Lê Thị Thanh Hải Bài tập Toán cao cấp A3 BÀI TẬP CHƯƠNG 4.1 4.2 Giải phương trình tách biến sau xydx ( x 1) dy xy ' y y , y (1) y ' cos( y x ) y 'sin x y ln y , y y ' sin( x y ) sin( x y ) Giải phương trình đẳng cấp sau x y y ' x y 2 xy ' y x y xy ' y ( x y )ln x y x y xy ' y ln x , y (1) 3x y y ' x y , y (0) x y ( y x 2) y ' 4.3 2 y ' x Giải phương trình vi phân tuyến tính sau x y ' xy xe 2 x y ' xy x y ' x y arcsin x, y (0) Đưa phương trình sau phương trình tuyến tính giải chúng x y ' tgy cos y y ' 4.5 y , y (0) Giải phương trình vi phân tồn phần sau Trang 13 xdx x y dy x y ( x) y (t )dt x y ' y e y x e y ' 2 3 x y 'sin y x cos y x x x 2 y e2 y ' x ln x x ln x, y (e) y ' x cos y 2sin y cos y 4.4 cos x sin y tg x sin x cos y Lê Thị Thanh Hải Bài tập Toán cao cấp A3 2 x xy dx x y y dy ydx xdy xdx ydy x y y xdy dx 2 x y x y xdx ydy x y ydx xdy x2 y 1 y yx dx x ln xdy Hãy tìm thừa số tích phân giải phương trình sau 4.6 y (1 xy )dx xdy y ( x y )dx ( xy 1)dy x y dx xdy ( x cos y y sin y )dy ( x sin y y cos y )dx Giải phương trình vi phân cấp sau 4.7 y 1dx xydy y ' x y 2 x y dx xydy 0, y (2) 2y - x -5 y ' x - y y x( y ' x cos x) (2 x y )dy ydx 4ln ydy 3 y ' xy x y ( x 1) yy ' 1 y x x 0 11 y ' (1 y)2 x( y 1) x 2 10 x x y dx x ydy ( x t ) y (t )dt x y(t )dt 12 y ' x(2 ln y ) y x2 2 13 xy x dx y x y dy 2 14 y xyy ' x y ' 15 ( xy ' 1) ln x y 16 y ' sin x y 17 y ' e dy dx 18 y xy x xy y 19 2( x 1) y ' y ( x 1) , y (0) 20 yy 'sin x cos x y sin x y Trang 14 x y x y sin 2 Lê Thị Thanh Hải Bài tập Toán cao cấp A3 2 21 y xy dx x x y dy 2 22 xy y ' x y 2 23 x y y ' xy 25 xy ' x sin 4.8 24 xdx ( xdy ydx ) x y y x 26 y ' y x 3e x x 27 x( y ' y ) (1 x )e x 28 y 'sin x y ln y , y e 29 y ' sin( y x 1) 30 y ' 2 31 xyy ' x y 32 y ' ( x 1)e x y ln y y y2 1 x ln x Giải phương trình vi phân cấp giảm cấp sau x y '' e y ' xy ' y '' y ' 2 y y '' y ' 2e y ' yy '' y ''' 2( y '' 1) cot gx 4.9 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp sau 1 x y '' xy ' y biết nghiệm riêng y1 = x x (2 x 1) y '' (4 x 2) y ' y 2e x 1 biết hai nghiệm riêng phương trình tương ứng y1 = e 2x , y2 = (4x 1) (3 x x )y '' y ' xy 12 x biết hai nghiệm riêng phương trình cho y1 x, y2 ( x 1)2 (2 x 1) y '' (2 x 1) y ' y x x biết nghiệm riêng phương trình tương ứng đa thức 4.10 Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số sau x y '' y ' y xe x y '' y xe y '' y 2sin x 4cos x 2 x x y '' y ' x3 e Trang 15 Lê Thị Thanh Hải Bài tập Toán cao cấp A3 y '' y x x x x y '' y ' y xe , y '' y ' y cos x y (0) y '(0) 4.11 Giải phương trình vi phân cấp sau x 1 y '' 4(2 x 1) y ' y 8 x 2 x y '' xy ' y x xy '' y ' x e x y '' y ' x e y '' y x cos x xy '' y ' xe x y '' y ' 12 y ( x 1)e x xy '' y ' x ln x, y '(1) 1, y (1) y' xy '' y 'ln x 10 x x y '' x 2 y ' 2(1 x) y 0, y (1) 0, y '(1) biết nghiệm riêng y1 = ex x 11 y '' y ' y e x cos x 12 y '' y ' sin x ex 13 y '' y tgx 4.12 Giải hệ phương trình vi phân sau dx dt y dy dt x x ' 2x y y ' 3y x x ' x y 4e t x ' 2 y 3t x (0) 2, y(0) y ' 2x y ' x 2y Trang 16 Lê Thị Thanh Hải Bài tập Toán cao cấp A3 4.13 Cho phương trình vi phân y ' y x (1) xy ' y f ( x) (2) a) Giải phương trình (1) b) Tìm hàm số f ( x ) cho hai phương trình (1) (2) có nghiệm chung 4.14 Giải phương trình vi phân sau x 4 y y ' x ln y 1 y ' y ' xy x y x 3y 1 , y (0) x y xy ' x sin x x 2y 1 y x e y ' ( x y )dy ydx ln ydy y ' y y x xy(t )dt xy (2 ln y) xy x x dy y 1 dx 10 y ' 11 y x( y ' x sin x) 12 y ' x ln x y ln x 2x 13 y '' y ' y ( x 1)e 14 y '' y sin x 2x 15 y '' y 5e cos3 x 16 y '' y x cos x x2 y 17 y e sin x dy x x y cos x dx 18 xy '' y ' x ln x, 19 x x y '' x y '(1) 1, y (1) y ' 2(1 x ) y 0, y (1) 0, y '(1) biết nghiệm riêng y1 = ex x 20 (2 x 1) y '' (4 x 2) y ' y 2e x 1 biết hai nghiệm riêng phương trình tương ứng y1 = e 2 x , y2 = Trang 17 (4 x 1) Lê Thị Thanh Hải Bài tập Toán cao cấp A3 4.15 Dòng điện I(t) mạch nối tiếp RL thỏa phương trình vi phân L dI R.I (t ) E (t ) ; R, L số dt a) Cho E(t) = E0 số Tìm I(t) b) Tìm I(t) E(t) = E0sint , số 4.16 Trong phản ứng hóa học, chất A biến đổi thành chất B với tốc độ tỷ lệ với bình phương lượng lại chưa biến đổi chất A Giả sử ban đầu có 50gr chất A sau 10gr chất A chưa biến đổi Hỏi sau chất A lại lượng bao nhiêu? 4.17 Người ta tiến hành nung sắt đạt đến 1000 (0C) để ngồi mơi trường cho nguội dần Biết tốc độ nguội dần sắt tỷ lệ với hiệu số nhiệt độ sắt nhiệt độ môi trường sau nhiệt độ 500 (0C) Hỏi sau nhiệt độ sắt nhiệt độ môi trường giả sử nhiệt độ môi trường ln khơng đổi 30 (0C) suốt q trình nguội dần 4.18 Một viên thuốc hình cầu với thể tích V diện tích xung quanh S nuốt phân rã bao tử Qua nghiên cứu người ta thấy tốc độ giảm dần thể tích viên thuốc tỷ lệ với diện tích xung quanh a) Viết phương trình biểu diễn biết ban đầu viên thuốc tích V0 b) Theo kinh nghiệm thực tế thể tích viên thuốc giảm nửa sau Hãy ước lượng thời gian cần thiết để viên thuốc phân rã hết 95% thể tích ban đầu Trang 18