PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai :Phương trình bậc hai ax + bx + c = 0(a ≠ 0) ∆ = b − 4ac *) Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm phân biệt : *) Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép : x1 = x = x1 = −b 2a −b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a *) Nếu ∆ < phương trình vơ nghiệm Chú ý: Khi a.c phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = ; x2 = −b ' *) Nếu ∆ ' = phương trình có nghiệm kép : x1 = x = a *) Nếu ∆ ' < phương trình vơ nghiệm a a Hệ thức Vi - Et ứng dụng : b x1 + x = − a Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình ax + bx + c = 0(a ≠ 0) : x x = c a Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : x − Sx + P = (Điều kiện để có u v S2 − 4P ≥ ) Nếu a + b + c = phương trình ax + bx + c = 0(a ≠ 0) có hai nghiệm : x1 = 1; x = c a Nếu a - b + c = phương trình ax + bx + c = 0(a ≠ 0) có hai nghiệm : x1 = −1; x = − c a Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn: Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = (a ≠ 0) có: Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ Vô nghiệm ⇔ ∆ < Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau) ⇔ ∆ = Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > Hai nghiệm dấu ⇔ ∆≥ P > với P = x1.x2 Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > P < ⇔ a.c < Hai nghiệm dương(lớn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > P > vớ s = x1 + x2 Hai nghiệm âm(nhỏ 0) ⇔ ∆≥ 0; S < P > Hai nghiệm đối ⇔ ∆≥ S = 10.Hai nghiệm nghịch đảo ⇔ ∆≥ P = 11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn Tài liệu ôn thi 15 ⇔ a.c < S < 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn ⇔ a.c < S > B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: Giải phương trình: 1) Phương trình bậc hai: Bài 1: a / 2x − = b / 3x − 5x = c / −2x + 3x + = d) x − ( + 1) x + = Bài 2: a) x2 - 11x + 30 = b) x2 - 10x + 21 = c) x2 - 12x + 27 = d) 5x2 - 17x + 12 = e) 3x2 + 5x - = f) 3x2 + 2x + = Bài 3: a) 2 x − 2x − = 3 c) 3x2 - x - = b) 3x2 + 7,9x + 3,36 = d) x2 - 2 x + = e) x2 – 2( + 2) x + = 2) Phương quy phương trình bậc hai a) Phương trình trùng phương Giải phương trình: a) x4 - 2x2 - = b) t + 24t2 - 25 = d) z4 - 7z2 - 144 = e) c) 9a4 + 2a2 - 32 = 11 x - x =0 b) Phươngtrình chứa ẩn mẫu: Giải phương trình: 3x + a) x − + x = x( x − 1) d) b) x -2 + = x-1 x+1 x -1 c) 15 3x - 2x + = x2 + 2x - x - x+3 2x2 - + = x- x - x +x +1 c) Phương trình tích: Giải phương trình a) (x - 1)(x2 + 2x - 3) = b) x3 + 3x2 + 2x = c) (2x2 + 10x + 5)2 = (2x2 - 21x - 8)2 5) Phương trình vơ tỉ: a) 2x + = - x b) x + − x = c) x − 2x + = d) 43 − x = x − DẠNG 2: Phương trình chứa tham số: Bài Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x + mx + m + = (1) a/ Giải phương trình với m = - b/ Gọi x1; x2 nghiệm phương trình Tính x12 + x 22 ; x13 + x 32 theo m c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x12 + x 22 = d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - Tính nghiệm lại f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Tài liệu ôn thi 16 g/ Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình khơng phụ thuộc vào giá trị m HƯỚNG DẪN GIẢI: a/ Thay m = - vào phương trình (1) ta có phương trình : x − 2x + = ⇔ (x − 1) = ⇔ x − = ⇔ x = Vậy với m = - phương trình có nghiệm x = b/ Phương trình : x + mx + m + = (1) Ta cú: ∆ = m − 4(m + 3) = m − 4m − 12 Phương trình có nghiệm x1; x ⇔ ∆ ≥ x1 + x = − m x1 x = m + Khi theo định lý Vi-et, ta có : (a) (b) *) x12 + x 22 = (x1 + x ) − 2x1x = ( −m) − 2(m + 3) = m − 2m − *) x13 + x 32 = (x1 + x )3 − 3x1x (x1 + x ) = (−m)3 − 3(m + 3)(−m) = −m + 3m + 9m c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm x1; x ⇔ ∆ ≥ Khi x12 + x 22 = m − 2m − Do x12 + x 22 = ⇔ m − 2m − = ⇔ m − 2m − 15 = ∆ '(m) = (−1) − 1.(−15) = + 15 = 16 > 0; ∆ (m) = => phương trình có hai nghiệm : m1 = 1+ 1− = 5; m = = −3 1 +) Với m = ⇒ ∆ = −7 < => loại +) Với m = −3 ⇒ ∆ = > => thỏa mãn Vậy với m = - phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x12 + x 22 = d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm x1; x ⇔ ∆ ≥ Thử lại : x1 + x = − m x1 x = m + Khi theo định lý Vi-et, ta có : (a) (b) Hệ thức : 2x1 + 3x2 = (c) Từ (a) (c) ta có hệ phương trình : x1 + x = −m 3x + 3x = −3m x = −3m − x = −3m − ⇔ ⇔ ⇔ 2x1 + 3x = 2x1 + 3x = x = − m − x1 x = 2m + x1 = −3m − vào (b) ta có phương trình : x = 2m + Thay (−3m −5)(2m +5) = m +3 ⇔−6m −15m −10m − 25 = m +3 ⇔−6m − 26m − 28 = ⇔3m +13m +14 = ∆( m) =132 −4.3.14 =1 > −13 + = −2 2.3 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt : −13 − m2 = =− 2.3 ⇒ thỏa mãn Thử lại : +) Với m = −2 ⇒ ∆ = −7 25 +) Với m = ⇒ ∆ = > ⇒ thỏa mãn m1 = Tài liệu ơn thi 17 phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = e/ Phương trình (1) có nghiệm x1 = −3 ⇔ (−3) + m.(−3) + m + = ⇔ −2m + 12 = ⇔ m = Khi : x1 + x = − m ⇔ x = − m − x1 ⇔ x = −6 − (−3) ⇔ x = −3 Vậy với m = −2; m = − Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 = x2 = - f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < ⇔ 1.(m + 3) < ⇔ m + < ⇔ m < −3 Vậy với m < - phương trình có hai nghiệm trái dấu g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2 Khi theo định lí Vi-et, ta có : x1 + x = −m m = − x1 − x ⇔ ⇔ − x1 − x = x1x − x1x = m + m = x1 x − Vậy hệ thức liên hệ x1; x2 khụng phụ thuộc vào m là: x1.x2 + (x1 + x2 ) – = Bài 2: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - = (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm nhất? tìm nghiệm đó? c) Tìm m để (1) có nghiệm 2? tìm nghiệm lại(nếu có)? HƯỚNG DẪN GIẢI: a) + Nếu m-1 = ⇔ m = (1) có dạng 2x - = ⇔ x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ∆’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm ⇔ ∆’ = 3m-2 ≥ ⇔ m ≥ phương trình có nghiệm 3 b) + Nếu m-1 = ⇔ m = (1) có dạng 2x - = ⇔ x = (là nghiệm) + Kết hợp hai trường hợp ta có: Với m ≥ + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ∆’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm ⇔ ∆’ = 3m-2 = ⇔ m = Khi x = − (thoả mãn m ≠ 1) 1 =− =3 m −1 −1 +Vậy với m = phương trình có nghiệm x = với m = 2 phương trình có nghiệm x = 3 c) Do phương trình có nghiệm x1 = nên ta có: (m-1)22 + 2.2 - = ⇔ 4m – = ⇔ m = Khi (1) phương trình bậc hai (do m -1 = -1= − ≠ 0) 4 −3 −3 = = 12 ⇒ x = Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = m − − Vậy m = nghiệm lại x2 = Tài liệu ôn thi 18 Bài 3: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x - - m = a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm d) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thoả mãn x12+x22 ≥ 10 e) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2 HƯỚNG DẪN GIẢI: 15 a) Ta có: ∆’ = (m-1)2 – (– – m ) = m − + 2 15 1 Do m − ≥ với m; > ⇒ ∆ > với m 2 ⇒ Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < ⇔ – – m < ⇔ m > -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Khi theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < P > 2(m − 1) < m < ⇔ ⇔ ⇔ m < −3 − (m + 3) > m < −3 Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ ⇔ 2m(2m-3) ≥ m ≥ m ≥ m ≥ m≥ 2 m − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ m ≤ m ≤ 2m − ≤ m ≤ Vậy m ≥ m ≤ e) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm x1 + x = 2(m − 1) x + x = 2m − ⇔ x1 x = −(m + 3) 2 x1 x = −2m − Theo định lí Viet ta có: ⇒ x1 + x2+2x1x2 = - Vậy x1+x2+2x1x2+ = hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc m f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - ⇔ x1(1+2x2) = - ( +x2) ⇔ x1 = − Tài liệu ôn thi + x2 + x2 19 8+ x Vậy x1 = − + x ( x2 ≠ − ) 2 Bài 4: Cho phương trình: x + 2x + m-1= ( m tham số) a) Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1 c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 = x1 + x ; y = x + x với x1; x2 nghiệm phương trình HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta có ∆ = – (m-1) = – m Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo ’ ∆' ≥ 2 − m ≥ m ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔m=2 m − = m = P = Vậy m = b) Ta có ∆’ = 12 – (m-1) = – m Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ – m ≥ ⇔ m ≤ (*) Khi theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – (2) Theo bài: 3x1+2x2 = (3) x1 + x = −2 x + x = −4 x = x = ⇔ ⇔ ⇔ 3 x1 + x = 3 x1 + x = x1 + x = −2 x = −7 Từ (1) (3) ta có: Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (thoả mãn (*)) Vậy m = -34 giá trị cần tìm d) Với m ≤ phương trình cho có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – (2) 1 x +x −2 2m Khi đó: y1 + y = x1 + x + x + x = x1 + x + x x = −2 + m − = − m (m≠1) 2 y1 y = ( x1 + 1 1 m2 )( x + ) = x1 x + + = m −1+ +2= (m≠1) x2 x1 x1 x m −1 m −1 ⇒ y1; y2 nghiệm phương trình: y2 - 2m m2 y + = (m≠1) 1− m m −1 Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = Bài 5: Cho phương trình x2 + 2(m – 2)x – m2 = 0, với m tham số 1) Giải phương trình m = 2)Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 với x1 < x2, tìm tất giá trị m cho x1 − x2 = Giải 1)Khi m = 0, phương trình trở thành : x – 4x = ⇔ x = hay x – = ⇔ x = hay x =4 2 2) ∆′ = ( m − ) + m = 2m − 4m + = ( m − 2m + 1) + = ( m − 1) + > 0∀m Tài liệu ôn thi 20 Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Ta có S = x1 + x2 = ( − m ) , P = x1 x2 = − m ≤ Ta có x1 − x2 = ⇒ x12 − x1 x2 + x22 = 36 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 = 36 ⇔ ( − m ) = 36 ⇔ ( m − ) = ⇔ m = −1hay m = 2 Khi m = -1 ta có x1 = − 10, x = + 10 ⇒ x1 − x = −6 (loại) Khi m = ta có x1 = −3 − 34, x = −3 + 34 ⇒ x1 − x = (thỏa) Vậy m = thỏa yêu cầu toán Bài 6: Cho phương trình: x − (2m + 1) x − = (m tham số) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m Tìm giá trị m cho x1 − x2 = x1 < x2 Giải: Vì a = 1, c = – trái dấu ⇒ Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với m (1) x1 + x2 = 2m + (2) x1 x2 = −3 Từ (2) ⇒ x1 x2 trái dấu mà x1 < x2 ⇒ x1 < < x2 ⇒ x1 = − x ; x = x Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: Do đó: x1 − x = ⇔ − x1 − x = ⇔ x1 + x = −5 (3) Từ (1) (3) ⇒ 2m + = −5 ⇔ m = −3 Vậy m = – giá trị cần tìm Chú ý: Nếu bình phương vế đẳng thức x1 − x = để tìm m phải thử lại giống C MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + = (1) Tìm tất số nguyên m để phương trình (1) có nghiệm nguyên HDẫn : * m = : -2x + = ⇔ x = * m≠1 : m - + (-2m) +m +1 = ⇒ x1 = ; x = ⇒ m − = ±1;±2 ⇒ m ∈ { − 1;0;2;3} m +1 = 1+ m −1 m −1 Bài 2: Cho phương trình x2 + (2m - 5)x - 3n = Xác định m n để phương trình có nghiệm -2 HDẫn : 6m − 3n = m = ⇔ 4m + 3n = 14 n = Bài 3: Tìm m, n để phương trình bậc hai sau có nghiệm : mx2 + (mn + 1)x +n =0 HDẫn : Tài liệu ôn thi m ≠ m = −2 ⇔ ∆ = n=− m + ( mn + 1) + n = 4 21 Bài 4: Cho hai phương trình : x2 - 3x + 2m + = (1) x2 + x - 2m - 10 = (2) CMR : Với m, phương trình có nghiệm HDẫn : ∆ + ∆ = 26 > ⇒ có biệt số khơng âm Bài 5: Cho hai phương trình : x2 + (m - 2)x + m =0 (1) 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = (2) CMR với m, phương trình có nghiệm HDẫn : ∆ = (m − 1)(m − 4) ; ∆ = 16(1 − m)(m − 4) ∆ ∆ = −16(m − 1) (m − 4) ≤ ⇒ có biệt số khơng âm Bài 6: Tìm giá trị m để hai phương trình sau có nghiệm chung x2 + 2x + m = x2 + mx + = HDẫn : (m -2)x = m - : + m =2 : hai phương trình có dạng : x2 + 2x +2 = ( vô nghiệm) + m ≠ : x = ; m = -3 Bài 7: Tìm giá trị m để hai phương trình sau có nghiệm chung x2 + (m - 2)x + = 2x2 + mx + (m + 2) = HDẫn : (m - 4)x = m - : + m = : hai phương trình có dạng : x2 + 2x +3 = ( vô nghiệm) + m ≠ : x = ; m = -2 Bài : Gọi x1 x2 nghiệm phương trình : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = (1) Tìm giá trị k để nghiệm phương trình (1) thoả mãn : x1 − x = * ∆ = (3k + 4) ≥ ⇔ k ≠ − HDẫn : k = * 32 k =− 15 (t/m) Bài : Cho phương trình : x2 - (2m + 1)x + m2 + = Xác định m để hai x1 , x ta có hệ thức : x1 x − 5( x1 + x ) + = nghiệm * ∆ = 4m − ≥ ⇔ m ≥ HDẫn : m = * m= loại m = Bài 10: Cho phương trình x − 2( m + 2) x + m + = Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị m để x1 (1 − x ) + x (1 − x1 ) = m HDẫn : *∆ = m + ' 3 + >0 2 m = m = −2 * x1 (1 − x ) + x (1 − x1 ) = m ⇔ x1 + x − x1 x = m ⇔ m( m + 2) = ⇔ Bài 11: Cho phương trình x − 2( m − 3) x + 2m − = (1) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1, x2 tìm m để HDẫn : * ∆ = ( m − 4) ≥ Tài liệu ôn thi 1 + =m x1 + x + 22 1 ± 33 * x + + x + = m ⇔ 2m − m + = ⇔ m = 2 Bài 12: Cho phương trình x - ( 2m + 1)x + m + m = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: - 20 * x1= m , x2= m + ⇒ x1 < x2Do đó: Bài 13: Tìm giá trị tham số a cho phương trình: x2 + 2ax + = (1) có 2 x x nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện + ≥ x2 x1 HDẫn : a ≤ −2 * ∆' = a2 - ≥ ⇔ a ≥ ( x1 + x2 ) − x1 x2 x1 x2 x1 x2 + = + − ≥ ⇔ * ≥5 x x x2 x1 x2 x1 ⇔ 4a − ≥ 2 a ≤ −2 ( nên 4a2 - > ) a ≥ ⇔ a ≥ + ⇔ a ≥ + (t / m ) Bài 14: Cho phương trình bậc hai mx − ( 5m − 2) x + 6m − = 1-Tìm m để phương trình có nghiệm đối ( m = 1) (m= ) 2-Tìm m để phương trình có nghiệm nghịch đảo Bài 15: Tìm giá trị m để phương trình: a) 2x2 + mx + m - = Có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương ( 0 + S > m > −1 ⇔ ⇔ m = 6 P > m > 2 x + x = m = 6; m = −4 Bài 17: Số đo hai cạnh góc vuông tam giác vuông nghiệm phương trình bậc hai : ( m − 2) x − 2( m − 1) x + m = Hãy xác định giá trị m để số đo đường cao ứngvới cạnh huyền Tài liệu ôn thi 23 m ≠ ∆' ≥ m < ⇔ HD GIẢI* P > m > S > * x1 + x2 = 5 ⇔ m = 4(t / m) x1 = 1; x2 = Bài 18: Cho hai phương trình x − ( 2m + n ) x − 3m = (1) x − ( m + 3n ) x − = (2) Tìm m n để phương trình (1) (2) tương đương H.DẪN *Phương trình (2) có ac = - 6 2 * Q = 2007( x1 + x ) − 4014 x1 x = 2007( 2m + 2) − 4014( m − 3) = 16056 Tài liệu ôn thi 24 ... Phương quy phương trình bậc hai a) Phương trình trùng phương Giải phương trình: a) x4 - 2x2 - = b) t + 24t2 - 25 = d) z4 - 7z2 - 144 = e) c) 9a4 + 2a2 - 32 = 11 x - x =0 b) Phươngtrình chứa ẩn. .. ⇒ Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < ⇔ – – m < ⇔ m > -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta có phương trình. .. Bài 4: Cho phương trình: x + 2x + m-1= ( m tham số) a) Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1 c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn