Phan 1 NGUYEN HAM DUNG BANG NANG CAO mức độ 3,4 full giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT NGUYÊN HÀM NÂNG CAO MỨC ĐỘ 3,4 GIÁO VIÊN: LƯU HUỆ PHƯƠNG Câu 1: Gọi F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x , thỏa mãn F    Tính giá trị ln biểu thức T  F    F 1  F     F  2017  A T  1009 22017  B T  22017.2018 ln C T  22017  ln D T  22018  ln Lời giải Chọn D Ta có: F  x    f  x  dx   x dx  2x C ln 1 2x Mà F     C   C   F  x  ln ln ln ln Khi đó: 20 22 22017 1  22018 22018  T  F    F 1  F     F  2017         ln ln ln ln ln  ln Câu 2: Cho hàm số f  x  xác định \ 2;1 thỏa mãn f   x   , f  3  f  3  x  x2 f    Giá trị biểu thức f  4   f  1  f   1 A ln  B ln 80  C ln  ln  D ln  5 3 Lời giải Chọn A 1 x 1  ln x   C1 , x   ; 2   1 x 1  C2 , x   2;1 f  x   dx   ln x  x2 3 x  1 x 1  C3 , x  1;    ln 3 x  1 Ta có f  3  ln  C1 , x   ;2  , f    ln  C1 , x   2;1 , 3 f  3  ln  C3 , x  1;   , 1 Theo giả thiết ta có f     C2  1  ln  3  f  1  ln  3 1 Và f  3  f  3   C1  C3  ln 10 1 1 1 Vậy f  4   f  1  f    ln  C1  ln   ln  ln  C2  ln  3 3 3 Câu 3: Cho hàm số f  x  xác định đoạn  1;2 thỏa mãn f    f  x  f   x    x  3x Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f  x  đoạn  1;2 là: A f  x   2, max f  x   40 B f  x   2, max f  x   40 C f  x   2, max f  x   43 D f  x   2, max f  x   43 x 1;2 x 1;2 x 1;2 x 1;2 x 1;2 x 1;2 x 1;2 x 1;2 Lời giải Chọn C Xét  f  x  f   x  dx   1  x  3x dx 2 f  x   x  x  x3  C ( C số) Do f    nên C  Vậy f ( x)  3x3  3x  3x  với x   1; 2 Ta có : f   x   x2  x  3 (3x3  3x  3x  1)2  0, x   1;  nên f  x  đồng biến đoạn  1;2 Vậy f  x   f (1)  2, max f  x   f    43 x 1;2 x 1;2 Câu 4: Cho hàm số f  x  xác định \ 2; 2 thỏa mãn f   x   , x 4 f  3  f  3  f  1  f 1  Giá trị biểu thức f  4   f    f   A Lời giải Chọn D Ta có: x B C D   dx      dx  ln x   ln x   C 4  x2 x2  x2 ln x   C1 x  2   2 x f  x   ln  C2   x  Do đó:  x2  x2 ln x   C3 x   1 f  3  ln  C1; f  3  ln  C3 ; f    C2 ; f  1  ln  C2 ; f 1  ln  C2 ; C  C3  f  3  f  3  f  1  f 1   C1  C3  2C2    C2  1 Vậy f  4   f    f    ln  C1  C2  ln  C3  C1  C2  C3  Câu 5: Hàm số f  x  xác định, liên tục có đạo hàm f   x   x  Biết f    Tính f    f   ? A 10 B 12 C D 11 Lời giải Chọn B x   x 1 Ta có f   x     x  x     Khi x  f  x     x  1 dx  x2  x  C1  x2  Khi x  f  x      x  1 dx     x   C2    x2  Theo đề ta có f    nên C2   f  x      x   x    Mặt khác hàm số f  x  liên tục x  nên lim f  x   lim f  x   f 1 x 1 x 1  x  x     1   lim     x   3  lim   x   C1      1     C1  C1  x 1 2    x1      2 Vậy x  f  x   x2  x   f    f    12 Câu 6: Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương  ; thỏa mãn f    f  x x  Khi f  x x 1  hiệu T  f 2  f 1 thuộc khoảng B  7;9  A  2;3 Lời giải Chọn C Ta có  f '( x) dx  f ( x) C  0;1 D  9;12  d  f  x   d  x  1 x  x  dx   f  x    x  Vậy ln  f  x    ln  x 1   C , mà f     C  Do f  x   x      Nên f 2  3; f 1  2  f 2  f 1   2   0;1 Câu 7: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  f   x   x  x  , x  f    f     Giá trị  f 1  A 28 B 22 C 19 Lời giải Chọn A Ta có  f  x  f   x     f   x    f  x  f   x  Do theo giả thiết ta  f  x  f   x    x  x  D 10 Suy f  x  f   x   x2 x   x  C Hơn f    f     suy C 2  x2 Tương  f  x    f  x  f   x  nên  f  x     x3   x   Suy 3  2  x2 x3 f  x     x3   x   dx  x   x  18x  C , f    suy 3 3  x3 f  x   x   x  18 x  Do  f 1   28 3 f  x f x thỏa mãn     Câu 8: Cho hàm số f  0  f   0  f 1 Giá trị bằng: A B 2 Lời giải Chọn D  f  x  f   x   15x  12 x C 10 , x  D Ta có:  f   x    f  x  f   x   15x  12 x   f   x  f  x    15 x  12 x  f   x  f  x   3x5  x  C1 Do f    f     nên ta có C1  Do đó: f   x  f  x   3x5  x  1    f  x    3x5  x   f  x   x  x3  x  C2 2  Mà f    nên ta có C2  Vậy f  x   x  4x  2x  suy f 1  Câu 9: Cho hàm số f  x  xác định 2 1  , f    f    \   thỏa mãn f   x   3x  3 3 Giá trị biểu thức f  1  f  3 bằng: A 5ln  Lời giải Chọn A B 5ln  C 5ln  D 5ln   1  ln  3x  1  C  x      dx  ln 3x   C   Ta có f  x    f   x  dx   3x  ln  3x  1  C  x      3  f     ln  3.0  1  C   C  1; f  1  ln   1   2ln  2 f     ln   1  C   C  ; f  3  ln   1   2ln  3 Vậy: f  1  f  3  2ln   2ln   5ln  Câu 10: Cho hàm số f  x  xác định \ 1 thỏa mãn f   x   , f    2017 ,, x 1 f    2018 Tính S   f  3  2018  f  1  2017  A S  Lời giải Chọn D Ta có f  x    B S   ln 2 C S  2ln D S  ln 2 ln  x  1  C1 x  1 dx  ln x   C   x 1 ln 1  x   C2 x  Lại có f    2017  ln 1    C2  2017  C2  2017 f    2018 ln   1  C1  2018  C1  2018 Do S  ln   1  2018  2018 ln 1   1   2017  2017   ln 2  ax  b  ce x x   Câu 11: Cho    dx  x   ln x  x   5e x  C Tính giá trị biểu   x 1   thức M  a  b  c A B 20 C 16 D 10 Lời giải Chọn D x 1  x   5e x x  9x x  2 x x  2  5e  Ta có x   ln x  x   5e    x2  x  x2  x2      Do a  , b  , c  Suy M  a  b  c  16 Câu 12: Xác định a , b , c để hàm số F  x    ax  bx  c  e x nguyên hàm f  x    x  3x   e  x A a  , b  3 , c  C a  1 , b  , c  1 Lời giải Chọn C B a  , b  1 , c  D a  1 , b  5 , c  7 Ta có: F   x    2ax  b  e  x   ax  bx  c  e  x   ax   2a  b  x  b  c  e  x a  a  1   Có F   x   f  x   2a  b  3  b  b  c  c  1   Vậy a  1 , b  , c  1 Câu 13: Biết F  x    ax  bx  c  x   a, b, c   nguyên hàm hàm số 20 x  30 x  11 3  f  x  khoảng  ;   Tính T  a  b  c 2x  2  A T  B T  C T  D T  Lời giải Chọn D Ta có F   x   f  x    Tính F   x    2ax  b  x   ax  bx  c   2ax  b  x  3  ax  bx  c Do 2x  5ax   3b  6a  x  3b  c 2x    2x  5ax   3b  6a  x  3b  c 2x  20 x  30 x  11 2x   5ax   3b  6a  x  3b  c  20 x  30 x  11 5a  20 a     3b  6a  30  b  2  T  3b  c  11 c    Câu 14: Biết hàm số y  f  x  có f   x   3x  x  m  , f    đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục tung điểm có tung độ 5 Hàm số f  x  A x3  x  3x  Lời giải Chọn A B x3  x  x  C x3  x  x  D x3  x  x  Ta có f  x     3x  x  m  1 dx  x  x  1  m  x  C  f    2 1  m   C  12  m     f  x   x3  x  3x  Theo đề bài, ta có  C     f    5 C  5 Câu 15: Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x    m  thỏa mãn F    x 1 F  3  Khi đó, giá trị tham số m A 2 Lời giải Chọn B B C 3 D    m  1 dx  x    m  1 x  C Ta có F  x      x 1   F    C   C  1   Theo giả thiết, ta có  C  3m  m   F  3  Vậy F  x   x   x  Câu 16: Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   thỏa mãn F  5  F    x 1 Mệnh đề đúng? A F  1   ln Lời giải B F     2ln C F  3   ln D F  3  Chọn B TXĐ: D  \ 1 Ta có: F  x      ln  x  1  C1 dx  ln x   C   x 1  ln 1  x   C2 x  x  F  5   ln  C1   C1   ln   2ln F     ln1  C2   C2  Do đó: F  x    ln  x  1   ln x  1 dx   ln 1  x   x  x 1  F  1  ln  F     2ln F  3   ln F  3  2ln  Câu 17: Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x  g  x  , biết F    ,  f  x  dx  x  C x2  g  x  dx   C x2 B F  x    Lời giải x2 A F  x    4 x3 C F  x    x3 D F  x    Chọn A Ta có F  x    f  x  g  x  dx Mà  f  x  dx  x  C  f  x   1;  g  x  dx  x2 x  C  g  x  x x2 Vậy F  x    dx   C mà F    suy C  4 x2 Hay F  x    4   Câu 18: Gọi F  x   ax  bx  cx  d e x nguyên hàm hàm số f  x    x  x  x   e x Tính a  b2  c  d A 247 Lời giải Chọn B  B 246 C 245 D 244  Ta có x  x  x  e x  f  x   F   x    ax   3a  b  x   2b  c  x  c  d  e x  a  2; b  3; c  8; d  13  a  b2  c  d  246 Câu 19: Biết hàm số F  x   ax3   a  b  x   2a  b  c  x  nguyên hàm hàm số f  x   3x  x  Tổng a  b  c là: A Lời giải Chọn D B D C F   x   3ax   a  b  x   2a  b  c  3a  a    Ta có: F   x   f  x   2  a  b    b   a  b  c   a  b  c  c    1  Câu 20: Tìm tất giá trị thực tham số a để bất phương trình   t   a  1  dt  1  0 x nghiệm với giá trị thực x  1 A a    ;    2 Lời giải Chọn A B a   0;1 C a   2; 1 D a  x2 x2 1  t  a  d t     a  x      a  1 x   1      0  4  x Bất phương trình 1 nghiệm với giá trị thực x 1     a 1     a   2 2 ax  b Câu 21: Biết ln có hai số a b để F  x    4a  b  0 nguyên hàm hàm số x4  a  1  f  x  thỏa mãn: f  x    F  x   1 f   x  Khẳng định đầy đủ nhất? B a  , b  1 A a  , b  C a  , b  \ 4 D a  , b Lời giải Chọn C Ta có F  x   2b  8a 4a  b ax  b nguyên hàm f  x  nên f  x   F   x   f   x   x4  x  4  x  4 Do đó: f  x    F  x   1 f   x   2  4a  b   ax  b  2b  8a   1  x4   x  4  x  4  4a  b    ax  b  x     x  1  a    a  (Do x   ) Với a  mà 4a  b  nên b  Vậy a  , b  \ 4 Chú ý: Ta làm trắc nghiệm sau: + Vì 4a  b  nên loại phương án A: a  , b  phương án D: a  + Để kiểm tra hai phương án lại, ta lấy b  , a  Khi đó, ta có x F  x  , f  x  , f  x   x4  x  4  x  4 , b Thay vào f  x    F  x   1 f   x  thấy nên chọn C  Câu 22: Cho tích phân cos x   sin x dx  a  b với a, b  Tính P   a3  b B P  29 A P  Lời giải Chọn D D P  25 C P  11     2 2  cos x  2sin x 1     dx    2sin x   d d x d x x   2sin x    0  sin x 0  0  sin x 0   sin x     cos   x    2       cos x  x    0 dx  2 x cos    2 4  x   2    tan     3   2 4 Vậy a  3, b  P   a3  b  25 a a dx  x  cos x  C , với a , b số nguyên dương, b b phân số tối giản C  Giá trị a  b A B C D Lời giải Chọn A Ta có   sin x  cos x  dx   1  2sin x cos x  dx   1  sin x  dx  x  cos x  C a  a  a b  Mà   sin x  cos x  dx  x  cos x  C nên  b b  Câu 23: Biết   sin x  cos x  Câu 24: Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  sin x A 4x  sin x  C ln 4 C x ln x  sin x C B x ln x  D 4x x   sin x  C ln 4 Lời giải Chọn D Ta có:  f  x  dx    x sin x C  cos x    sin x  dx    x   dx   4x x 1 cos x      sin x  C    4x   dx  2  ln 4  dx Câu 25: Nguyên hàm  tan x  x x A  ln 2sin x  cos x  C B  ln 2sin x  cos x  C 5 5 2x x  ln 2sin x  cos x  C C D  ln 2sin x  cos x  C 5 5 Lời giải Chọn A cos x cos x  sin x  sin x dx  dx   dx Biến đổi I   2sin x  cos x tan x  2sin x  cos x cos x  sin x sin x 1   dx   dx  ln 2sin x  cos x  J 2sin x  cos x 2sin x  cos x 2 J  x  I  C1  1 Thế kết trở lại đề: I  ln 2sin x  cos x   x  I  C1  4 1   I   ln 2sin x  cos x  x   C  I  ln 2sin x  cos x  x  C 5 2  dx  a  b  c với a, b, c số nguyên dương Tính Câu 26: Biết  x x    x  2 x Ta có J  I   1dx  x  C , suy J  P  a bc A P  Lời giải Chọn B Ta có  C P  46 B P  D P  22   x2  x 2 dx dx  dx  1 x x2 x x    x  2 x x x2 x2 x     2 1     d x  x  x    3  1 2 x x2  Vậy a  ; b  ; c  nên P  a  b  c  dx Câu 27: Cho   a(x  2) x   b(x  1) x   C Khi 3a  b bằng: x   x 1 2 A B C D 3 3 Lời giải Chọn B dx 2  x   x    ( x   x  1) dx  (x  2) x   (x  1) x   C 1 f  2   f    ln  C1  ln  C3   C1  C3  2 1 f   2 1 3 f    ln  C2  ln  C2   C2  1009 2 1 T  f  1  f 1  f    ln  ln1  ln  C1  C2  C3  ln  1009 2 5 Câu 49: Cho hàm số f  x  liên tục f  x   với x  f   x    x  1 f  x  f 1  0,5 Tổng f 1  f     f  27  A  26 27 26 27 Lời giải 27 28 B D  C 27 28 Chọn D f  x  2x 1 f  x Từ f   x    x  1 f  x  Mặt khác f 1  0,5 1  x2  x  C f  x 1  x2  x f  x C 0    1 f  x          x x  x x 1 27    27    1     Do f 1  f     f  27        28  28   k 1 k k   Câu 50: Cho hàm số f ( x)  x ln Hàm số không nguyên hàm hàm số f ( x) x ? A F ( x)  x  C F ( x)  2  C x B F ( x)  2  D F ( x)  1  C x x 1  1  C C Lời giải Chọn A Cách 1: Đặt t  x  2dt  F ( x)   f ( x)dx   x dx x ln dx   2t 2.ln 2dt  2.2t  C  2.2 x x  C nên A sai Ngồi ra: + D F ( x)  2.2 x + B F ( x)  2.2 + C F ( x)  2.2 x x C   C  2.2 x  C    C  2.2 x  C  Cách 2: Ta thấy B, C, D khác số nên theo định nghĩa nguyên hàm chúng phải nguyên hàm hàm số Chỉ A “ lẻ loi” nên chắn sai A sai Cách 3: Lấy phương án A , B, C, D đạo hàm tìm A sai Câu 51: f  x  A   (TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN ) Họ nguyên hàm hàm số , x  x x 1    2 x 1  C B x  C x 1 C  C x 1 D   C x 1 Lời giải Chọn D Ta có I     x x 1 dx 1 dt  C dx Suy I      C Vậy I   t t x 1 x Đặt t  x   dt  Câu 52: (THPT CHU VĂN AN) Cho hàm số  f  x  sin xdx   f  x  cos x    x ln  C f  x    x ln  A f  x    x y  f  x thỏa mãn hệ thức cos xdx Hỏi y  f  x  hàm số hàm số sau? x ln  D f  x    x ln  B f  x   Lời giải Chọn B u  f  x  du  f   x  dx  Chọn  dv  sin xdx v   cos x  f ( x)sin xdx   f ( x) cos x   f   x  cos xdx  f   x    x  f  x   x ln  Câu 53: Xác định a , b , c để hàm số F  x    ax  bx  c  e  x nguyên hàm f  x    x  3x   e  x A a  1; b  1; c  1 B a  1; b  5; c  7 C a  1; b  3; c  D a  1; b  1; c  Lời giải Chọn A   Ta có: F  x    x  3x  e  x dx u  x  3x  du   x  3 dx  Đặt  x x v  e dx v  e Suy ra: F  x     x  3x   e  x    x  3 e  x dx u1  x  du1  2dx Đặt    x x dv1  e dx v1  e Suy ra: F  x     x  3x   e  x   x  3 e  x   e  x dx    x  3x   x    e x  C    x  x  1 e  x  C Vậy: a  1; b  1; c  1 Câu 54: Tìm  ln xdx A x  ln x – ln x  1  C B x(ln x – ln x  3)  C C x  ln x – 3ln x    C D x  ln x – ln x    C Lời giải Chọn D Câu 55: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   f  x   phương trình f  x    A 2018  x.e x với x  có nghiệm? e B C Lời giải f 1  Hỏi D Chọn D Ta có:   f   x   f  x  2018 dx   x.e x dx    f  x  2018 df  x    x  1 e x  C 2019 2019  f  x     x  1 e x  C   f  x    2019  x  1 e x  2019C 2019 Do f 1  nên 2019C  hay  f  x   2019  2019  x  1 e x  2019 1   2019  2019  x  1 e x   2019  Ta có: f  x      f  x   e e e Xét hàm số g  x   2019  x  1 e x   2019 e g   x   2019 x.e x , g   x    x  , g    2019   2019  , lim g  x    , x  e lim g  x    2019  x  e Bảng biến thiên hàm số: Do phương trình f  x    có nghiệm e Câu 56: Cho số thực x  Chọn đẳng thức đẳng thức sau: ln x dx  ln x  C x ln x D  dx  ln x  C x Lời giải ln x dx  ln x  C x ln x C  dx  ln x  C x A  B  Chọn D Ta có:  ln x dx   ln x.d  ln x   ln x  C x Câu 57: Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x   2017 x  x2  1 2018 thỏa mãn F 1  Tìm giá trị nhỏ m F  x  A m   B m   22017 22018 C m   22017 22018 D m  Lời giải Chọn B Ta  f  x  dx   có   x  1 2017 2017 x x  1 2018 dx 2018 2017  x  1 d  x  1   2 2017  x  1  2017 2017  C  F  x 1  C   C  2018 2017 2.2 1  2018 suy Do F  x    2017 2  x  1 Mà F 1    F  x  đạt giá trị nhỏ lớn   x  1 nhỏ  x   x  1 2017 1  22017 Vậy m    2018  2018 2 Câu 58: Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   x e x A C  f  x  dx  e  x3 1 C f  x  dx  e x 1  C 3 1 B  f  x  dx  3e D f  x  dx   x3 1 C x3 x3 1 e C Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t  x3   dt  3x 2dx t x3 1 x3 1 t f x d x  x e d x  e d t  e  C  e C      3 3 f  x  dx  e x 1  C Do đó, ta có Vậy  C Câu 59: Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   tan x 1 x  tan x  ln cosx  C 1 B  f  x  dx  tan x  tan x  ln cosx  C 1 C  f  x  dx  tan x  tan x  ln cosx  C 1 D  f  x  dx  tan x  tan x  ln cosx  C Hướng dẫn giải Chọn D A  f  x  dx  tan I   f  x  dx   tan xdx   sin x dx cos5 x 1  cos2 x  1  cos2 x  s inx dx sin x.sin s inx d x   cos5 x cos5 x 1  t  1  t   dt    2t I   t t Đặt t  cos x  dt   sin xdx  t4  dt  1   1        dt    t 5  2t 3   dt  t 4  t 2  ln t  C t   t t t 1 1  cos x 4  cos x 2  ln cos x  C    ln cos x  C 4 cos x cos x 2   tan x  1   tan x  1  ln cos x  C   tan x  tan x  1   tan x  1  ln cos x  C 1  tan x  tan x  ln cos x   C 4 1  tan x  tan x  ln cos x  C Câu 60: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x ln x  A  f  x  dx  C  f  x  dx  ln x   C ln x   C B  f  x  dx  D  f  x  dx  C ln x  1 C ln x  Lời giải Chọn C  f  x  dx   x 1 dx   d  ln x  1  ln x   C ln x  ln x  Câu 61: Giả sử nguyên hàm hàm số B Hãy tính A  B 1 x A A  B  B A  B  f  x  x2 1 x   x 1 x  có dạng A  x3  C A  B   Lời giải D A  B  2 Chọn C   x2 f  x  dx     1 x    dx      x 1 x      dx    x2  Tính    dx  1 x  Đặt t   x3  t   x3  2tdt  3x 2dx  x2  2 2    x3  dx    dt   t  C1    x  C1  A   1 2   Tính   dx  2 d 1  x    C2  B  2 Suy A  B    1 x  x 1 x  1 x       Câu 62: Tính nguyên hàm I   A  t t dt  4 B  t t e 4 x dx Đặt t  e x  nguyên hàm thành t dt  4 C  t 2 dt  4 D t 2t dt 4 Lời giải Chọn C Câu 63: Cho hàm số f  x  xác định khoảng  0;    \ e thỏa mãn f   x   1 1 f    ln f  e   Giá trị biểu thức f    f  e3  e e  A 3ln  C  ln  1 B 2ln D ln  Lời giải Chọn C Ta có f  x    f   x  dx   ln 1  ln x   C1  f  x   ln  ln x  1  C2 1 dx   d  ln x   ln ln x   C x  ln x  1 ln x   x  e x  e 1 1  Do f    ln  ln 1  ln   C1  ln  ln  C1  ln  C1  ln e  e   , x  ln x  1 Đồng thời f  e    ln  ln e  1  C2   C2  1 Khi đó: f    f  e3   ln ln   ln  ln ln e3     ln  1 e e Câu 64: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục và thỏa mãn f  x   , x  Biết f    f ' x   x Tìm giá trị thực tham số m để phương trình f  x   m có hai nghiệm f  x thực phân biệt A m  e D  m  e C  m  e Lời giải B  m  Chọn C f  x f  x dx     x  d x   2x   Ta có f  x f  x  ln f  x   x  x  C  f  x   A.e x  x Mà f    suy f  x   e x  x 2 Ta có x  x    x  x  1    x  1  Suy  e2 x x  e ứng với giá trị thực 2 t  phương trình 2x  x  t có hai nghiệm phân biệt Vậy để phương trình f  x   m có nghiệm phân biệt  m  e1  e  x  2   x  112 dx 10 Câu 65: Nguyên hàm 1 x2   C  x 1  11 A  x2  x2    C   C C 33  x   11  x    x2   C 11  x   11 11 11 B  D Lời giải Chọn C 10 x  2   x2 I  dx    dx  12  x    x  1  x  1 10 Đặt t  x2 1  dt  dx  dt  dx 2 x 1  x  1  x  1 1  x2 Suy I   t10 dt  t11  C    C 33 33  x   11 11 ax  b   1  ax  b  dx  Chú ý:    C n2 n  ad  bd  cx  d   cx  d   x   dx  C Câu 66: Giả sử  x  x  1 x   x  3  g  x Tính tổng nghiệm phương trình g  x   n A 1 B C Lời giải ( C số) D 3 Chọn D Ta có x  x  1 x   x  3    x  3x  x  3x      x  3x   1 Đặt t  x  3x , dt   x  3 dx Tích phân ban đầu trở thành Trở lại biến x , ta có dt   t  1  C t 1  x   dx  x  x  1 x   x  3    x C  3x  Vậy g  x   x  3x   3  x  g  x    x  3x      3  x   Vậy tổng tất nghiệm phương trình 3 20 x  30 x  3  Câu 67: Biết khoảng  ;    , hàm số f  x   có nguyên hàm 2x  2  F  x    ax  bx  c  x  ( a, b, c số nguyên) Tổng S  a  b  c D C Lời giải B A Chọn B Đặt t  x   t  x   dx  tdt  t2    t2   20  30    7   20 x  30 x    Khi  dx   tdt    5t  15t   dt t 2x   t  5t  7t  C    x  3  x  3 5  x  3  2x   C x    x  3 x   x   C   x  x  1 x   C Vậy F  x    4x  2x  1 x  Suy S  a  b  c  Câu 68: Cho hàm số y  f  x  liên tục, không âm thỏa mãn f  x  f   x   x  f  x  1 f    Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y  f  x  đoạn 1;3 B M  11 ; m  A M  20 ; m  C M  20 ; m  D M  11 ; m  Lời giải Chọn D Ta có f  x  f   x   x  f  x  1  f  x f  x  f  x  1  2x Lấy nguyên hàm hai vế ta có  f  x    x  C , f    nên C  Vậy f  x   x  x2  x x2  đoạn 1;3 Ta có f   x   x   x2 x2   với x  1;3 nên f  x  đồng biến 1;3 Vậy M  f  3  11 ; m  f 1  Câu 69: Nguyên hàm sin x  sin x  cos x dx A  3     sin  3x    sin  x    C    4 B  3     sin  3x    cos  x    C    4 C  3  cos  3x   D  3     sin  3x    sin  x    C    4      cos  x    C   4 Lời giải Chọn A   Đặt t  sin x  cos x  sin  x    t   sin x  sin x  t   4 Suy tdt  cos xdx 2    t  1 tdt    2  t  1 dt t  2t  C    sin  x    2 sin  x    C Ta có I   t  4  4 Áp dụng công thức nhân ba sin 3a  4sin a  3sin a  sin a   3sin a  sin 3a  Vậy I  1  3       3sin  x    sin 3 x    2 sin  x    C 4  4    4  3    sin  x    sin  3x   4        2 sin  x    C   4 3     sin  3x    sin  x    C    4 Câu 70: Một nguyên hàm hàm số y  x  4  x2  C  x 2  x A  x3  x2 B  x  4  x2  D F ( x)  x  x Lời giải Chọn A Câu 71: Tính ( x  x)e x  x  e x dx A F  x   xe x   ln xe x   C B F  x   xe x  ln xe x   C C F  x   xe x   ln xe  x   C D F  x   e x   ln xe x   C Lời giải Chọn B Câu 72: Tính x  dx x2   x2  A F  x   3 2 2  C x  x      3 B F  x   3 2  C x  x      3 C F  x   3 2  C x  x      3 D F  x   3 2 2  C x  x      3 Lời giải Chọn C Câu 73: Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x   ln x  1 ln x F 1  Tính x  F  e  2 A  F  e   C  F  e   Lời giải B  F  e   D  F  e   Chọn B Xét  f  x .dx   Đặt ln x   t Vì F  x   Do F 1  ln x   ln ln x dx x  ln x  t    x 1 ln x dx  t.dt x C  C  Vậy  F  e   Câu 74: Giả sử F  x  nguyên hàm f  x   ln  x  3 cho F  2   F 1  Giá trị x2 F  1  F   A 10 ln  ln Chọn A ln  x  3 Tính  dx x2 B ln Lời giải C D ln  ln dx  u  ln  x  3 du    x3  Đặt  dx dv  v   x   x Ta có  ln  x  3 dx 1 x dx   ln  x  3     ln  x  3  ln  C  F  x, C  x x x  x  3 x x3 1 1    Lại có F  2   F 1    ln  C     ln  ln  C    2C  ln 3 3    10 1 Suy F  1  F    ln  ln  ln  ln  2C  ln  ln 3 Câu 75: Với số thực dương x , kí hiệu f  x   x  ln tdt Tính đạo hàm hàm số y  f  x A f   x   ln x x B f   x   ln x x C f   x   ln x D f   x   ln x 2x Lời giải Chọn A Gọi F  t  nguyên hàm ln t Khi f  x    ln tdt  F  x   F 1 Như x f  x   x  F   x    F 1  ln2 x ln x 0  x x * Tính trục tiếp : u  ln t Đặt  du  dt v  t t dv  dt f  x  x  ln tdt  t ln t  x Câu 76: Biết  ln x   x  1 x  dt dx   x ln x  x   f   x   a c a c phân  ln với a , b , c , d số nguyên dương ; b d b b d số tối giản Giá trị biểu thức M  ac  bd : A 17 B 20 C 145 Lời giải Chọn A Tính I    ln x  x  1 ln x x dx  u   ln x du  dx    x  Đặt  dv  d x   v  x  1   x 1 D 11 3    ln x  1  1  dx   ln     Khi : I  dx x  1 x  x  1 4 x x 1  1 3  x 3 1  27  ln  ln   ln  ln    ln  4ln    ln 4 x 1 4 4  4 16 Do : a  , b  , c  27 , d  16 Vậy M  ac  bd  3.27  4.16 17 Câu 77: Biết I   A a  b   ln x  x  1 16 dx  a 1  ln 3  b ln Khi a  b bằng: B a  b  16 C a  b  25 16 D a  b  Lời giải Chọn C  u   ln x du  dx    x dx   Đặt:  dv   v    x  1  x 1  3  ln 3  ln 3   ln x 1   ln x  ln x        dx    dx  4  x x 1  x  1 x  x  1 Khi đó: I   3   ln 3 25 a  2   ln  ln  ln  1  ln 3  ln    a b  4 16 b  Câu 78: Cho a số thực dương Biết F  x  nguyên hàm hàm số 1 1  f  x   e x  ln  ax    thỏa mãn F    F  2018  e2018 Mệnh đề sau ? x a    A a   ;1  2018    B a   0;  2018  C a  1; 2018  D a   2018;   Lời giải Chọn A 1 ex  x I   e  ln  ax    dx   e ln  ax  dx   dx (1) x x  x  Tính  e x ln  ax  dx :  u  ln  ax  du  dx ex x x  Đặt   e ln ax d x  e ln ax  x      dx   x x x dv  e dx v  e   Thay vào (1), ta được: F  x   e x ln  ax   C  1 F    Với   a   F  2018   e2018   1a e ln1  C   e2018 ln  a.2018  C  e2018 C   ln  a.2018  a e 2018    Vậy a   ;1  2018  Câu 79: Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e A  15 e B  F    Hãy tính F  1 x 15 4 e Lời giải 10 e C D 10 e Chọn C Ta có I   f  x  dx   e x dx Đặt x  t  x  t  dx  3t 2dt I   e x dx  3 et t 2dt t  u 2tdt  du Đặt  t  t  I  et t  2 et tdt e dt  dv e  v    3et t   et tdt Tính  et tdt t  u dt  du   et tdt  tet   et dt  tet  et Đặt  t  t e dt  dv e  v Vậy  I  3et t   et t  et   C  F  x   3e x  x2  e Theo giả thiết ta có F     C  4  F  x   3e  F  1  x x x e  x2  e x C x x e 3 x 4 15 4 e Câu 80: Biết a , b  A ab   3 16 thỏa mãn B ab   1 b  x  1dx  a  x  1  C  x    Khi đó: 2  16 C ab  D ab  16 Lời giải Chọn B x   t  x   t  dx  t 2dt 4 3 3 Khi  x  1dx   t 3dt  t  C  x   C   x  1  C 8  a  ; b  Vậy ab  1  Đề có bổ sung thêm điều kiện  x    để có kết hợp lí 2  Đặt  Câu 81: Cho hàm số f  x  xác định  1 f      2 A ln   \ 1;1 thỏa mãn f   x   1 f    Tính f  3  f    f   kết 2 B ln  C ln  5 , f  2   f    x 1 D ln  Lời giải Chọn A Ta có f  x    f  Khi  f   ln   1   f   x  dx   dx     dx  ln  x 1  x 1 x 1    ln  x 1  C1 x  1 x 1 x 1  C2   x  x 1 x 1  C3 x  x 1  ln  C1  ln  C3  C1  C3     1 1     f    ln  C  ln  C  C2  2  2 2   2   f    Do f  3  f    f    ln  C1  C2  ln  C3  ln  5 x f   x    f  x  , x  f  e    Tính f  e  1 B f  e    C f  e2   D f  e    4 Lời giải Câu 82: Cho hàm số f  x  thỏa mãn A f  e   Chọn D  f  x   x f   x    f  x  , x    , x   x f   x   f  x  f  x f  x 1  ln x  C , x   dx   dx     f  x f  x x x f  x - Ta có: Lại do: f  e    1  C   f  x   (thỏa mãn điều kiện f  x   , x  )  ln x Vậy f  e    Câu 83: Cho F ( x)   f ( x) nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm số x 3x f ( x) ln x ln x  C x3 3x3 ln x f ( x) ln xdx    C x 3x A  f ( x) ln xdx   C  ln x  C x3 x5 ln x D  f ( x) ln xdx    C x 5x Lời giải B Chọn C 3x f ( x)  Ta có : F ( x)     f ( x)  x x x x  f ( x) ln xdx  Xét I    u  ln x du  dx f ( x) ln xdx Đặt   x dv  f ( x)dx v  f ( x) Ta có : I  ln x f ( x)   f ( x) ln x dx  C    C x x 3x ... 1  x 1 x 1  x 1 x 1 Với x   ; 1  1;   : f  x   ln  C1 x 1 D T   ln 3  1 1 Mà f  3  f  3   ln  C1  ln  C1  3  1  1 ln  C1  ln  C1   C1  2 1. ..  12   C  C  Vậy 1    x  x    x  x  1 hay  f  x   f  x x  x  1 1 1     1. 2 2.3 3.4 2 017 .2 018 1 1 2 017 1          1   2 3 2 018 2 018 2 017 2 018 2 017 ... 2   x  1 12 dx 10 Câu 65: Nguyên hàm 1 x2   C  x 1  11 A  x2  x2    C   C C 33  x   11  x    x2   C 11  x   11 11 11 B  D Lời giải Chọn C 10 x  2