Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 87 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
87
Dung lượng
655,76 KB
Nội dung
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - - - - ĐẶNG THỊ TOAN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - - - - ĐẶNG THỊ TOAN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giảng viên hướng dẫn PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH SANG Hà Nội – 2015 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 1 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1 Các định lý về hàm khả vi 3 1.1.1. Định nghĩa .3 1.1.2. Định lý Fermat .3 1.1.3. Định lý Rolle 3 1.1.4. Định lý Lagrange 3 1.1.5. Định lý Cauchy .4 1.1.6. Công thức Taylor 4 1.2. Số phức, nghiệm liên hợp 7 1.2.1. Số phức 7 1.2.2 . Nghiệm liên hợp .7 1.3. Hàm đơn điệu. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 7 1.3.1. Hàm đơn điệu 7 1.3.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhât của hàm số. 7 1.3.3. Tính chất hàm đơn điệu 8 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH .9 2.1.Phương pháp dùng khai triển Taylor 9 2.1.1 Phương trình bậc 3 9 2.1.2 Phương trình bậc 4 . 13 2.1.3. Bài tập giới thiệu 16 2.2 Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số 17 2.2.1. Ứng dụng giải phương trình 17 2.2.2. Ứng dụng vào hệ phương trình 23 2.2.3. Bài tập giới thiệu 29 2.3. Ứng dụng tính khả vi để giải phương trình, hệ phương trình 30 2.3.1. Dùng định lý Rolle để giải phương trình . 30 2.3.2. Dùng định lý Lagrange để giải phương trình 34 2.3.3. Dùng định lý Cauchy để giải phương trình hệ phương trình . 40 2.3.4. Bài tập giới thiệu 46 2.4. Phương pháp cực trị hàm số-Phương pháp đánh giá 47 2.4.1 Cơ sở phương pháp . 47 2.4.2. Các ví dụ 49 4.3. Bài tập giới thiệu 57 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH 59 3.1. Phương pháp hàm liên tục giải bất phương trình . 59 3.1.1. Cơ sở phương pháp 59 3.1.2. Các ví dụ 59 3.1.3. Bài tập giới thiệu 62 3.2. Phương pháp cực trị hàm số - Phương pháp đánh giá để giải bất phương trình 63 3.2.1. Các ví dụ 63 3.2.2. Bài tập giới thiệu 67 3.3. Biện luận phương trình – Bất phương trình . 67 3.3.1. Cơ sở phương pháp 67 3.3.2. Các ví dụ 68 3.3.3. Bài tập giới thiệu 75 3.4. Phương pháp hàm chứng minh bất đẳng thức 76 3.4.1. Các ví dụ 76 3.4.2. Bài tập giới thiệu 80 KẾT LUẬN 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO 82 BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT N Tập các số tự nhiên N* Tập các số tự nhiên khác 0 Z Tập các số nguyên Z+ Tập các số nguyên dương Z- Tập các số nguyên âm R Tập các số thực R* Tập các số thực khác 0 R+ Tập các số thực dương R- Tập các số thực âm i Đơn vị ảo C Tập các số phức TXĐ Tập xác định (a;b)= {x R:a m, x 0, b>0. 2 35 a 18 Pa P 2 P 2a (P 3a) ' 140 P 24 P P Khi P 35 35 9P ; b thỏa mãn điều kiện: 2a 3b , có nghiệm a 35 Vậy P = 3a+2b 35 ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 3.4.1.2: Cho a,b,c 0: a b2 c Chứng minh rằng: ab bc ca 14 abc Lời giải: Đặt t=a+b+c, suy ra: ab+bc+ca= t2 Xuất phát từ: ab bc ca t Ta có: Bài tốn đưa về tìm t2 3 2 a b c max[ [ 3;3] t2 3 ] t Xét 77 f (t ) Có f '(t ) t t2 ; t [ 3;3] t 0; với t t2 max f (t ) f (3) [ 3;3] a b c 14 Dấu = xảy ra khi a b c a b c Ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 3.4.1.3: cho a,b,c>0. Chứng minh: P a b2 c (a 1)(b 1)(c 1) Lời giải: Xuất phát từ: A2 B (A B)2 1 Ta có: a b2 c (a b)2 (c 1)2 (a b c 1)2 2 (a 1)(b 1)(c 1) ( abc3 ) Đặt t=a+b+c+1>1, 54 P; t (1; ) , Khi đó: f (t ) t (t 2)3 162 , (t 2) t f '(t) t f '(t ) t x 1 4 t’ + 0 - t 78 1 P max f (t ) , P khia b c 1. [1;+ ] 4 Ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 3.4.1.4: Cho số dương x. Chứng minh rằng: x x x Lời giải: 0 x y0 Đặt y0 x x có nghiệm. x y0 xy0 x Phương trình y0 x y02 x có nghiệm khi y0 y0 y0 y0 Khi đó có nghiệm y0 y0 y0 x Vậy với mọi số dương x thì: x x Ví dụ 3.4.1.5: Cho a b 1 , dấu bằng xảy ra khi x= x Chứng minh rằng: asina- bsinb>2(cosb-cosa). Lời giải: Xét f x xsinx 2cosx với x (0; ) Có f ‘(x)=xcosx- sinx= (x-tanx)cosx0; tanx>x với mọi x (0; ) ). 2 Vậy f(x) nghịch biến với mọi x x (0; ) Do đó, với a b ta có: f(a)> f(b). Suy ra: asina+ 2cosa>bsinb+ 2cosb asina- bsinb>2(cosb-cosa). Nhận xét: Đối với các bất đẳng thức chứa nhiều biến số ta có thể: 79 Hoặc đặt một bộ phận làm ẩn phụ t, với điểu kiện (*) thích hợp rồi xét hàm số f(t) thu được trên miền (*). Hoặc xét hàm số với đối số là một trong các biến số có mặt trong miền biến thiên của biến số đó. Hoặc xét một hàm số phụ có tính chất nào đó và sử dụng các bất đẳng thức tổng qt đổi với hàm số đó. 3.4.2 Bài tập giới thiệu 1. Cho x,y,z>0: x+y+z Chứng minh rằng: 1 27 x y z xy yz zx (Hướng dẫn: Dùng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số 1 ; ; và 3 số x,y,z. xy yz zx Đặt t= xyz . bải tốn tương đương với tìm GTNN của f(t)= ). 3t ; t (0; ] t 2 Chứng minh rằng với mọi x>0, ta ln có: a) x x3 sin x x x ln(1 x) x 1 x c)1 2ln x x b) 3. Chứng minh rằng x > a > 3 thì: a x x a 4. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta ln có: 4(1-cosA)( 1-cosB)( 1-cosC)+7(cosA+cosB+cosC) 11 A B (Hướng dẫn: đặt t= sin sin sin C , suy ra 0