1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

ĐÁP án 50 bài TOÁN HÌNH học 9

70 190 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 70
Dung lượng 2,77 MB

Nội dung

64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 50 BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO 10 CĨ ĐÁP ÁN GV: CƠ MAI QUỲNH Câu Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vuông góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp Tính tích AH AK theo R Xác định vị trị điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn đó? Giải: Chứng minh tứ giác BHCK nội tiếp MN  AC � AKB  90� (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) �  90� � HCB Xét tứ giác BCHK có: � � HCB AKB  90� 90� 180�mà góc ở vị trí đới � Tứ giác BCHK nội tiếp Tính AH AK theo R Xét tam giác ACH AKB có: � � ACH  � AKB  90� � �� ACH # AKB ( g g ) � A chung � AC AH  AK AB � AH AK  AC AB R2 AC  R � AH AK  � AB  R Mà Xác định vị trí K để ( KM  KN  KB) max � * Chứng minh BMN đều: AOM cân M (MC vừa đường cao, vừa đường trung tuyến) � Mà OA  OM  R � AOM đều � MOA  60� Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ôn thi tuyển sinh vào 10 �MC  CN � MBN cân B vì �BC  MN � CM  CN �  MOA �  30� MBA �  60� � � MBN Mặt khác: (góc nội tiếp chắn cung MA ) �  60� MBN MBN MBN cân B lại có nên tam giác đều * Chứng minh KM  KB  KN Trên cạnh NK lấy điểm D cho KD  KB � 1 NKB � � KDB tam giác cân mà sđ NB = 60� � KDB tam giác đều � KB  BD �  KMB � AB ) Ta có: DMB (góc nội tiếp chắn cung � �  120� � BDN (kề bù với KBD KDB đều) �  120� MKB (góc nội tiếp chắn cung 240�) �  DBN � � MBK (tổng góc tam giác bằng 180�) Xét BDN BKM có: BK  BD (cmt ) � �  BKM � (cmt ) �� BDN  BKN (c.g.c) BDN � � MB  MN � � ND  MK (2 cạnh tương ứng) � KM  KN  KB  KN � ( KM  KN  KB ) max  R KN đường kính � K , O, N thẳng hàng � K điểm giữa cung BM Vậy với K điểm giữa cung BM thì ( KM  KN  KB ) đạt giá trị max bằng 4R Câu Cho đường tròn (O; R ) tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A AH  R Qua H kẻ đường thẳng vng góc với d , đường thẳng cắt đường tròn hai điểm E B (E nằm giữa B H ) � ABE  EAH Chứng minh � ABH # EAH Lấy điểm C d cho H trung điểm đoạn thẳng AC , đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh AHEK tứ giác nội tiếp Xác định vị trí điểm H để AB  R Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Giải: � ABE  EAH Chứng minh: � � ABE  � sđ EA (t/c góc nội tiếp) � 1 HAE � sđ EA (t/c góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung) � �� ABE  HAE Xét ABH EAH có: � � AHB  90� � �� ABH # EAH ( g g ) � � ABE  HAE (cmt ) � Xét HEC  HEA (c.g.c) � � � �� ACE  CAE mà CAE  ABE (cmt) �� ACE  � ABE � � Mặt khác: ABE  CAK  90� �  90� �� ACE  CAK � AHK vuông K � � Xét tứ giác AHEK có: EHK  AKE  90� � � � EHK AKE  180�mà góc ở vị trí đới � Tứ giác AHEK nội tiếp Hạ OI  AB � AI  IB  AB R  2 �  AI  OAI OA Xét AOI vng I có cos �  30�� BAH �  60� � OAI �  AH  BAH � AB AHB vng H có: BAH  60�� cos � AH R  � AH  R Vậy cần lấy điểm H cho độ dài AH  R thì AB  R Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ôn thi tuyển sinh vào 10 Câu Cho đường tròn (O ) có đường kính AB  R E điểm bất kì đường tròn (E khác A B ) Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB F cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Chứng minh KAF # KEA Gọi I giao điểm đường trung trực đoạn EF với OE , chứng minh đường tròn ( I ) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) E tiếp xúc với đường thẳng AB F Chứng minh MN / / AB, M N lần lượt giao điểm thứ hai AE , BE với đường tròn ( I ) Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác KPQ theo R E chuyển động đường tròn (O), với P giao điểm NF AK ; Q giao điểm MF BK Giải: Chứng minh KAF # KEA � �  KEB � KAB (góc nội tiếp chắn KB ) Xét KAF KEA có: � � KAB AEK (cmt ) � � �� KAF # AEK ( g g ) � chung K � * Đường tròn  I ; IE  đường tròn  O; OE  I , O, E thẳng hàng � IE  IO  OE � IO  OE  IE Vậy  I ; IE   * Chứng minh O; OE  tiếp xúc E  I ; IE  tiếp xúc với AB F Dễ dàng chứng minh: EIF cân I (I �trung trực EF ) � � � EOK cân O � EFI  EKO ( OEF ) mà góc ở vị trí đờng vị � IF / / OK (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //) � � � � Có : AK  KB ( AEK  KEB ) � AK  KB � AKB cân K � OK  AB OK  AB � �� IF  AB Vì OK / / IF � Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học �  I ; IE  Ôn thi tuyển sinh vào 10 tiếp xúc với AB F � AEB  90�(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) �  90� MEN � I ; IE  MEN mà góc nội tiếp đường tròn  � MN đường kính  I ; IE  � EIN cân I � � Lại có: EOB cân O � INE  OBE mà góc vị trí đờng vị � MN / / AB (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //) Tính giá trị nhỏ chu vi KPQ theo R E chuyển động  O �  MNE � I MFE (góc nội tiếp   chắn cung ME ) � AKE  � ABE (góc nội tiếp  O  chắn cung AE ) � � �  AKE � MNE ABE (cmt ) � MFE Mà , hai góc lại ở vị trí đờng vị � MQ / / AK (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //) Chứng minh tương tự: NP / / BK Tứ giác PFQK có: MQ / / AK NP / / BK �  90� PKQ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) � Tứ giác PFQK hình chữ nhật �  QFB � MFA Ta có: (đới đỉnh) ở �  KBA � (AKB �  KAB � � FQB KAB cân ) mà MFA vuông cân Q Chu vi KPQ  KP  PQ  KQ Mà PK  FQ (PFQK hình chữ nhật) FQ  QB ( BFQ cân Q) � PKPQ  QB  QK  FK  KB  FK Mặt khác: AKB cân K � K điểm giữa cung AB FK �FO (quan hệ giữa đường vng góc đường xiên) � KB  FK �KB  FO Dấu "  " xảy � KB  FK  KB  FO � FK  FO � E điểm giữa cung AB � FO  R Áp dụng định lý Pi-ta-go FOB tính BK  R Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 � Chu vi KPQ nhỏ  R  R  R(  1) Câu Cho (O; R) điểm A nằm bên đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp 2 Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vng góc với OA OE.OA  R Trên cung nhỏ BC (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B C) Tiếp tuyến K  O; R  cắt AB, AC theo thứ tự P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi K chuyển động cung nhỏ BC Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự M, N Chứng minh PM  QN �MN Giải: Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp Xét tứ giác ABOC có: � ABO  90o (tính chất tiếp tuyến) � ACO  90o (tính chất tiếp tuyến) �� ABO  � ACO  90o  90o  180o Mà hai góc ở vị trí đới diện nên tứ giác ABOC nội tiếp AB  AC (tính chất tiếp tuyến cắt điểm) � ABC cân A � Mà AO tia phân giác BAC (t/c tiếp tuyến cắt điểm) nên AO đường cao ABC hay AO  BC Xét ABO vng ở B có BE đường cao, theo hệ thức lượng tam giác vuông � OB  OE.OA, mà OB = R � R  OE.OA PK = PB (tính chất tiếp tuyến cắt điểm) KQ = QC (tính chất tiếp tuyến cắt điểm) Xét chu vi APQ  AP  AQ  QP  AP  AQ  PK  KQ  AP  PK  AQ  QC  AB  AC Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10  2AB Mà (O) cố định, điểm A cố định nên AB không thay đổi MP OM MN OMP # QNO �  � MP.QN  ON OM  ON QN 4 � MN  4MP.QN MN  MP.QN �MP  NQ (Theo bất đẳng thức Cô-si) Hay MP  NQ �MN (đpcm) Câu Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R điểm C thuộc đường tròn (C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt BE điểm F Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp Chứng minh DA.DE  DB.DC � � Chứng minh CFD  OCB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE C hứng minh IC tiếp tuyến đường tròn (O) � Cho biết DF = R, chứng minh tan AFB  Giải: Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp � ACE  � AEB  90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Tứ giác FCDE có : �  FDE �  180o FCD Mà góc ở vị trí đới nên � Tứ giác FCDE tứ giác nội tiếp Chứng minh DA.DE  DB.DC Xét ACD BED có: � �  90o � ACD  BED � �ACD # BED ( g.g ) � � (đ đ ) � ADC  BDE AD BD �  � AD.ED  CD.BD CD ED (đpcm) � � * Chứng minh CFD  OCB Vì tứ giác FCDE tứ giác nội tiếp ( I ) nên �  CEA � CFD (góc nội tiếp ( I ) chắn cung CD ) Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 � � Mà CED  CBA (góc nội tiếp (O) chắn cung CA ) �  CBA � � CFD � � Lại có OCB cân O nên CBA  OCB �  OCB � � CFD  1 � � ICF cân I: CFD  ICF   �  OCB � � ICF Từ (1) (2) * Chứng minh IC tiếp tuyến (O) : � � � Ta có: ICF  ICB  90 (vì DIC góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) o �  BCI �  90o � OCB � OC  CI � IC tiếp tuyến (O) Ta có tam giác vng ICO # FEA  g.g  �  COE �  COI � CAE � � � (góc nội tiếp chắn CE ) � CIO  AFB �  CO  R  tan CIO R CI Mà �  � tan � AFB  tan CIO Câu Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Gọi d1 d hai tiếp tuyến đường tròn (O) hai điểm A B Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường tròn (O) (E khơng trùng với A B) Đường thẳng d qua E vng góc với EI cắt hai đường thẳng d1 d lần lượt M, N Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp � � � Chứng minh ENI  EBI MIN  90 Chứng minh AM BN  AI BI Gọi F điểm giữa cung AB khơng chứa E đường tròn (O) Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R ba điểm E, I, F thẳng hàng Giải: o Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ôn thi tuyển sinh vào 10 Chứng minh AMEI nội tiếp Xét tứ giác AMEI có: �  MEI �  90� 90� 180� MAI mà góc ở vị trí đới � Tứ giác AMEI nội tiếp � � * Chứng minh ENI  EBI Xét tứ giác ENBI có: �  IBN �  90� 90� 180� IEN mà góc ở vị trí đới � Tứ giác ENBI nội tiếp �  EBI � � ENI � (2 góc nội tiếp chắn cung EI ) � * Chứng minh MIN  90� �  EAI � Tứ giác ENBI nội tiếp nên EMI (2 góc nội tiếp chắn cung EI ) � � � Lại có: AEB  90�� EAI  EBI  90� �  ENI �  90�� MNI � � EMI vuông I Vậy MIN  90� Chứng minh AM BN  AI BI �  NBI �  90� MAI AMI BNI Xét có: � � � AIM  BNI (cùng phụ với góc BIN ) � AMI # BIN ( g g ) � AM BI  � AM BN  AI BI AI BN Ta có hình vẽ � AEF  AF  45� sđ � Khi E , I , F thẳng hàng � AMI  � AEI  45� AI ) (hai góc nội tiếp chắn cung � � MAI vuông cân A R � AM  AI  � MI  AM  AI  R2 R2 R   4 (Định lí Pi-ta-go) Chứng minh tương tự: BIN vuông cân B Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học � BI  BN  S MIN  Ôn thi tuyển sinh vào 10 3R R R 3R � IN  BI  BN    16 16 1 R 3R 3R MI NI  � �  2 2 (đơn vị diện tích) Câu Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm bất kì cung nhỏ AC (M khác A C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp � � Chứng minh ACM  ACK Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C Gọi d tiếp tuyến đường tròn (O) điểm A Cho P điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa AP.MB  R mặt phẳng bờ AB MA Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK Giải: Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp: Xét tứ giác CBKH ta có: �  900 BKH �  90o HCB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) �  HCB �  180o � BKH Mà hai góc ở vị trí đới � Tứ giác CBKH nội tiếp � � Chứng minh ACM  ACK � � Tứ giác CBKH nội tiếp nên: HCK  HBK (2 góc nội tiếp chắn cung HK ) � � Tứ giác MCBA nội tiếp (O) nên: MCA  HKB (2 góc nội tiếp chắn cung MA ) �  MCA � � HCK Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ôn thi tuyển sinh vào 10 EB IB   EA IA Do �  BE  tan BAE AE Vậy � �  OA  OD OH  OA.tan OAH 3 vì vậy H trọng tâm Xét OHA vuông O, ta có tam giác DAB Do AK đường trung tuyến tam giác DAB Suy KB = KD Vì vậy OK  DB (quan hệ đường kính – dây cung) Câu 38 Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AD Điểm H thuộc đoạn OD Kẻ dây BC  AD H Lấy điểm M thuộc cung nhỏ AC, kẻ CK  AM K Đường thẳng BM cắt CK N Chứng minh AH AD  AB Chứng minh tam giác CAN cân A Giả sử H trung điểm OD Tính R theo thể tích hình nón có bán kính đáy HD, đường cao BH Tìm vị trí M để diện tích tam giác ABN lớn Giải: Tam giác ABD vuông B, BH  AD nên AH AD  AB Do AH  BC � HB  HC � ABC cân � � A ABC  ACB � � � � Mà ACB  AMB nên ABC  AMB � �� ABC  KMN (1) Tứ giác ABCM nội tiếp đường tròn (O; � � � R) nên ABC  KMC (cùng bù với AMC ) (2) � � Từ (1) (2) � KMN  KMC Lại có MK  CN (giả thiết) � MCN cân M � KC  KN Tam giác CAN có AK  CN KC = KN nên ACN cân A Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Khi OH = HD, tam giác BOD cân B � BO  BD , mà OB  OD  R nên tam giác R o � o � BH  OB.sin 60  � OBD đều � BOH  60 V   r h Thể tích hình nón Trong đó: r  HD  R R h  BH  2, R R  R3 V  � �  � 2 Vậy Hạ NE  AB Vì AB không đổi nên S ABN lớn NE lớn Ta có: AN = AC khơng đổi Mà NE �NA, dấu bằng xảy E �A Lấy I đối xứng với B qua O Khi E �A thì �  90o NAB NA qua I � Mặt khác AM phân giác NAC nên M điểm giữa cung nhỏ IC Vậy điểm M cần tìm điểm giữa cung nhỏ IC Câu 39 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường tròn  AC �AB  Dựng về phía ngồi ABC hình vng ACED Tia EA cắt nửa đường tròn F Nối BF cắt ED K Chứng minh rằng điểm B, C, D, K thuộc đường tròn Chứng minh AB  EK � Cho ABC  30 ; BC  10cm Tính diện tích hình viên phần giới hạn bởi dây AC cung nhỏ AC Tìm vị trí điểm A để chu vi tam giác ABC lớn Giải: o o � � ACED hình vuông � CAE  CDE  45 Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Tứ giác BCAF nội tiếp đường tròn �  CAE � (O) � FBC � (cùng bù với góc CAF ) �  CDE � � FBC �  CDK �  180o � FBC � BCDK tứ giác nội tiếp � � Có: BAC  90  CEK Mà tứ giác BCDK tứ giác nội tiếp o � �� � �� ABC  CKD ACB  ECK Lại có: AC  CE (cạnh hình vuông) Suy ABC  EKC (cạnh góc vng – góc nhọn) � AB  EK o � o � Vì ABC  30 nên AOC  60 , tam giác OAC tam giác đều Kẻ AH  BC , ta có AH  OA.sin 60o  R S  S quat AOC  S AOC Gọi diện tích hình viên phân S, ta có: 60o  R  OC AH o 360 2 � R 3R � 25(2  3)    R2 �   (cm ) � � � 12 �6 � S 2 Chu vi ABC lớn � AB  AC lớn Áp dụng BĐT 2( x  y ) �( x  y ) Ta có: ( AB  AC ) �2( AB  AC )  BC  8R � AB  AC �2 R Dấu ''  '' xảy AB  AC � A điểm giữa nửa đường tròn đường kính BC 2 2 Câu 40 Cho đường tròn (O;R) đường kính AC cớ định Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn A Lấy M thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn B (B khác A) Tiếp tuyến đường tròn C cắt AB D Nối OM cắt AB I, cắt cung nhỏ AB E Chứng minh OIDC tứ giác nội tiếp Chứng minh tích AB.AD không đổi M di chuyển Ax Tìm vị trí điểm M Ax để AOBE hình thoi Chứng minh OD  MC Giải: Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Có MA  MB; OA  OB  R nên OM trung trực AB nên OI  AB IA  IB o � � Lại có OC  CD nên OID  OCD  180 � OIDC tứ giác nội tiếp � Có ABC  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) o Mà ACD vuông C nên AB AD  AC không đổi AOBE hình thoi � AE  EB  BO  OA � AOE đều � � AOE  60o AOM vuông A nên AM  OA.tan 60o  R � � � AMO  BAC (cùng phụ với MAB ), �  OCD �  90o MAO AMO # CAD  g g  � Nên Mà OA  OC  R , suy AM AO  AC CD AM OC �  tan ODC �  � tan MCA AC CD �  ODC � � ODC �  MCD �  90o � MCA Do OD  MC  đường kính AB Câu 41 Cho đường tròn  điểm C thuộc đường tròn Gọi M N điểm giữa cung nhỏ AC BC Nối MN cắt AC I Hạ ND  AC Gọi E trung điểm BC Dựng hình bình hành ADEF O; R � Tính MIC Chứng minh DN tiếp tuyến đường tròn  O; R  Chứng minh rằng F thuộc đường tròn  O; R  o � Cho CAB  30 ; R  30cm Tính thể tích hình tạo thành cho ABC quay vòng quanh AB Giải: Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 �  ( sđ M �A  sđ CN � )  sđ � �IC  135o MIA AB  45o � M �  NB � � ON  BC NC E Có: � � Lại có: ACB  90 � DCE  90 Mà ND  CD ( gt ) � CEND hình chữ nhật � DN  ON N � DN tiếp tuyến (O) o o � � Theo tính chất hình chữ nhật ta có: EDC  NCD � � � � � � Mà EDC  F � F  DNC � F  ACN  180 ON // AC (cùng  CB) � N , E , O, F thẳng hàng Suy ACNF tứ giác nội tiếp � F �(O) o o � o � o � Hạ CK  AB Tam giác ABC có A  30 , C  90 nên B  60 � BK  KO  R R ; BC  R; CK  � 2 Do đó, OBC tam giác đều Khi quay ABC vòng quanh AB có hai hình nón tạo thành: hình nón đỉnh A, hình nón đỉnh B có tâm hình tròn đáy K , bán kính CK Gọi thể tích tạo thành V, ta có: 1 V   CK AK   CK BK   CK ( AK  BK ) 3 1 3R  R3   CK AB   � � 2R   500 (cm3 ) 3 Câu 42 Cho đường tròn  O; R  với dây AB cớ định Gọi I điểm giữa cung lớn AB Điểm M thuộc cung nhỏ IB Hạ AH  IM ; AH cắt BM C Chứng minh IAB MAC tam giác cân Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ôn thi tuyển sinh vào 10 Chứng minh C thuộc đường tròn cớ định M chuyển động cung nhỏ IB Tìm vị trí M để chu vi MAC lớn Giải: � � Vì IA  IB � IA  IB � IAB cân I � � Tứ giác ABMI nội tiếp � IAB  IMC (cùng bù với � IMB ) � � � � � � Ta có: IAB  IBA ; IBA  IMA; IAB  IMC �  IMC � � IMA Lại có: MH  AC � MAC cân M Từ chứng minh � MI đường trung trực AC � IC  IA không đổi � C thuộc đường tròn ( I ; IA) Chu vi MAC  MA  MC  AC  2( MA  AH ) o � �  IBA � Có HMA ( không đổi IBA  90 ) � � Đặt HMA  IAB   Ta có: AH  MA.sin  Vậy chu vi MAC  2MA(1  sin  ) Chu vi MAC lớn MA lớn � A, O, M thẳng hàng Câu 43 Cho đường tròn  O; R  đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Trên Ax K AK �R  lấy điểm  Qua K kẻ tiếp tuyến KM với đường tròn (O) Đường thẳng d  AB O, d cắt MB E Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Chứng minh KAOM tứ giác nội tiếp; OK cắt AM I Chứng minh OI.OK không đổi K chuyển động Ax; Chứng minh KAOE hình chữ nhật; Gọi H trực tâm KMA Chứng minh rằng K chuyển động Ax thì H thuộc đường tròn cớ định Giải: o � � KAO  KMO  90 � KAOM nội tiếp Theo tính chất tiếp tuyến: KA  KM KO phân giác � AKM � KO  AM I Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông vào tam giác vuông AOK ta có OI OK  OA2  R � � Có OK // BM (cùng  AM ) � KOA  EBO � � Mà OA  OB  R; KAO  EOB  90 o � AKO  OEB (c.g c) �  90o � AK  OE , mà AK // OE , KAO � AKEO hình chữ nhật H trực tâm KMA � AH  KM , MH  KA � AH // OM , MH // OA Do AOMH hình bình hành � AH  OM  R Vậy H thuộc đường tròn ( A; R) Câu 44 Cho đường tròn (O) đường kính AB  2R Gọi C trung điểm OA Dây MN  AB C Trên cung MB nhỏ lấy điểm K Nối AK cắt NM H Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp Chứng minh tích AH AK khơng đổi K chuyển động cung nhỏ MB Chứng minh BMN tam giác đều Tìm vị trí điểm K để tổng KM  KN  KB lớn Giải: o � o � o � � Có BKA  90 ; MCB  90 � HCB  HKB  180 nên tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 ACH # AKB( g g ) � AC AH  � AH AK  AB AC  R AK AB Vì OC  MN � CM  CN � BMN cân B MAB vuông M � AM  AC AB  R � AM  R Do � MA �  30o  � MAB MB �  sin MBA � � Mà MCB  NCB (tính chất tam giác cân) � MNB  60 o Do MNB tam giác đều Trên KN lấy E cho KE  KM o o � � Vì tam giác BMN đều nên MBN  60 � MKN  60 � KME đều � Do ME  MK KME  60 o o � � � Lại có: MB  MN KMB  EMN (cùng cộng với BME  60 ) � KMB  EMN (c.g c ) � KB  EN Từ KM  KB  KN � S  KM  KN  KB  2KN S lớn � KN lớn � K , O, N thẳng hàng Câu 45 Cho đường tròn  O; R  điểm A ở ngồi đường tròn Qua A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B C tiếp điểm) I điểm thuộc đoạn BC  IB  IC  Kẻ đường thẳng d  OI I Đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt E F Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Chứng minh OIBE OIFC tứ giác nội tiếp Chứng minh I trung điểm EF K điểm cung nhỏ BC Tiếp tuyến đường tròn (O) K cắt AB; AC M N Tính chu vi AMN OA  R Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB, AC P Q Tìm vị trí A để S APQ nhỏ Giải : Có OB  AB, OC  AC (tính chất tiếp tuyến) �  OBE �  90o � OIBE � OIE nội tiếp �  OCF �  180o � OIFC OIF nội tiếp Tứ giác OIBE nội tiếp �  OBI � � OEI Tương tự �  OCI � OFI Mà OB  OC  R �  OCI � � OEI �  OFI � � OBI � OEF cân O Mà OI  EF � IE  IF (Đpcm) Có MK  MB, NK  NC 2 Suy chu vi AMN  AC  AB  AC  AO  OC  3R  R � Có AO phân giác PAQ, PQ  AO � APQ cân A S APQ  AQ.OC mà OC  R khơng đổi, S APQ � S APQ  2S AOQ nhỏ � AQ nhỏ OAQ vuông O � AC.CQ  OC  R Mà AQ  AC  CQ �2 AC.CQ  R, dấu ''  '' xảy AC  CQ S APQ o � � AC  CQ � OQA vuông cân O � A  45 � OA  R Câu 46 Cho đường tròn  O  O ' cắt hai điểm A, B phân biệt Đường thẳng OA cắt  O  ;  O '  lần lượt điểm thứ hai C , D Đường thẳng O ' A cắt  O  ;  O '  lần lượt điểm thứ hai E , F Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Chứng minh đường thẳng AB, CE DF đồng quy điểm I Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn Cho PQ tiếp tuyến chung  O  O '  P � O  , Q � O '  Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng PQ Giải: � Ta có: ABC  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) o � ABF  90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Nên B, C, F thẳng hàng Có AB; CE DF đường cao ACF nên chúng đồng quy � � Do IEF  IBF  90 suy BEIF nội tiếp đường tròn Gọi H giao điểm AB PQ Ta chứng minh o AHP # PHB � HP HA  � HP  HA.HB HB HP Tương tự, HQ  HA.HB Vậy HP  HQ hay H trung điểm PQ  O; R   O '; R ' với R  R ' cắt A B Kẻ tiếp tuyến D � O  E � O ' chung DE hai đường tròn với cho B gần tiếp tuyến so với A � � Chứng minh rằng DAB  BDE Câu 47 Cho hai đường tròn Tia AB cắt DE M Chứng minh M trung điểm DE Đường thẳng EB cắt DA P, đường thẳng DB cắt AE Q Chứng minh rằng PQ song song với AB Giải: Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 � � Ta có DAB = sđ DB (góc nội tiếp) � � BDE = sđ DB (góc giữa tiếp tuyến dây cung) � � Suy DAB  BDE Xét DMB AMD có: � DMA chung, � � DAM  BDM Nên DMB # AMD (g.g) MD MA   MB MD hay MD  MA.MB ME MA  Tương tự ta có: EMB # AME  MB ME hay ME  MA.MB Từ đó: MD = ME hay M trung điểm DE � � �  BEM � Ta có DAB  BDM , EAB � � � � � � � � � �  PAQ  PBQ = DAB  EAB  PBQ  BDM  BEM  DBE  180  Tứ giác APBQ nội tiếp  PQB  PAB � � �  BDM � Kết hợp với PAB suy PQB  BDM Hai góc ở vị trí so le nên PQ song song với AB Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 o 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10  đường thẳng d không qua O cắt đường tròn hai điểm Câu 48 Cho đường  A, B Lấy điểm M tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC , MD với đường tròn ( C , D tiếp điểm) Gọi H trung điểm AB ; O; R Chứng minh rằng điểm M , D, O, H nằm đường tròn Đoạn OM cắt đường tròn I Chứng minh rằng I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD Đường thẳng qua O, vng góc với OM cắt tia MC , MD thứ tự P Q Tìm vị trí điểm M d cho diện tích tam giác MPQ bé Giải: o � Vì H trung điểm AB nên OH  AB hay OHM  90 � Theo tính chất tiếp tuyến ta lại có OD  DM hay ODM  90 Suy điểm M, D, O, H nằm đường tròn Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD  MCD cân M o �  MI đường phân giác CMD � 1 DCI � MCI � � � sđ DI = sđ CI Mặt khác I điểm giữa cung nhỏ CD nên = � MCD  CI phân giác Vậy I tâm đường tròn nội tiếp MCD Ta có MPQ cân ở M, có MO đường cao nên diện tích tính: S  2SOQM  .OD.QM  R (MD  DQ ) Từ S nhỏ  MD + DQ nhỏ Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 2 Mặt khác, theo hệ thức lượng tam giác vng OMQ ta có DM DQ  OD  R không đổi nên MD + DQ nhỏ  DM = DQ = R Khi OM = R hay M giao điểm d với đường tròn tâm O bán kính R O; R  Câu 49 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn  Ba đường cao AD; BE; CF cắt H Gọi I trung điểm BC , vẽ đường kính AK Chứng minh ba điểm H , I , K thẳng hàng Chứng minh DA.DH  DB.DC � Cho BAC  60 ; S ABC  20cm Tính S ABC Cho BC cớ định; A chuyển động cung lớn BC cho ABC có ba góc nhọn Chứng minh điểm H ln thuộc đường tròn cớ định Giải: Vì B C thuộc đường tròn đường kính � � AK: ABK  ACK  90 Do BH / / CK CH / / BK � BHCK hình bình hành Mà I trung điểm BC nên I trung điểm HK Suy H; I; K thẳng hàng o � � � Ta có HBD  DAC (cùng phụ với ACB ) nên DBH # DAC  g g  DB HD  � DB.DC  DA.DH Suy DA DC � AEB  � AFC  90o � AEB # AFC  g g  Vì AE AB �  ; BAC Suy AF AC chung � AEF # ABC  c.g.c  S AEF �AE � � � Do S ABC �AF � Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ôn thi tuyển sinh vào 10 AE �  cos60o   cosBAC Mà AB S AEF  � S ABC  S AEF  80cm Suy S ABC 4 Lấy O’ đối xứng với O qua I suy O’ cớ định Ta có IH  IK ; OK  OA  R nên OI đường trung bình KHA Do OI / / AH OI  AH Suy OO '/ / AH , OO '  AH nên OO ' HA hình bình hành Do O ' H  OA  R (khơng đổi) Vậy H thuộc đường tròn (O’;R) cớ định Câu 50 Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính vng góc AB CD Lấy K thuộc cung nhỏ AC, kẻ KH  AB H Nối AC cắt HK I, tia BC cắt HK E; nới AE cắt đường tròn (O;R) F Chứng minh BHFE tứ giác nội tiếp Chứng minh EC.EB = EF.EA Cho H trung điểm OA Tính theo R diện tích CEF Cho K di chuyển cung nhỏ AC Chứng minh đường thẳng FH qua điểm cố định Giải: Do F thuộc đường tròn đường kính AB nên � AFB  90o �  BHE �  90o � BHFE BFE Suy tứ giác nội tiếp o � � � Có ECA  EFB  90 ; AEC chung Nên ECA# EFB  g g  � EC EA  � EC EB  EA.EF EF EB Từ chứng minh suy AC, BF, EH đường cao EAB nên chúng cắt I EC EA  AEB chung nên ECF # EAB Do EF EB � (cạnh – góc – cạnh) Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ôn thi tuyển sinh vào 10 S ECF �EC �  � �  1 S EAB �EA � o � Vì OB  OC  R nên OBC vuông cân O � OBC  45 Do HBE vng cân Mà AH  Tương tự H � EH  HB  3R � R R R 10 R R 10 AE  AH  HE    � AE  nên 4 BE  HB  HE  9R2 3R � BE  2 EC HO 1 R   � EC  EB  Lại có: OC / / EH (cùng  AB ) nên EB HB 1 3R �EC � � � � � S ECF  S EAB  � � EH � AB  5 10 �EA � � � � � � � Các tứ giác BEFH AHCE nội tiếp nên AEB  CHB; AEB  AHF � AHF  CHB � AHF  DHB Suy � � AHF  DHB Có HO  OC , OC  OD nên HCD cân H nên � � � � � � AHF  DHB Do � mà AHF  FHB  180 � DHB  FHB  180 Suy F; H; D thẳng hàng Suy FH qua D cố định o Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 o ... Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 098 6082862 64 Các tập hình học �  I ; IE  Ôn thi tuyển sinh vào 10 tiếp xúc với AB F � AEB  90 �(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) �  90 � MEN � I ; IE  MEN mà... Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 098 6082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Chứng minh AMEI nội tiếp Xét tứ giác AMEI có: �  MEI �  90 � 90 � 180� MAI mà góc ở vị trí đới... tiếp chắn cung EI ) � � � Lại có: AEB  90 �� EAI  EBI  90 � �  ENI �  90 �� MNI � � EMI vuông I Vậy MIN  90 � Chứng minh AM BN  AI BI �  NBI �  90 � MAI AMI BNI Xét có: � � � AIM 

Ngày đăng: 10/03/2020, 13:44

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w