Định lý KOENIG ( cơ học vất rắn)

Chuyên đề về định lý KOENIG cho vật rắn ĐỊNH LÝ KOENIG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Khối tâm a) Đối với hệ chất điểm S là trọng tâm của các điểm Mi có khối lượng mi, gọi O là một điểm tùy ý, ta có (1) với Nếu ta chọn O ở G thì b) Đối với vật rắn: (2) 2. Động lượng a) Định nghĩa: Các điểm M¬I cấu tạo nên hệ S chuyển động với vận tốc trong hệ quy chiếu R. Tổng động lượng của S trong R bằng tổng cộng động lượng của các chất điểm cấu tạo nên hệ S: (3) Ta có nhận xét quan trọng: Tổng động lượng của một hệ chất điểm trong hệ quy chiếu (HQC) R bằng động lượng trong R của một chất điểm giả định ở tại khối tâm G có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ S.

ĐỊNH LÝ KOENIG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Khối tâm a) Đối với hệ chất điểm S trọng tâm điểm M i có khối lượng mi, gọi O điểm tùy ý, ta có uuur r OG  rG  r r i i i i �m r  �m r M �m r uuuur (1) với r i  OM i i uu r r Nếu ta chọn O G rG  b) Đối với vật rắn: r r rdm � rdm r � rG   M dm � (2) Động lượng a) Định nghĩa: r Các điểm MI cấu tạo nên hệ S chuyển động với vận tốc vi hệ quy chiếu R ur Tổng động lượng p S R tổng cộng động lượng chất điểm cấu tạo nên hệ S: u r uuur d ri d d r r r r p  �mi vi  �mi   �mi vi   m.OG  mvG dt dt dt   (3) Ta có nhận xét quan trọng: Tổng động lượng hệ chất điểm hệ quy chiếu (HQC) R động lượng R chất điểm giả định khối tâm G có khối lượng khối lượng tổng cộng hệ S ur r p  mvG b) Tổng động lượng HQC trọng tâm R* r* ur* Theo định nghĩa, điểm G điểm cố định R *, vG tổng động lượng p hệ S R* ur* r không: p  (4) Mối liên hệ động lượng lực Định luật II Newton + Lực:    dp F   ext dt MaG (5) Trong  F ext tổng ngoại lực tác dụng lên hệ uu r  uuu r uuuu r uuu r Fex dt  Fextb t  P + Xung lực: X  � Động hệ, định lý Koenig động Chọn điểm cố định O làm gốc tọa độ, G khối tâm hệ, ta có: K (0)  Vì 1 mi vi2  �mi viG  mvG2 (6) � 2 2 mi viG động toàn phần hệ hạt khối tâm G, nên ta có:  2 Định lý Koenig động năng: K  mv (G )  K * (G ) (7) Mô men động lượng Định lý Koenig mô men động lượng a) Mô men động lượng hệ điểm cố định O chọn làm gốc (của hệ S HQC R) tổng mô men động lượng tất điểm tạo nên hệ S    L0  ri  mi vi (8) b) Mô men động lượng hệ khối tâm G S R *, theo định nghĩa là: uuuur r r r r L*G  �GM i �mi vi*  �riG �mi vi* (9) c) Định lý Koenig mô men động lượng Mô men động lượng O hệ chất điểm S HQC R tổng của: + Mô men động lượng O chất điểm giả định đặt G có khối lượng khối lượng tổng cộng hệ R + Mô men động lượng G hệ S HQC trọng tâm (nghĩa chuyển động quanh G) r r uuur r L0  L*G  OG �mvG (10) d) Mô men động lượng trọng tâm Nếu A điểm đó, ta viết R*: uu r u r* uuuu r ur uuur uuuu r L A  �AM i �mi vi  � AG  GM i �mi vi* uu r uu r uuur uuuu r  AG ��mi vi*  �GM i �mi vi* uu r r ur* Biết p  �mi vi*  , nhận thấy mô men động lượng hệ   HQC trọng tâm độc lập với điểm mà ta tính Chúng ta viết mô men ur u r* ur* mà không cần nói rõ số điểm đó: L A  LG  L ur ur* ur* Dùng định lý Koenig ta có: LG  LG  L e) Mơ men động lượng điểm trục Giả sử vật rắn S cánh cửa hình vẽ HQC R S (O,xS, yS, zS) gắn với vật ur ur ur rắn, quay với vận tốc góc   ez   ' ez HQC R ur Ta viết biểu thức mô men động lượng L A vật rắn điểm A cố định trục Oz (A điểm cố định HQC gắn với vật rắn) R: ur uuuu r r LA  � AM �v( M ) dm � � S r r ur uuuu r ur uuuu r Với v( M )  v(a)   �AM  ez �AM Từ rút ra: u r uuuu r r uuuu r ur uuuu r LA  � AM � v ( M ) dm   AM � ( e � AM )dm z � � � � � S S ur uuuu r ur uuuu r ur uuuu r ( AM e  ( AM e ) AM )dm Vậy L A   � z z � � S Ta đưa vào điểm H hình chiếu M trục quay: uuuu r uuur uuuur uuuu r ur ur uuuur AM  AH  HM  AM ez ez  HM   Vậy ta được: ur ur uuuu r ur uuuur L A  � HM dm   � ( AM ez ) HM ) dm (Vì HM  AM  AH ) � � � � S S ur Như ta phân biệt biểu thức L A hai thành phần: ur ur HM dm + Một thành phần phương với vec tơ quay, là: L AP   � � � S ur uuuu r ur uuuur ( AM + Một thành phần vng góc với vec tơ quay, là: L A   � � � ez ) HM )dm S f) Mô men động lượng trục  - Mơ men qn tính: ur Thành phần L trục quay L A mô men động lượng gọi mô men động lượng vật rắn trục  ur ur ur ur urur 2 L  L A ez  L AP.ez  ez  � � �HM dm   � � �HM dm S S Theo định nghĩa, L không phụ thuộc vào vị trí điểm A trục  + Khoảng cách HM = r điểm M đến trục quay không đổi vật rắn quay ta định nghĩa mơ men qn tính J  vật r dm rắn trục quay  sau: J   � � � S Mơ men qn tính vật rắn trục quay đặc trưng cho mức quán tính chuyển động quay vật rắn quanh trục (bất biến theo thời gian), phụ thuộc vào cách phân bố khối lượng vật rắn Mô men lực, định lý Koenig mô men lực uur uur uuuur ur + Mô men lực M O điểm O hệ S R có biểu thức là: M O  �OM i �mi + Mô men lực G R* (R* tịnh tiến R) uur* uuuur r* r* r M G  �GM i �mi a i  �riG �mi uu r uur uu r ur uu r uur Từ công thức cộng gia tốc ta có:  ae ( M i )  aC ( M )  ai*  aG  ai* Gia tốc Coriolis khơng gia tốc kéo theo không phụ thuộc vào số i uur gia tốc aG điểm G r uuur uur uur uuur uuuu r uur uu uur uuuu r * * M  OG � GM � m a  a  OG � ma  GM � m a O i i Ta rút ra: � � i G i G i i uu r uur r uuuur r Vì �mi GM i  �mi ai*  F *  nên ta suy định lý Koenig mô men     lực: uuuur  uuur uuur M g dt  L0 + Xung mô men lực: M Ox  � Định lý Koenig mô men lực: Mô men lực O hệ chất điểm S HQC R tổng của: + Mô men lực O chất điểm giả định đặt G có khối lượng khối lượng tổng cộng hệ R + Mô men lực G hệ S HQC trọng tâm (nghĩa chuyển động quanh G) uur uur* uuur uur M  M G  OG �maG (10) Mô men lực trọng tâm: Cũng mô men động lượng, mô men lực S HQC trọng tâm R * không phụ thuộc vào điểm mà ta tính Chúng ta viết mô men mà không uur uur* uur* cần nói rõ số điểm đó: M A  M G  M uur uur* uur* Dùng định lý Koenig ta có: M G  M G  M Mối liên hệ mô men động lượng mô men lực Ta xét trường hợp tổng quát, điểm chọn để tính mơ men điểm bất ký P, điểm đứng yên chuyển động điểm cố định O chọn làm gốc tọa độ (hình vẽ) y rr r1  rP r r1r rP O P r r2 rr r2  rP x Theo định nghĩa mô men động lượng toàn phần hệ điểm P là:      LP   ri  rP   mi  vi  vP  Lấy đạo hàm theo thời gian, ta          dLP  (vi  vP )  mi  vi  vP    ri  rP   mi   aP  dt     0    ri  rP    mi  mi aP     Thay mi Fi ex  Fi in tổng hợp ngoại lực nội lực tác dụng lên hạt I, ta được: r r dLP r r r r r  � ri  rP  �Fi ext  �mi  ri  rP  �aP dt r r Thay tiếp �mi ri  mrG , ta r r dLP r r r r r  � ri  rP  �Fi ex  m  rG  rP  aP dt r r r Vì � ri  rP  �Fi ex theo định nghía mơ men ngoại lực P, nên cuối ta công thức tổng quát: r r dLP r r r  �M Pex   rG  rP  �maP dt (6) Công thức (6) cho thấy mối liên hệ mô men lực mô men động lượng không đơn giản mối liên hệ lực động lượng Có dự khác biệt mô men động lượng mơ men lực tùy thuộc vào điểm để tính mơ men Bây ta bàn tiếp số hạng thứ hai công thức (6) Số hạng triệt tiêu ba điều kiên sau thỏa mãn: r r a) aP  Điểm P đứng yên (hay chuyển động thẳng đều) r r dLP  �M P (P cố định) (7) dt r r b) rG  rP hay P �G Khi ta có: r r dLG  �M Gex dt uuur r r r r c) Gia tốc aP / /  rG  rP  hay aG / / PG Khi ta có: r uuur r dLP r  �M Pex aP / / PG (9) dt  Các ý toán học: ur  ur Cho hai vec tơ: A  (ax , a y , az ) , B  (bx , by , bz ) ur ur + Tích vơ hướng hai vec tơ: A.B  (axbx  a y by  azbz ) ur ur r r r + Tích có hướng hai vec tơ: A �B  i (a y bz  az by )  j (az bx  axbz )  k (axby  a ybx ) rr r Với i, j, k vec tơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz II BÀI TẬP VÍ DỤ Ví dụ Hai chất điểm A B giống hệt nhau, có khối lượng m liên kết với chiều dài b, khối lượng không đáng kể A dịch chuyển vòng tròn tâm O bán kính b AB dao động quanh trục qua A vng góc mặt phẳng hình vẽ Tính tổng động lượng mô men O  A  B động lượng O hệ AB theo góc ,  đạo hàm chúng theo thời gian Giải Cách 1: ur r r Ta có: p  mv( A)  mv( B) uur uuu r r uuu r r LO  OA �mv ( A)  OB �mv( B) uuu r Với OA  (b cos  , b sin  , 0) r uuu r suy v( A)  OA '  (b 'sin  , b ' cos , 0) uuu r OB  (b(cos   cos ), b(sin   sin  ), 0) r uuu r v( B )  OB '  (b( 'sin    'sin ), b( ' cos   ' cos ), 0) ur r r Suy p  mv( A)  mv( B )  m(b(2 'sin    'sin ), b(2 ' cos   ' cos ), 0) uur uuu r r uuu r r ur Và LO  OA �mv( A)  OB �mv( B)  mb (2 '  ' 2 ' cos(   ))ez ur Với ez vec tơ đơn vị trục Oz vng góc, ngồi mặt phẳng hình vẽ Cách 2: Chúng ta dùng định lý Koenig cách đưa vào khối tâm G (trung điểm AB) hệ uuur 2 Ta có OG  (b(cos   cos ), b(sin   sin  ), 0) uu r uuur 2 Và vận tốc khối tâm G là: vG  OG '  (b( 'sin    'sin ), b( 'cos    ' cos ), 0) Mô men động lượng hệ khối tâm G: uuu r uuu r uuu r r uuu r uuu r r r r r r L*G  GA �mv ( A)*  GB �mv ( B)*  2GB �mv ( B)* GA  GB v ( A)*  v ( B)* uuu r 1 GB  ( bcos , b sin  , 0) 2 1 r v ( B )*  (  'sin , b ' cos , 0) 2 Rõ ràng ta tìm ur r p  2mv (G )  m(b(2 'sin    'sin ), b(2 ' cos   ' cos ), 0) Và tổng mô men động lượng hệ: uur r* uuur ur r LO  LG  OG �2mv (G )  mb (2 '  '  ' cos(   ))ez Ví dụ Một AB đồng nhất, có tâm G, khối lượng m treo hai dây nhẹ giống AA’ BB’ có chiều dài b Thanh dao động mặt phẳng thẳng đứng, hai dây AA’ BB’ song song với a) Tính động theo đạo hàm  ' góc nghiêng  dây thời điểm cho trước b) Tìm chu kỳ dao động nhỏ Giải a) Định lý Koenig động cho ta: K A’ B’   A G mv (G )  K * (G ) Trong HQC R* (G,x,y,z) đứng yên K * (G)  nên: K mv (G )  mb 2 '2 (1) 2 b) Chọn mốc vị trí thấp q trình dao động + Thế là: U  mgb(1  cos ) (2) + Cơ hệ là: E  K  U  mb2 '2  mgb(1  cos )  mgb(1  cos )  const (3) Đạo hàm theo thời gian hai vế (3) ta được:  " b  g sin   (4) Với   10o � sin  � (rad ) phương trình (4) trở thành:  "  2  với   g b B Vậy chu kỳ dao động nhỏ là: T  2 b  2  g Ví dụ  Một vòng tròn đồng có tâm O, khối lượng m, bán kính a quay với tốc độ  không đổi quanh trục cố định Tính mơ men động lượng vòng tròn O động vòng tròn Giải uuuu r ur Điểm M vòng tròn xác định tọa độ cực: OM  aer r uu r Vận tốc M là: v( M )  a e Từ suy ra: + Mô men động lượng O: uur LO  uuuu r r ur OM � v ( M ) dm  ma  e z � vòng + Mơ men lực O: uuur d uur d uuuu r r ur r d M O  LO  OM �v( M )dm  (ma 2 )ez  � dt dt vòng dt 2 + Động K  J   ma 2 Ví dụ Chứng minh định lý Huygens cách: a) Dùng định lý Koenig mô men động lượng b) Dùng chứng minh hình học Giải a) Gọi A điểm cố định trục  + Trong R: L  J G  uur uur ur uuur r r ur ur uuu + Theo định lý Koenig: L  LA ez   AG �mv(G )  ez  L*G ez r ur uuur Với v(G )  ez �AG uuur r ur 2 AG � mv ( G ) e Từ đó: z  m  AG  AH G    ma    ur ez uur uur ur Trong R*: L*  L*G ez  J G  Từ đó: J   ma  J G b) H HG hình chiếu điểm M vật rắn tương ứng  G, ta có: J  � HM dm J G  � H G M dm � � � � S S uuuur uuuuur uuuuuu r uuuuur uuuuuu r Nhưng HM  HH G  H G M  HH G2  H G M  HH G H G M   Với HH G  a khoảng cách hai trục  G uuuuur uuuuuu r uuuuur uuuu r uuuuur uuuuu r r HH G H G M  HH G GM HH G H G G  uuuuur Để ý vec tơ HH G độc lập với điểm M, từ lấy tổng cho vật rắn S ta suy uuuuur uuuu r ra: J   ma  J G  HH G � � �GMdm S Số hạng cuối biểu thức không theo định nghĩa khối tâm G nên: J   ma  J G Ví dụ Xét lắc treo điểm O cố định gồm OA khối lượng không đáng kể chiều dài R, người ta hàn vào dây khối lượng m có dạng nửa vòng tròn mà OA bán kính Vị trí lắc xác định theo góc  OA đường thẳng đứng hướng xuống Xác định tổng động lượng, mô men động lượng O, mô men lực O động lắc phụ thuộc vào  đạo hàm chúng Giải Một điểm M nửa vòng tròn xác định góc      với  = const (hình vẽ) uuuu r ur r uu r Từ đó: OM  Rer v( M )  R ' e Từ ta suy ra: ur C r ur v( M )dm  mR ' ez + Động lượng: p  �  B uur C uuuu r uu r ur OM �v(M )dm  mR ' ez + Mô men động lượng: LO  � B uur C uuur d L r uu r ur d uuuu O M   ( OM �v (M )dm)  mR '' ez + Mô men lực: O � dt dt B Và động năng: K  mR 2 '2 Ví dụ Một AB đồng chiều dài 2b khối tâm G trung điểm AB Thanh tựa lên mặt đất nằm ngang gối lên tường thẳng đứng Vị trí xác định theo góc uuu r uuur   Ox, OG , góc thay đổi trượt   A B y + B G r 1) Xác định thành phần vận tốc v(G ) điểm G theo  đạo hàm  O ur 2) Tìm vec tơ quay  Chú ý: cần ý đến dấu biểu thức tính tốn Giải Trong tam giác vng OAB, trung tuyến OG có chiều dài b, từ đó: uuur OG   b cos  , b sin  ,  r d uuur OG   b 'sin  , b ' cos ,  (1) dt ur ur ur Véc tơ quay hướng theo trục ez , ta đặt   ez r Ta viết biểu thức v(G ) sau: r r ur uuur v(G )  v( A)   �AG Vận tốc khối tâm: v(G )  uuu r r uu r Biết OA  2b cos  ex suy v( A)  r r ur uuur r uu r d uuu OA  2b 'sin  ex dt Từ suy ra: v(G )  v( A)   �AG  (b(  2 ') sin  ; bcos ;0) (2) ur ur Cho (1) (2) ta    ' ez Ví dụ x A Một lắc kép gồm hai OA AB giống nhau, đồng chất, có khối lượng m, chiều dài 2b nối khớp A Hai chuyển động mặt phẳng thẳng đứng Oxy góc nghiêng chúng O  G2 y A +  xác định góc ,  so với đường thẳng đứng Ox hướng xuống Tính mơ men động lượng đối x với O động lắc kép Giải Thanh OA quay quanh trục Oz cố định, định lý Huygens cho: J OZ (OA)  mb  G1 y’ B x’ m(2b)  mb 12 Từ ta có mơ men động lượng OA điểm O: uur ur ur LO (OA)  J Oz (OA). ' ez  mb 2 ' ez Động OA: K (OA)  J Oz (OA). '2  mb 2 '2 Áp dụng định lý Koenig cho phép tính phần tử động học AB: uur uuuur r ur LO ( AB )  OG2 �mv(G2 )  J G2 z ( AB). ' ez K ( AB)  mv (G2 )  J G2 z ( AB). '2 2 2b cos   b cos  uuuur Biết rằng: OG2 2b sin   b sin  2b 'sin   b 'sin  r d uuuur Và vận tốc G2 v(G2 )  OG2  2b ' cos  b ' cos dt Và J Gz ( AB )  1 m(2b)  mb  J 12 uur ur � � Ta có: LO ( AB)  �mb (4 '  ' 2( '  ')cos(   )  mb  ' �ez � �2 � � 2 2 2� Và động năng: K ( AB)  � mb (4 '   '  4 '. ' cos(   )  mb  ' � Đối với hệ lắc kép: � uur uur uur 16 � �ur LO  LO (OA)  LO ( AB)  mb �  '  ' 2( '  ')cos(   ) � ez �3 � �8 � K  K (OA)  K ( AB )  mb �  '2   '2  2 '. ' cos(   ) � �3 � Ví dụ Hai vật khác có khối lượng m trượt không ma sát mặt bàn nằm ngang Thời gian đầu vật thực trượt tịnh tiến( không quay) tâm chúng có vận tốc v dọc theo hai đường thẳng song song Khoảng cách đường thẳng d Tại thời điểm định xảy va chạm đàn hồi lý tưởng vật Sau va chạm, vật thực chuyển động tịnh tiến, quay tiếp tục trượt mặt bàn, vận tốc góc vật thứ 1 , vật thứ hai 2 Mơ men qn tính chúng tính theo trụ thẳng đứng qua khối tâm I1 I2 a) Hãy mơ men xung lượng vật tính theo điểm xác định mặt bàn tổng mơ men xung lượng vật tính theo khối tâm b) Tính khoảng cách d’ đường thẳng dọc theo khối tâm hai vật chuyển động sau va chạm c) Thừa nhận rằng, sau va chạm giá trị vận tốc vật thứ v vật thứ hai không quay Hãy xét phụ thuộc d’ vào d Giải: a) Ta cần chứng minh: uur uur uu r uu r uur uu r uu r LO  LG  (�mi )rG �vG  LG  M rG �vG mi + u u r Xét phần tử mi vật rắn Ta có: rG uur uu r u r uu r ur G O LO  �mi (rG  ri ) �(vG  vi ) uu r uu r u r uu r uu r ur u r ur  (�mi )rG �vG  (�mi ri ) �vG  rG �(�mi vi )  �mi ri �vi u r ri G u r r � m r � i i 0 � ur r Nhận xét: � m v � � i i 0 � uur uu r uu r u r ur LO  (�mi ) rG �vG  �mi ri �vi Do uu r uu r uu r uu r � (�mi )rG �vG  M rG �vG � u r ur uur Mặt khác, � � �mi ri �vi  LG � uur uur uu r uu r nên LO  LG  M rG �vG (ĐPCM) b) Gọi v1' vận tốc vật (của G1) sau va chạm m G1 r v r v G2 Do hệ kín nên động lượng hệ bảo tồn dó đó: ur uu r uu r r r r ur' ur ' ' ' mv1  mv2  mv  mv  � v1  v2  v ' Ta xét mô men động lượng hệ G2 Do khơng có ngoại lực nên mơ men động lượng trước sau va chạm Ta có, ban đầu LG2  mvd sau L 'G2  mv ' d ' I11  I 22 Mà 1 ; 2 có chiều hình vẽ gọi chiều dương nên mvd  mv ' d ' I11  I 22 �d' mvd  I11  I 22 mv ' c) Với v '  d' v I , 2  � d '  d  1 mv 2 0 >0 d Theo định luật bảo toàn lượng, ta có: v mv  m( ) 2  I112 2 2 � 2mv  mv  I112 � I112  mv � Vậy: uur uur 1 m I � �d' d � v I1 m uu r uu r a) LO  LG  M rG �vG b) d '  mvd  I11  I 22 mv ' c) d '  d � I1 m Ví dụ Xét hình bán trụ D đồng nhất, tâm C, khối tam G, bán kính R khối lượng m Hệ quy chiếu Trái Đất (Oxyz) xem quán tính Tất nằm mặt phẳng thẳng đứng (Oxy) Ta kí hiệu I điểm tiếp xúc mặt đất D Ta xác định vị trí D theo uur uuur tọa độ x tâm C theo góc   (CI , CG ) I1 m Cho CG  b  4R Hãy xác định phương trình chuyển động D cách: 3 a) Tính mô men lực đĩa D I b) Vận dụng định lý mô men lực I để tìm phương trình vi phân bậc hai  c) Giả sử  nhỏ Tuyến tính hóa phương trình vi phân có câu b) để từ suy chu kỳ T0 dao động nhỏ D quanh vị trí cân Giải a) Tính mơ men lực D I + Cách Dùng định lý Koenig mô men lực uuur uur r ur M I  IG �ma (G )  J G " ez uuur ur 2 Ta tìm được: M I   ( J  m( R  2bR cos  )) " mRb ' sin   ez + Cách Dùng định lý Koenig mô men động lượng D I uu r uur r ur ur LI  IG �mv(G )  J G ' ez   J  m( R  2bR cos  )   ' ez uu r ur ur L  J  ' e  J  m ( R  bR cos  )  ' e   z Hay I I z uu r uuur d L ur Và dùng hệ thức M I  I   ( J  m( R  2bR cos  )) " mRb '2 sin   ez dt b) Vận dụng định lý mô men lực điểm I, phép chiếu lên trục Oz cho kết (chỉ có mơ men trọng lực I khác không)  ( J  m( R  2bR cos  )) " mRb '2 sin     mgb sin  c) Nếu  nhỏ, phương trình đơn giản thành: ( J  mR  2mbR ) "  mgb Như vật hình bán trụ D thực dao động nhỏ điều hòa quanh vị trí cân  = với chu kỳ: T0  2 J  mR  2mRb mgb Ta có mơ men qn tính D trục qua C vng góc với D J  Nên T0  2 (9  16 R ) 8g mR 2 Ví dụ 10 Xét khối lăng trụ đáy lục giác đều, dài cứng,  giống bút chì thơng thường Khối lượng M phân bố Tiết diện thẳng hình lục giác đêu cạnh a Mơmen qn tính khối lăng trụ lục giác 12 trục xuyên tâm I  Ma a) Ban đầu khối lăng trụ nằm yên mặt phẳng nghiêng làm với mặt ngang góc nhỏ  Trục lăng trụ nằm ngang Cho mặt khối lăng trụ lõm chút cho khối trụ tiếp xúc với mặt phẳng nghiêng cạnh Bỏ qua ảnh hưởng lõm mômen quán tính Khối trụ bị đẩy cho dịch chuyển bắt đầu lăn xuống mặt nghiêng Cho ma sát mà khối trụ không trượt chạm vào mặt nghiêng Vận tốc góc trước cạnh đập vào mặt nghiêng i sau cạnh đập vào mặt nghiêng f Chứng minh ta viết : f = si , tìm s b) Động khối trụ trước sau cạnh đập vào mặt nghiêng Ki Kf Chứng minh : Kf = r Ki Tìm r c) Để có lần va đập K i phải vượt qua giá trị Ki , mà ta viết dạng: Ki = Mga, g = 9,81 m/s2 Tính giá trị  theo góc nghiêng  hệ số r d) Giả sử điều kiện phần c) thỏa mãn, động K i dần tới giá trị không đổi Kio khối trụ lăn xuống mặt phẳng nghiêng Biết giá trị tồn tại, chứng minh K io viết dạng : Kio = kMga, tìm biểu thức k theo  r e) Tính xác đến 0,1o góc nghiêng thối thiểu o trình lăn khởi động, tiếp diễn mãi Giải a) Cách - Trước va đập, khối trụ quay quanh trục I, sau va đập quay quanh trục F Xung lực xuất va chạm qua F, : Mômen động lượng L khối trụ trục F bảo tồn q trình va chạm Ta có : Trước va đập : Li = Mômen động lượng quanh khối tâm C + Mômen động lượng khối tâm quanh trục quay F (theo định lý Koenig) uur uur uuur uu r LF  LG  ( FC �M vci ) uuu r ur uuur uu r LFi  I C i ez  ( FC �M vci ) ur với ez vec tơ đơn vị trục hình trụ C  Li = ICi + vci.cos60o.a.M (1)  12 Vì vci = i.a I C  Ma nên vci  5   11Ma i Li Ma  i  i   (2) 2 12  12 17 Ma 2 f Sau va đập : L f I f  f  12  F  (3)  f 11 11Ma 2i 17 Ma  f   s  Suy : Li = Lf  12 12 i 17 lưu ý s không phụ thuộc , a i Cách Khi cạnh khối trụ va đập vào mặt nghiêng (trong thời gian dt) có phản lực N tác dụng lên khối trụ, có ma sát nên N khơng vng góc với mặt nghiêng + Thành phần song song với mặt nghiêng N// + Thành phần vng góc với mật nghiêng N Lấy trục song song với mặt nghiêng hướng từ thấp đến cao, trục vng góc với mặt nghiêng hướng từ lên Ta có: N // dt M ( f  i )a.sin 30 m( f  i )a (4) N  dt M ( f  i ) a cos 30 m( f  i ) a (5) 2 Mặt khác: N  dt.a  N // dt.a I C ( f  i )(6) (định lí biến thiên mômen động lượng C)  f 11  i 17 Từ (4), (5), (6) loại N// N ta : s  b) Tốc độ dài khối tâm trước lúc va đập ai sau lúc va đập af + Động toàn phần vật quay : K  + Trước va đập : K i  MvC2 I C   (7) 2 MvC2 I C i2  5Ma 2  17 Ma 2i2    Ma 2i2  i   2 2 12 24  Ta thấyđộng tỉ lệ với 2 + Sau va đập : K f  MvCf2 2 I C i2  5Ma 2  17 Ma  f 2    Ma  f   f   2 12 24   2f  11  121     r 0,419 (8) Suy : K i i2  17  289 Kf c) Động Kf sau va đập phải đủ lớn để nâng khối tâm khối trụ lên vị trí cao đường thẳng đứng qua tiếp điểm uu r + góc mà véc tơ rC phải quay : x = 30o -  + lượng để khối tâm nâng lên : E0 Mga (1  cos x) Mga (1  cos(30   )) (9) ta suy điều kiện : Kf = r.Ki > Eo = Mga(1-cos(30o - ))  r.Ki = Mga =Eo r    1  cos(30   ) (10) d) Gọi Ki,n Kf,n động trước sau va đập lần thứ n Ta chứng minh có hệ thức : Kj,n = r.Ki,n r tính (8) Giữa hai va đập liên tiếp, độ cao khối tâm khối trụ giảm di asin, động tăng lên lượng  = Mgasin, Ki, n + = r.Ki +  (11) Ta không cần phải viết biểu thức đầy đủ Ki,n hàm theo Ki n để tìm giới hạn Làm chứng minh tồn giới hạn Theo đề bài, giới hạn tồn tại, cho Ki,n +  Ki,n n đủ lớn cách tùy ý Giới hạn Ki,o phải thỏa mãn hệ thức :  Mga sin  sin  k (13)  kMga  1 r 1 r 1 r Ki,o = r.Ki,o +  (12)  K i ,  Ta giải toán cách tường minh cách viết biểu thức cách đầy đủ : Ki,2 = r.Ki,1 +  Ki,3 = r.Ki,2 +  = r(r.Ki,1 + ) +  = r2.Ki,1 + (1+r) Ki,4 = r.Ki,3 +  = r (r2.Ki,1 + (1+r)) +  = r3.Ki,1 + (1 + r + r2) n-1 n-2 Ki,n = r Ki,1 + (1 + r + r + + r ) = r n K i ,1   r n  (14) 1 r  (15) 1 r Khi n  , r < 1, nên ta có : K i ,n  K i ,0  Nếu ta tính biến thiên động chu kí nghĩa từ trước lần đập thứ n tới trước lần đập thứ n + 1, ta được: Ki,n = Ki,n+1 – Ki,n = (r – 1)rn-1Ki,1 + rn-1 = rn-1[ - (1 – r)Ki,1] (16) Đại lượng dương giá trị ban đầu K i,1 < Ki,o Ki,n tăng dần tới giá trị giới hạn Ki,o Ngược lại, Ki,1 > Ki,o động trước va đập Ki,n giảm tới giá trị giới hạn Ki,o a) Để khối trụ lăn mãi, giá trị giới hạn K i, phần d) phải lớn giá trị nhỏ để tiếp tục lăn tìm phần c):  Mga sin  Mga K i ,0    (1  cos(30   ))(17) 1 r 1 r r r 121  ta có : Asin > 1- cos(30o - ) = – cos30ocos - sin30osin  r 168 đặt A    A   sin   cos   (18)  2 Giải phương trình lượng giác ta o  6,58o + Nếu  > o động trước lần va đập đủ lớn nói câu c) ta có q trình lăn liên tục + Chú ý: đầu nói  góc nhỏ nên áp dụng cơng thức gần đúng: sinx x ; cosx  1- x2/2 để giải bất phương trình (18) III BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Một bánh xe to chỗ chơi ngày lễ hội A có bán kính R quay với tốc độ góc  không G b đổi quanh trục nằm ngang bánh xe Ta xét thùng treo (móc nối tốt A bánh xe) hành khách (mà ta xem O hồn tồn khơng động đậy thùng treo), hệ thùng treo hành khách có khối lượng m, có khối tâm G nằm đường thẳng đứng qua điểm A, cách A khoảng b Xác định mô men động lượng O, mô men lực O động hệ thùng treo hành khách uur uu r uu r Đáp số: LO  mR 2 e y với vec tơ ey vng góc mặt phẳng hình vẽ uuur r M O  K  mR 2 2 Bài Bốn OD, OE, AC BC có khối lượng khơng đáng kể nối khớp với điểm O, A, B C Điểm O cố định, ống C xem chất điểm khối lượng m trượt theo trục thẳng đứng (Oz) Ở đầu mút D E có hai chất điểm giống nhau, khối O  A C D lượng m Ta xác định vị trí hệ góc  Hãy tìm tổng động lượng, mơ men động lượng O động hệ theo đạo hàm ’ góc  Cho biết: OA = OBur = AC = BC =urADuur= BE = b.uur Đáp số: p  6mb 'sin  ez ; LO  8mb 2 ' ey K  2mb2 '2 (2  sin  ) x z B + E Bài Một AB có khối lượng khơng kể, chiều dài 4a treo điểm O cố định Ở A b có khớp nối với hai giống CD EF, khối lượng không đáng kể, chiều dài 2a (A điểm CD, B điểm EF) Ở đầu mút C, D, E F có bốn khối điểm F B giống hệt m Tính mơ men động lượng O động hệ phụ thuộc vào + góc ,,  đạo hàm chúng  E O uur ur Đáp số: LO  2ma (8 '  '  ')ez D y  A K  ma (8 '   '   ' ) 2 2  x Bài Thanh thẳng AB đồng chất, tâm C dài b, có khối lượng m treo nằm ngang nhờ hai dây nhẹ, không dãn, chiều dài, treo vào điểm O hình vẽ Góc tạo dây treo O  A  = 60o Hệ quy chiếu Trái Đất xem HQC qn tính a) Hệ cân Tìm lực căng dây T0 dây OA A b) Tìm lực căng T dây OA dây OB đột ngột bị đứt (khi mà AB T chưa kịp dịch chuyển) Tính tỉ số T Đáp số: a) T0  mg b) T  3mg T  ; T 13 13 Bài Một hình vng ABCD cạnh L quay xung quanh điểm A mà nằm mặt phẳng (xOy), với tốc độ góc  Ở đỉnh có chất điểm khối lượng m bỏ qua khối lượng nối Hãy xác định, HQC R, động lượng, mô men động lượng A A  L y B G x C D B động ur ur uuur uur Đáp số: p  2m BD ; LA  4m L2 ez ; K  2mL2 Bài Một đồng tiền xem lý tưởng đĩa tròn đồng chất bán kính a với bề dày khơng đáng kể khối lượng m lăn không trượt đường tròn Khối tâm C đĩa chuyển động đường tròn bán kính b trục nghiêng góc θ so với phương thẳng đứng Tìm vận tốc góc Ω tâm đĩa Đáp số:   g tan  6b  a sin  ... �mv ( A)*  GB �mv ( B)*  2GB �mv ( B)* GA  GB v ( A)*  v ( B)* uuu r 1 GB  ( bcos , b sin  , 0) 2 1 r v ( B )*  (  'sin , b ' cos , 0) 2 Rõ ràng ta tìm ur r p  2mv (G )  m(b(2... mv( A)  mv( B) uur uuu r r uuu r r LO  OA �mv ( A)  OB �mv( B) uuu r Với OA  (b cos  , b sin  , 0) r uuu r suy v( A)  OA '  ( b 'sin  , b ' cos , 0) uuu r OB  (b(cos   cos ), b(sin... từ lên Ta có: N // dt M ( f  i )a.sin 30 m( f  i )a (4 ) N  dt M ( f  i ) a cos 30 m( f  i ) a (5 ) 2 Mặt khác: N  dt.a  N // dt.a I C ( f  i )(6 ) ( ịnh lí biến thiên mômen