Nghiên cứu tổng hợp vật liệu phức hợp sắt polymaltose từ các maltodextrin có DE khác nhau

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - - - -      ĐẶNG THỊ TOAN         MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015  ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - - - -      ĐẶNG THỊ TOAN         MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giảng viên hướng dẫn PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH SANG Hà Nội – 2015  MỤC LỤC  LỜI NÓI ĐẦU  1  CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ  3  1.1  Các định lý về hàm khả vi  3  1.1.1  Định nghĩa  3  1.1.2    Định lý Fermat  3  1.1.3.  Đ ịnh lý Rolle  3  1.1.4. Đ ịnh lý Lagrange  3  1.1.5. Đ ịnh lý Cauchy  4  1.1.6. Công th ức Taylor  4  1.2. S ố phức, nghiệm liên hợp  7  1.2.1  Số phức  7  1.2.2  ệm liên hợp . Nghi 7  1.3  Hàm đơn điệu. G iá trị lớn nhất, giá trị  nhỏ nhất  7  1.3.1. Hàm  đơn điệu  7  1.3.2. Giá tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhât của hàm số   7  1.3.3. Tính ch ất hàm đơn điệu  8  CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH  9  2.1 Phương pháp dùng khai triển Taylor  9  2.1.1 Phương tr ình bậc 3  9  2.1.2  Phương tr ình bậc 4   13         2.1.3. Bài t ập giới thiệu   16  2.2  Phương pháp dùng tính  đơn điệu của hàm số   17  2.2.1.  Ứng dụng giải phương trình   17  2.2.2.  Ứng dụng vào hệ phương trình   23  2.2.3. Bài t ập giới thiệu   29  2.3Ứng dụng tính khả vi để giải phương trình, hệ phương trình  .    30  2.3.1  Dùng định lý Rolle để giải phương trình   30  2.3.2.  Dùng định lý Lagrange để giải phương trình   34  2.3.3.  Dùng định lý Cauchy để giải phương trình hệ phương trình   40  2.3.4. Bài t ập giới thiệu   46  2.4. P hương pháp cực trị hàm số-Phương pháp đánh giá   47  2.4.1  Cơ sở phương pháp   47  2.4.2  Các ví dụ   49  4.i tập giới thiệu  3. B  57  CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH   59  3.1.  Phương pháp hàm liên tục giải bất phương trình   59  3.1.1. Cơ s ở phương pháp   59  3.1.2. Các ví d ụ   59  3.1.3.  Bài tập giới thiệu   62  3.2.  Phương  pháp  cực  trị  hàm  số  -  Phương  pháp  đánh  giá  để  giải  bất  phương trình   63  3.2.1. Các ví d ụ   63  3.2.2.  Bài tập giới thiệu   67  3.3.  Biện luận phương trình – Bất phương trình   67  3.3.1.  Cơ sở phương pháp   67  3.3.2. Các  ví dụ   68  3.3.3. Bài t ập giới thiệu   75  3.4. Phương pháp hàm ch ứng minh bất đẳng thức   76  3.4.1. Các ví d ụ   76  3.4.2.  Bài tập giới thiệu   80  KẾT LUẬN   81  TÀI LIỆU THAM KHẢO   82    BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT N    Tập các số tự nhiên  N*    Tập các số tự nhiên khác 0  Z    Tập các số nguyên  Z+    Tập các số nguyên dương  Z-    Tập các số nguyên âm  R    Tập các số thực  R*    Tập các số thực khác 0  R+    Tập các số thực dương  R-     Tập các số thực âm  i    Đơn vị ảo  C    Tập các số phức  TXĐ    Tập xác định  (a;b)= {x  R:a m,   x 0, b>0    35a  18Pa  3P   2   P  2a  (P  3a)     '  140 P  24 P    P    Khi  P  35    35 9P  ; b   thỏa mãn điều kiện:  2a  3b    , có nghiệm  a  35 Vậy P = 3a+2b   35  ta có điều phải chứng minh   Ví dụ 3.4.1.2: Cho a,b,c  0: a  b2  c     Chứng minh rằng:  ab  bc  ca  14     abc Lời giải:  Đặt t=a+b+c, suy ra: ab+bc+ca= t2     Xuất phát từ:      ab  bc  ca       t2  Ta có:   Bài toán đưa về tìm   t2 3 2     a b c  max[ [ 3;3] t2 3  ]    t Xét   77    f (t )  Có  f '(t )  t  t2   ; t [ 3;3]   t  0;  với  t    t2   max f (t )  f (3)  [ 3;3] a  b  c  14  Dấu = xảy ra khi       a  b  c   a  b  c  Ta có điều phải chứng minh    Ví dụ 3.4.1.3: cho a,b,c>0. Ch ứng minh:    P      a  b2  c  (a  1)(b 1)(c 1) Lời giải: Xuất phát từ:  A2  B  (A  B)2    1  Ta có:  a  b2  c   (a  b)2  (c 1)2  (a  b c 1)2    2  (a  1)(b 1)(c 1)  ( abc3 )   Đặt t=a+b+c+1>1,  54  P; t  (1; ) ,   Khi đó:  f (t )   t (t  2)3 162  ,   (t  2) t   f '(t)    t     f '(t )    t       x  1  4  t’  +  0                -              t                        78     1 P    max f (t )  , P  khia  b  c    [1;+ ] 4 Ta có điều phải chứng minh   Ví dụ 3.4.1.4: Cho số dương x. Ch ứng minh rằng:  x  x      x Lời giải:  0  x  y0 Đặt   y0 x  x    có nghiệm    x   y0  xy0 x Phương trình       y0 x  y02 x    có nghiệm khi    y0    y0       y0  y0     Khi đó có nghiệm   y0  y0  y0 x       Vậy với mọi số dương x thì:  x  x  Ví dụ 3.4.1.5: Cho   a  b   1  , dấu bằng xảy ra khi x=   x  Ch ứng minh rằng: asina- bsinb>2(cosb-cosa)    Lời giải:   Xét  f  x    xsinx  2cosx   với  x  (0; )    Có f ‘(x)=xcosx- sinx= (x-tanx)cosx0; tanx>x   với mọi  x  (0; ) )     2 Vậy f(x) nghịch biến  với mọi x x  (0; )   Do đó, với   a  b  ta có: f(a)> f(b)   Suy ra: asina+ 2cosa>bsinb+ 2cosb   asina- bsinb>2(cosb-cosa)   Nhận xét: Đối với các bất đẳng thức chứa nhiều biến số ta có thể:  79   Hoặc đặt một bộ phận làm ẩn phụ t, với điểu kiện (*) thích hợp rồi xét hàm  số f(t) thu được trên miền (*)    Hoặc  xét  hàm  số  với  đối  số  là  một  trong  các  biến  số  có  mặt  trong  miền  biến thiên của biến số đó    Hoặc xét một hàm số phụ có tính chất nào đó và sử dụng các bất đẳng thức  tổng quát đổi với hàm số đó   3.4.2 Bài tập giới thiệu 1.  Cho x,y,z>0: x+y+z   Ch ứng minh rằng:  1 27   x y z     xy yz zx   (Hướng dẫn: Dùng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số  1 ; ;  và 3 số x,y,z.  xy yz zx Đặt t= xyz  . b ải toán tương đương với tìm GTNN của f(t)= )     3t ; t  (0; ] t 2 Chứng minh rằng với mọi x>0, ta luôn có:   a) x  x3  sin x  x x  ln(1  x)  x    1 x c)1  2ln x  x   b) 3.   Chứng minh rằng x > a > 3 thì:  a x  x a   4.  Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:      4(1-cosA)( 1-cosB)( 1-cosC)+7(cosA+cosB+cosC)  11   A B (Hướng dẫn: đặt t= sin sin sin C , suy ra 0