Tiet 29-31 Bài toán đếm-Nhị thức New-ton

Chuyên đề ôn THPTQG biên soạn đầy đủ theo dạng chuyên đề trắc nghiệm, chia theo các mức độ: Nhận biết-thông hiểu-vận dụng, các bài toán được sử dụng đều được bổ sung theo các đề thi tham khảo và chính thức của GĐ&ĐT hàng năm

Tiết: 29 BÀI TOÁN ĐẾM NS: ……… NG: ……… I Mục tiêu Về kiến thức: Học sinh nhớ - Quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton Về kỹ 2.1 HS xét TN - Biết làm toán đếm đơn giản mức đô NB-TH 2.2 HS xét ĐH Biết làm toán đếm tổng hợp mức độ NB-TH-VDT Về tư thái độ - Rèn luyện tư logic - Thái độ nghiêm túc học tập II Chuẩn bị III Phương pháp: Phát vấn, gợi mở IV Tiến trình lên lớp : Ơn định tổ chức Kiểm tra cũ – khởi động vào mới: - Giáo viên kiểm tra tình hình ơn tập kiến thức hoàn thành phiếu học tập học sinh Bài : Hoạt động 1: Ôn tập kiến thức (10’) Mục tiêu: Học sinh nhớ quy tắc đếm học Cách thức thực hiện: GV tổ chức cho học sinh điều hành phát vấn tổng hợp quy tắc đếm bản, GV chốt xác hóa kiến thức, rút nhận xét Quy tắc cộng a) Định nghĩa: Xét công việc H Giả sử H có k phương án H , H , , H k thực công việc H Nếu có m1 cách thực phương án H , có m2 cách thực phương án H , , có mk cách thực phương án H k cách thực phương án H i khơng trùng với cách thực phương án H j ( i �j ; i , j � 1,2, , k ) có m1  m2   mk cách thực công việc H b) Công thức quy tắc cộng Nếu tập A1 , A , , An đôi rời Khi đó: A1 �A � �A n  A1  A2   An Quy tắc nhân a) Định nghĩa: Giả sử công việc H bao gồm k công đoạn H , H , , H k Cơng đoạn H có m1 cách thực hiện, cơng đoạn H có m2 cách thực hiện,…, cơng đoạn H k có mk cách thực Khi cơng việc H thực theo m1.m2 mk cách b) Công thức quy tắc nhân Nếu tập A1 , A , , An đơi rời Khi đó: A1 �A � �An  A1 A An Nhận xét: NX1 Ta thường gặp toán đếm số phương án thực hành động H thỏa mãn tính chất T Để giải tốn ta thường giải theo hai cách sau Cách 1: Đếm trực tiếp �Nhận xét đề để phân chia trường hợp xảy toán cần đếm �Đếm số phương án thực trường hợp �Kết toán tổng số phương án đếm cách trường hợp Chú ý: * Để đếm số phương án thực trường hợp ta phải chia hành động trường hợp thành phương án hành động nhỏ liên tiếp Và sử dụng quy tắc nhân, khái niệm hốn ví, chỉnh hợp tổ hợp để đếm số phương án thực hành hành động nhỏ * Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng hoán vị n phần tử là: +) Tất n phần tử phải có mặt +) Mỗi phần tử xuất lần +) Có thứ tự phần tử * Ta sử dụng khái niệm chỉnh hợp +) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, phần tử xuất lần +) k phần tử cho xếp thứ tự * Ta sử dụng khái niệm tổ hợp +) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, phần tử xuất lần +) Không quan tâm đến thứ tự k phần tử chọn Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp ta đếm phần bù toán sau: �Đếm số phương án thực hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta aphương án �Đếm số phương án thực hành động H khơng thỏa tính chất T ta b phương án Khi số phương án thỏa yêu cầu toán là: a b NX2 Ta thường gặp ba toán đếm Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên Khi lập số tự nhiên x  a1 an ta cần lưu ý: * � 0,1,2, ,9 a1 �0 * x số chẵn � an số chẵn * x số lẻ � an số lẻ * x chia hết cho � a1  a2   an chia hết cho * x chia hết cho � an1an chia hết cho * x chia hết cho � an � 0,5 * x chia hết cho 11� tổng chữ số hàng lẻ trừ tổng chữ số hàng chẵn số chia hết cho 11 Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học Hoạt động 2: Thảo luận-Luyện tập toán đếm (30’) Mục tiêu: Học sinh xét TN hoàn thành mức độ NB-TH, biết phân biệt cách sử dụng quy tắc đếm cho toán cụ thể, HS xét ĐH hoàn thành thêm mức độ vận dụng thấp, mức độ tổng hợp Cách thức thực hiện: GV tổ chức cho học sinh thảo luận theo nhóm trình bày kết quả, GV xác đáp án giải thích thắc mắc thêm HS Phương pháp: Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Một số dấu hiệu giúp nhận biết hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp 1) Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng hoán vị n phần tử là: �Tất n phần tử phải có mặt �Mỗi phần tử xuất lần �Có thứ tự phần tử 2) Chỉnh hợp: Ta sử dụng khái niệm chỉnh hợp �Cần chọn k phần tử từ n phần tử, phần tử xuất lần �k phần tử cho xếp thứ tự 3) Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp �Cần chọn k phần tử từ n phần tử, phần tử xuất lần �Không quan tâm đến thứ tự k phần tử chọn Loại 1: Đếm số Các ví dụ Ví dụ Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập số chẵn, số có chữ số khác có hai chữ số lẻ chữ số lẻ đứng cạnh nhau? A.360 B.280 C.310 D.290 Ví dụ Từ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên Gồm chữ số A.1296 B.2019 C.2110 D.1297 Gồm chữ số đôi khác A.110 B.121 C.120 D.125 Gồm chữ số đôi khác chữ số tự nhiên chẵn A.182 B.180 C.190 D 192 Loại 2: Xếp đồ vật – Phân công công việc Các ví dụ Ví dụ Đội tuyển HSG trường gồm 18 em, có HS khối 12, HS khối 11 HS khối10 Hỏi có cách cử cách cử HS dự đại hội cho khối có HS chọn A.41811 B.42802 C.41822 D.32023 Ví dụ Một họp có 13 người, lúc người bắt tay người khác lần, riêng chủ tọa bắt tay ba người Hỏi có bắt tay? A.69 B.80 C.82 D.70 Ví dụ Một nhóm cơng nhân gồm 15 nam nữ Người ta muốn chọn từ nhóm người để lập thành tổ công tác cho phải có tổ trưởng nam, tổ phó nam có nữ Hỏi có cách lập tổ cơng tác A.111300 B.233355 C.125777 D.112342 Ví dụ Một nhóm có nam nữ Chọn người cho có nữ Hỏi có cách A.46 B.69 C.48 D.40 Loại 3: Đếm tổ hợp liến quan đến hình học Ví dụ : Cho hai đường thẳng song song d1 ,d2 Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, d2 lấy 15 điểm phân biệt Hỏi có tam giác mà ba đỉnh chọn từ 25 vừa nói C15 A C10 C15 B C10 1 C15  C10 C15 C C10 1 C15 C10 C15 D C10 Củng cố (3’) - GV cho HS phân biệt lần cách sử dụng quy tắc đếm cho toán cụ thể: Số,đồ vật, hình học Hướng dẫn học (2’) - HS ơn tập hốn vị-chỉnh hợp-tổ hợp Bổ sung – Rút kinh nghiệm - -Duyệt tổ chuyên môn Tiết: 30-31 BIỂU THỨC TỔ HỢP-NHỊ THỨC NEWTON NS: …… I.NG: Mục … tiêu Về kiến thức: Học sinh nhớ - Quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton Về kỹ 2.1 HS xét TN - Biết tìm số hạng biểu thức khai triển Niu Tơn - Tìm hệ số số hạng thứ k khai triển nhị thức Niu – tơn 2.2 HS xét ĐH - Biết tìm số hạng biểu thức khai triển Niu Tơn - Tìm hệ số số hạng thứ k khai triển nhị thức Niu – tơn - Biết tính tổng biểu thức tổ hợp Về tư thái độ - Rèn luyện tư logic - Thái độ nghiêm túc học tập II Chuẩn bị III Phương pháp: Phát vấn, gợi mở IV Tiến trình lên lớp : Ơn định tổ chức Kiểm tra cũ – khởi động vào mới: - Giáo viên kiểm tra tình hình làm tập kiểm tra thắc mắc cần giải đáp học sinh sau nghiên cứu tài liệu làm tập nhà Bài : Hoạt động 1: Ôn tập kiến thức (15’) Mục tiêu: Học sinh nhớ cơng thức hốn vị-chỉnh hợp-tổ hợp Cách thức thực hiện: GV tổ chức cho học sinh điều hành phát vấn tổng hợp, GV chốt xác hóa kiến thức Giai thừa a) Định nghĩa: Với số tự nhiên dương n , tích 1.2.3 n gọi n - giai thừa kí hiệu n! Vậy n!  1.2.3 n Ta quy ước 0!  b) Tính chất: * n!  n(n -1)! * n!  n(n  1)(n  2) (n  k  1).k! Hoán vị a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử ( n �1) Khi xếp n phần tử theo thứ tự ta hoán vị phần tử tập A Kí hiệu số hốn vị n phần tử Pn b) Số hoán vị tập n phần tử: Định lí: Ta có Pn  n! Chỉnh hợp a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử số nguyên k với 1�k �n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự ta chỉnh hợp chập k n phần tử A b) Số chỉnh hợp Kí hiệu Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử k Định lí: Ta có An  n! (n  k)! Tổ hợp a) Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử số nguyên k với 1�k �n Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A b) Số tổ hợp Kí hiệu Cnk số tổ hợp chập k n phần tử k Định lí: Ta có: Cn  n! (n  k)!k! Hoạt động 2: Thảo luận-Luyện tập toán đếm (60’) Mục tiêu: Học sinh xét TN hoàn thành mức độ NB-TH, HS xét ĐH hoàn thành thêm mức độ vận dụng thấp Cách thức thực hiện: GV tổ chức cho học sinh thảo luận theo nhóm trình bày kết quả, GV xác đáp án giải thích thắc mắc thêm HS Mức độ nhận biết Câu Với k n hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn �k �n , mệnh đề đúng? n! Cnk  n! n! k ! n  k  ! k k C  k ! n  k  ! C  Cnk  n A B n k ! C D  nk! n! Câu 2.Với k n hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn �k �n , mệnh đề đúng? n! n! n! k k k k A An  B An  C An  n ! D An  k ! n  k  !  nk! k! Câu Cơng thức tính số hốn vị Pn là: A Pn = (n - 1)! B Pn = (n + 1)! C Pn = n! (n - 1) D Pn = n ! Câu 4.Cho n, k số nguyên thỏa mãn �k �n n �1 Tìm khẳng định sai n! n k nk k k k A Pn  An B Cn  Cn C An  D Pk Cn  An k! n Câu Cho phép khai triển (a b) , ta số hạng? A n B 2n + C 2n D n + n6 Câu Trong khai triển nhị thức  a   ,  n �N  Có tất 17 số hạng Vậy n bằng: A 17 B 11 C 10 Câu Trong khai triển nhị thức Niu-tơn (3  x) A 2019 B 2018 2019 có số hạng? C 2020 D 12 D 2021 Câu Tìm số tự nhiên n thỏa An = 210 A 15 B 12 C 21 D 18 Câu Giá trị số tự nhiên n thỏa mãn C + A = 9n là: n A B n C D Câu 10 Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton  x  y  A x  x y  10 x y  10 x y  xy  y B x  x y  10 x y  10 x y  xy  y C x  x y  10 x y  10 x y  5xy  y Mức độ thông hiểu D x  x y  10 x y  10 x y  xy  y 10 � 2� Câu 11.Số hạng không chứa x khai triển �x  � � x� 5 A C10 B C10 C C10 5 D C10 10 � 2� Câu 12.Hệ số x khai triển biểu thức �x  � � x� A 3124 B 2268 C 13440 D 210 18   Câu 13: Số hạng không chứa x khai triển  x   là: x   10 A C18 B C18 C C18 D C18 � � Câu 14: Trong khai triển �x  �, số hạng không chứa x là: � x � A 4308 B 86016 C 84 D 43008 �2 � Câu 15: Xác định hệ số x8 khai triển �  5x � �x � A 1312317 B 76424 C 427700 D 700000 Câu 16: Giá trị n �� thỏa mãn C n+1 + 3C n+2 = C n+1 là: A n = 12 B n = Câu 17: Giá trị n �� thỏa mãn C n = 16 D n = 1 - = là: C n C n+1 6C n1+4 A n = C n = n = B n = D n = n = 12 (x �0) Câu 18: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển ( x  ) x A 59136 B 213012 C 12373 11 D 139412 � � � 1� Câu 19: Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức: A  �x  �  �x  � � x � � x� A -90 B 90 C 60 D -60 17 ( x  0) Câu 20: Tìm số hạng không chứa x khai triển sau: g ( x)  (  x ) x A 24310 B 213012 C 12373 D 139412 Vận dụng thấp Câu 21.Hệ số x5 khai triển nhị thức x  x  1   x  1 A 13368 B 13368 C 13848 D 13848 Câu 22 Với n số nguyên dương thỏa mãn Cn  Cn  55 , số hạng không chứa x khai triển n 2� � biểu thức �x3  � bằng: � x � A 322560 B 3360 C 80640 D 13440 n n 1 n2 Câu 23: Tìm hệ số không chứa x khai triển sau ( x  ) , biết Cn  Cn  78 với x x0 A 112640 B 112640 C 112643 D 112643 2 2010 2010 Câu 24: Tính tổng S  C2011  C2011   C2011 A 32011  B 3211  32011  12 C D 32011  n �1 � Câu 25: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn �  x � biết �x � Cnn41  Cnn3   n  3 A 495 B 313 C 1303 n n Câu 26: Tìm số nguyên dương n cho: C  2C  4C   Cn  243 n A n B 11 C 12 Câu 27: Tìm hệ số x8 khai triển (x2 + 2)n, biết: A -280  x �C6k  x   1 k  8C2n D  C1n 49 Điều kiện n   x �C6k  x   1 k D -8 8  �C8l  3x   1 6k k 0 A 3n B 280 C Hướng dẫn giải câu mức độ vận dụng thấp: Câu 21: x  x  1   x  1 D 13129 n l l l 0  �C8l  3x   1 6k k 0 l l l 0 Suy hệ số x5 khai triển nhị thức là: C64    1 Câu 22: Điều kiện: n  N * ; n 6  C85  3  1 5  13368 Theo đề ta có: C  C  55 n � n n  n  1 ! n  n  1  n   ! n! n!   55 �   55 1!  n  1 ! 2!  n   !  n  2 !  n  1 ! � n  10  tm  � 2n  n  n  1  110 � n  n  110  � � n  11  ktm  � 10 10 10  k � 10 � Ta có khai triển: �x  �  �C10k x 3k 210 k  x 2   �C10k 210  k x k 20 � x � k 0 k 0 Để có hệ số khơng chứa x thì: 5k  20  � k  Hệ số không chứa x C10  13440 n 1 n Câu 23:Ta có: Cn  Cn  78 � n! n!   78 (n  1)!1! (n  2)!2! 12 n( n  1) � 12 k � � n  78 � n  n  156  � n  12 Khi đó: f ( x)  �x  �  �C12 (2) k x36 4 k � x � k 0 Số hạng không chứa x ứng với k : 36  4k  � k  Số hạng không chứa x là: (2)9 C129  112640 Câu 24: Xét khai triển: 2010 2011 (1  x)2011  C2011  xC2011  x 2C2011   x 2010C2011  x 2011C2011 Cho x  ta có được: 2010 2011 32011  C2011  2.C2011  22 C2011   22010 C2011  22011 C2011 (1) Cho x  2 ta có được: 2010 2011 1  C2011  2.C2011  22 C2011   22010 C2011  22011 C2011 (2) Lấy (1) + (2) ta có: 2010  C2011  22 C2011   2010 C2011   32011  2010 Suy ra: S  C2011  22 C2011   22010 C2011  32011  n 1 n n n 1 n Câu 25:Ta có: Cn   Cn3   n  3 �  Cn3  Cn3   Cn3   n  3 � Cnn31   n  3 �  n    n  3 2!   n  3 � n   7.2!  14 � n  12 12  k n 60 11k 12 k � � �1 � 12 Khi đó: �  x � �C12k  x 3  �x �  �C12k x �x � k 0 k 0 � � 60  11k 8 � k  12!  495 Do hệ số số hạng chứa x8 là: C12  4! 12   ! Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa: n 2 n n Câu 26: Xét khai triển: (1  x)  Cn  xCn  x Cn   x Cn n n n Cho x  ta có: Cn  2Cn  4Cn   Cn  Do ta suy 3n  243  35 � n  Câu 27: Ta có: x n  C x n 2  k 2k n k n Hệ số số hạng chứa x8 C4n2n k0 Ta có: A  8C  C  49  (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49 n n n  n3 – 7n2 + 7n – 49 =  (n – 7)(n2 + 7) =  n = Nên hệ số x8 C4723 280 Củng cố kiến thức: (5’) - GV nhấn mạnh dạng cách nhận dạng cách giải ôn buổi học Hướng dẫn tập nhà (5’) - HS nhà nghiên cứu tài liệu làm tập chuyên đề xác suất theo phiếu giao giáo viên Bổ sung – Rút kinh nghiệm Duyệt tổ chuyên môn - ... chẵn số chia hết cho 11 Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học Hoạt động 2: Thảo luận-Luyện tập toán đếm (30’) Mục tiêu:... BIỂU THỨC TỔ HỢP-NHỊ THỨC NEWTON NS: …… I.NG: Mục … tiêu Về kiến thức: Học sinh nhớ - Quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton Về kỹ 2.1 HS xét TN - Biết tìm số hạng biểu thức. .. động H khơng thỏa tính chất T ta b phương án Khi số phương án thỏa yêu cầu toán là: a b NX2 Ta thường gặp ba toán đếm Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên Khi lập số tự nhiên x