THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐỀ THI ONLINE – TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG MƠN TỐN: LỚP 12 I Mục tiêu đề thi Đề thi xét hai toán liên quan đến mặt cầu mặt phẳng: Bài toán tiếp xúc: Xét mặt cầu (S) có tâm I bán kính R mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc I xuống mặt phẳng (P) Khi (S) tiếp xúc với (P) IH R Bài toán cắt nhau: (S) (P) cắt tạo giao tuyến đường tròn IA R : bán kính mặt cầu HA r : bán kính đường tròn giao tuyến IH d I;P khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến mặt phẳng (P) Ta có: IA2 AH IH II Nội dung đề thi Câu 1: (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2;1;-1) tiếp xúc với mặt phẳng ( ) có phương trình x y z Bán kính (S) A B C D Câu 2: (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3;2;-1) qua điểm A(2;1;2) Mặt phẳng tiếp xúc với (S) A? A x y 3z B x y 3z C x y 3z D x y 3z Câu 3: (nhận biết) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x y z điểm I (1; 2;3) Mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình: A ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3) B ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 C ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 D ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 Câu 4: (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S ) : x2 y z x y z Phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) M (3; 4;3) là: Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! B x y z 17 A 2x+4y+z-25 =0 C x y z 22 D x y z 10 Câu 5: (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S ) : ( x 1) ( y 1)2 ( z 2)2 x 2t x 1 y z đường thẳng 1 : y t : Một phương trình mặt phẳng (P) song song với 1 , 1 1 z t tiếp xúc với mặt cầu (S) là: B y z 2 A x z 2 C x y 2 D y z 2 x t Câu 6: (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình y 1 3t z 3 2t mặt phẳng (P) có phương trình x y z Phương trình mặt cầu phương trình sau tiếp xúc với mặt phẳng (P) có tâm thuộc đường thẳng d có bán kính R A x ( y 1)2 ( z 1) C ( x 3) ( y 4) ( z 1) 3 B ( x 3)2 ( y 10)2 ( z 5)2 D ( x 5)2 ( y 10)2 ( z 3)2 Câu (thông hiểu)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ( x 2)2 ( y 1)2 z 14 Mặt cầu (S) cắt trục Oz A B ( z A 0) Phương trình sau phương trình tiếp diện (S) B A x y 3z B x y z C x y 3z D x y z Câu (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm B(1;1;9) C(1;4;0) Mặt cầu (S) qua điểm B tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) C có phương trình A ( x 1)2 ( y 4)2 ( z 5) 25 B ( x 1)2 ( y 4)2 ( z 5)2 25 C ( x 1)2 ( y 4)2 ( z 5) 25 D ( x 1)2 ( y 4)2 ( z 5) 25 Câu 9: (vận dụng thấp) Trong không gian Oxyz, cho ( P) : x y z Một phương trình mặt cầu (S) có bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (P) điểm M (1; 1; 2) x2 y z A 2 ( x 2) ( y 2) ( z 4) x2 y z B 2 ( x 2) ( y 2) ( z 4) x2 y z C 2 ( x 2) ( y 2) ( z 4) x2 y z D 2 ( x 2) ( y 2) ( z 4) Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Câu 10 (nhận biết) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x y z mặt cầu (S) có phương trình x2 y z x y z 11 Bán kính đường tròn giao tuyến A.2 B.5 C.3 D.4 Câu 11 (nhận biết)Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x2 y z x y cắt mặt phẳng ( P) : x y z theo giao tuyến đường tròn (C ) Tính diện tích S hình tròn giới hạn (C ) A S 2 78 B S 6 C S 26 D S 2 Câu 12 (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x2 y z x y 10 z 14 mặt phẳng ( P) : x y z Biết mặt cầu ( S ) cắt mặt phẳng ( P) theo đường tròn (C ) Tính chu vi đường tròn (C ) B 4 A 2 D 2 C 8 Câu 13 (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S ) : x2 y z x y z cắt mặt phẳng Oxy theo giao tuyến đường tròn Tìm tâm bán kính đường tròn 1 A I '( , , 0), r 2 1 B I '( , , 0), r 2 1 2 C I '( , , 0), r 2 D I '(1,1, 0), r Câu 14 (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x y z 10 điểm I(2;1;3) Phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính A ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 3) 25 B ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 3)2 C ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 3) D ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 3) 25 Câu 15 (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (2;0;1) mặt phẳng ( P) : x y z Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) tâm I theo giao tuyến đường tròn diện tích 10 Phương trình mặt cầu (S) là: A x y ( z 1)2 190 B x y ( z 1)2 35 C x y ( z 1)2 100 D x y ( z 1)2 190 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Câu 16 (vận dụng thấp) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1; 2; 4) mặt phẳng (P) có phương trình x y z Phương trình mặt cầu (S) có tâm I, biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện đường tròn có chu vi 4 A ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 4)2 76 B ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 4)2 C ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 4)2 76 D ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 4)2 Câu 17 (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ( P) : x y z 3 mặt cầu (S ) : ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 25 Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn có chu vi 8 A (Q) : x y z B (Q) : x y z C (Q) : x y z D (Q) : x y z 3 Câu 18 (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x y z Một phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc tia Ox cho mặt phẳng (P) cách I khoảng 14 cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn có đường kính là: A ( x 8)2 y z 18 B x2 ( y 8)2 z C ( x 8)2 y z D x2 ( y 8)2 z 16 Câu 19 (vận dụng cao)Trong khơng gian Oxyz, gọi (C) đường tròn giao tuyến mặt phẳng ( P) : 3x y 3z mặt cầu (S ) : x2 y z x y z Phương trình mặt cầu chứa đường tròn (C ) qua điểm A(1; 2; 1) A x2 y z 5x y z B x2 y z x y z C x2 y z 5x y z D x2 y z x z Câu 20 (vận dụng cao)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 2)2 điểm A(1;1; 1) Ba mặt phẳng thay đổi qua A đơi vng góc với nhau, cắt mặt cầu (S) theo ba giao tuyến đường tròn (C1 ),(C2 ),(C3 ) Tính tổng diện tích ba hình tròn (C1 ),(C2 ),(C3 ) A 4 C 11 B 12 D 3 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1A 6D 11B 16A 2D 7A 12B 17D 3B 8A 13A 18A 4B 9B 14D 19C 5D 10D 15D 20C Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! HƯỚNG DẪN CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM Câu Phương pháp: Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng ( ) nên ta có R d ( I , ) (*) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( P) : ax by cz d d ( M , P) ax by0 cz0 d a b2 c Cách giải: Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng ( ) nên ta có R d ( I , ) Suy R d ( I , ) 2.2 2.1 (1) 1 2 Chọn A Câu Phương pháp: IA ( P) k IA nP Dựa vào điều kiện (P) tiếp xúc với (S) A A ( P ) A ( P) Cách giải: Ta có AI 1;1; 3 Vì (P) tiếp xúc với (S) A IA ( P) IA nP Do đó, phương trình mặt phẳng (P) có dạng x y 3z d (*) Mặt khác, A ( P) nên ta có 3.2 d d Vậy ta có (P): x y 3z Chọn D Câu Phương pháp: Dựa vào kiện (S) tiếp xúc với (P) R d ( I ; P) , ta tìm R Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình là: ( x a)2 ( y b)2 ( z c)2 R2 Cách giải: Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Ta có: 2.1 2.2 d ( I ; P) 22 22 (1)2 2 R 2 Chọn đáp án: B Câu Phương pháp: Dựa vào điều kiện (P) tiếp xúc với (S) M IM ( P) Do đó, nP IM Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M có tiếp tuyến IM Cách làm: * (S) có tâm I (1; 2; 2) R * (P) tiếp xúc với (S) M IM ( P) Do đó, phương trình mặt phẳng (P) có nP IM (2; 2;1) 2( x 3) 2( y 4) z x y z 17 M (3; 4;3) ( P ) Chọn B Câu Phương pháp: (P) song song với 1 , suy ta có nP [u1 , u2 ] (S) tiếp xúc với (P) R d ( I ; P) Cách giải: (S) có tâm I (1; 1; 2); R Vì (P) song song với 1 , có vtcp tương ứng u1 2; 1;1 ; u2 1;1; 1 ta có 1 1 2 1 nP [u1 , u2 ] ; ; (0;1;1) 1 Gọi ( P) : y z d d ( I ; P) 1 d d 3 d 2 d 2 y z 2 2 d 2 d 2 y z 2 d 3 Chọn D Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Câu Phương pháp: Lấy tâm I thuộc d Sau đó, dựa vào điều kiện (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên ta có phương trình R d ( I , P) Cách giải: Vì I d I (2 t; 1 3t; 3 2t ) Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên ta có R d ( I , P) (*) Ta có: d ( I ; P) t 2(1 3t ) 2t 1 1 3t 6 Từ (*) suy ta có phương trình 3t t 3t t t I (3; 4; 1) 2 ( S ) : ( x 3) ( y 4) ( z 1) R I (5; 10;3) ( S ) : ( x 5) ( y 10) ( z 3) R Chọn D Câu Phương pháp: Tìm tọa độ hai điểm A B IB ( P) IB nP Dựa vào điều kiện (P) tiếp xúc với (S) B B ( P ) B ( P) Cách giải: Tọa độ giao điểm A B nghiệm hệ ( x 2)2 ( y 1) z 14 x x x y y y x y 4 z 14 z 3 z Vì ( z A 0) nên ta có A 0;0; 3 , B 0;0;3 (S) có tâm I 2; 1;0 BI 2; 1; 3 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Vì (P) tiếp xúc với (S) B IB ( P) BI nP Do đó, phương trình mặt phẳng (P) có dạng x y 3z d (*) Mặt khác, B ( P) nên ta có 2.0 3.3 d d Vậy ta có (P): x y 3z Chọn A Câu Phương pháp: CI k (0;0;1) (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) C nên ta có BI CI Cách giải: Mặt phẳng (Oxy) có vecto pháp tuyến n (0;0;1) Giả sử I (a; b; c) CI (a 1; b 4; c) a Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) C nên ta có CI k n b I (1; 4; k ) c k Mặt khác ta có IB IC nên suy (1 1) (1 4) (9 k ) (1 1) (4 4) (0 k ) (9 k ) k (9 k ) k 90 18k k I (1; 4;5) Chọn A Câu Phương pháp: IM ( P) k IM nP Dựa vào điều kiện (P) tiếp xúc với (S) M IM R IM Cách làm: Ta có nP 1;1; 2 Giả sử I (a; b; c) MI (a 1; b 1; c 2) a 1 b 1 (c 2)2 2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Vì k.IM nP a b a 1 b 1 c 1 2 2b c Ta có hệ phương trình a b a b a b a b c 2b c 2b c 2b 2b c (a 1) (b 1) (c 2) (b 1) (b 1) ( 2b 2) 6(b 1) (b 1) b 0; a 0; c b 2; a 2; c x2 y z I (0;0;0) 2 I (2; 2; 4) ( x 2) ( y 2) ( z 4) Chọn B Câu 10 Phương pháp: IA R : bán kính mặt cầu HA r : bán kính đường tròn giao tuyến IH d I; P Ta có hệ thức IA2 AH IH Cách giải: (S) có tâm I (1;2;3), R IA Ta có IH d I; P 2.1 2.2 4 3 Mặt khác ta có: IA2 AH IH AH IA2 IH 52 32 Suy r Chọn D Câu 11 Phương pháp: Với IA R : bán kính mặt cầu HA r : bán kính đường tròn giao tuyến IH d I; P Ta có hệ thức IA2 AH IH , tìm bán kính r đường tròn giao tuyến Sau đó, áp dụng công thức S r Cách giải: Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! (S) có tâm I (1; 2;0), R IA Ta có IH d I; P 1 3 Mặt khác ta có: IA2 AH IH AH 32 ( 3)2 Suy r Áp dụng công thức S r 6 Chọn B Câu 12 Phương pháp: Với IA R : bán kính mặt cầu HA r : bán kính đường tròn giao tuyến IH d I; P Ta có hệ thức IA2 AH IH , tìm bán kính r đường tròn giao tuyến Sau đó, áp dụng cơng thức C 2 r Cách giải: (S) có tâm I (2;1; 5), R IA Ta có IH d I; P 1 3 Mặt khác ta có: IA2 AH IH AH 42 (2 3)2 Suy r Áp dụng công thức C 2 r 4 Chọn B Câu 13 Phương pháp: Với IA R : bán kính mặt cầu HA r : bán kính đường tròn giao tuyến IH d I; P Ta có hệ thức IA2 AH IH Cách giải: Phương trình mặt phẳng (Oxy) z 7 1 1 (S) có tâm I ; ; , R IA 2 2 2 10 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Ta có IH d I; Oxy 2 2 6 Mặt khác ta có: IA AH IH AH Suy r 2 2 2 1 1 Tâm đường tròn hình chiếu vng góc I ; ; lên mặt phẳng (Oxy) suy 2 2 1 I ' ; ;0 2 Chọn A Câu 14 Phương pháp: Với IA R : bán kính mặt cầu HA r : bán kính đường tròn giao tuyến IH d I; P Ta có hệ thức IA2 AH IH ta tìm bán kính R mặt cầu Sau đó, viết phương trình mặt cầu tâm I bán kính R Cách giải: Giả thiết cho r AH 2.2 2.3 10 d ( I ; P) IH 3 1 IA2 AH IH 16 25 R2 25 Phương trình mặt cầu tâm I (2;1;3) bán kính R là: ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 3)2 25 Chọn đáp án: D Câu 15 Phương pháp: Áp dụng cơng thức S r để tìm bán kính đường tròn giao tuyến Với IA R : bán kính mặt cầu HA r : bán kính đường tròn giao tuyến IH d I; P 11 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Ta có hệ thức IA2 AH IH ta tìm bán kính R mặt cầu Sau đó, viết phương trình mặt cầu tâm I bán kính R Cách giải: S r 10 r 10 r 10 AH 10 2.2 2.0 10 10 d ( I ; P) IH 3 1 100 190 190 IA2 AH IH 10 R2 9 Phương trình mặt cầu tâm I (2;0;1) bán kính R là: x y ( z 1)2 190 Chọn đáp án: D Câu 16 Phương pháp: Áp dụng công thức C 2 r để tìm bán kính đường tròn giao tuyến Với IA R : bán kính mặt cầu HA r : bán kính đường tròn giao tuyến IH d I; P Ta có hệ thức IA2 AH IH ta tìm bán kính R mặt cầu Sau đó, viết phương trình mặt cầu tâm I bán kính R Cách giải: C 2 r 4 r AH 1 1 8 d ( I ; P) IH 111 3 64 76 76 IA2 AH IH R2 3 Phương trình mặt cầu tâm I (1; 2; 4) bán kính R là: ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 4)2 76 Chọn đáp án: A Câu 17 Phương pháp: Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên (Q) : x y z m m 3 12 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Áp dụng cơng thức C 2 r để tìm bán kính đường tròn giao tuyến Với IA R : bán kính mặt cầu HA r : bán kính đường tròn giao tuyến IH d I;Q Ta có hệ thức IA2 AH IH ta tìm IH d I;Q Áp dụng cơng thức tính khoảng cách d I;Q từ IH d I;Q tìm m Kết luận Cách giải: Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên (Q) : x y z m C 2 r 8 r AH (S) có tâm I (1; 2;3) R IA IA2 AH IH IH IA2 AH 52 42 Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Q) là: Ta có d ( I ; Q) IH 1 m 111 m m 3 3 m 3 3(l ) m Vậy (Q) : x y z 3 Chọn đáp án: D Câu 18 Phương pháp: +Với IA R : bán kính mặt cầu HA r : bán kính đường tròn giao tuyến IH d I; P Ta có hệ thức IA2 AH IH ta tìm R + I thuộc tia Ox mặt phẳng (P) cách I khoảng 14 tìm tâm I Cách giải: Đường tròn có đường kính Suy r HA IH d I; P IA2 AH IH 14 18 R2 18 14 13 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Mặt khác, I thuộc tia Ox nên giả sử I (a;0;0) Ta có: d I; P | 2a 3.0 | | 2a | 14 Mặt phẳng (P) cách I khoảng 14 Suy ta có phương trình | 2a | 14 Vậy ta có 14 | 2a | 14 2a 14 2a 14 I(8;0;0); R 18 (S) : (x 8) y z 18 I( 6;0;0); R 18 (S) : (x 6) y z 18 a a I(8;0;0) I( 6;0;0) Chọn A Câu 19 Phương pháp: Thiết lập hệ phương trình đường tròn giao tuyến Suy phương trình tham số mặt cầu chứa đường tròn giao tuyến Dựa vào điều kiện mặt cầu qua điểm A để tìm tham số Kết luận Cách giải: ( S ) : x y z x y z Phương trình đường tròn giao tuyến (C) xác định hệ ( P ) : x y z Suy mặt cầu chứa (C) có dạng: x2 y z x y z m 3x y 3z Vì mặt cầu qua A(1; 2; 1) nên ta có phương trình: 12 22 (1)2 2.1 2.2 4.(1) m 3.1 2.2 3.(1) 4m m 1 Suy phương trình cần lập là: x2 y z 5x y z Chọn C Câu 20 Phương pháp: Đổi hệ trục tọa độ Cách giải: 14 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! X x 1 Đặt Y y Trong hệ trục tọa độ A 0;0;0 , I 0;0; 1 , (S ) : X Y (Z 1)2 Z z X Y ( Z 1)2 (C1 ) : X Y R12 Trong mặt phẳng (A ) ta có Z X Y (Z 1)2 (C2 ) : X ( Z 1) R2 Trong mặt phẳng (A ) Y X Y (Z 1)2 (C3 ) : Y ( Z 1) R32 Trong mặt phẳng (A ) X Tổng diện tích ba hình tròn (C1 ),(C2 ),(C3 ) là: S ( R12 R22 R32 ) (3 4) 11 Chọn C 15 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! ... Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x y z Một phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc tia Ox cho mặt phẳng (P) cách I khoảng 14 cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn có đường... thẳng d có phương trình y 1 3t z 3 2t mặt phẳng (P) có phương trình x y z Phương trình mặt cầu phương trình sau tiếp xúc với mặt phẳng (P) có tâm thuộc đường thẳng d có bán... DẪN CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM Câu Phương pháp: Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng ( ) nên ta có R d ( I , ) (*) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng
Ngày đăng: 28/03/2020, 15:59
Xem thêm: