CHUYÊN ðỀ TÍCH PHÂN Bảng công thức tích phân bất ñịnh : ∫ 0dx = C n ∫ x dx = ∫ dx = x + C x n +1 +C n +1 ∫ x dx = ln x + C n ≠ −1 ax C ln a ∫ cos xdx = sin x + C x x ∫ e dx = e + C x ∫ a dx = ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos ∫ sin dx = tan x + C dx = − cot x + C x x u′( x) 1 x−a ∫ u ( x) dx = ln u ( x) + C ∫ x − a dx = 2a ln x + a + C x a 2 ∫ x + a dx = x + a + ln x + x + a + C Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số f (x) liên tục ñoạn [a; b] có nguyên hàm F (x) Giả sử u (x) hàm số có ñạo hàm liên tục ñoạn [α , β ] có miền giá trị [a; b] ta có : ∫ f [u ( x)].u' ( x)dx = F ( x)[u ( x)] + C BÀI TẬP Tính tích phân sau : a) I1 = ∫ e e x dx ex − xdx x2 + b) I = ∫ c) I = ∫ 1 + ln x dx x Bài làm : a) ðặt t = x + ⇒ dt = xdx ⇒ xdx = dt x = → t = x = → t = ðổi cận : 2 dt xdx Vậy : I1 = ∫ = ∫ = ln t = ln 21 t 2 x +1 b) ðặt t = e x − ⇒ dt = e x dx Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang x = → t = e − ðổi cận : x = → t = e − 1 e x dx Vậy : I = ∫ x = e −1 e2 −1 ∫ e −1 e −1 dt = ln t = ln(e + 1) t e−1 x c) ðặt t = + ln x ⇒ tdt = dx x = → t = x = e → t = ðổi cận : e I3 = ∫ + ln x dx 2 = ∫ t dt = t = (2 − 1) x 3 Tích phân lượng giác : β Dạng : I = ∫ sin mx.cos nxdx α Cách làm: biến ñổi tích sang tổng β Dạng : I = ∫ sin m x cos n x.dx α Cách làm : Nếu m, n chẵn ðặt t = tan x Nếu m chẵn n lẻ ðặt t = sin x (trường hợp lại ngược lại) β Dạng : I = ∫ α dx a sin x + b cos x + c Cách làm : 2t x sin = x 1+ t2 ðặt : t = tan ⇒ 2 cos x = − t 1+ t2 β a sin x + b cos x Dạng : I = ∫ dx + sin cos c x d x α Cách làm : ðặt : a sin x + b cos x B (c cos x − d sin x) = A+ c sin x + d cos x c sin x + d cos x Sau ñó dùng ñồng thức β Dạng 5: I = ∫ α a sin x + b cos x + m dx c sin x + d cos x + n Cách làm : Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang ðặt : a sin x + b cos x + m B (c cos x − d sin x) C = A+ + c sin x + d cos x + n c sin x + d cos x + n c sin x + d cos x + n Sau ñó dùng ñồng thức BÀI TẬP Tính tích phân : π π 2 cos xdx (sin x + 1) a) I1 = ∫ π b) I = ∫ cos xdx c) I = ∫ tan xdx 0 Bài làm : a) ðặt : t = sin x + ⇒ dt = cos xdx x = → t = ðổi cận : π x = → t = π 2 dt cos xdx =∫ =− 3t (sin x + 1) t Vậy : I = ∫ = 24 b) ðặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = → t = ðổi cận : π x = → t = π Vậy : 0 ( ) ( ) I = ∫ cos xdx = ∫ − t dt = ∫ + t − 2t dt t5 = ∫ − t + t = 15 0 c) ðặt : t = tan x ⇒ dt = (tan x + 1)dx x = → t = ðổi cận : π x = → t = π 1 t dt I = ∫ tan xdx = ∫ = ∫ t − t +1− dt t + 1 0 t +1 0 Vậy : π t5 t3 13 π = − + t − ∫ du = − 15 5 0 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang Tính tích phân sau : π π a) I1 = ∫ sin x cos x a sin x + b cos x cos x b) I = ∫ dx + cos x dx Bài làm : a) ðặt : t = a sin x + b cos x ⇒ dt = 2(−b + a ) sin x.cos xdx x = → t = a ðổi cận : π x = → t = b Nếu a ≠ b π Vậy : sin x cos x dx = 2 b − a2 a sin x + b cos x I1 = ∫ = t b − a2 b2 = a2 ( a−b b −a 2 = b2 )∫ dt a2 t a+b Nếu a = b π π a sin x + b cos x Vậy : sin x cos x I1 = ∫ π = sin x cos xdx a dx = ∫ π 2 1 sin cos xdx x = − = ∫ 2a 4a 2a b) ðặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = → t = ðổi cận : π x = → t = π Vậy : I = ∫ cos x + cos x dx = ∫ dt − 2t = ∫ dt −t 3 cos u ⇒ dt = − sin udu 2 π t = → u = ðổi cận : t = → u = π ðặt : t = Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang I2 = ∫ Vậy : π dt −t = = 2 ∫ π sin udu − cos u ( ) π π 1 ∫ du = 2π π = u π Tính tích phân sau : π π sin x + cos x + dx sin + cos + x x 2 a) I = ∫ dx sin + cos + x x b) I = ∫ Bài làm : 2dt x ⇒ dt = tan + 1dx ⇒ dx = 2 t +1 x = → t = ðổi cận : π x = → t = 1 dt t + I1 = ∫ dt = ∫ 2 2t 1− t 0 (t + 1) + + Vậy : 1+ t2 1+ t2 a) ðặt : t = tan x 1 =− = t+2 sin x + cos x + cos x − sin x C + = A+ B sin x + cos x + sin x + cos x + sin x + cos x + Dùng ñồng thức ta ñược: A = , B = , C = b)ðặt : π π sin x + cos x + cos x − sin x I2 = ∫ dx = ∫ 1 + + dx sin x + cos x + sin x + cos x + sin x + cos x + Vậy : 0 π π = (x + ln sin x + cos x + ) 02 + I1 = + ln + Bạn ñọc tự làm : π a) I1 = ∫ π π cos x dx sin 2x b) I = ∫ cos3 x sin xdx π dx sin x + c) I = ∫ Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang π π π sin x − cos x + d) I = ∫ dx d) I = ∫ dx sin x + cos x + sin x + cos x + sin x c) I = ∫ dx cos x + 2 Tính nguyên hàm,tích phân hàm hữu tỷ dx 1 =− + C với (a, n ) ∈ C × (N − {0,1}) ta có : n n − ( x − a )n−1 (x − a ) dx Nếu n = , a ∈ R ta có : I = ∫ = ln x + C x−a α , β , a, b, c ∈ R αx + β dx ñó : Dạng : I = ∫ n ax + bx + c ∆ = b − 4ac < Dạng : I = ∫ ( ) * Giai ñoạn : α ≠ ,làm xuất tử thức ñạo hàm tam thức ax + bx + c , sai khác số : I= α aβ 2ax + b + 2a ∫ (ax α + bx + c −b ) n dx = α 2a ∫ (ax 2ax + b + bx + c ) n dx + dx α aβ − b ∫ n 2a α (ax + bx + c ) * Giai ñoạn : Tính I = ∫ n dt 4a − ∆ n dx = ∫ − ∆ 2a ax + b + t ax + bx + c t= dx ( ) ( ) n −∆ * Giai ñoạn : Tính I = ∫ Dạng : I = ∫ Ta có : (t ) +1 Pm ( x ) dx Qn ( x ) n dt tính hai phương pháp , truy hồi ñặt t = tan φ Pm ( x ) am x m + + a1 x + a0 = Qn ( x ) bn x n + + b1 x + b0 Nếu : deg(P ) ≥ deg(Q ) ta thực phép chia phân số Rr ( x ) có deg(R ) < deg(Q ) Qn ( x ) Pm ( x ) R (x ) = A(m − n ) ( x ) + r ñó Qn ( x ) Qn ( x ) Nếu : deg(P ) < deg(Q ) ta có qui tắc sau : Pm ( x ) A1 An −1 An + + + n −1 (x − a ) (x − a ) (x − a ) (x − a )n n Pm ( x ) Ai Vdụ 1a : n =∑ i (x − )i ∏ (x − ) i=1 *Qt 1: n = i =1 Vdụ 1b : Pm ( x ) A B C D = + + + ( x − a )( x − b)( x − c) x − a x − b x − c ( x − c )2 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang Pm ( x ) A1 x + B1 An−1 x + Bn−1 An x + Bn + + + n −1 ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c m n Pt (x ) Ai Ai x + B1 = + *Qt 3: ∑ ∑ n i m (x − α ) ax + bx + c i =1 (x − α ) k =1 ax + bx + c i Pt ( x ) A Bx + C = + Vdụ : ( x − α ) ax + bx + c x −α ax + bx + c Pt ( x ) B1 x + C1 B2 x + C A Vdụ : = + + 2 (x − α ) ax + bx + c (x − α ) ax + bx + c ax + bx + c *Qt 2': ( = ) ( n ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) n với ∆ < ) ( ) ( ) ( ) BÀI TẬP Tính tích phân sau : a) I = ∫ dx x + 3x + b) I = ∫ (x dx + 3x + ) Bài làm : 1 1 dx dx a) I = ∫ =∫ = ∫ − dx (x + 1)(x + 2) x + x + x + 3x + = [ln x + − ln x + ]0 = ln 1 dx dx dx = ∫ + − b) I = ∫ 2 2 (x + 2) (x + 1)(x + 2) ( x + 1) (x + x + ) 1 = − − − 2(ln x + − ln x + ) = OK 0 x +1 x + Tính tích phân sau : a) I1 = ∫ dx x + 3x + b) I = ∫ 4x − dx x + (x + 2) ( ) Bài làm : dx x = arctan + C với a > x +a a a dx 1 = ∫ − dx 2 x +1 x + x +1 x + a)* Bạn ñọc dễ dàng chứng minh ñược I = ∫ 1 dx I1 = ∫ = x + x + ∫0 ( )( ) ( 1 x π = arctan x − arctan = 9−2 2 30 ) Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang A Bx + C x ( A + B ) + x(2 B + C ) + 2C + A 4x − = + = (x + 2) x + x + x + (x + 2) x + A = −2 A + B = Do ñó ta có hệ : 2 B + C = ⇔ B = C = 2C + A = b) ðặt : ( Vậy : I = ∫ [ ) ( ) 4x − 2 2x dx = − + dx ∫ x x + + x + (x + 2) ( ) ] = − ln x + + ln x + = −2 ln + ln + ln − ln = ln Bạn ñọc tự làm : a) I1 = ∫ x +1 dx x ( x − 1) b) I = ∫ c) I = ∫ x −1 dx 4x3 − x d) I = 2 2 dx x + 2x − ∫x x dx − 3x + HD: A B x +1 A B C = + 2+ = + b) x −1 x + 2x − x −1 x + x ( x − 1) x x x −1 x−4 x A B C D d) = + + + = 1 + c) x − 3x + x − x + x + x − x − x x(2 x + 1)(2 x − 1) a) ðẳng thức tích phân : Muốn chứng minh ñẳng thức tích phân ta thường dùng cách ñổi biến số nhận xét số ñặc ñiểm sau * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận + cận dưới, … Chúng ta cần phải nhớ ñẳng thức nầy xem bổ ñề áp dụng BÀI TẬP 1 0 Chứng minh : ∫ x m (1 − x )n dx = ∫ x n (1 − x )m dx Bài làm : Xét I = ∫ x m (1 − x )n dx ðặt : t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang x = → t = x = → t = ðổi cận : 1 Vậy : I = ∫ x (1 − x ) dx = − ∫ (1 − t ) t dt = ∫ (1 − t )m t n dt (ñpcm) n m m n Chứng minh f (x) hàm lẻ liên tục ñoạn [− a, a ] : a ∫ f (x )dx = I= −a Bài làm : a I= ∫ f ( x)dx = −a ∫ −a a f ( x )dx + ∫ f ( x )dx (1) 0 Xét ∫ f (x )dx ðặt t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt −a x = −a → t = a x = → t = ðổi cận : V ậy : a a −a 0 ∫ f (x )dx = ∫ f (− t )dt = − ∫ f (t )dt Thế vào (1) ta ñược : I = (ñpcm) Tương tự bạn ñọc chứng minh : Nếu f (x) hàm chẳn liên tục ñoạn [− a, a] a I= ∫ −a a f ( x )dx = ∫ f ( x )dx Cho a > f (x ) hàm chẵn , liên tục xác ñịnh R f (x ) ∫−α a x + dx = ∫0 f (x )dx α Chứng minh : α f (x ) f (x ) f (x ) dx = ∫ x dx + ∫ x dx x a a +1 + + −α 0 Xét α ∫α a − α Bài làm : (1) f (x ) dx ðặt t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = − dt x +1 ∫α a − x = −α → t = α x = → t = ðổi cận : f (x ) f (− t ) a t f (t ) dx = dt = ∫ a x + ∫0 a −t + ∫0 at + −α Vậy : α α Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang f (x ) a x f (x ) f (x ) dx + ∫ x dx = ∫ f (x )dx (ñpcm) Thế vào (1) ta ñược : ∫ x dx = ∫ x a +1 a +1 a +1 −α −α 0 α α α Cho hàm số f (x ) liên tục [0,1] Chứng minh : π ∫ x f (sin x )dx = π π ∫ f (sin x )dx Bài làm : π Xét ∫ x f (sin x )dx ðặt t = π − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt x = → t = π x = π → t = ðổi cận : π π π Vậy : ∫ x f (sin x )dx = ∫ (π − t ) f [sin (π − t )]dt = ∫ (π − t ) f (sin t )dt 0 π π 0 = π ∫ f (sin t )dt − ∫ t f (sin t )dt π π ⇒ ∫ x f (sin x )dx = π ∫ f (sin x )dx 0 π ⇒ π π ∫ x f (sin x )dx = ∫ f (sin x )dx 0 Từ toán , bạn ñọc mở rộng toán sau Nếu hàm số f (x ) liên tục [a, b] f (a + b − x ) = f (x ) Thì ta có : b ∫ x f (x )dx = a π a+b f ( x )dx ∫0 Cho hàm số f (x ) liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn R có chu kì T a +T ∫ Chứng minh : a T f ( x )dx = ∫ f ( x )dx Bài làm : a +T ∫ a T a +T a T f ( x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ T a +T T f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + Vậy ta cần chứng minh a a a +T T ∫ f (x )dx ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx a Xét ∫ f (x )dx ðặt t = x +T ⇒ dt = dx Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 10