Một số chuyên đề về tổ hợp dành cho học sinh có năng khiếu ở trung học phổ thông

Một số chuyên đề tổ hợp dành cho học sinh có khiếu toán bậc trung học phổ thông ụ ụ ế tứ t ộ q t ị tổ ợ ý ý rt ị tổ ợ tổ qt tứ trừ ột số ề ề tổ ợ ọ s ó ế t tr ọ ổ t ề t ộ q t ề ị tổ ợ ề ý ề số s ề số t ề số tr ề ị tổ ợ tổ qt ề ý trừ ề ữ trộ ữ s t trớ ề ợ t ế ột số t ề ị ó tể ó t ề tổ ợ r từ rt sớ tờ t ết ế ì ẽ ó q ế ữ ì t í ổ trết ọ rt số tế ỷ tứ trớ ết tí số từ từ ột ữ trớ t ọ Pt ọ trò ủ tì r ề số ó tí t ệt ệ tì r ợ số ò ỏ ó ột ệ tt tổ ợ t ị ó tể ó r ý tết tổ ợ ợ ì t ột t ọ q tế ỷ ột t trì ứ tú ủ t ọ t s Ps rt t r ù tr sốt tế ỷ rỡ tổ ợ ó trò ề tr ệ ứ tự ế ỗ trợ ự ủ tí tổ ợ ể s ĩ ự t ứ ụ t trể ẽ ó ề ết q ó í tứ ợ trò ủ ý tết tổ ợ ố số ệ ý tết tổ ợ ợ trì ọ ổ t ế ột tr ỳ t t qố qố tế t t ệ ết ề tổ ợ ề ó t ột t ệ ề tổ ợ ọ s ổ t ệt ữ ọ s ó ế t ú t ọ ứ ợ ò tí t ọ ủ tờ ũ ột t ệ ể ệ t ột ú t trì ột số ế tứ ủ tổ ợ t ột s s ổ t ọ s trọ t ủ r ọ s ợ tì ể ề ề t ộ q t ề ị tổ ợ ề ý ề số s ề số t ề số tr ề ị tổ ợ tổ qt ề ý trừ ề ữ trộ ữ s t trớ ề 10 ợ t ế r ỗ ề t tờ ợ t t ữ ủ ề t ị ó ọ s tự tì t ì ữ ế tứ q ế ủ ề ợ tờ ỗ ề ó tết ọ s t t tr t ệ ề tổ ợ ó tr tị trờ ọ í ề í tí ể ết ò s ủ ọ s ó ế t ó ộ ữ t ề ị ợ ọ ự ĩ ỡ ú ụ ữ ế tứ t ợ từ trớ ể ỹ t tổ ợ ủ ì ột tờ ứ ợ t tr ỏ ề s sót í ó ý ủ qý t ệ ọ s ú t t ế tứ t ộ q t t ộ ế Ei (i = 1, , k) k ệ t (i) ó ệ tr số ú r tờ (ii) Ei ó tể r t tì ột tr k ni ệ ó tể r t ột ọ ó í ụ 18 + 12 = 30 18 (n1 + n2 + + nk ) ọ s 12 ọ s ữ tì ó ọ ột ọ s ể ữ ệ í ụ tết E ệ ọ số tố ỏ ệ ọ số tự ỏ ì E ó r F ó tố ột tr ệ 10 r ì E F 10 F ột số ó tể r t 4+41 = t n1 E2 ế ó tể r t r tế E1 E2 Ei (i = 1, , k) E3 n2 k ệ E1 ụ tộ ế ệ ó tể r t n3 í ụ nk ệ trớ r tế tì k r tờ t n1 n2 n3 nk ột s ó E1 ụ tộ ế ệ r tế Ek ó tể r t tộ ế k ó tể r t ụ ệ ó tể qể s tế ột qể s tế P ột 10 qể s tế ứ ột (i) ó 6.8.10 = 480 ọ qể s tr ó ỗ qể ột tứ tế (ii) ó + + 10 = 24 ọ qể s t ỳ tr số qể s ó tr ế ột t tr ệ ó í ụ ỏ ỗ ỏ ó tr ột ú s số ọ tr ủ tt ị tổ ợ X ị ĩ tử r ột số n r ị ủ X ột ột ộ s tứ tự r tử n tử ủ X ột ố n ột t ợ ỏ từ ỏ tr 38 = 6561 n ị ủ X ợ ọ ột ị ủ X r ị ủ ột t ợ n tử ợ ý ệ P (n, r) í ụ {2, 3, 4} {2, 4, 3} ị ủ X = {1, 2, 3, 4, 5} ị ĩ ột rtổ ợ ủ X ột t r tử ủ X rtổ ợ ủ ột t ợ n tử ợ ý ệ C(n, r) n! ị ý (i) P (n, r) = (n r)! P (n, r) n! (ii) C(n, r) = = = C(n, n r) r! r!(n r)! ố ú t r từ m! (1).(2) (m) ứ t tr r (i) ó ị trí ó n 0! ọ ột tử t ỳ ủ (n 1) X ọ ột tử từ ó tử ò ể ế ị trí tứ tr số r ị trí (n 1) ị trí ú ý r số ọ tử ế ị trí tứ ụ tộ ọ tử ế ị trí tứ t tế ó t q t ị trí t ó tể r tt n(n 1) ị trí ó tể n! (n r)! P (n, r) = n(n 1) (n r + 1) = (ii) ể C(n, r) ú ý r ột r ị ủ t ợ n tử X rt ó ủ X ị ủ ột ữ ữ rt ệt s r rtổ ợ ệt ó q t ộ t ó P (n, r) = P (r, r) + P (r, r) + + P (r, r) ố số ế số rt ủ X tứ C(n, r) ó t ó P (n, r) = C(n, r)P (r, r) = C(n, r)r! ỗ rt ủ X (n r)t ó ột t ù t ó t ó ột q ệ q trọ C(n, r) = C(n, n r) ệt số ị ủ n tử P (n, n) = n! ét ợ ó r ị ủ ột t ủ n tử ột r tổ r trì ổ t ột n tử ợ ọ ột ỉ ợ r ợ ủ ột t ợ ó n tử ợ ọ ột tổ ợ r ủ n tử ó í ụ ột ộ ọ s ố 10 ọ s ố 11 12 ọ s ố 12 10 ọ s ố 11 r ột ệ ọ s ố 10 t ó ọ s ố C(12, 4) = 12 12! = 495 4!8! ọ ọ s ố 12 C(10, 4) = 210 ọ ọ s ố 11 C(9, 3) = 84 ọ ọ s ố ọ r ệ tr 10 q t số ể 495.210.84 = 8731800 ý ý rt ột số ết q s s ủ ý tết tổ ợ t t từ ột ệ ề ế n trú ủ t (n + 1) tì ó t ột ứ từ trở í ụ tết r ó ề ế tt ỏ ề ế tt tr ề ế tt tr ộ ỏ từ ộ ó r t ế tt ì tr ể ợ ế ù ỗ ột ợ ột n = ó ế n + = ế tt tì t ó ế tt ù ột tổ qt ủ ý s ế k n trú ủ kn + ột số tì t ó ột ứ từ k + trở í ụ ó tự í ụ 1.3.1 ế ế tt ù tì t n = ể r ột ề tr số ó ứ k+1 = ề tì ú t kn + = 16 ó số 16 ế tt í ụ ột tủ ứ ế tr 20 ế s tr ó ó ế ỏ ế ỏ r t ế ợ ì tủ ể ợ r = 4, 5, 6, 7, 8, ế ù ) rờ ợ r = = k + r k = ó n = ó r t kn + = 3.3 + = 10 ế s ) rờ ợ r = = k + r k = P tí t ú t tở tợ r ữ ế ợ r từ tủ ột t tự ì ố í ể t ế t t ù ỏ ó ế ò r ó tr ể r=5 ế r ó ù tì t ó tr r n = ố ợ kn + = 4.2 + = t ý r t + = 13 ế ) rờ ợ r = = k + r k = tự trờ ợ ết q + kn + = + 5.2 + = 15 ế r ) rờ ợ r = = k + r k = tự ết q + kn + = + 6.2 + = 17 ế r ) rờ ợ r = = k + r k = ế r ữ ế ỏ tr tì ề trị ó số ế r ) + + kn + = + + 7.1 + = 19 ế rờ ợ r = = k + tự trờ ợ t ó ết q + + kn + = + + 8.1 + = 20 ế r S ột t ợ t t ố tợ ó ệ tợ ó ệ t vr n x3 x2 í ệ vr x1 ố tợ ó ệ ố tợ ó ệ x2 x1 xn xn1 ố số ỏ t t tt tử ủ ỗ t ứ t r ố tợ ó ù ột ệ ó n(r 1) + 1, (n 1)(r 1) + + x1 , vr = (n 2)(r 1) + + x1 + x2 , (1)(r 1) + + x + x + + x , n1 ị ĩ ế x r x1 x1 < r x2 x2 < r x xn1 < r xn ột số tự tì ủ số t ỏ m í ệ [x] x n (m 1) ứ từ p + trở p = n ế ốt ị ý x tì t ột p m1 = m1 < m số ỏ np n n ứ sử ợ tt ề ứ ề t t sử ó 26 s m = 26 ế t ể ọ 25 ó p = = ó ó t ột ế t từ s trở í ụ ị tổ ợ tổ qt ị ĩ ế X ột t ệt t ỳ ột s ế ủ ột r ị tổ qt ủ X tổ qt ủ X í ụ t ế n t tết r n t từ t X ợ ọ r = n ú t ọ ị X = {A, A, B, B, B, C, C} ó AABCBBC ột ị tổ qt ủ ni (i = 1, 2, , k) r n k + số t n1 + n2 + P (n, r) + nk = r n t t P (n; n1 , n2 , , nk ) n1 !n2 ! nk ! ế 2; p2 = 3; p3 = 5; p4 = 100 100 100 100 S1 = + + + = 117 100 100 100 100 100 100 S2 = + + + + + = 45 (2).(3) (2).(5) (2).(7) (3).(5) (3).(7) (5).(7) 100 100 100 100 S3 = + + + =6 (3).(5).(7) (2).(5).(7) (2).(3).(7) (2)(3).(5) 100 =0 S4 = (2).(3).(5).(7) (100) = 100 + 117 + 45 + = 25 t ộ ó 30 s tr ý tú 15 s t ọ s t ọ s ọ s t ọ ọ ọ ết r ó r ó t s t tr ứ s t ọ ọ A t ợ s tr ý tú t ộ B t ợ s tr ý tú t s ọ s tr ý tú t ọ ó S3 = ọ X C t ợ S1 = 15 + + = 19 số s t ọ ó x = 30 29 + S2 = S2 t n(A B C) = n(A B) n(A C) n(B C) r S2 x = ề ữ trộ ữ s t trớ ị ĩ ột ị P ủ t X = {x1 , x2 , , xn } ợ ọ P (xi ) = xi ột trộ ế ị ý Dn = n! ứ ọ Ai i = 1, 2, , n ọ Dn số trộ ủ t ợ X = {x1 , , xn } ó n! ọ ọ Q 1 + + (1)n 1! 2! n! t ợ tt ị ủ t ủ Q X ứ tt ị ó s r xi n(Q) = ố ị (i = 1, 2, , n) ụ tứ n(Ai1 Ai2 Aik ) = C(n, k)(n k)! = Sk = n! k! ó Dn = n(A1 A2 Ak ) = n! ệ q tí Dn 1 + + (1)n 1! 2! n! n = 1, 2, , 10 Dn t r ột ọ ó n ọ s n qể s ệt t ỗ ọ s ột qể s ọ s ộ s t s ữ qể s ó ợ t n ọ s ỏ ó ố s ọ s ù ột qể s qể s ó tể t t t ó ó Dn t ủ t tứ s t t ết q tì t ó n! ứ ỗ n!Dn n ụ ữ t ự ột ổ tệ ế ỗ ề t ột ế ũ ột ế ò tế t r ề ỗ ụ ữ ột ế ũ ột ế ì số ữ ế ũ ữ ế ế a) ụ ữ ú ũ ủ b) ụ ữ ú ũ ủ a) ữ ế ị trộ t Dn trộ t Dn t ó (Dn )2 ữ ế ũ ị ữ ế ũ ữ ế t t b) Ai ọ t ủ t tt ố tr ó ụ i ú ũ ủ (i = 1, 2, , n) ữ tứ n(X) = (n!)2 ; Sr = C(n, r)[(n r)!]2 , (r = 1, 2, , n) ết q tì n(X) S1 + S2 + (1)n Sn t ó số ố ứ t ể ế ị ỉ ì ứ t s t ột ứ t ế ú t ễ t ết q tì t 8! D8 = 40320 14833 = 25487 ì số từ t ữ X n tử í ó ó s ỗ ó t ột ể ố ị n0 tì n0 X ế f (n0 ) = n0 ợ ọ ột ể ố ị ủ tự tr ết q tì t ó n! Dn t tr tr ột ộ ó sử ế t ợ t s ó ữ ế t tr ợ t 6 ó ì st ể a) t ù ợ b t ề t ù ợ c) ỉ ó ột ợ t ù ợ d) t ợ t ù ợ ế t ó t 6! t ó ó ế t tr ó tt r (6!)2 6! ó tể a) ó 6! t ế t ứ ỗ ó ó D6 ố ế t tr ể ó ết q t ủ t st tì b) ứ ỗ t t c) 6!D6 D6 = (6!)2 6! ế t tì ó ột ế t tr ó t ó ết q ứ ỗ t 6!.1 = (6!)2 6! ế t tì ó 6.(1).D5 t tr s ó ú ột ợ t D5 6!.(6).(1).D5 = ù ợ t ó ết q (6!)2 5! D6 D5 d) ụ ết q a) c) t ó st tì 6! 5! t ề ợ t ế ợ t ế ột tí t ủ t t ổ q t ộ ế ổ ủ ệ tố ề t t ệ r ố tì t r ữ ế ó tí t t ế ệ t ế từ ó t ế ết ủ t t r t ết ộ trừ t ị trí t ì tự ệ ó t ì ết ó ột ộ ế ó ố trừ ế ó ế tr ỉ ò ột ỏ ó ì t ỗ ộ số ò ỗ trừ số t tự ệ ó số ết ột số tí ủ ú ì tế tí ủ tt số ết tr ổ tí số ố ù tì trừ ỗ t t số trừ t ổ số trừ t ó tì trừ ỗ ộ số ò ỗ trừ số t tự ệ tổ số tì ết số tổ số số tì ết số s ỗ t t tự ệ tổ số tr ổ t tổ số tr số số ố ù số ó tì trừ ét P tí t t ợ ụ tí ổ ủ tí số ết tr ổ ủ số trừ sử ụ ổ tí ủ tổ số t r t ết số ó ó ột số t ó tổ ủ số ò trừ t ế t ợ số ỏ số t ó sử số t ỗ t t tr số ó số ột số ết q ề số tr tì số t ét t tr ợ t ệ r tí ủ số t ổ từ tr t t t tể ợ tr t ết tú t tr n2 r n ì n n2 r ù ột ột ột t ì t t tt tr t t tr ỏ ó tể tự ệ ữ t ổ ể tr ỉ ò ột ế ó ú k tr ột ột ột trớ tự ệ t ổ tì s tự ệ ột t ổ số tr ó tr ột ó n k ự t ổ số tr (n k) k = n 2k ột số ó tí ủ số ữ ữ t t ó số tể ỉ ò ột tr t ột ế ổ ó t ó ố sỏ ó số ợ t ứ sỏ ợ é ọ ố sỏ ể ột sỏ ủ ỗ ố sỏ ọ s ố tứ ột số tì ó t r ó sỏ ề ó sỏ t số sỏ tr ố t ứ a b c ét số ủ số t ữ số ỗ tự ệ ữ số ữ tứ tự ó tt ố sỏ ề tể ợ ì ó số t ỗ t ủ ột ộ ó ề t ố tủ tr ộ ố tủ t t ứ r ữ t ủ ộ ó tể t ó s ỗ t tr ỗ ó ó ề t ột ố tủ tr ó t t ữ t tr ộ t ó í ệ số ố tủ tr ù ột ó ế ột t ó t ố tủ tr ù ột ó tì t ó ề t ột ố tủ tr ó ợ ể s ó t t ì ột số ó tể ợ s ột số ữ ể ổ tỏ t t tế trò t ột ỏ ố t t trớ t ợ t s ù ế t ó ế tt ể t ế tt ó tế t ế tự ệ ế tt s ột t tế t x t x số t trớ ó t s t ò t ế ó t ế tt tr tì s ỗ rồ ế số t ò tr ố ộ số ủ ố ù ế ợt tì ò t ù tự ệ tì ũ ế t ột số t ề ị ợ A = {1, 2, , 100} ợ t t ợ t rỗ ột ứ r tồ t t ột t s tr t tì ợ tử tì ợ tử s a+b = c+d e + f = 2g ụ ý rt t ợ ỗ t ợ ó tử ết r t ợ t ỳ ó ú ột tử ứ r tồ t t ột tử tộ tt t ợ ụ ý rt t ợ rỗ số s ỗ tử ủ t ợ ỏ số trớ n 2) ứ r ế tổ số tử ủ t ợ é tì ó tể ọ tr ỗ t ợ ột tử s tổ số ủ ú ụ ý rt A = {0, 1, , 8} tì số f : A A tỏ ề ệ ế tộ tì ế i + j = tì f (i) + f (j) = ụ q t ứ r từ t ợ số ó tể ọ ợ số tổ ệ ủ ú trù số ò ụ ý rt t ợ ó tử t ợ ó tử ỏ ó từ ế ụ q t S = {1, 2, , 280} ì số tự ỏ t s ọ t ợ tử ủ ề ứ số ột tố ù ụ tứ ề số tử ủ ợ t ợ ý rt ứ r ỗ n N t ó tứ =n 1i1 < A = {a1 , a2 , , an } N số s ết r số tr é tử ủ ột ứ r ỗ k Z tết s số tồ t + aj k i, j {1, 2, , n} ết t m ụ ý rt n N ứ tứ n n + n+1 2k = n+1 C(n, k) k k=1 k=0 ế ổ tổ ợ k [n, n] P (x) R[x] tì ó | P (x) | 1ứ 2n ết r ỗ số r ọ x [n, n] tì | P (x) | 22n ù tứ ộ s r ế ổ tổ ợ số xn + a1 xn1 + + an x0 < x1 < < xn tứ P (x) = P (xj ), j = 0, 1, , n n! tồ t t ột số ó trị tệt ố ỏ 2n ứ r tr số ố ì tt số tỏ ề ệ ế F (x) Z(x) s F (c) k ọ c {0, 1, , k + 1} tì F (0) = F (1) = = F (k + 1) ụ ý rt (1.x + 2.x2 + + n.xn )2 = a0 + a1 x + a2n x2n ứ n(n + 1)(5n2 + 5n + 2) r an+1 + an+2 + + a2n = 24 sử ế ổ tổ ợ (bn ) P (x) Z[x] ị s d N s ỗ x N b1 = 1, bk+1 = P (bk ), k tồ t t ột số ủ r t ó P (x) > x ết r ỗ (bn ) ết ứ P (x) = x + 1, x N P ứ ù ý rt p1 , p2 , , pn [0, 1] ứ r t trì 1 1 8n(1 + + + + ) ó ệ tộ [0, 1] 2n i=0 | x pi | n số ụ ý rt [n/2] (C(n, k) C(n, k 1))2 ứ n N t Sn = k=0 r Sn = C(2n, n) n+1 ế ổ tổ ợ tộ số tự , , , n , , , n ứ r tồ t số ụ s ó số ộ số | m1 + + n mn |< c | m1 | + + | mn |n1 (m1 , m2 , , mn ) Z n ù q t ý rt t ợ {1, 2, , 14} M = {1, 2, , 27} A = {a1 , , ak } ó tí t s ỗ tử ủ ột tử ủ tổ ủ tử t tết ệt ủ ì trị ỏ t ủ ù tổ ợ ứ ứ ể ó ết q trị ỏ t ủ ệ trì q = 2p a11 x1 + + a1q xq = ap1 x1 + + apq xq = tr ó aij {1, 0, 1} ứ r tồ t ệ (x1 , , xq ) (0, 0, , 0), xj Z | xj | q, j = 1, 2, , q ù q t ý rt t ợ số ỗ số ỉ ó tố ợt q ứ r tồ t số ệt tr ó tí ũ từ ủ ột số ý rt t ợ tố ệt t n+1 số tự ệt s ỗ số tr ề số í ỉ ó tố tộ ứ r ó tể ọ r tr ột số ó tí ột số í ý rt S = {1, 2, 3, , 100} P t t ủ S |T | = 49 ỗ T P t số ột số từ t S ứ r tồ t t M ủ S ó số tử ỗ x M t M \ {x} ợ số x ý rt ủ tr ứ r ọ t tồ t ột ì ữ t ó tr s ó ù ý rt ét ề ỗ ột số s tổ số tr ỗ tổ số tr ỗ ột ỏ ó tr ó số ỗ út t t ột tr ỏ s ỗ ì ị ó ỉ ỏ ỉ ỏ ó 2n+2 số í ệ Zn = {0, 1, 2, , n 1} ét t An = {(a, b, c) : a, b, c Zn , a < b < c, a + b + c 0(modn)} Bn = {(a, b, c) : a, b, c Zn , a b c, a + b + c 0(modn)} ứ r í |Bn | = |An | + n |An | ù s s ể ứ |An+3 | = |Bn | r |An+3 | = |An | + n ó tí ợ |An | t X = {1, 2, , 2000} tổ tử ủ T m ột tứ tứ t t s 1990 ủ X 402 (2 + 22000 ) í ệ ủ tứ T ết số ố t tì ỏ ó t n (m, n) ủ t q t s (r, s), (r + 1, s + 1), (r + 2, s + 2) r 1989 tứ ỗ t ó tr ù ột tr ù ột ột ỏ t ó tể t ết tt ủ ợ số ụ t ế ó ó ó t ì ị t s s í ệ ủ ò tứ i ột tứ j (i, j) tứ tự ò ột ợ tí từ từ tr s ự ệ tt t s ỗ r ỏ ó (i, j) ó t (i + 1, j) (i, j + 1) ề ó tờ t ỗ ột ỏ s ột số tự ệ tt t t ó tể ợ tr t ề ó ề ó số ó ụ t ế ết số ủ ọ An Bn t ứ trị t ủ tổ số tộ ù ột tổ số tộ ù ột ột tứ t t ế An > Bn ợ tì tứ t ỏ ó ế ợ t số tứ ó ế ợ t r trớ số n0 s tứ t ợ é ết số n0 tứ ợ é ết số n2 s n1 n2 n1 trò s n0 n1 ps tr ó ó số tố s số ó t trị ủ trị ủ n2 n0 tế tụ tứ t t ế ết ợ số tứ t ế ết ợ số tết r ề rt t ỏ ế t số ế n0 {2, 3, 4, 5} tì tứ t ế n0 {6, 7} tì ò trờ ợ ò tì tứ t t r ột ộ t ỗ ợ ề ị tí s ò ết ột ó tí s ọ ợ ố ế tr ó ó ó t ột tí s ề ị ết r t ì ề tồ t ột ó ú tí s ó ợ ố ó ứ r tồ t ột ó tí s ó ợ ố ọ t ủ P ứ t 3k k, n số ột n q tr ì ữ t 3k n ét s ỗ q ọ q ột ề ó ứ q ể ế tế t ế ò trố tì ỏ q ị qỏ ó tr ỉ ò ú ột q ụ t ế r ì trò ị ể t t A1 A2 A2 000 ứ r tồ t ể tr số ó t t t ó ệ tí ợt q 31250000 P ự r t ột số ể ỏ ột số ể ột số ể ợ ố ột ể ợ ọ ì ị ế q số t t t từ ể ó út ò ó ự ệ tt t s ỗ ọ tr ột ể ì ị ổ ó ứ r s ữ tt ể ì ị ề ị ó P ự ết q ọ t ủ ột ọ t t số ọ s t ể ỏ ũ tờ t ể ỏ t ý số ọ s t ể ỏ t ý ũ tờ t ể ỏ ữ số ọ s t ể ỏ ữ ũ tờ t ể ỏ ị sử số ọ s t ể ỏ ị sử ũ tờ t ể ỏ ứ r tồ t t ột ọ s t ể ỏ ố tr ý ù trừ trớ n số tự ỗ ị a = (a1 , a2 , , an ) tr số n! ị ủ 1, 2, , n t t n 2i S(a) = i=1 ứ r tồ t ị ủ b c b c s n! ột số S(b) S(c) P ứ ột ì trò ợ t ì qt tr ỗ ì qt t ột q ỗ é ể ột q ột ì qt s ột tr ì qt ứ r tể q ột ì qt s tự ệ ự ệ tứ tr P1 , P2 , , Pn N, p n n ể tr ù ột trò ó t n ể ể ề ợ t số a1 = p, a2 = p(p 1), an = (p 1)an2 + (p 2)an1 p p s ệ t ế ệt ễ ữ ể t ợ t ế ụ ộ ễ ứ ĩ ễ rờ r ọ ố ộ ộ ễ r ũ ũ ì ò ù ề ọ ọ tổ ợ t rờ r ụ ộ ý tết tổ ợ tị ọ ố ộ ộ ế rs P r rs trs r r t rs Pt t trts r r rts t trts rsr st t stts r [...]... Q ừ ở tr 1 3 Q P ở tr 9 ừ ở tr 3 4 9 Q s r ở tr ứ ột số ộ rờ ợ 2 ố 9 ở tr P t ọ tử trờ ợ rờ ợ ở tr Q 6 Q ừ ở tr s r 2 1 5 P ừ ở tr ở tr 5 P 6 ừ ở tr 5 6 ở 7 ở tr Q ừ 7 9 ở tr Q s r 8 ở tr P s r P ố 2, 5, 8 t 1 ở tr Q ì t X t ổ i tr ó tử 10 i ó ý t tự 1 s r ề t 3 ố 1 9 ở tr Q ố 7 ở tr P sử ó ở tr P ừ 5 7 ở tr P s r 3 6 ở tr ở tr Q Q ề ... t 2k2ữ số a2k2 101 Q ết 11 n ết 11 r ột số r ị ữ số ứ ữ ữ số tế t ó tể ị ó ộ 0 1 ế tt số r n 2[ n1 2 ] n1 n+1 1 = 2 2 1 ữ số 0 ó tt 2.1.2 ú t ỉ q t ế ị trí ỗ ị trí ó tể ữ số số t t t r 100000 số t ó số tr ể ễ t ủ ó ứ ú ột ữ số ột ữ số 1 3 ột ữ số 4 5 ết 100000 số t t s ố 0 ết 00000 ố 1 ết 00001 ố 2 ết 00002 ố 99999 ết 99999 ết tr ỗ số tì ó... ị tự ố từ ó ù sở ể ột số t tổ ợ tr ề tế t r ò ó ột số t ụ q t ế ột ờ ộ ọ s ó tể tì t sự tú ị q ết số ở 2.1.5 tr 2.1.9 2.1.10 t ì tì số tí số tì r ố ệ ữ 2.1.7 2.1.8 t tí ủ số tố ù t tì số ột t ợ t ứ t t ợ rỗ ị ĩ ột r ột ữ ý tự ọ ọ ợ í ụ t ABEU EBA ỏ ó r ó 7 ữ số 8 ữ số ết r tr số ó ó ữ số t ệ ề sử ột số r ó ộ q t ế t ế 4 n+1 2 4... Ai ở tr r ở tr Ai ở tr Ai ứ n 2m ú t ết ỗ tử ữ số ế Ai s ở tr a(x) = (x1 , x2 , , xm ) x tr ớ ột ị ó m tỏ xi = 1 ế x ở tr Ai xi = 0 x ở tr Ai ự ột số f : S T = {(x1 , x2 , , xm ) | xi {0, 1}} ừ tết ế x y tì f (x) f (y) ột ì số tử ủ t ợ ề số tử ủ t ễ t số tử ủ (x1 , x2 , , xm ) ó 2m ở ì ỗ t ỉ ó tể ột tr trị 0 1 xi ủ ó t n 2m ề ị tổ ợ... 5) = 3!4!6!5! = P (18; 3, 4, 6, 5) ợ tứ số P (18; 3, 4, 6) = ị ủ ột t ở ị ý s ố ị tổ qt ủ ột t ị ý ố ó ù ệ i (i = 1, 2, , k) X ồ P (n; n1 , n2 , , nk ) ni t ở n = n1 + n2 + + nk ứ ủ X ọ p ệt tì ị t ở n1 tổ số ị tổ qt ủ n1 ị t ế n t P (n, n) số ị ủ X ó s s số t ệt ó ệ ị t ở X 1 n n1 t ố ó ệ tử ò ớ số 1 n n1 t ò tì số n1 ! ề ũ ú ố ớ ữ t ó ệ i (i = 2, 3, ,... tr 5 ị trí ữ số 3 ó tể ọ t ỳ 5 ị trí s ó ữ số 4 ó tể ọ t ỳ ột tr 4 ị trí ò ữ số 5 ó tể ọ t ỳ ột tr 3 ị trí ò trí t ó tể ọ t ỳ ữ số tộ t ợ ò ị {0, 1, 2, 6, 7, 8, 9} ó (5).(4).(3).(7).(7) = 2940 số t t t ì số ớ tự sự ủ số số 441000 ột ớ tự sự ủ ột n t ỳ ớ ủ n 1 n ột số t ỳ ó tể ể tị t tí ủ ỹ từ số tố ụ tể 441000 = (23 ).(32 ).(53 ).(72 ) t ỳ ột ớ tự sự tự sự số ó (2a ).(3b... s tì n(A) = n(B) í sở ủ tết s ể ột số t tổ ợ ột số s ũ ủ ề t t r tr ề ế ế ột số t ề ị ò q ọ s ó tể t tí tú ớ sự t ệ ợ ý ủ ữ ế ế tr ữ ủ ề tứ ề ế ó ứ ý tổ ợ ó tể ụ ứ ột số tứ tổ ợ ù ề ế tứ tí t ó tứ ề tổ ợ trở ễ ớ ố ớ ị ĩ ột ột ế ứ tử ệt tộ t ó x f từ t ợ A tớ t ợ B y ệt ủ A ợ ọ ột f (x), f (y) tì ó B ì số ột ột từ A tớ B ết... tr số BCDA ợ ột (n 1)! Pé ứ n tử ở tr ợ t n1 ột ị trí ó tr ò trò ò tử ợ s ế n 1 ị trí ò tr ò trò ó ó tt (n 1)! s ế t t ị ĩ ị tế tí ủ ớ ế tử tứ t ở tử tứ ở t ở p q tử tứ n1 ở p n p q ợ ọ tử ố ù ở q ột ị ò q ủ tử n tử ố ù ở p tử n1 2 ị tì ợ ệt ì số ị ủ t tử ợ ọ ột ị ế ợ ị ở ột ị tế tí ủ tử q ỗ ị ò q ị ị t n tử ệt 2 ị ó số ... ó a ọ q t tổ số ớ tự sự t sẽ (4).(3).(4).(3) 2 = 142 t số ế số ớ tự sự ủ ột số N ết N ó ết q tí r từ số tố s N = pn1 1 pn2 2 pnk k tr ó p1 , p2 , , pk ớ số tố 2.1.6 số ớ tự sự ủ N (n1 + 1)(n2 + 1) (nk + 1) 2 t ột t ợ ồ ni t ồ t ó ệ i tr ó i = 1, 2, , k ó r ít t ột t từ t ợ tr sử ữ t ó ệ tố ủ số ớ ủ N tr i ữ t pi pi tử 2.1.7 t t tự ế số N ồ số 1 2.1.7... s (1) số ỏ s ý ế is s + 5 tì s s ề t ò 7 s ỉ số ò tự tế ò 8 s ỉ số t (1) 2.1 Ci1 ù P1 Ci2 ù P2 Ci8 ù P8 ề số s ó tể ị r tr 6 ờ t ỳ tì ợ 3 ờ s ọ q từ ột ọ q từ ột ột t ố t ệ từ từ ợ ột t tồ t tr ý tết tổ ợ ờ ủ ó ột trờ ợ r ủ ị ý ợ s ứ 1928 ị ý ó ề ở rộ s s q trọ ữ ỉ tr ý tết tổ ợ ồ tị ò tr ĩ ự tí số ì ọ ú t sẽ tì ể ề số Ramsey ứ ột số t