Đại số hiện đại (lưu hành nội bộ)

SZF.-TSEN HU BẠI Sớ HIỆN BAI I ■■x■ \ ■' ^ ỉ - ' •* ,ii?.:!.'•'?•'.•>^'•i” "V ' • 'V ; '-N-.í 7^ S2E-TSEN ị HU V ; Y Vậy, ta họ (t> = { f ^ ị Ấ e F \ hàm số hóa cảc phàn tử họ F Họ F hàm gọi khỗ hợp va nếu, với’ hai tập A, B é hàm : A -> Y fu: Ý phù hợp trèn giao A A B, tửc l , f A I A A B = f B I A n B p Nếu họ (Ị) cảc hàm khả hợp, thi o xác định cách hàm f : X ^ Y cho cách lấy f(x) = fA(x) X^ A ^ F Hàm f gọi hàm tò hợp họ (B)] c B (c) f O í\A ) :> f (X )\f(A ) (d) f-i< Y \B ) = X \ f - i ( B ) (e) f[A A = f(A) n B C Chứng minh 1’ẳng hàm f ; X -»■ Y song ánh chí hàm g, h: Y -^ X cho cải hợp thành gof foh hàm thẹo thử tự X Y Trong trường hợp g = f - i h D Chứng m inh'rẳng phép hợp thành kết hợp, tức với f :X Y, g : Y ^ h : z w , ta cỏ với A c X cỏ hai đòng hàm tùy ý ho(gof) = (hog)of Do ta có thẽ kỷ hiệu hàm hợp thành bồi hogof E Thử nghiệm đẳng thức sau \ ề hàm đặc trưng cảc tập co n X điễm X X : (® ) ^ A V /b W (c) = X a ( x )X = X a ( x ) b + ( ) x X b ( x ) - X a ( x ) Z b ( x ), ~ ^ b( x)] F Nếu f : X -* Y hàm {Ea I a ^ M} họ sổ hỏa n h ữ n g tập Y, thi hai đẳng thức sau ỉà đ ú n g: TÍCH ĐẾCẢC " * Xét họ chĩ số hỏa tùy ỷ tập hợp , V = -{Xi* I ^ M\ gọi X hợp tập horp X (1 vởi tất (X ^ M Ta gọi tich Đècác họ ' ĩ cảc tập hợp Xp, tập hợp X“ X ị^ X v i i = 1, xảc định bẳng cách lấy d(x) ^ X“ hàm không đôi [d(x)](M) = X vởi X ^ X Dĩ nhiên rẳng hàm d đơn ánh Nỏ gọi phép nhúng chéo tập hợp X vào iũy thừa ĐẾcác X“ Bây ta xét họ s5 hóa cho cảch tùy ý hàm = Yp I n M} , Ta ký hiệu ^ Ta định nghĩa hàm , 'ỉ' = H: 'P gọi tích Đècác họ Ọẽ hàm ký hiệu Nỏi riêng ra, M gồm n số tự nhiên đầu, thi tích Đềcác h ọ ^ ký hiệu H = b i X h í X ' X h„ 15 FT Nếu X|* = X vởi |X ^ M, thi o = X“ phép nbủng chẻo x i địnỉi, Hàm hạp thành h = Hod : X -> cảc hàm d H sơ đồ sau Yt I n M} Khi khơng có điều hàm hò đáng ngại, hàm h gọi tích Đềcảc họ ^ ký hiệu BÀI TẬP 3A Chửng minh A c X B c Y (a) A X B c X X Y (b) (XX Y) \ (A X 13) = [(X\A) XY] V [X X (Y\B)] 3B Chửng minh rẳng A c X , B c Y , C c X , v ^ D c Y , tbì (a) (A X B) A (C X D) = (A a C) X (B a D) (b)(A X B )w (C X D) c (AwC) X (BwD) Cho thí dụ chứng tồ hai vế (t>) khỏng 3C Xét hàm : X* -> xác định bỏfi e(a,b) = (b,a) với mọiđiêm (a,b) bình phugơng Đềcác X* Thử nghiệm 6od = d, d í X->X* phẻp nhúng chẻo Mở rộng kiện cho lũy thừ a Đềcảc tùy ý X“ • D Xét tỉch Đềcác x hàm đòng nhẫt X với n ^ M F Giả thiết rẳng tập hợp X gòm sổ nguyên Định nghĩa hàm p 2m_^X“ từ tập hợp 2“ tẩt tập tập hợp M vào lữy thừa Đècác X” sau : vởi tập s M, lấy |ì(S) hàm đặQ trưng tập hợp s , tức P(S) = Xs í M —»■ X Chứng minh rẳng hàm p song ánh Điều giải thích ý nghĩa ký h iệu cô điẽn 2“ cho tập hợp tất tậỊỈ tập M cho 16 3C Định ugbĩạ bàm e: x« X M X cách lăy ẹ (f, [1 ) = f(ji) với ịi.^ M f ^ X“ Hàm e nàv gọi định giá lữy thừa ĐỄcảc X“ Vởi M cho thử nghiệm rẳng ^ Pi.(f) = e (f,n ) YỞi f ^ X^* Do đó, e cỏ thê xem cảc phép chiếu tụ tập lại 4.QỤAN HỆ Ta gọi quan hệ tập hợp cho X, tập 91 bình phương Đềcác X* X Giả sử 91 quan hệ tùy ý cho tập hợp X xét bất kj’ hai điếm a b X Nếu phần tử (a, b) X'-* nẳm 91, thi ta nói a nằm quan hệ 9Ị với b, ta viết a9lb Quan hệ 51 gọi phẩn xạ ta cỏ a9la với a ^ X Quan hệ 91 gọi đối xứng chĩ nếu, với hai điêm a b X, a9lb kéo theo b9la Quan hệ 91 gọi bắc cầu nếu, với điẽni tù}’ ý a, b, c X, a®,b b9lc kéo theo a 6lc , Một quan hệ tương đư n g tập hợp X quan hệ 91 X có ba tính chất phản xạ, đối xứng vá bắc cầu Các quan hệ tương đương, theo thường lệ, ký hiệu Giả sử ~ quan hệ tương đương tùy ý cho tập hợp X Vởi hai điềm' a b nào, ta nói a íirơng ^ương với b a ~ b Với a ế X, giả sử C(a) tập X gồm tát điếm X ^ x cho a ~ X: C(a) = -Ịx ^ X I a ~ x } Vì ~ phân xạ, nên ta có a ^ c (a) Bò dè 4.1 Với hai điềm a b nào, ta đèu có C(a) r\ C(b) — □ C(a) = C(b) Chứng minh Giả thiết rẳng C(a) C(b) =h Ta chứng minh rẳníí C(a) = = C(b) Gọi c điếm chung cho C(a) C(b) Đề chửng minh C(a) c C(b), giả sử X phần tử tùy ý C(a) Thế Ihi theo định nghĩa C(a), ta có a ~ X, vi c điêm chung C(a) C(b), nên ta cỏ a ~ c, b ~ c Vi ~ đối xứng, nên ta X Vi ~ bắc cầu, nên đièu kéo theo b ~ X X ^ C(b) Điều chửng minh C(a) c C(b) Tương tự, ta có thê chứng minh rầng C(b) c C(a) Vậy, ta cỏ C(a) = C(b) II Vậy tập hợp {C(a) I a ^ khác rời rạc Chúng gọi lớp tương đương củạ ~ tập hợp X, tập hạp C(a^ gọi lớp iương đươhg a c X quan hệ tương đư(mg y !■!' 'í n tio c G^HÀ NỘI 'I* 2»s ŨHGĨẦMTH&iGĩlH.THƯVlầN ^ ir -T” 7V7 / ■ ( _ Một chia lớp tập hợp X họ ÍP tập khơng rơng rời rạc X cho hợp tất phàn tử tập hợp X Vi a ^ C(a) vởi a ^ X nên ta suy họ Q tất lớp tương đươD^ ~ X chia lớp cùa X Tập hợp Q gọi lộp thương N X quan hệ tương đương ~ kỷ kiệu ^ Q= X/~ Thi dụ í Giả sử p aố nguyên dương cho, địnb -ngbĩa quan hệ ~ tập hợp z tất sổ nguyên cách đặt a ~ b chi b — a chia hết cho p Ta có thê dễ dàng thử nghiệm quan hệ ~ đỏ z phản xạ, đối xứng bắc cầu quan hệ tương đương, quau bệ thứờng gọi đồng dư m od p Tập thương z/-^ gÒm p lOrp tinrng đương khác nhau, cụ , C(0) C (l) .C(p - 1) Thí dụ Định nghĩa m ột quan hệ ~ tập hợp R tất c^c số thực cách lấv a ~ b chĩ b — a số nguyên Ta có thê dễ dàng thử nghiệm ~ phản xạ, đổi xứng bắc cằu nỏ quan hệ tơơng đương R Các lởp tương đương R / ~ gọi sổ thực mod í Một thứ tự phận tập hợp X quan hệ bắc càu X Thí Xét tập hợp X = 2“ tất tập tập hợp đă cho M Giả sử A B hai phần tử X Vì tập M nên câu hỏi A c B hay khổng có nghĩa Bao hàm thứ c rõ ràiỊg quan hộ bắc cầu X thứ tự phận Thì dụ Xét tập hạp N tất câ số tự nhiên định nghĩa quan hệ < cách đặt a < b Hếu chĩ b — a nẳm N Ta cỏ thê dễ dàng thử nghiệm ■ thơug thường, cũug quan hệ thứ tự luyến tính Irong N ; N khòng thứ tự t6 t Chứng minh mệnh đẾ sa u : (a) (b) % đối xứng = 91 4D Hợp thành %oé hai quan hệ 91 c5 cho tập hợp X định nghĩa s a u : Yới hai điếm a b X, (a, b) ệ X‘'^ nẳm 9locí có X X cho (a, x) c (x, b) ^ cí Chửng minh đẳng thức sa u : (a) (% oé)-^= c5-» a - i (b) a o ( J o ) -■= ( 9l o c í ) o J 1» ... vồ đại số dẫầin đỂỊi phép dựng đại sổ tenxơ, đại số ngoài, đại số đối xứng mổđun đãâi cho Trong chương cuối, đưa học sinh vào khái niệm tương đối mởcâri phạm trù hàm tử, khải niệm đă trở thành... trrung tâm vê đại số phố dụng nhờ tam giác giao hoán lặp lại trcong định nghĩa nửa nhỏm tự do, nhóm tự do, nhóm Aben tự do, mổđun tựự do, tích tenxơ, đại sổ tenxơ, đại số ngồi đại sơ đối xứng... học kỳ ỳ / hay hai quý đại s trừu tượng cho năm cuối bậc đại học nhtt nătăắm đầu bậc- đại học Mục đích trình bày cách cỏ hệ ,thốiỄổng tương đối thong thả vấn đề chủ yếu đại số trừu tượng cho họiọọc