 1) − sin x + sin x B F ( x ) = x − sin x + sin x 8 64 8 64 1 3 C F ( x ) = x − sin x + sin x + D F ( x ) = x − sin x + sin x + 8 64 8 Hướng dẫn giải Trang 24/34 1 + cos8 x − cos x sin ( x ) = ÷ = ( − cos x + cos x ) = 1 − cos x + ÷ 4 cos x cos8 x = − + 8 sin x sin x cos x cos8 x + + +C Nên ∫ sin ( x ) dx = ∫ − ÷dx = x − 8 64 8 Vì F ( ) = nên suy đáp án Câu 117 Biết hàm số f ( x ) = (6 x + 1)2 có nguyên hàm F ( x ) = ax + bx + cx + d thoả mãn điều kiện F (−1) = 20 Tính tổng a + b + c + d A 46 B 44 C 36 D 54 Hướng dẫn giải 2 ∫ ( x + 1) dx = ∫ ( 36 x + 12 x + 1) dx = 12 x + x + x + C nên a = 12; b = 6; c = Thay F (−1) = 20 d = 27 , cộng lại chọn đáp án Câu 118 Hàm số f ( x ) = x x + có nguyên hàm F ( x ) Nếu F ( ) = F ( 3) 146 116 886 105 A B C D 15 15 105 886 Hướng dẫn giải: Đặt t = x + ⇒ 2tdt = dx 5 2 ∫ x x + 1dx = ∫ ( 2t − 2t ) dt = t − t + C = x + − x + + C 34 Vì F ( ) = nên C = Thay x = ta đáp án 15 Câu 119 Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x) = x cos x thỏa mãn F ( ) = Khi phát biểu sau đúng? A F ( x ) hàm số chẵn ( ) ( ) B F ( x ) hàm số lẻ C Hàm số F ( x ) tuần hoàn với chu kì 2π D Hàm số F ( x ) không hàm số chẵn không hàm số lẻ Hướng dẫn giải ∫ x cos xdx = x sin x + cos x + C F ( ) = nên C = Do F ( x ) hàm số chẵn sin x Câu 120 Một nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x) = thỏa mãn F ( ) = sin x + sin x ln + sin x 2 A ln + B ln + sin x C D ln cos x 3 Hướng dẫn giải: Đặt t = sin x + ⇒ dt = 2sin x cos xdx sin x dt ∫ sin x + dx = ∫ t = ln t + C = ln sin x + + C F ( ) = nên C = − ln Chọn đáp án 4m + sin x Tìm m để nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) thỏa Câu 121 Cho f ( x ) = π π π mãn F ( ) = F ÷ = 4 3 4 A − B C − D 4 3 Trang 25/34 4m x sin x 4m + sin x ÷dx = x+ − + C F ( ) = nên C = π π π π F ÷ = nên tính m = − 4 Hướng dẫn giải: ∫ 4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 122 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x.cos x 1 A ∫ f ( x)dx = ln sin x − ln − sin x + C B ∫ f ( x)dx = ln sin x + ln − sin x + C 2 1 C ∫ f ( x)dx = ln sin x − ln − sin x + C D ∫ f ( x)dx = − ln sin x − ln − sin x + C 2 Hướng dẫn giải d ( sin x ) dx cos xdx d sin x d sin x d sin x ∫ sin x.cos x = ∫ sin x.cos x = ∫ sin x ( − sin x ) = 12 ∫ −( sin x) + ∫ (sin x ) − 12 ∫ +( sin x) −1 1 ln − sin x + ln sin x − ln + sin x + C = ln sin x − ln − sin x + C 2 2sin x Câu 123 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = + cos x 2 A ∫ f ( x)dx = cos x − cos x + C B ∫ f ( x)dx = cos x − cos x + C 2 C ∫ f ( x )dx = cos x + cos x + C D ∫ f ( x)dx = cos x + cos x + C Hướng dẫn giải 2sin x 2sin x cos x − dx = sin xdx = ∫ + cos x ∫ + cos x ∫ + cos x d ( cos x ) = ∫ ( cos x − 1) d ( cos x ) = cos x − cos x + C = Câu 124 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos3 x sin x − cot x cot x B + C f ( x ) dx = +C ∫ ∫ 4 cot x tan x C ∫ f ( x).dx = D ∫ f ( x).dx = +C +C cos3 xdx dx − cot x 3 Hướng dẫn giải ∫ = ∫ cot x = − ∫ cot x.d ( cot x ) = +C sin x sin x 4 Câu 125 Tìm nguyên hàm hàm số: f ( x) = cos x ( sin x + cos x ) A f ( x).dx = 1 A ∫ f ( x).dx = sin x − 12 sin C ∫ f ( x).dx = sin x − sin 3 2x + C 2x + C 1 1 B ∫ f ( x).dx = sin x + 12 sin D ∫ f ( x).dx = sin x − sin 3 2x + C 2x + C Hướng dẫn giải ∫ cos x ( sin x + cos x ) dx = ∫ cos x ( sin x + cos x ) − 2sin x.cos x dx = ∫ cos x 1 − sin 2 x ÷dx = ∫ cos xdx − ∫ sin 2 x.cos xdx 1 = ∫ cos xdx − ∫ sin 2 x.d ( sin x ) = sin x − sin x + C 12 Trang 26/34 2sin x Câu 126 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( tan x + e ) cos x A ∫ f ( x)dx = − cos x + e C ∫ f ( x)dx = − cos x + e 2sin x 2sin x +C +C B ∫ f ( x)dx = cos x + e D ∫ f ( x)dx = − cos x − e Hướng dẫn giải 2sin x +C 2sin x +C d ( sin x ) = − cos x + e2sin x + C Câu 127 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x + cos x + 1 x 3π x 3π cot + cot + A ∫ f ( x)dx = − B ∫ f ( x)dx = ÷+ C ÷+ C 2 2 2 1 x 3π x 3π cot + cot − C ∫ f ( x)dx = − D ∫ f ( x)dx = − ÷+ C ÷+ C 2 2 2 Hướng dẫn giải dx dx dx = ∫ sin x + cos x + = ∫ ∫ π sin x + π + sin x + ÷+ ÷ 4 4 dx dx x 3π = = =− cot + ÷+ C ∫ ∫ x π x π 2 x π 2sin + ÷ sin + ÷+ cos + ÷÷ 2 ∫ ( tan x + e 2sin x ) cos xdx = ∫ sin xdx + ∫ e 2sin x 4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT Câu 128 Hàm số F ( x) = ln sin x − cos x nguyên hàm hàm số sin x + cos x sin x − cos x C f ( x ) = sin x + cos x sin x − cos x sin x + cos x D f ( x ) = sin x − cos x (sin x − cos x) ' cos x + sin x = Hướng dẫn giải: F '( x) = sin x − cos x sin x − cos x Câu 129 Kết tính ∫ x ln( x − 1)dx bằng: A f ( x ) = x2 − x+C x2 C ( x + 1) ln( x − 1) − − x + C Hướng dẫn giải dx u = ln( x − 1) du = ⇒ x −1 Đặt dv = xdx v = x − A ( x − 1) ln( x − 1) − B f ( x ) = x2 − x+C x2 ( x − 1) ln( x − 1) − + x + C B x ln( x − 1) − D Ta có ∫ x ln( x − 1)dx = ( x − 1) ln( x − 1) − ∫ ( x + 1) dx =( x − 1) ln( x − 1) − e tan x ∫ cos2 xdx bằng: A e tan x + C B tan x.e tan x + C C e − tan x + C e tan x Hướng dẫn giải: ∫ dx = ∫ e tan x d (tan x) = e tan x + C cos x x2 − x+C Câu 130 Kết tính D −e tan x + C Trang 27/34 Câu 131 Tính ∫e cos2 x sin xdx bằng: B e − sin x + C A −ecos x + C Hướng dẫn giải: Câu 132 Tính ∫e sin x C e −2sin x + C D −esin x + C cos x cos x cos x ∫ e sin xdx = − ∫ e d (cos x) = − e + C 2 sin xdx bằng: B esin x + C A esin x + C C ecos x + C 2 Hướng dẫn giải: ∫ esin x sin xdx = ∫ esin x d (sin x) = esin x + C Câu 133 Kết ∫e cos x D e 2sin x + C sin xdx bằng: B ecos x + C C −e − cos x + C D e − sin x + C cos x cos x cos x Hướng dẫn giải: ∫ e sin xdx = − ∫ e d (cos x) = −e + C 4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC Câu 134 Biết hàm số F ( x) = − x − x + 2017 nguyên hàm hàm số A −e cos x + C ax + b Khi tổng a b 1− 2x A B −2 C f ( x) = 3x − Hướng dẫn giải: F '( x) = − x − x + 2017 ' = 1− 2x ⇒ a + b = + ( −1) = ( ) Câu 135 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 8) x + + C 2 C F ( x ) = ( − x ) x + + C A F ( x ) = Hướng dẫn giải: ∫ x3 − x dx = ∫ x2 + 2 B F ( x ) = x + x + + x + C 2 D F ( x ) = ( x − ) + x + C ( x − ) xdx x2 + Đặt t = x + ⇒ x = t − ⇒ xdx = tdt Khi ( t − 3) ( tdt ) = t − dt = t − 3t + C x3 − x dx = ) ∫ x2 + ∫ ∫( t = ( x2 + ) x2 + x3 − x D ( x − 8) x + + C sin x dx Hãy chọn đáp án 4sin x + cos x + − x2 + + C = Câu 136 Tính F ( x ) = ∫ A F ( x ) = − cos x + C B F ( x ) = − sin x + C C F ( x ) = + cos x + C D F ( x ) = − − sin x + C Hướng dẫn giải d ( − cos x ) sin x sin x ∫ 4sin x + cos2 x + dx = ∫ − cos x dx=∫ − cos x = − cos x + C Câu 137 Biết hàm số F ( x) = ( mx + n ) x − nguyên hàm hàm số f ( x) = 1− x Khi tích m n 2x −1 Trang 28/34 2 A − B −2 C − D Hướng dẫn giải 1− x 2 2 dx = − x + ÷ 2x − + C Suy m = − ; n = ⇒ m.n = − Cách 1: Tính ∫ 3 3 2x − m=− 3mx − m + n 3m = −1 ⇒ ⇒ m.n = − Cách 2: Tính F ' ( x ) = Suy 2x −1 n − m = n = ln x Câu 138 Biết hàm số F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = có đồ thị x ln x + qua điểm ( e; 2016 ) Khi hàm số F ( 1) A + 2014 C + 2014 B + 2016 D + 2016 Hướng dẫn giải: Đặt t = ln x + tính F ( x ) = ln x + + C F ( e ) = 2016 ⇒ C = 2014 ⇒ F ( x ) = ln x + + 2014 ⇒ F ( 1) = + 2014 4.1.5 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN x x Câu 139 Tính ∫ x e dx = e (ax + bx + cx + d ) + C Giá trị a + b + c + d A −2 B 10 C D −9 Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng x x x x x x Kết quả: ∫ x e dx = x e − 3x e + xe − 6e + C = e ( x − 3x + x − 6) + C Vậy a + b + c + d = −2 2 2 Câu 140 Tính F ( x) = ∫ x ln( x + 3)dx = A( x + 3) ln( x + 3) + Bx + C Giá trị biểu thức A + B A B C −1 D Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng dv nguyên hàm u đạo hàm u v x ln( x + 3) + 2x x2 + x2 + x 2x 2x (Chuyển qua (Nhận từ u ) x +3 x +3 dv ) x2 1 Do F ( x) = ∫ x ln( x + 3)dx = ( x + 3) ln( x + 3) − x + C 2 Vậy A + B = 2 Câu 141 Tính ∫ x cos xdx = ax sin x + bx cos x + c sin x + C Giá trị a + b + 4c A B C −3 D Trang 29/34 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần lần Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng 1 Kết quả: ∫ x cos xdx = x sin x + x cos x − sin x + C 2 Vậy a + b + 4c = Câu 142 Tính ∫ x ln xdx = x ( A ln x + B ) + C Giá trị A + B bằng: A B −1 C D −1 Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với u = ln x, dv = x 3dx Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng 4 1 41 Kết quả: ∫ x ln xdx = x ln x − x + C = x ln x − ÷+ C 16 16 4 Vậy A + B = 1+ x dx Chọn kết đúng: Câu 143 Tính F ( x) = ∫ x ln 1− x x2 −1 + x x2 + 1 + x B ln + x+C F ( x) = ln + x+C 1− x 1− x x2 + 1 + x x2 −1 + x C F ( x) = D F ( x) = ln − x+C ln − x+C 1− x 1− x Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần nguyên hàm hàm số hữu tỉ Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng 1+ x x2 −1 + x Kết quả: ∫ x ln dx = ln + x+C 1− x 1− x Câu 144 Cho hàm số F ( x) = ∫ x (1 − x) dx Biết F (0) = , F (1) bằng: A F ( x) = 21 19 −21 −19 B C D 20 20 20 20 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp đổi biến số với u = − x Sử dụng phương pháp phần với u = x; dv = (1 − x)3 dx Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng u = x; dv = (1 − x)3 dx A với − x (1 − x) (1 − x)5 Kết F ( x) = ∫ x (1 − x) dx = − +C 20 21 21 F (0) = suy C = Do F (1) = 20 20 Câu 145 Tính ∫ (2 x + 1)sin xdx = a x cos x + b cos x + c sin x + C Giá trị biểu thức a + b + c A −1 B C D −5 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng Kết F ( x) = ∫ (2 x + 1)sin xdx = −2 x cos x − cos x + 2sin x + C nên a + b + c = −1 Trang 30/34 Câu 146 Cho hàm số F ( x) = ∫ x ln( x + 1)dx có F (1) = Khi giá trị F (0) −1 −1 B C D 4 2 Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với u = ln( x + 1), dv = xdx Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng 1 Kết F ( x) = ∫ x ln( x + 1)dx = ( x − 1) ln( x + 1) − ( x − x) + C −1 −1 Từ F (1) = suy C = Vậy F (0) = 4 −5 Câu 147 Hàm số F ( x) = ∫ ( x + 1) ln xdx thỏa mãn F (1) = A x3 x x3 x A ( x + x) ln x − − B ( x + x) ln x − − − 18 18 x x 10 x3 x C ( x + x) ln x − − + D ( x + x) ln x − − + 18 18 Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp phần Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng x3 x Kết F ( x) = ∫ ( x + 1) ln xdx = ( x + x) ln x − − + C 18 −5 x3 x Với F (1) = suy C = nên F ( x) = ( x + 3x ) ln x − − 18 x xe Câu 148 Hàm số f ( x ) có đạo hàm f '( x ) = có đồ thị qua điểm A(0;1) Chọn ( x + 1) kết ex x +1 ex C f ( x) = −1 x +1 ex +1 x +1 ex D f ( x) = +2 x +1 A f ( x) = B f ( x ) = x Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp phần với u = xe , dv = + dv nguyên hàm v ( x + 1) ( x + 1)e (Chuyển ( x + 1)e x qua dv ) −1 x +1 - −e x (nhận ( x + 1)e x từ u ) u đạo hàm u xe x x −e x Kết f ( x) = ∫ dx ( x + 1) xe x ex ex f (0) = dx = + C Với suy C = Vậy f ( x) = ( x + 1) x +1 x +1 ( Câu 149 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x ) = ln x + x + ) thỏa mãn F (0) = Chọn kết Trang 31/34 ( ) 2 A F ( x) = x ln x + x + − x + + ( ) 2 C F ( x) = x ln x + x + − x + + ( D F ( x) = x ln ( x + ) x +1) − 2 B F ( x) = x ln x + x + − x + − x2 +1 Hướng dẫn giải: ( F ( x) = x ln ( x + ) x +1) − Đặt u = ln x + x + , dv = dx ta ( x + + C Vì F (0) = nên C = ) 2 Vậy F ( x) = x ln x + x + − x + + Câu 150 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = x thỏa mãn F (π ) = 2017 Khi cos x F ( x ) hàm số đây? A F ( x) = x tan x + ln | cos x | +2017 C F ( x) = x tan x + ln | cos x | +2016 Hướng dẫn giải: Đặt u = x, dv = B F ( x) = x tan x − ln | cos x | +2018 D F ( x) = x tan x − ln | cos x | +2017 dx ta du = dx, v = tan x cos x x dx = x tan x − ∫ tan xdx = x tan x + ln | cos x | +C cos x Vì F (π ) = 2017 nên C = 2017 Vậy F ( x) = x tan x + ln | cos x | +2017 Câu 151 Tính F ( x) = ∫ x (1 + sin x)dx = Ax + Bx cos x + C sin x + D Giá trị biểu thức Kết F ( x) = ∫ A + B + C 1 A B − C D − 4 4 Hướng dẫn giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng với u = x, dv = (1 + sin x)dx ta 1 1 F ( x) = x − x cos x + sin x + D Vậy A + B + C = 2 4 + x sin x dx Chọn kết Câu 152 Tính F ( x) = ∫ cos x x sin x − x sin x − + ln +C + ln +C A F ( x) = tan x + B F ( x) = tan x − cos x sin x + cos x sin x + x sin x − x sin x − − ln +C − ln +C C F ( x) = tan x + D F ( x) = tan x − cos x sin x + cos x sin x + Hướng dẫn giải dx x sin x +∫ dx = tan x + I ( x ) Cách 1: Biến đổi F ( x) = ∫ cos x cos x sin x x dx dx ta I ( x) = −∫ Tính I ( x) cách đặt u = x; dv = cos x cos x cos x dx cos xdx d (sin x ) sin x − =∫ =∫ = ln +C Tính J ( x) = − ∫ cos x sin x − (sin x − 1)(sin x + 1) sin x + x sin x − + ln +C Kết F ( x ) = tan x + cos x sin x + d ( F ( x )) − f ( x ) = Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra dx số điểm ngẫu nhiên x0 Trang 32/34 4.1.6 ÔN TẬP Câu 153 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = sin x + π F ÷= 4 A F ( x) = − cos x + tan x + − thỏa mãn điều kiện cos x B F ( x) = cos x + tan x + − D F ( x) = − cos x + tan x C F ( x) = − cos x + tan x + − Hướng dẫn giải Ta có ∫ sin x + ÷dx = − cos x + tan x + C ⇒ F ( x) = − cos x + tan x + C cos x π F ÷= ⇔ C = − Vậy F ( x) = − cos x + tan x + − 4 Câu 154 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x ) = 2sin x + x + thỏa mãn đồ thị hai hàm số F ( x) f ( x ) cắt điểm nằm trục tung 2 2 A F ( x) = − cos x + x x + x + B F ( x) = cos x + x x + x + 5 5 2 + x +1 C F ( x) = 10 cos x + D F ( x) = − cos x + x x + x x 5 Hướng dẫn giải 2 Ta có F ( x) = − cos x + x x + x + C F (0) = f (0) ⇔ C = 5 2 Vậy F ( x) = − cos x + x x + x + 5 x Câu 155 Hàm số F ( x) = (ax + bx + c)e nguyên hàm hàm số f ( x) = x e x a + b + c bằng: A B C D −2 Hướng dẫn giải a = a = 2 Ta có F '( x) = f ( x ) ⇔ ax + (2a + b) x + b + c = x ⇔ 2a + b = ⇔ b = −2 b + c = c = Vậy a + b + c = π Câu 156 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x ) = a + b cos x thỏa mãn F (0) = , π π π π F ÷= , F ÷= 2 12 7π π 7π sin x + sin x A F ( x) = − x + B F ( x) = − x + 9 7π π 7π π sin x + sin x − C F ( x) = − x − D F ( x) = − x + 9 Hướng dẫn giải Trang 33/34 π a=− F (0) = π π 7π b ⇔ b = Ta có F ( x) = ax + sin x + C F ÷ = 2 π π π F ÷= C = 12 7π π sin x + Vậy F ( x) = − x + Câu 157 Cho hàm số F ( x) = ax + bx + cx + nguyên hàm hàm số f ( x ) thỏa mãn f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = Hàm số F ( x) 1 A F ( x) = x + x + B F ( x) = − x + x + 2 F ( x) = x − x + C F ( x) = − x − x + D 2 Hướng dẫn giải a = f (1) = 3a + 2b + c = f (2) = ⇔ 12 a + b + c = ⇔ Ta có f ( x) = F '( x) = 3ax + 2bx + c b = f (3) = 27 a + 6b + c = c = x + x +1 Câu 158 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = tan x.sin x thỏa mãn điều kiện π F ÷ = 4 1 π π A F ( x) = x − sin x + − B F ( x) = x + cos x + − 2 4 π 2 C F ( x) = cos3 x + D x + sin x − Hướng dẫn giải 1 Ta có ∫ tan x.sin xdx = ∫ (1 − cos x) dx = x − sin x + C ⇒ F ( x) = x − sin x + C 2 π π F ÷ = ⇔ C = − 4 1 π Vậy F ( x) = x − sin x + − 2 Câu 159 Cho hàm số f ( x) = tan x có nguyên hàm F ( x) Đồ thị hàm số y = F ( x ) cắt trục tung điểm A(0; 2) Khi F ( x) A F ( x) = tan x − x + B F ( x) = tan x + F ( x) = cot x − x + C F ( x) = tan x + D Hướng dẫn giải F ( x) = ∫ f ( x)dx = ∫ tan xdx = tan x − x + C Vì đồ thị hàm số y = F ( x ) qua điểm A(0; 2) nên C = Vậy F ( x) = tan x − x + Vậy F ( x) = Trang 34/34 Câu 160 Cho hàm số F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x ) = tan x Giá trị π F ÷− F (0) 4 π π π π 3− A − B C + D 4 4 π π Hướng dẫn giải: F ( x ) = tan x − x + C ⇒ F ÷− F (0) = − 4 Trang 35/34
Ngày đăng: 30/03/2020, 18:15
Xem thêm: