Bai giang c4

Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.1 Một số khái niệm phương trình vi phân Xét tốn dẫn đến phương trình vi phân sau : Tìm phương trình đường cong cho đoạn tiếp tuyến chắn trục toạ độ bị tiếp điểm chia thành phần y B M(x,y α O P x A Gọi M ( x, y ) điểm tuỳ ý đường cong Khi hệ số góc tiếp tuyến M y '( x)  tg   MP AP Vì MA  MB  PA  PO  x; MP  y  y '   y gọi phương trình vi x phân Dễ thấy hàm y  C với C số thoả mãn phương trình x gọi nghiệm phương trình vi phân Vậy có họ đường cong y  C thoả mãn yêu cầu đề x Nếu thêm điều kiện đường cong phải qua điểm (2,3) nghĩa y(2)  C  ta có đường cong cần tìm y  x Phương trình vi phân thường (gọi tắt phương trình vi phân PTVP) phương trình biểu thị mối liên hệ biến độc lập x, hàm cần tìm y đạo hàm Trang 57 Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân Nếu hàm phải tìm y có nhiều biến số phương trình chứa biến độc lập này, hàm y đạo hàm riêng gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng (gọi tắt phương trình đạo hàm riêng PTĐHR) Trong chương khảo sát PTVP thường Cấp PTVP cấp cao đạo hàm có mặt phương trình Ví dụ 4.1 xy ''  y  PTVP cấp y'  y PTVP cấp x ( x  y)dy  ydx  PTVP cấp x u u y  u PTĐHR cấp x y Nghiệm PTVP tất hàm số y  y (x) cho thay vào phương trình ta đồng thức Thơng thường PTVP có vơ số nghiệm gọi họ nghiệm, nghĩa biểu thức nghiệm có chứa nhiều tham số (tuỳ vào bậc phương trình) 4.2 Phương trình vi phân cấp 4.2.1 Định nghĩa Phương trình vi phân cấp PTVP có dạng F ( x, y, y ' )  y'  f ( x, y ) , x biến độc lập, y hàm cần tìm theo biến x Nghiệm tổng quát (NTQ) PTVP cấp họ đường y   ( x, C ) với C số thoả mãn phương trình Nếu C  C0 đường cong y   ( x, C0 ) gọi nghiệm riêng phương trình Đơi khơng có nghiệm tường minh y   ( x, C ) mà hệ thức dạng  ( x, y, C )  thoả PTVP hệ thức gọi tích phân tổng qt PTVP Nếu C  C0 ta có tích phân riêng  ( x, y, C0 )  Về mặt hình học, đồ thị nghiệm tổng qt hay tích phân tổng quát cho ta họ đường cong gọi đường cong tích phân PTVP Tuy nhiên, nghiệm riêng phương trình suy từ họ nghiệm tổng quát cách thay số C giá trị cụ thể Những nghiệm gọi nghiệm kỳ dị Trang 58 Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân Ví dụ 4.2 Xét phương trình y '  xy ' y  có nghiệm tổng quát y  Cx  C họ đường thẳng Tuy nhiên parabol y  x2 nghiệm phương trình gọi nghiệm kỳ dị 4.2.2 Định lý tồn nghiệm – Bài toán Cauchy  y '  f ( x, y )  y ( x0 )  y Xét toán Cauchy với điều kiện đầu  Nếu hàm f ( x, y ) liên tục miền mở D  R có đạo hàm riêng f ( x, y) bị chặn D tốn Cauchy có nghiệm xác định y lân cận x 4.2.3 Một số phương trình vi phân cấp  Phương trình tách biến  Dạng 1: f ( x )dx  g ( y ) dy f ( x )dx  g ( y ) dy   f ( x) dx   g ( y ) dy Ví dụ 4.3 Giải phương trình y'  xy( y  2) (1) Giải: Nếu y( y  2)  (1)   11 dy  xdx  y ( y  2)  y   y  y  dy   xdx  ln y  dy  y ( y  2)   xdx  x  C nghiệm tổng quát (1) Ngoài y  y  2 nghiệm riêng (1)  y '5 x y  (1) ( 2)  y (0 )  Ví dụ 4.4 Giải toán Cauchy sau  Giải: Từ (2) ta thấy y  nên (1)  dy dy  5x dx      5x dx y y  Từ (2)  C  1 Trang 59 1   x  C hay y  y x C Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân Vậy nghiệm toán Cauchy y  x 1  Dạng 2: M ( x) N ( y )dx  P ( x )Q ( y ) dy  M ( x) N ( y ) dx  P ( x)Q( y) dy   M ( x) Q( y) dx  dy  với P( x)  0; N ( y )  P( x) N ( y) Ví dụ 4.5 Giải phương trình x ( y  1)dx  ( x  1)( y  1)dy  (1) Giải: Nếu x  1; y  1 (1)  x2 y 1 dx  dy   y 1 x 1 x2 y 1  x  dx   y  dy   1  dy d ( x  1)    1   3 x 1 y     ln x   ln y   y  C NTQ (1) Ngoài x  y  1 nghiệm riêng (1)  Dạng 3: y '  f (ax  by  c) Đặt u  ax  by  c  du dy dy  du   ab     a dx dx dx b  dx  Thay vào phương trình du  a  bf (u ) dx Ví dụ 4.6 Giải phương trình y'  cos( x  y  1) (1) Giải: Đặt u  x  y   du du   y '  y'   dx dx Thay vào (1) ta có du   cos u (2) dx Nếu cos u  1 du du  dx    dx  cos u  cos u   Hay x  cot g du u   dx   cot g  x  C  u 2 sin 2 x  y 1  C  NTQ (1) Trang 60 Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân Ngồi cos u   u  k 2  y  x   k 2 nghiệm riêng (1)  Phương trình đẳng cấp  y  Dạng 1: y'  f   x Đặt u  y  y  ux  y'  u  u ' x x Thay vào phương trình u  u' x  f (u )  u ' x  f (u)  u (tách biến) Ví dụ 4.7 Giải phương trình y'  x  xy  y xy (1) Giải: Từ (1) ta có y'  Đặt u  x y   , x, y  y x y 1  y'  u  u ' x Thay vào (1): u  u ' x    u  u ' x   x u u x Nếu u  (2)  du  u  dx u ( 2) u dx dx   du     1du   1 u x x 1 u    ln  u  u  ln x  C Hay ln x  ln  y y   C  NTQ (1) x x Ngoài u   y  x, ( x  0) nghiệm riêng (1)  a x  b1 y  c1  Dạng 2: y '  f   a x  b2 y  c  Nếu   a1 a2     x    x0  , đặt  b2  y    y0 b1 x0 , y  nghiệm  a1 x  b1 y  c1    a x  b2 y  c  Suy dx  d ; dy  d Thay vào phương trình ta có  Nếu     d  g   (dạng 1) d   a1 b1 u    Đặt u  a1 x  b1 y  u '  a1  b1 y'   a x  b2 y a b2  Trang 61 Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân Thay vào phương trình ta phương trình tách biến Ví dụ 4.8 Giải phương trình (2 x  y  6)dx  ( x  y  3)dy  (1) Giải: 2 x  y    x  1;  x y 3 Giải hệ  y0   x   1  dx  d   y    dy  d Đặt  Thay vào (1): 2(  1)  4(  2)  6d  (      3)d   2  4 d     d  (2)  d 2  4  Nếu     (2)     d   1  24 Đặt u   d  4u  4u  u  3u    u  u '    u '   u    d 1 u 1 u 1 u Nếu u  1; u  ta có u 1 d  d  2 du      du    (u  1)(u  2)    u 1 u    2 ln u   ln u    ln   C  2 ln y2 y2   ln    ln x   C1 x 1 x 1  2 ln y  x 1 y  2x  ln   ln x   C1 x 1 x 1  ln ( y  x)  ln x   ln C ( x  1)( y  x  1)  ( y  x)  C ( y  x  1) , với x  1; y  x  1; y   x  3; y  x NTQ (1) Ngoài y  x  y  x nghiệm riêng (1)  Phương trình vi phân tồn phần P ( x, y )dx  Q( x, y ) dy  Nếu P( x, y )  f ( x); Q ( x, y )  g ( y ) phương trình trở thành dạng tách biến Nếu P Q  phương trình trở thành dạng vi phân toàn phần y x Trang 62 Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân  u '  P ( x, y ) Cách giải : Tìm hàm vị u( x, y ) thoả mãn  x u ' y  Q( x, y ) Khi du  P( x, y )dx  Q( x, y )dy   u ( x, y )  C NTQ phương trình Ví dụ 4.9 Giải phương trình ( x  y)dx  ( x  y )dy  (1) Giải:  P( x, y)  x  y P Q     (1) phương trình vi phân toàn phần y x Q( x, y )  x  y Ta có   u'  x  y Tìm hàm u( x, y ) cho  x u ' y  x  y Từ (2) ta có u( x, y )   ( x  y )dx  (2 ) (3) x2  xy  g ( y ) Từ (3) ta có g ' ( y )  y  g ( y )   y dy   u' y  x  g ' ( y) y3 x2 y3  u ( x, y )   xy  Vậy NTQ (1) x2 y3  xy  C  Thừa số tích phân: Trong số trường hợp phương trình vi phân dạng P( x, y )dx  Q ( x, y )dy  PTVP toàn phần Nhưng tồn hàm  ( x, y ) cho  ( x, y ) P( x, y)dx   ( x, y )Q ( x, y )dy  PTVP toàn phần Khi ta gọi hàm  ( x, y) thừa số tích phân PTVP ban đầu Ví dụ 4.10 Chứng minh x thừa số tích phân phương trình sin y dx  xy cos y dy  Giải:   P  P ( x, y )  x sin y  y  x y cos y Thật vậy, ta có   Q( x, y )  x y cos y  Q  x y cos y  x   đfcm  Cách tìm thừa số tích phân: Vì  ( x, y ) P( x, y )dx   ( x, y )Q( x, y)dy  PTVP toàn phần nên   ( P)  ( Q )   ' y P  P' y   ' x Q  Q ' x y x Trang 63 Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân Tuy nhiên tìm  ( x, y) từ điều kiện phức tạp Do người ta thử tìm thừa số tích phân phụ thuộc biến số  Nếu  ( x, y )   ( x) P' y   ' x Q  Q ' x    ( x)  e  P ' y  Q ' x dx Q   P' y Q' x  phụ thuộc x Q  Nếu  ( x, y )   ( y )  ' y P  P' y  Q' x    ( y)  e  Q ' x  P ' y dy P   'x  P' y Q' x  : R( x)  Q 'y   Q ' x  P ' y : R ( y ) P   Q' x  P' y  phụ thuộc y P Ví dụ 4.11 Giải phương trình (1  x y )dx  x ( y  x)dy  (1) Giải: Ta có P( x, y )   x y  P' y   x Q( x, y )  x ( y  x)  Q' x  xy  x Vì 1 ( P ' y Q ' x )  (2 x  xy )   nên ta có thừa số tích phân Q x ( y  x) x  ( x)  e   x dx e  ln x  x2  1 x2 y u '   y ( 2)  x x x Tìm hàm u( x, y ) cho   u ' y  x ( y  x)  y  x (3)  x2    y dx    xy  g ( y )  u ' y   x  g ' ( y ) x x  Từ (2) ta có u ( x, y )    Thay vào (3) ta có g ' ( y )  y  g ( y )  y2 y2  u ( x, y )    xy  x x Vậy NTQ (1)   xy  y2  C, x  0 Ngoài x  nghiệm riêng (1) Trang 64 Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân  Phương trình tuyến tính y ' a ( x) y  b ( x ) (*) , a( x); b( x) hàm liên tục Nếu b( x)  (*) phương trình tuyến tính nhất, ngược lại b( x)  (*) phương trình tuyến tính khơng Cách giải:  Phương pháp thừa số tích phân Từ (*) ta có a( x ) y  b( x)dx  dy  Ta có P( x, y )  a ( x) y  b( x )  P' y  a ( x) ; Q( x, y )  1  Q' x  Vì a ( x ) dx ( P' y Q' x )  a ( x) nên (*) có thừa số tích phân  ( x)  e  Q Nhân vế (*) với  ( x)  e  e a ( x ) dx   e   y 'e  a ( x ) dx a ( x ) dx a ( x ) dx ta a ( x) y  e  ' y   b( x)e     a ( x ) dx a ( x ) dx  ye   b( x )e  dx  C a ( x ) dx a ( x ) dx b( x )  e a ( x ) dx y   b ( x )e  a ( x ) dx dx  C  Chú ý:  a ( x ) dx  Nếu b( x)  y  Ce  NTQ phương trình tuyến tính    a ( x ) dx   a ( x ) dx  a ( x ) dx a ( x ) dx  a ( x ) dx dx ta thấy  Từ y  e  e   b( x)e   C  Ce  b ( x )e  a ( x ) dx  a ( x ) dx dx nghiệm riêng phương trình khơng C = y  e   b ( x )e  Như NTQ phương trình khơng tổng NTQ phương trình nghiệm riêng phương trình khơng người ta chọn nghiệm riêng  Phương pháp biến thiên số Lagrange  a ( x ) dx NTQ phương trình Y  Ce  Suy NTQ phương  a ( x ) dx trình khơng có dạng y  C ( x)e  Trang 65 Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân  a ( x ) dx  a ( x ) dx Ta có y'  C ' ( x)e   C ( x ) a ( x )e  Thay vào (*) ta có  a ( x ) dx a ( x ) dx a ( x ) dx C ' ( x )e   b ( x )  C ' ( x )  b ( x )e   C ( x )   b( x ) e  dx  C Vậy NTQ phương trình tuyến tính cấp   a ( x ) dx a ( x ) dx ye   b( x)e  dx  C  Ví dụ 4.12 Giải phương trình y' y cos x  e  sin x (1) Giải: Ta có a ( x)  cos x   a ( x)dx   cos xdx  sin x b( x)  e sin x   b( x)e  a ( x ) dx dx   e sin x e sin x dx   dx  x Vậy NTQ (1) y  e  sin x C  x  Ví dụ 4.13 Giải phương trình y'  y2 (1) xy  Giải: Nếu y  (1)  dx xy  x dx      x  phương trình tuyến dy y y dy y y y tính với x hàm theo biến y Ta có a( y )   b( y )  2   a( y)dy    dy  2 ln y y y a ( y ) dy 3  ln y   b ( y )e  dy   e dy   dy   y y y y  Vậy NTQ (1) x  e ln y  C        y  C    Cy   y y  y   Ngoài y  nghiệm riêng (1)  Phương trình Bernoulli y 'a ( x) y  b( x ) y  (*) Nếu     (*) trở thành phương trình vi phân tuyến tính Nếu   0,1 , giả sử y0 chia vế (*) cho y'  a( x) y 1  b( x)  y Đặt z  y 1  z '  (1   ) y  y '  y' z'   1 y Trang 66 y ta Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân  z'   Thay vào (1): z ' z  z ' z   z ' z (1  z ' )    z '   z  03  2 2 z '   z  y '  C1  y  C1 x  C z'  1 x    dx  1   dx   z  y '  y  C  y  e  C   C e dx   C e  3C 3   z   y'   y  C  Phương trình khơng chứa y: F ( x, y ' , y ' ' )  Đặt y'  z ( x)  y ' '  z ' Thay vào phương trình ta PTVP cấp hàm z theo biến x dạng F ( x, z , z ' )   x y' '2 x y'   Ví dụ 4.18 Giải phương trình   y (1)  y ' (1)  (1) (2 ) Giải: x Đặt y'  z ( x)  y' '  z ' Thay vào (1): x z '2 x z   z ' z   ze  2  x dx   1    x dx  C  e dx    C   dx    C    x4  x x  x    x  C  C  y     dx     C x 2x x  x   C1  C  C1   Thay điều kiện (2) ta có   3 C   C   Vậy nghiệm toán y  3   2x 2x  Phương trình khơng chứa y, y’: F ( x, y ' ' )  Ví dụ 4.19 Giải phương trình y' '  cos x Giải: y' '  1  y'   dx  tgx  C1 cos x cos x Trang 69 x4 Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân  y   tgx  C1 dx   ln cos x  C1 x  C 4.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 4.4.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp PTVP tuyến tính cấp hai phương trình vi phân có dạng y ' ' a ( x ) y ' b ( x ) y  (*) , a( x); b( x) hàm liên tục cho trước  Định lý 1: Nếu y1 ; y nghiệm (*) y1  y ; cy1 (c số tuỳ ý khác 0) nghiệm (*) Chứng minh: Vì y1 ; y nghiệm (*) nên y1''  a( x) y1'  b( x) y1  y 2''  a ( x) y 2'  b( x) y    y1  y   a( x)( y1  y ) '  b( x)( y1  y )  cy1   a( x)cy1   b( x)cy1  '' '' '  đfcm  Định lý 2: Nếu y1 ; y nghiệm riêng độc lập tuyến tính (*), nghĩa y1  const NTQ (*) có dạng Y  C1 y1  C y y2 Nhận xét: PTVP tuyến tính ln có hệ nghiệm (gồm nghiệm riêng đltt) Với PTVP tuyến tính thuấn cấp ln có nghiệm riêng đltt  a ( x ) dx e   Định lý 3: Nếu y1 nghiệm riêng (*) y  y1  dx y12 nghiệm riêng (*) độc lập tuyến tính với y1 Chứng minh Gọi y nghiệm riêng (*) Khi ta có y1''  a( x) y1'  b( x) y1  (1) y 2''  a ( x) y 2'  b ( x) y  ( 2) Nhân (1) với y nhân (2) với y1 lấy (1)-(2) ta có   y1'' y  y1 y 2''  a( x) y1' y  y1 y 2'  Trang 70 (3) Lê Thị Thanh Hải Đặt w  y1 y1' Chương 4: Phương trình vi phân y2  y1 y 2'  y1' y  w'   y1'' y  y1 y 2'' y 2' Thay vào (3) ta có w' a ( x) w   w  Ce   a ( x ) dx  y1 y  y y  Ce  '  a ( x ) dx ' y1 y 2'  y1' y  a ( x ) dx   Ce  y1 y1 y    y1 '  a ( x ) dx    a ( x ) dx e    Ce  y  y1  dx (chọn C  ) y1 y12  Ví dụ 4.20 Giải phương trình x  1y ' '2 xy'2 y  (1) biết y1  x nghiệm riêng Giải: Từ (1) ta có y' ' 2x y ' y  (2) x 1 x 1 Nghiệm riêng thứ (2) 2x  a ( x ) dx  dx e  e x 1   y  y1  dx  x  dx  x  1  dx  2 y1 x x   1  x x   x  Vậy NTQ (1) y  C1 x  C ( x  1) Ví dụ 4.21 Giải phương trình x  1y ' '2 xy'  (1) Giải: Từ (1) ta có y' ' 2x y'  ( 2) x 1 Nhận thấy y1  nghiệm riêng (1) nên nghiệm riêng thứ  a ( x ) dx 2x   dx e  x 1   x 1 y  y1  dx   e dx    dx  ln 2 x 1 y1  x  1 Vậy NTQ (1) y  C1  C ln x 1 x 1 4.4.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng PTVP tuyến tính cấp khơng phương trình có dạng y ' ' a ( x) y 'b( x) y  f ( x) (*) PTVP tuyến tính tương ứng với (*) y ' ' a ( x ) y 'b( x) y  (**) Trang 71 Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân  Định lý 4: Nếu Y NTQ (**) y nghiệm riêng (*) NTQ (*) có dạng y  Y  y  Định lý 5: (Nguyên lý chồng nghiệm): Cho PTVP sau y ' ' a( x) y 'b( x) y  f1 ( x) y ' ' a ( x) y 'b( x) y  f ( x ) Nếu y1 ; y nghiệm riêng PTVP y1  y nghiệm riêng PTVP y' ' a( x) y'b( x) y  f1 ( x)  f ( x) Ví dụ 4.22 Giải phương trình y' ' y  3x (1) Giải: Phương trình tương ứng y' ' y  (2) Nhận thấy y1  sin x nghiệm riêng (2) nên nghiệm riêng thứ  a ( x ) dx  dx e  e  y  y1  dx  sin x  dx  sin x.( cot gx)   cos x y12 sin x  NTQ (2) Y  C1 sin x  C cos x Nhận thấy y  x nghiệm riêng (1) nên NTQ (1) y  Y  y  C1 sin x  C cos x  x Ví dụ 4.23 Giải phương trình x  1y ' '4 xy '2 y  x (1) biết nghiệm riêng y1  x; y2  x2  x 1 x 1 Giải: Phương trình tương ứng y' ' 4x y '  (2 ) x 1 x 1 Theo nguyên lý chồng nghiệm y0  y  y1  x2  x 1 x nghiệm x 1 x 1 riêng (2) Do nghiệm riêng thứ (2) 4x   dx e x 1 1 y2  dx  dx     x 1 x   x  1 x 1 x  1  NTQ (2) Y  C1 1  C2 x 1 x 1 Trang 72 Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân  NTQ (1) y  Y  y1  C1 C  2 x x 1 x 1  Phương pháp biến thiên số Lagrange Cho PTVP tuyến tính khơng dạng y' ' a( x) y 'b( x) y  f ( x) (*) PTVP tuyến tính tương ứng y' ' a( x) y 'b( x) y  (**) Nếu (**) có NTQ Y  C1 y1  C y NTQ (*) có dạng y  C1 ( x) y1  C ( x) y , thoả C1 ( x); C ( x) mãn điều  C1' ( x) y1  C2 ' y2   ' ' ' ' C1 ( x) y1  C2 y2  f ( x) Chứng minh: Ta có NTQ (1) y  C1 ( x) y1  C ( x) y ' ' '  y '  C1 ' ( x) y1  C1 ( x) y1  C ' ( x) y  C ( x ) y  C1 ( x) y1  C ( x) y ' ' '' ' ' '' '' ' (1) ''  y ' '  C1 ( x) y1  C1 ( x) y1  C ( x) y  C ( x) y  C1 ( x) y1  C ( x) y  f ( x) ( 2) Thay vào (*) suy đfcm Ví dụ 4.24 Giải phương trình y' ' y' x x (1) Giải: Phương trình tương ứng y' ' y' 0 x ( 2) Dễ thấy y1  nghiệm riêng (2) Do nghiệm riêng thứ y2   e   dx x  x2 dx   xdx   NTQ (2) Y  C1 x  C  x C1 ' ( x)  C ' ( x)   NTQ (1) có dạng y  C1 ( x) x  C ( x) thoả   xC1 ' ( x)  x 1   '  C1 ( x)  C1 ( x)  x  C1    C 2' ( x)   x  C ( x)   x  C   Vậy NTQ (1) y  x3  C1 x  C Trang 73 kiện Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân Ví dụ 4.25 Giải phương trình xy ' '2 y ' xy  x (1) biết phương trình có nghiệm riêng y1  cos x x Giải: x Phương trình tương ứng y' ' y ' y  (2 ) Nghiệm riêng thứ (2)   dx cos x x e x cos x cos x sin x y2  dx  dx  tgx  2   x x x x cos x cos x Vậy NTQ (2) Y  C1 cos x sin x  C2 x x  NTQ (1) có dạng y  C1 ( x) cos x sin x thoả mãn hệ sau  C ( x) x x cos x sin x  ' '  C1 ( x) x  C ( x) x    x sin x  cos x x cos x  sin x C1' ( x)  C 2' ( x) 1 x x2   sin x cos x ; 1   ; 2  x x x 1  ' C1 ( x)     x sin x  C1 ( x)  x cos x  sin x  C1    C ( x)  x sin x  cos x  C  C 2' ( x)   x cos x   Vậy NTQ (1) y   x cos x  sin x  C1  y  C1 cos x sin x   x sin x  cos x  C  x x cos x sin x  C2 1 x x 4.4.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số PTVP tuyến tính cấp hệ số khơng phương trình có dạng y' ' ay'by  f ( x) , a, b số thực Dạng tương ứng y' ' ay'by   Giải phương trình dạng y' ' ay'by  Bước 1: Giải phương trình đặc trưng k  ak  b  Trang 74 (*) (**) Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân Bước 2: Tìm nghiệm (*) dựa nghiệm phương trình đặc trưng sau Nghiệm (**) Hệ nghiệm (*) k nghiệm kép y1  e kx ; y  xe kx y  C1e kx  C xe kx y1  e k1x ; y  e k2 x y  C1e k1x  C e k x y1  e x cos  x; y  ex sin  x y  ex C1 cos  x  C sin  x  k1 ; k nghiệm thực phân biệt k    i NTQ (*) cặp nghiệm phức liên hợp Ví dụ 4.26 Giải phương trình y' ' y  (1) Giải: Phương trình đặc trưng k    k  1  NTQ (1) y  C1e x  C e  x Ví dụ 4.27 Giải phương trình y' '2 y'5 y  (1) Giải: Phương trình đặc trưng k  2k    k1,    4i  1  2i  NTQ (1) y  e  x C1 cos x  C sin x  Ví dụ 4.28 Giải phương trình y' '2 y ' y  (1) Giải: Phương trình đặc trưng k  2k    k   NTQ (1) y  C1 x  C e x  Giải phương trình dạng khơng y ' ' ay 'by  f ( x) (*) Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát phương trình tương ứng Y  C1 y1  C y Bước 2: Có phương pháp  Phương pháp biến thiên số Lagrange Trang 75 Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân NTQ (*) có dạng y  C1 ( x) y1  C ( x) y , C1 ( x); C ( x) thoả mãn  C1' ( x) y1  C 2' ( x) y  ' ' ' ' C1 ( x) y1  C ( x) y  f ( x) hệ sau   Phương pháp hệ số bất định Tìm nghiệm riêng y (*) biểu thức f (x) có dạng đặc biệt sau Khi NTQ (*) y  Y  y Dạng f ( x) Dạng nghiệm riêng y  Nếu  nghiệm f ( x)  Pn ( x)e x phương trình đặc trưng y  Qn ( x)ex Pn ( x) đa thức bậc n theo x  Nếu  nghiệm đơn phương trình đặc trưng y  xQn ( x)ex  Nếu  nghiệm kép phương trình đặc trưng y  x Qn ( x)ex  Nếu   i nghiệm f ( x)  ex  An ( x) cos x  Bm ( x) sin x  An ( x), Bm ( x) đa thức bậc n m y  e x M s ( x) cos  x  N s ( x) sin x  theo x s  maxm, n phương trình đặc trưng với  Nếu   i nghiệm phương đặc trình trưng y  xex M s ( x) cos x  N s ( x) sin x  với s  maxm, n Chú ý: Hệ số đa thức Qn ( x); M s ( x); N s ( x) tính cách thay nghiệm riêng y vào phương (*) đồng hệ số vế Ví dụ 4.29 Giải phương trình y' '3 y '4 y  xe x (1) Giải: Phương trình tương ứng y' '3 y '4 y  Trang 76 ( 2) Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân  k 1 k  4 Phương trình đặc trưng k  3k      NTQ (2) Y  C1e x  C e 4 x Tìm nghiệm riêng (1) dạng y  xe x ( Ax  B) Ta có y  e x Ax  (2 A  B) x  B ; y  e x Ax  (4 A  B ) x  A  B  ' ''   A  10 10 A  Thay vào (1) ta    A  5B  B   25    x  Nghiệm riêng (1) y  xe x     10 25    x    10 25  Vậy NTQ (1) y  C1e x  C e  x  xe x  Ví dụ 4.30 Giải phương trình y' '3 y '2 y  x  x e x (1) Giải: Phương trình tương ứng y' '3 y '2 y  k  k  Phương trình đặc trưng k  3k      NTQ (2) Y  C1e x  C e x Tìm nghiệm riêng (1) dạng y  e x Ax  Bx  C    y '  e x Ax  (3 B  A) x  3C  B  y' '  e x Ax  9Bx  9C  A     2A   A   Thay vào (1) ta  A  2B    B  1  A  B  2C   C       x2   Nghiệm riêng (1) y  e x   x      x2   x     Vậy NTQ (1) y  C1e x  C e x  e x  Ví dụ 4.31 Giải phương trình y' ' y  x sin x Trang 77 (1) ( 2) Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân Giải: Phương trình tương ứng y' ' y  (2) Phương trình đặc trưng k    k  i  NTQ (2) Y  C1 cos x  C sin x Tìm nghiệm riêng (1) dạng y  x Ax  B  cos x  (Cx  D) sin x       y '  Cx  ( A  D) x  B cos x   Ax  ( 2C  B ) x  D sin x     y' '   Ax  (4C  B) x  A  D cos x   Cx  (4 A  D) x  2C  B sin x 2 A  D   A  1  2C  B  B0   Thay vào (1) ta     A 1 C 0  4C   D   Nghiệm riêng (1) y  x ( x cos x  sin x) Vậy NTQ (1) y  C1 cos x  C sin x  x cos x  x sin x  (C1  x ) cos x  (C  x) sin x Ví dụ 4.32 Giải phương trình y' ' y  cos x (1) Giải: Phương trình tương ứng y' ' y  (2) Phương trình đặc trưng k    k  i  NTQ (2) Y  C1 cos x  C sin x Áp dụng phương pháp biến thiên số Lagrange NTQ (1) có dạng y  C1 ( x) cos x  C ( x) sin x , C1' ( x) cos x  C2' ( x) sin x    ' '  C1 ( x)( sin x)  C2 ( x) cos x  cos x  Ta có   1;    sin x ; 2  cos x sin x  ' C1 ( x)  ln cos x  C1 C ( x)    cos x    C ( x)  x  C  C 2' ( x)  Vậy NTQ (1) y  C1  ln cos x  cos x  C  x sin x Trang 78 Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân Chú ý: Phương trình Euler cấp có dạng x y '' axy ' by  f ( x ) (*) đưa dạng phương trình tuyến tính hệ số cách đổi biến sau: Đặt x  e t ( x  0) x   et ( x  0) Ta có yt'  y x' e t  y x'  yt' e t  ytt''  y x' e t  ' x     et  y xx'' et  y x' et  y xx'' e 2t  yt'  y xx''  ytt''  yt' e 2t Thay vào (*) ta có y '' (a  1) y ' by  f  et  Ví dụ 4.33 Giải phương trình x y '' xy ' y  x (1) Giải: Đặt x  e t  y x'  yt' e t ;   '' y xx  ytt''  yt' e 2 t Thay vào (1) ta có y '' y  e t (2) Phương trình tương ứng y '' y  (3) Phương trình đặc trưng k    k  i  NTQ (3) Y  C1 cos t  C2 sin t Tìm nghiệm riêng (2) dạng y  Aet  y '  Aet ; y ''  Aet Thay vào (2) ta A  1  Nghiệm riêng (2) y  et 4 Vậy NTQ (2) y  C1 cos t  C2 sin t  et  NTQ (1) y  C1 cos ln x  C2 sin ln x  x 4.5 Hệ phương trình vi phân Một số hệ phương trình vi phân cấp giải phương pháp khử biến độc lập, nghĩa đưa PTVP có ẩn hàm  dy  dx   z Ví dụ 4.34 Giải hệ   dz  z  dx y (1) (2) Giải: Trang 79 Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân Từ (1) ta có y '   z  y ''   z ' Thay vào (2) ta có  y ''   y ' y 2  yy ''  y '  (PTVP cấp không chứa x) Đặt y '  u ( y )  y ''  u 'y y '  u y' u  y  c1 y' u 0   dy  Ta yuu  u    '   c  yu  u  u '  u  u  c2 e y   y  y y   ' y  y  c1  y  c1  y  c1 c1      y2  y   c1 x  c2  z   c y'  c1 x  c2  c2 x  c3   yy ' dx   c2 dx  y    y   c1 x  c2  Vậy nghiệm tổng quát hệ  c1  z  c xc   dy   z  cos x Ví dụ 4.35 Giải hệ  dx  dz  y   dx (1) (2) Giải: Từ (2) ta có y   z '  y '   z '' Thay vào (1) ta có  z '' z  cos x (3) (PTVP tuyến tính cấp hệ số khơng nhất) Giải phương trình tương ứng  z '' z   z  c1 cos x  c2 sin x Nghiệm riêng (3) có dạng z  x  A cos x  B sin x  A   2A   Thay vào (3) ta    z   x sin x  2 B   B    2 NTQ (3) z  c1 cos x  c2 sin x  x sin x  y   z '   c1 sin x  c2 cos x  x cos x 2 Trang 80 Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân   y   c1 sin x  c2 cos x  x cos x Vậy nghiệm tổng quát hệ   z  c cos x  c sin x  x sin x  Chú ý: Đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số có dạng sau sử dụng thêm phương pháp đại số tuyến tính để giải '  x1  a11 x1  a12 x2  '  x2  a21 x1  a22 x2  X '  AX Cách giải:  Giải phương trình đặc trưng det( I  A)   NTQ hệ có dạng sau Nghiệm phương Hệ nghiệm Hệ nghiệm tổng quát trình đặc trưng e1t X   ; e2t X   1 , 2 nghiệm thực phân biệt X k  : vector riêng ứng X (t )  c1e1t X    c2 e2t X   2  với trị riêng k  Re X      i  cặp nghiệm phức liên hợp 2  X     ; Im  X     : vector riêng ứng  X (t )  c1 Re X    c I m X    với trị riêng     i   nghiệm kép (A  a x  b1  t X (t )   e  a2 x  b2  không chéo hóa được) a1 , b1 , a2 , b2 : số xác định cách thay nghiệm trực tiếp vào hệ  dy  dx   y  z Ví dụ 4.36 Giải hệ   dz  y  z  dx Giải:  y '   y  2z  1 2   A   z '  y  4z 3 4 Hệ   Trang 81 Lê Thị Thanh Hải Ta có  I  A  Chương 4: Phương trình vi phân   2  1    3     3      2 2  1   Vector riêng    3  1   Với   1: ( A   I )    3 2  2   Vector riêng   3 2  3   Với   : ( A   I )    c1e x  2c2e x  1 2x     c2 e     x 2x   1   3   c1e  3c2e  Suy nghiệm tổng quát X ( x)  c1e x   y  c1e x  2c2 e2 x x 2x  z  c1e  3c2e Vậy nghiệm tổng quát hệ   y ' y  z   z ' y  z  Ví dụ 4.37 Giải hệ  Giải:  y '  7 y  z  7   A   z '  2 y  z  2 5  Hệ   Ta có  I  A  7   2    12  37     6  i 5    1  i   1  i    0  2  i   Với   6  i : ( A   I )     Suy vector riêng   1  i    ( 6i ) x    6 x  cos x   X ( x)  Re  e    e   1  i    cos x  sin x    Từ ta có nghiệm riêng hệ   ( 6i ) x    6 x  sin x     i    e  cos x  sin x   X ( x)  Im  e       Nghiệm tổng quát c1 cos x  c2 sin x sin x  cos x   6 x   6 x  X ( x)  c1e6 x    c2 e  e    cos x  sin x   cos x  sin x   (c2  c1 ) cos x  (c2  c1 )sin x   y  e 6 x  c1 cos x  c2 sin x  6 x  z  e  (c2  c1 ) cos x  (c2  c1 )sin x  Vậy nghiệm tổng quát hệ  Trang 82 Lê Thị Thanh Hải Chương 4: Phương trình vi phân  y'  2y  z z '  4y  6z Ví dụ 4.38 Giải hệ  Giải:  1   6 Ta có A   4  I2  A  2  (  4)2     4    2 1 1   Vector riêng   A khơng chéo hóa  2  2  Với   : ( A   I )   Nghiệm tổng quát hệ có dạng  a b x   a  b  4b1 x  x X ( x)  e4 x  1   X '( x)   1 e  a2  b2 x   4a2  b2  4b2 x   2a1  a2  b1   a1  c1  2b  b  b  c   Thay vào hệ ta có    4a1  2a2  b2   a2  2c1  c2  4b1  2b2  b2  2c2  y  e x  c1  c2 x  4x  z  e  2c1  c2  2c2 x  Vậy nghiệm tổng quát hệ  Trang 83