KHÓA LUẬN phương pháp tách biến furie

Phần 1: Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Sự phát triển quốc gia phải dựa sù tiÕn bé cđa khoa häc c«ng nghƯ, sù tiÕn khoa học công nghệ dựa tảng ngành khoa học tự nhiên có Vật lý Vật lý đợc xem môn học then chốt tất cấp học, bậc học, ngành học hệ thống giáo dục quốc dân Bộ môn có gắn kết chặt chẽ với môn khoa học tự nhiên khác đặc biệt với Toán học Có thể nói Toán học Vật lý học có gắn kết, giao thoa lẫn nhau, gắn kết đợc thể chuyên ngành phơng pháp toán lý Bộ môn đà đợc dạy trờng Đại học Khoa học tự nhiên, trờng Đại học S phạm cho chuyên ngành Vật lý, trờng Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp, Những phơng pháp toán dùng Vật lý đại phong phú đa dạng bao gồm số lợng lớn kiến thức nh: hàm thực, hàm biến phức, phơng trình vi phân, phép biến đổi tích phân Các phơng trình Vật lý toán (phơng trình dao động, phơng trình truyền nhiệt, phơng trình Laplace) đợc mô tả phơng trình vi phân Khi giải phơng trình vi phân đạo hàm riêng ta sử dụng phơng pháp tách biến Furiê hay gọi phơng pháp tách biến Trong trình tìm nghiệm phơng trình vi phân phơng pháp tách biến ta gặp số phơng trình vi phân thông thờng mà nghiệm chúng hàm đặc biệt nh hàm Betsen, hàm cầu, đa thức Lagiangđrơ Nhận thấy tầm quan trọng toán cho Vật lý, định chọn đề tài: Bớc đầu tìm hiểu dao động không gian một, hai ba chiều phơng pháp tách biến Furiê cho khoá luận tốt nghiệp đại học Để thấy rõ đợc phơng pháp tách biến đợc sử dụng vào toán dao động không gian mét, hai vµ ba chiỊu, khãa ln chóng tập chung vào vấn đề sau: Chơng 1: Cơ sở toán học Chơng 2: Phơng pháp tách biến Furiê Chơng 3: ứng dụng phơng pháp tách biến Furiê việc giải toán dao động không gian một, hai ba chiều Những kiến thức dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên theo học chuyên ngành Vật lý trờng Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp mà làm tài liệu hữu ích cho sinh viªn nghiªn cøu vỊ VËt lý lý thut, VËt lý đại, ôn thi cao học sau trờng Mặc dù, đà cố gắng thực khoá luận nhng chắn khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Tác giả xin đợc cảm ơn góp ý độc giả để khoá luận đợc hoàn thiện 1.2 mục đích nghiên cứu Bớc đầu tìm hiểu phơng pháp tách biến Furiê để tìm nghiệm phơng trình vi phân, nghiệm mô tả dao động không gian một, hai ba chiều ứng dụng phơng pháp vào việc giải toán dao động cụ thể Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên đà theo học chuyên ngành Vật lý bạn ôn thi Cao học 1.3 Phơng pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu, xử lý thông tin, sàng lọc kiến thức có liên quan đến vấn đề nghiên cứu từ hệ thống hoá, khái quát hoá thành khoá luận với cố gắng, nỗ lực thân kỹ giải tập có áp dụng phơng pháp toán vào Vật lý 1.4 Bố cục khoá luận Ngoài phần mục lục, mở đầu, kết luận, phụ lục, tài liệu tham khảo khoá luận đợc trình bày thành chơng: Chơng 1: Trình bày chi tiết cách giải số phơng trình vi phân tuyến tính thờng gặp toán dao động, hệ toạ độ cong trực giao, hàm Betsen đa thức Lagiangđrơ Giải phơng trình vi phân mà nghiệm chúng mô tả dao động sợi dây, màng, cầu phơng pháp đà biết (phơng pháp phản xạ đầu mút gắn chặt, phơng pháp biến đổi Laplace) ngời ta sử dụng phơng pháp đặc biệt quan trọng phơng pháp tách biến (phơng pháp tách biến Furiê), phơng pháp đợc trình bày cụ thể chơng hai Chơng 2: Trình bày toán dao động không gian một, hai ba chiều; dao động sợi dây hữu hạn, dao động màng, dao động cầu Chơng 3: Trình bày toán dao động cụ thể không gian một, hai ba chiều, áp dụng kết đà trình bày chơng Đó phơng trình dao động tự do, dao động cỡng dây có chiều dài hữu hạn, màng tròn, cầu có biên gắn chặt dao động tự màng chữ nhật Phần 2: Nội Dung Chơng Cơ sở toán học 1.1 Phơng trình vi phân tuyến tính [8] 1.1.1 Phơng trình vi phân tuyến tính bậc không [3] Phơng trình dạng : y' p x y C (1.1) Sử dụng phơng pháp biến thiên số Bớc 1: Giải phơng trình y'  p  x  y  Nếu y phơng trình (1.1a) trở thµnh:  p  x  dx y  C1e � (1.1a) dy   p  x  dx nên: y (1.1b) Đây nghiệm tổng quát phơng trình (1.1) Nếu y nghiệm phơng trình (1.1) C1= Bớc 2: Biến thiên hệ số C1, đặt C1 C1  x  p  x  dx  p x dx Thay y  C1  x  e �  vµo (1.1), ta cã: C1  � Ce �  K ( K lµ h»ng sè) Bớc 3: Nghiệm phơng trình là: p x  dx  p  x  dx  p  x  dx y  Ke �  e Ce dx 1.1.2 (1.1c) Phơng trình vi phân bậc hai tuyến tính [3] 1.1.2.1 Phơng trình vi phân bậc hai tuyến tính có hệ số số Phơng trình dạng: y "  py '  qy  (1.2) Bíc 1: Giải phơng trình đặc trng: k pk q (1.2a) Phơng trình có hai nghiệm k1 k2 Bớc 2: Xác định nghiệm tổng quát Nếu k1 k2 nghiệm thực khác Khi nghiệm riêng phơng trình là: y1 e k1 x ; y2 e k2 x , ®ã: y  C1e k1x C2e k2 x , (1.2b) C1 ,C2 h»ng sè tuú ý NÕu k1 vµ k2 lµ nghiệm thực trùng Khi nghiệm riêng phơng trình độc lập tuyến tính với nhau: y1  e k1 x ; y2  u  x  y1 , thay y2  u  x  y1 vào (1.2) ta đợc u x =x, nghiệm tổng quát (1.2) có dạng: y  e k1x  C1 x  C2  , (1.2c) C1 ,C2 số Nếu k1 k2 nghiệm liên hợp phức k1  i  ; k2    i  nghiệm riêng (1.2) là: y1 e i  x ; y2  e i  x , sử dụng công thức ơle, ta có: y1   cos x  i sin  x  ex ; y2   cos x  i sin  x  e x , y1 ; y2 nghiệm riêng (1.2) nên: y y1 y2 x  e cos x y y1  y2 x  e sin x , cịng lµ nghiệm riêng độc lập tuyến tính phơng trình Thay vào (1.2), ta có nghiệm tổng quát (1.2) có d¹ng: y  e x  C1cos x  C2 sin x (1.2d) 1.1.2.2 Phơng trình vi phân bậc hai tuyến tính không với hệ số số Phơng trình dạng: y "  py '  qy  f  x  (1.3) Trêng hỵp 1: f  x   e x pn  x  , (1.3a) ®ã số, pn x đa thức bậc n Nếu không nghiệm phơng trình đặc trng (1.2a), tìm nghiệm phơng trình có dạng: y e xQn x (1.3b) Thế phơng trình (1.3b) đồng hai vế ta đợc vào phơng trình (1.3) n phơng trình bậc n ẩn hệ số Qn x từ ta xác định đợc dạng Qn x Nếu nghiệm đơn phơng trình đặc trng (1.2a) giải tơng tự nh ta đợc nghiệm phơng trình là: y xe x Qn  x  (1.3c) NÕu α lµ nghiƯm kép phơng trình đặc trng (1.2a) đó: y  x e x Qn  x  (1.3d) Trêng hỵp 2: f  x   pm  x  cos x  pn  x  sin  x , (1.3d) ®ã pm  x , pn x l đa thức bậc n, m; số Nếu i không nghiệm (1.2a) nghiệm phơng trình ®· cho cã d¹ng: y  Ql  x  cos x  Rl  x  sin  x (1.3e) Nếu i nghiệm (1.2a) nghiệm phơng trình đà cho có dạng: y x� Ql  x  cos x  Rl  x  sin  x � � �, (1.3f) ®ã Ql  x  ; Rl  x  đa thức bậc l = max(n, m) 1.2 Toán tử Laplace 1.2.1 Định nghĩa Tích vô hớng toán tư Napla (kÝ hiƯu �) víi chÝnh nã lµ mét vô hớng gọi toán tử Laplace hay toán tử Laplaxiên, đợc kí hiệu hay [1], [2], [9] 1.2.2 To¸n tư Laplace c¸c hệ toạ độ cong trực giao [1] 1.2.2.1 Toán tử Laplace hệ toạ độ cong trực giao tổng quát Trong hệ toạ độ cong trực giao tổng quát toán tử Laplace đợc biểu diễn nh sau: u h1h2 h3 �� �h2 h3 � � u � � �h1h3 � u � � �h1h2 � u� � � �, � � � � � � q1 �h1 � q1 � � q2 �h2 � q2 � � q3 �h3 � q3 � � � (1.4) ®ã: u  u  q1 ,q2 ,q3  , hi hệ số Lame, qi trục toạ ®é hƯ to¹ ®é cong trùc giao [1], [2], ( i  1,2,3 ) 1.2.2.2 To¸n tư Laplace hệ toạ độ cong trực giao đặc biệt [1], [2] Toán tử Laplace hệ toạ độ Đề vuông góc Oxyz: u 2u 2u 2u 2 , � x2 � y � z (1.4a) ®ã u  u  x, y,z  ; h1= h2= h3= 1; q1= x, q2= y, q3= z Toán tử Laplce hệ toạ độ cực: u    u    2u  , r    r r  r  r    (1.4b) ®ã u  u  r ,  ;h1  1,h2  r;q1  r,q2   To¸n tư Laplace hệ toạ độ trụ: u � �2u �2u � u  � � r �  r �, r �� r �� r�r� 2 � z2 (1.4c) ®ã: u  u  r ,,z  , h1= 1, h2= r, h3= 1; q1=r, q2= φ, q3= z To¸n tư Laplace c¸c hƯ toạ độ cầu: u u �� � u� �2u r  sin   � � 2 r2 � r� � r � r sin  � � � � 2 � � r sin  � (1.4d) ®ã: u  u  r ,,   , h1= 1, h2= r, h3= rsin  ; q1=r, q2=  , q3=φ 1.3 Hàm Betsen [1], [2] 1.3.1 Định nghĩa Hàm Betsen nghiệm phơng trình Betsen (phơng trình vi phân có hệ số hàm số) Hàm có vai trò quan trọng mô tả trình Vật lý xảy miền hình trụ nên có tên Hàm trụ 1.3.2 Phơng trình Betsen nguyên [1] Phơng trình : d y dy � k �  �  �y  , dx x dx � x (1.5) k số nguyên dơng Để giải phơng trình Betsen nguyên (1.5) tìm nghiệm phơng trình dới dạng khai triển chuỗi luü thõa: � y  �cn x n , cn hệ số n (1.6) Để xác định hệ số khai triển ta lấy đạo hàm phơng trình (1.6): dy ncn x n 1 dx n 1 d2y �  �n  n  1 cn x n  dx n Thay vào (1.5) sau nhân phơng trình với x2 , ta đợc: n2 n 1 n 0 �n  n  1 cn x n  �ncn x n   x  k  �ncn x n  , (1.7) Chó ý: � �n  n  1 c x n n2 � �nc x n 1 x n n n  2.1.c2 x  3.2.c3 x3   n  n  1 cn x n   1.c1 x  2.c2 x  3c3 x3  ncn x n  �  k  �ncn x n   k c0  k c1 x   c0  k 2c2  x    cn   k 2cn  x n  n 1 Thay vµo (1.7) vµ ®ång nhÊt hai vÕ ta ®ỵc:     k c0  ;  k c1  ; cn 2  n  k cn  , ®ã n  2,3, 4, ; k �N NÕu k= 0, c0 bÊt kú, c1= 0; cn-2+ n2cn= 0, thĨ lµ: c2   c0 c c c3  , c4   22  2 , … , 4 Mét c¸ch tỉng qu¸t: c2 m   1 c0 m 1.22.42  2m    1 m c0 22 m  m ! (1.8) c2 m 1  Nghiệm phơng trình(1.5) k= có d¹ng: � y  c0 � 1 x2m m 22 m  m ! m 0  c0 J  x  , (1.9) ®ã: 2m � J  x   � 1 m 0 m �x � �� �2 �  m ! , (1.10) J0(x) gọi hàm Betsen loại hạng không Nếu k= tơng tự nh trên, ta có c0  0, c1 lµ h»ng sè tuú ý vµ   cn 2  n  cn  0,n  2,3, Cơ thĨ lµ: c2  0,c3   c c1 c1 ,c4  0,c5    2.4 4.6  2.4   4.6  Mét c¸ch tỉng qu¸t: c2 m  c2 m 1   1 m c1 c m   1 m ,  m  0,1, 2,  , m ! m  ! � m m     2.4   4.6  �   nghiệm phơng trình (1.5) có d¹ng: 10 � k at k at � k x � u  x; t   �� ak cos  bk sin sin , � l l � l k 1 � ®ã: l l k 4  l    k 16 ak  � f    sin  d  � sin  d   cos k  1  l l l l l  k  k bk  F    sin  d   � k a l l Chú ý: Nếu k số chẵn, ak  ®ã u  x; t   32 Nếu k số lẻ, ak a2 n 1   2n  Do ®ã, chóng ta cã thĨ viÕt   gän nghiƯm l¹i: u  x; t    2n  1  at sin  2n  1  x 32 � cos 3 �  n   2n  1 l l (3.4) Nhận xét: Phơng trình (3.4) mô tả dao động tự sợi dây, hàm u x; t khả vi hai lần theo t, khả vi hai lần theo x thoả mÃn phơng trình vi phân (3.1) với điều kiện biên (3.2) (3.3) Mỗi điểm sợi dây dao động điều hoà với biên độ 32 2n  1 sin  2n  1 x l (mỗi vị trí dây x = số) tần số dao động riêng n  2n  1  a l Nh vËy, biên độ điểm sợi dây chu kì không giống Khi dây dao động ổn định sợi dây có chỗ dao động với biên độ không (không dao động) gọi nút sóng đứng, có chỗ dao động với biên độ cực đại gọi bụng sóng đứng 38 Dao động tự mô tả trªn chØ mang tÝnh chÊt lý tëng, thùc tÕ dao động tắt dần, sau thời gian tắt hẳn toán phù hợp với thực tế toán dao động cỡng Bài (Dao động cỡng ngoại lực tác dụng): Xác định dao động cỡng sợi dây có chiều dài hữu hạn, hai đầu gắn chặt, dao động không vận tốc ban đầu, dạng ban đầu sợi dây có dạng cung parabol: u x; t  t0  x  l  x , M sợi dây chịu tác dụng ngoại lực cỡng lµ g  x;t   g  h»ng sè (giả sử sợi dây chịu tác dụng lực hấp dÉn) u(x,0 ) u r g u  x,0   O 4x  l  x  M l x Hình 3.1 Dạng ban đầu sợi dây dao động cỡng chịu tác dụng lực hấp dẫn Bài giải: Bài toán trở thành tìm nghiệm u u x; t phơng trình vi ph©n: utt''  a 2u xx''   g (3.5) Thoả mÃn điều kiện ban đầu: u x; t  t0  f  x  x  l  x ' ; ut  x; t   F  x   0, t 0 M (3.6) điều kiện biên: 39 u( x;t ) x 0  0,u( x;t ) x l 0 (3.7) áp dụng phơng pháp đà trình bày toán mục 2.2.2.2 chơng phân tích số g thành chuỗi Furiê theo hàm sin kho¶ng (0, l):   g  k sin k 1 kx , l  k lµ hƯ sè Furiê chuỗi Furiê trên, theo phụ lục B trang (49) l k 2g   1 k  , k  g sin d  l l k   g  h»ng sè kh«ng phụ thuộc vào thời gian k không phụ thuộc vào thời gian Do đó, với hàm Tk t nghiệm phơng trình vi ph©n: Tk''  k 2 a 2g Tk  l k   1  1 , k với điều kiện ban đầu là: Tk t  t 0  ak    4l k   1 ;Tk'  t  0, 3 t 0 k M ®ã ak ,bk đợc xác định từ biểu thức (2.24) Giải phơng trình vi phân nh đà trình bày mục 1.2.2 ch¬ng 1, suy ra:   k at k at gl k Tk  t   Ak cos  Bk sin  3   1 , l l k a Tõ ®iỊu kiện ban đầu hàm Tk t , suy ra:       2l �2 g � k 2gl 4l k k A   �1   1 , Bk  Ak  3   1  3    1 , k 3 � k  �M a � k a k M Do đó, nghiệm toán lµ: 4l u  x;t    � � 2n  n 0   � g �  2n  1 at g �  2n  1 x �2 cos  �sin � (3.8) �  2� l a � l �M a � � NhËn xÐt: 40  Ph¬ng trình (3.8) mô tả dao động cỡng sợi dây, hàm u x; t khả vi hai lần theo t, khả vi hai lần theo x thoả mÃn phơng trình vi phân (3.5) với điều kiện biên (3.6) (3.7) Dao động u x;t đợc viết dới dạng tổng hai dao động v x;t  x;t  , ®ã: v  x;t   8l 3 M � � 2n  n 0   cos  2n  1 at l sin  2n  1 x l , v  x;t  biĨu diƠn dao ®éng cđa sợi dây ngoại lực tác dụng, tức biểu diễn dao động tự sợi dây nh đà trình bày chơng và:  x;t   4l g � �  a n 0  2n  1 �  2n  1 at sin  2n  1 x �  cos � �, l l � �   x;t  biĨu diƠn dao động sợi dây dới tác dụng ngoại g x;t g với điều kiện biên không điều kiện ban đầu, tức nghiệm phơng trình vi phân: tt'' a 2''xx g x;t Thoả mÃn ®iỊu kiƯn ban ®Çu:   x;t  t 0  f  x   0; 't  x;t  t 0  F  x  , điều kiện biên: ( x;t ) x 0, ( x;t ) xl 0, Việc xác định x;t tơng tự nh việc xác định dao động tự sợi dây có chiều dài hữu hạn nh đà trình bày mục 2.2.2.1 chơng Bài (Dao động cỡng biên chuyển động theo quy luật cho trớc): 41 Xác định dao động cỡng sợi dây chiều dài hữu hạn, có đầu gắn chặt đầu để tự điều kiện ban đầu sợi dây là: u  x;t  t 0  f  x  ;ut'  x;t  t 0  F  x Bài giải: Bài toán trở thành tìm nghiệm u u( x;t ) phơng trình vi phân: utt''  a 2u''xx  g  x;t  (3.9) Thoả mÃn điều kiện ban đầu: u  x;t  t 0  f  x  ;ut'  x;t  t 0  F  x (3.10) 42 u(x,t) điều kiện l u u r a0 O biên: x Hình 3.3 Dạng ban đầu sợi dây đầu mút x = l chuyển động víi tèc ®é u  x;t  x 0  0;u  x;t  xl  a0  co nst (3.11) Để giải toán áp dụng toán 2.2 mục 2.2.2.2 chơng 2, ®ã h1  t  0, h2  t a0 Chúng ta đặt hàm phụ: u x;t   v  x;t     x;t  , ®ã:   x;t   x a0 , l vµ v  x;t  lµ nghiệm phơng trình vi phân: vtt'' a 2v''xx g1 x;t Thoả mÃn điều kiện ban đầu: v x;t vt' x;t  x  f  x   a0  f1  x  t 0 l t 0  F  x   F1  x  , điều kiện biên gắn chặt: v x;t x 0 0;v  x;t  xl  0, ®ã g  x;t   g1  x;t  (không có ngoại lực tác dụng lên dây) nên ta có nghiệm phơng trình dao động tự sợi dây có chiều dài hữu hạn, gắn chặt hai đầu (đà giải mục 3.1 chơng 3), nên v x;t  cã d¹ng: 43 � k at k at � k x � v  x;t   �� ak cos  bk sin sin , k lµ mét sè lỴ � l l � l k 0 � Do đó, dao động cỡng sợi dây cho bởi: u  x;t   � �  2n  1 at  b sin  2n  1 at �sin  2n  1 x x a0  �� an cos , (3.12) � n l l l l n 0 � � ®ã:  2n  1 x dx  �f x  x a �sin  2n  1 x dx f x sin   0� �  l� l l� l � l 0� l ak  l  2n  1 x dx   2n  1 x dx 4 F1  x  sin F  x  sin � � l l  2n  1 l  2n  1 l l bk l Nhận xét: Phơng trình (3.12) mô tả dao động cỡng sợi dây, hàm u x; t khả vi hai lần theo t, khả vi hai lần theo x thoả mÃn phơng trình vi phân (3.9) với điều kiện biên (3.10) (3.11) Nếu biết dạng hàm f  x  ,F  x  chóng ta xác định đợc giá trị ak ,bk từ suy dạng dao động cỡng sợi dây có đầu gắn chặt đầu để tự Bài (Dao động cỡng biên chuyển động theo quy luật cho trớc): Xác định dao động sợi dây gắn chặt mút x = 0, mút x = l chuyển động theo qui luật A sin t , biết độ u(x,0) lệch vận tốc ban đầu không (giả sử ngoại lực tác dụng) 0) O l x u x  l,t   A sin t H×nh 3.4 Sợi dây đầu mút x = l chuyển động theo qui luật Asin 44 Bài giải: Bài toán trở thành tìm nghiệm phơng trình vi phân: utt'' a 2u''xx (3.13) Thoả mÃn điều kiện ban đầu: u x;t t 0;ut' x;t t 0; điều kiện biªn: u  x;t  x 0  0;u  x;t  x l  A sin t Do điều kiện biên toán khác không nên để giải toán này, đặt hàm phụ: u  x;t   v  x;t     x;t  , ®ã chóng ta chän:   x;t    x sin t a ,  sin l a Asin (ta cã thÓ chän đợc dạng x;t nh điều kiện toán), với cách chọn nh vËy ta cã ®iỊu kiƯn cđa   x;t  lµ:   x;t  x 0  0;   x;t  x l  A sin t Xác định v x;t nh đà trình bày chơng 2, v x;t nghiệm phơng trình vi phân: vtt'' a v''xx (3.14) Thoả mÃn điều kiện ban ®Çu: 45 v  x;t  t 0    x;t  t 0  0,  x a , vt'  x;t   '  x;t    t 0 t 0 sin l a Asin điều kiện biên: v x;t x 0  0,v  x;t  x l 0 ¸p dụng kết toán dao đông tự sợi dây có chiều dài hữu hạn nh đà trình bày mục 2.2.2.1 chơng 2, ta đợc: k at k at � k x � v  x; t   �� ak cos  bk sin sin , � l l � l k 1 � (3.15) ®ã: k ak  � f    sin  d , l l l k bk  F    sin  d � k a l l Tõ ®iỊu kiƯn ban đầu v x;t , suy ak  ,  �  Asin  l � a bk   �  k a � 0� sin l a � � � k sin  d � � l � TÝnh tÝch ph©n của, ta đợc: bk Al 1  �k a � 2  � � �l k Vì vậy, nghiệm cần tìm phơng trình có dạng: u x;t k 1 x sin t A �  1 k at k x a  a� sin sin  l l l , k 1 �k a � sin l   � � a �l � Asin (3.16) Nhận xét: 46 Phơng trình (3.16) mô tả dao động cỡng sợi dây, hàm u x; t khả vi hai lần theo t, khả vi hai lần theo x thoả mÃn phơng trình vi phân (3.13) với điều kiện toán Hình dạng dao động sợi dây thời điểm đợc xác định từ phơng trình (3.16) 3.2 Bài toán dao động màng chữ nhật Bài (Dao động tự màng chữ nhật): Xác định dao động màng chữ nhật chiều dài c, chiều rộng d, có biên gắn chặt, dao động không vận tốc ban đầu Tại thời điểm ban đầu màng có dạng hàm số: Axy  x  c   y  d  , ®ã �x �c, �y �d y d O c x Hình 3.5 Màng chữ nhật có biên gắn chặt vị trí cân Bài giải Bài toán xác định dao động màng trở thành toán tìm nghiệm u u x, y; t phơng trình vi phân: utt'' a  u xx''  u ''yy   (3.17) Thoả mÃn điều kiện ban đầu: 47 u  x, y ; t  t 0 u  x, y; t  ' t  A.xy  x  c   y  d  , t (3.18) 0, điều kiện biªn: u  x, y ; t  x0 u  x, y ; t  y0  0, u  x, y; t   0, u  x, y; t  xc yd  0, (3.19)  Chúng ta sử dụng phơng pháp tách biến nh đà đợc trình bày mục 2.1 chơng 2, dao động màng chữ nhật có dạng:   u  x, y; t   ��uk1 , k2  �� ak1 ,k2 cosk1 ,k2 t  bk1 ,k2 sin k1 ,k2 t sin k2 1 k1 1 k2 1 k1 1 k1 x ky sin , c d ®ã:  cd ak1 , k2 bk1 ,k2  f   ,  sin � � 0 cd k1 , k2 k1 k  sin d  d , c d c d F   ,  sin � � 0 k2 k  sin d d , d c k12 k2  a c2 d k , k  c d Theo đầu màng dao động không vận tốc ban đầu nªn F   ,   , ®ã ta cã: bk1 , k2  0, ak1 , k2  cd c d A    c     d  sin � � 0 k  k  4A     c  sin d  �     d  sin d � cd c d c  k1 k  sin d d c d d Thùc hiÖn phÐp tÝnh tÝch phân hai lớp nh trình bày phần phụ lục C, sau tích phân phần, ta đợc: ak1 ,k2 , k1 , k2 không đồng thêi lỴ, ak1 , k2 64 Ac d  6 sin  2m  1  sin  2n  1  c d 3  2m  1  2n  1 , víi k1 , k2 đồng thời lẻ, 48 tần số dao ®éng riªng: k1 , k2 k2 k  12  22  a  c d  2m  1 c2  2n  1  d2 a Cuối ta có dao động màng chữ nhật có dạng: u x, y ; t   64 Ac d 6 sin � � m ,n  cos  2m  1  x sin  2n  1  y c d 3  2m  1  2n  1  2m  1 c2  2n  1  d2 (3.20)  at NhËn xÐt:  Phơng trình (3.20) mô tả dao động tự màng chữ nhật, hàm u x, y; t khả vi hai lần theo t, khả vi hai lần theo x, khả vi hai lần theo y thoả mÃn phơng trình vi phân (3.17) với điều kiện biên (3.18) (3.19) Mọi điểm x, y màng dao động điều hoà với biên độ 64 Ac d sin  2m  1  x sin  2n  1  y c d 3  2m  1  2n  1 , víi tÇn sè dao ®éng riªng: k1 , k2   2m  1 c2  2n  1  d2 a , pha dao ®éng k1 , k2 t  Nếu m n , biên độ dao ®éng lµ 64 Ac d x y sin sin , c d điểm biên ®Ịu bÊt ®éng, ®ã ta nãi r»ng biªn cđa màng đờng nút Do x c, y d nên hàm 49 sin x y sin , điểm màng nằm phía c d hay phía mặt phẳng oxy Độ lệch lớn đạt đợc x c d y tâm màng ®iĨm nµy gäi lµ 2 bơng cđa sãng ®øng 64 Ac d 3 x y sin sin 27 c d  NÕu m  1, n biên độ dao động c đờng nút xác định x 0; x  ; x  c vµ y  d ; y , điểm (x,y) màng mà  x  c vµ  y  d có biên độ dao động âm, điểm (x,y) cđa mµng mµ c  x  c vµ y d có biên độ dao động dơng Do đó, nửa trái phải màng trình dao động uốn hai phía khác nhau, độ lệch lớn mà màng đạt đợc c d 3c d điểm � , �; � , � �4 ��4 � b  NÕu m  0, n  , đờng nút x 0, x c; y  0, y  , y  b hai điểm c d c 3d bụng , �; � , � �2 ��2 � Bài (Dao động màng tròn có biên gắn chặt): Xác định dao động tự màng tròn có biên gắn chặt, bán kính q, thời điểm ban đầu màng có dạng paraboloit tròn xoay dao động không vận tốc ban đầu Bài giải: Bài toán trở thành tìm nghiệm u u r , ; t phơng trình: utt'' a u (3.21) 50 Thoả mÃn ®iỊu kiƯn ban ®Çu: � r2 �  h� 1 � , t0 � q � u  r,; t  ut'  r ,  ; t  0, t0 (3.22) điều kiện biên: u r,; t rq (3.23) áp dụng phơng pháp tách biến toạ độ cực nh đà trình bày mục 2.3 chơng 2, dao động màng tròn có d¹ng: �  n 0 at  n  at � � n  r � u  r ,  ; t   ��  n cos   n sin J0 � � � � � �, q q � n 1 � � �q � � ®ã: n  n  � n 0 f  r  rJ � � �q � q   q J o,  n 0 � r� dr , � � � n 0 F  r  rJ � � �q � q   aq n 0 J o,  n 0 � r� dr Theo đầu màng tròn dao động không vận tốc ban đầu nên n , n đợc xác định: n q J ,2 o � r � � n 0 h� 1 � rJ � � q � � � �q q    0 n � r� dr , � � Sư dơng c¸c tÝnh chÊt cđa hµm Betsen: 2m � J  x   � 1 m �x � �� �2 � ,  m!  m �x � �� , �2 � m!  m  1 ! m 0 m 1 � J1  x   � 1 m 0 J1  x    J 0'  x  , 51 x  J    d   xJ  x  , � x  J    d  x J  x    x � 3 0   x J1  x  Chóng ta xác định đợc: n 8h  n J1  n 0 Cuèi cïng ta cã :   n0 r   J   q  at u 8h   cos n q n 1  n J  n (3.24)   NhËn xÐt:  Dao dộng màng dao động điều hoà víi biªn   n  r  8h  n0 a   J ®é 0  tần số dao động q n J  n   q   Khi r tăng n r J0 q giảm, điều chứng tỏ điểm xa tâm màng dao động nhỏ đến biên màng đứng yên 3.3 Dao động cầu có biên gắn chặt Bài 7: Tìm dao động cầu có bán kính q = 5cm, biên gắn chặt, ban đầu đợc giữ nằm yên cung cấp cho vận tốc ban đầu 20m|s Bài giải Bài toán trở thành tìm nghiệm phơng trình vi phân: utt''  a u  , (3.25) ®ã u  u  r , , ;t  , vận tốc truyền pha dao động a 20 m , s tức ta có điều kiện ban đầu: 52 ... phơng pháp đà biết (phơng pháp phản xạ đầu mút gắn chặt, phơng pháp biến đổi Laplace) ngời ta sử dụng phơng pháp đặc biệt quan trọng phơng pháp tách biến (phơng pháp tách biến Furiê), phơng pháp. ..hai ba chiều phơng pháp tách biến Furiê cho khoá luận tốt nghiệp đại học Để thấy rõ đợc phơng pháp tách biến đợc sử dụng vào toán dao động không gian một, hai ba chiều, khóa luận tập chung vào... đề khoa học 2.2 Phơng pháp tách biến [3], [7] 2.2.1 Khái quát chung phơng pháp tách biến Để tìm nghiệm u x, y,z, ;t thoả mÃn phơng trình (2.2) ta sử dụng phơng pháp tách biến Furiê, nghĩa phân