ĐÁP án 50 bài TOÁN HÌNH học 9 mai quỳnh

64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 50 BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO 10 CĨ ĐÁP ÁN GV: CƠ MAI QUỲNH Câu Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vuông góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp AH AK Tính tích theo R Xác định vị trị điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn đó? Giải: Chứng minh tứ giác BHCK nội tiếp MN ⊥ AC ·AKB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) · ⇒ HCB = 90° Xét tứ giác BCHK có: Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học · HCB + ·AKB = 90° + 90° = 180° ⇒ Tứ giác Tính BCHK Ơn thi tuyển sinh vào 10 mà góc ở vị trí đới nội tiếp AH AK theo R ∆ACH ∆AKB Xét tam giác có: ·ACH = ·AKB = 90°    ⇒ ∆ACH # ∆AKB ( g g ) µ A chung   ⇒ AC AH = AK AB ⇒ AH AK = AC AB Mà AC = R R2 ⇒ AH AK = × AB = R Xác định vị trí * Chứng minh ∆AOM Mà ∆BMN K để đều: cân M (MC vừa đường cao, vừa đường trung tuyến) OA = OM = R ⇒ ∆AOM ∆MBN ( KM + KN + KB ) max cân B vì đều · ⇒ MOA = 60°  MC = CN   BC ⊥ MN ⇒ CM = CN Mặt khác: ∆MBN 1· · MBA = MOA = 30° cân B lại có * Chứng minh (góc nội tiếp chắn cung · MBN = 60° nên ⇒ ∆KDB tam giác cân mà tam giác đều KD = KB · NKB = sđ » NB ) tam giác đều KM + KB = KN Trên cạnh NK lấy điểm D cho ⇒ ∆KDB ∆MBN · » ⇒ MBN = 60° MA = 60° ⇒ KB = BD Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ta có: · · DMB = KMB · BDN = 120° · MKB = 120° (góc nội tiếp chắn cung (kề bù với · KBD ∆KDB (góc nội tiếp chắn cung 240° »AB Ôn thi tuyển sinh vào 10 ) đều) ) · · ⇒ MBK = DBN (tổng góc tam giác bằng Xét ∆BDN ∆BKM có: 180° ) BK = BD (cmt )   · · BDN = BKM (cmt )  ⇒ ∆BDN = ∆BKN (c.g.c)  MB = MN  ⇒ ND = MK (2 cạnh tương ứng) ⇒ KM + KN + KB = KN ⇒ ( KM + KN + KB ) max = R KN đường kính ⇒ K , O, N thẳng hàng ⇒ K điểm giữa cung BM Vậy với K điểm giữa cung BM thì ( KM + KN + KB) đạt giá trị max bằng 4R (O; R ) d A d H Câu Cho đường tròn tiếp xúc với đường thẳng Trên lấy điểm không d, A AH < R H trùng với điểm Qua kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng cắt E B (E B H ) đường tròn hai điểm nằm giữa Chứng minh ·ABE = EAH · ∆ABH # ∆EAH AC , C d CE H AB Lấy điểm cho trung điểm đoạn thẳng đường thẳng cắt K AHEK Chứng minh tứ giác nội tiếp H AB = R 3 Xác định vị trí điểm để Giải: · · Chứng minh: ABE = EAH ·ABE = » sđ EA (t/c góc nội tiếp) · HAE = » sđ EA (t/c góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung) Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 · ⇒ ·ABE = HAE Xét ∆ABH ∆EAH có: ·AHB = 90°    ⇒ ∆ABH # ∆EAH ( g.g ) ·ABE = HAE · (cmt )   ∆ HEC = ∆ HEA (c.g.c) Xét · · · ⇒ ·ACE = CAE mà CAE = ABE (cmt) ⇒ ·ACE = ·ABE ·ABE + CAK · = 90° Mặt khác: · ⇒ ·ACE + CAK = 90° ⇒ ∆AHK vuông K · · Xét tứ giác AHEK có: EHK = AKE = 90° · ⇒ EHK + ·AKE = 180° mà góc ở vị trí đới ⇒ Tứ giác AHEK nội tiếp Hạ OI ⊥ AB ⇒ AI = IB = AB R = 2 AI · OAI = = OA Xét ∆AOI vng I có cos · · ⇒ OAI = 30° ⇒ BAH = 60° AH · BAH = = · AB ∆AHB vng H có: BAH = 60° ⇒ cos ⇒ AH R = ⇒ AH = R Vậy cần lấy điểm H cho độ dài AH = R thì AB = R (O ) AB = R Câu Cho đường trịn có đường kính E điểm bất kì đường trịn (E (O ) A B ) AEB AB F khác Đường phân giác góc cắt đoạn thẳng cắt đường tròn K điểm thứ hai Chứng minh ∆KAF # ∆KEA Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 I Gọi giao điểm đường trung trực đoạn EF với OE , chứng minh đường tròn (I ) (O ) E AB F tiếp xúc với đường tròn tiếp xúc với đường thẳng MN / / AB, AE , BE N M Chứng minh lần lượt giao điểm thứ hai với bán kính IE đường trịn ( I ) KPQ Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác (O ), NF AK ; Q P tròn Giải: với giao điểm R E theo chuyển động đường giao điểm MF BK Chứng minh ∆KAF # ∆KEA » · · KAB = KEB (góc nội tiếp chắn KB) Xét ∆KAF ∆KEA có: · KAB = ·AEK (cmt )    ⇒ ∆KAF # ∆AEK ( g g ) µ chung K   * Đường tròn ( I ; IE ) đường tròn ( O; OE ) I , O, E thẳng hàng ⇔ IE + IO = OE ⇒ IO = OE − IE Vậy ( I ; IE ) ( * Chứng minh O; OE ) tiếp xúc E ( I ; IE ) tiếp xúc với AB F Dễ dàng chứng minh: ∆EIF cân I (I ∈ trung trực EF ) · · · ∆EOK cân O ⇒ EFI = EKO (= OEF ) mà góc ở vị trí đờng vị ⇒ IF / / OK (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //) » » · · Có : AK = KB ( AEK = KEB) ⇒ AK = KB ⇒ ∆AKB cân K ⇒ OK ⊥ AB OK ⊥ AB   ⇒ IF ⊥ AB OK / / IF  Vì ⇒ ( I ; IE ) tiếp xúc với AB F Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 ·AEB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · · I ; IE ) MEN = 90° mà MEN góc nội tiếp đường tròn ( ( I ; IE ) ⇒ MN đường kính ⇒ ∆EIN cân I · · Lại có: ∆EOB cân O ⇒ INE = OBE mà góc vị trí đờng vị ⇒ MN / / AB (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //) Tính giá trị nhỏ chu vi ∆KPQ theo R E chuyển động ( O) · · I MFE = MNE (góc nội tiếp ( ) chắn cung ME ) ·AKE = ·ABE ( O) AE (góc nội tiếp chắn cung ) · · · · Mà MNE = ABE (cmt ) ⇒ MFE = AKE , hai góc lại ở vị trí đờng vị ⇒ MQ / / AK (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //) Chứng minh tương tự: NP / / BK Tứ giác PFQK có: MQ / / AK NP / / BK · PKQ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ Tứ giác PFQK hình chữ nhật · · Ta có: MFA = QFB (đối đỉnh) ở · · · · KAB = KBA (∆AKB cân ) mà MFA ⇒ ∆FQB vuông cân Q = KAB Chu vi ∆KPQ = KP + PQ + KQ Mà PK = FQ (PFQK hình chữ nhật) FQ = QB ( ∆BFQ cân Q) ⇒ PKPQ = QB + QK + FK = KB + FK Mặt khác: ∆AKB cân K ⇒ K điểm giữa cung AB FK ≥ FO (quan hệ giữa đường vng góc đường xiên) ⇒ KB + FK ≥ KB + FO Dấu " = " xảy ⇔ KB + FK = KB + FO ⇔ FK = FO ⇒ E điểm giữa cung AB ⇒ FO = R Áp dụng định lý Pi-ta-go ∆FOB tính BK = R ⇒ Chu vi ∆KPQ nhỏ = R + R = R( + 1) Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Câu Cho đường trịn (O; R ) ( B, C Chứng minh Ôn thi tuyển sinh vào 10 AB, AC A điểm nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến với tiếp điểm) ABOC tứ giác nội tiếp BC E OA BE OA OE.OA = R Gọi giao điểm Chứng minh vuông góc với Trên cung nhỏ BC (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B C) Tiếp tuyến K ( O; R ) cắt AB, AC theo thứ tự P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi K chuyển động cung nhỏ BC Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự M, N Chứng minh Giải: PM + QN ≥ MN Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp Xét tứ giác ABOC có: ·ABO = 90o (tính chất tiếp tuyến) ·ACO = 90o (tính chất tiếp tuyến) ⇒ ·ABO + ·ACO = 90o + 90o = 180o Mà hai góc ở vị trí đới diện nên tứ giác ABOC nội tiếp AB = AC (tính chất tiếp tuyến cắt điểm) ⇒ ∆ABC cân A Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 · Mà AO tia phân giác BAC (t/c tiếp tuyến cắt điểm) nên AO đường cao ∆ABC hay AO ⊥ BC Xét ∆ABO vng ở B có BE đường cao, theo hệ thức lượng tam giác vuông ⇒ OB = OE.OA, mà OB = R ⇒ R = OE.OA PK = PB (tính chất tiếp tuyến cắt điểm) KQ = QC (tính chất tiếp tuyến cắt điểm) Xét chu vi ∆APQ = AP + AQ + QP = AP + AQ + PK + KQ = AP + PK + AQ + QC = AB + AC = 2AB Mà (O) cố định, điểm A cố định nên AB không thay đổi MP OM MN ∆OMP # ∆QNO ⇒ = ⇒ MP.QN = ON OM = ON QN 4 ⇒ MN = 4MP.QN MN = MP.QN ≤ MP + NQ (Theo bất đẳng thức Cô-si) Hay MP + NQ ≥ MN (đpcm) Câu Cho đường trịn (O) có đường kính AB = 2R điểm C thuộc đường trịn (C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt BE điểm F Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp Chứng minh Chứng minh DA.DE = DB.DC · · CFD = OCB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE C hứng minh IC tiếp tuyến đường tròn (O) Cho biết DF = R, chứng minh tan ·AFB = Giải: Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp ·ACE = ·AEB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) FCDE Tứ giác có : ·FCD + FDE · = 180o Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ôn thi tuyển sinh vào 10 Mà góc ở vị trí đới nên ⇒ Tứ giác FCDE tứ giác nội tiếp Chứng minh DA.DE = DB.DC Xét ∆ACD ∆BED có: ·ACD = BED · = 90o    ∆ACD # ∆BED ( g g ) ·ADC = BDE · (đ đ )   AD BD ⇒ = ⇒ AD.ED = CD.BD CD ED (đpcm) ·CFD = OCB · * Chứng minh Vì tứ giác FCDE tứ giác nội tiếp ( I ) nên · · CFD = CEA (góc nội tiếp ( I ) chắn cung CD ) · · Mà CED = CBA (góc nội tiếp (O ) chắn cung CA ) · · ⇒ CFD = CBA · · Lại có ∆OCB cân O nên CBA = OCB · · ⇒ CFD = OCB ( 1) · · ∆ICF cân I: CFD = ICF ( ) · · Từ (1) (2) ⇒ ICF = OCB * Chứng minh IC tiếp tuyến (O) : · · · Ta có: ICF + ICB = 90 (vì DIC góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) o · · ⇒ OCB + BCI = 90o ⇒ OC ⊥ CI ⇒ IC tiếp tuyến (O ) Ta có tam giác vng ∆ICO # ∆FEA ( g.g ) 1· · · CAE = COE = COI » · · (góc nội tiếp chắn CE ) ⇒ CIO = AFB CO R · tan CIO = = =2 R CI Mà · ⇒ tan ·AFB = tan CIO = d1 d2 Câu Cho đường trịn (O), đường kính AB = 2R Gọi hai tiếp tuyến đường tròn (O) hai điểm A B Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học trịn (O) (E không trùng với A B) Đường thẳng đường thẳng d1 d2 Ôn thi tuyển sinh vào 10 d qua E vng góc với EI cắt hai lần lượt M, N Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp Chứng minh · · ENI = EBI · MIN = 90o AM BN = AI BI Chứng minh Gọi F điểm giữa cung AB khơng chứa E đường trịn (O) Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R ba điểm E, I, F thẳng hàng Giải: Chứng minh AMEI nội tiếp Xét tứ giác AMEI có: · · MAI + MEI = 90° + 90° = 180° mà góc ở vị trí đới ⇒ Tứ giác AMEI nội tiếp · · * Chứng minh ENI = EBI Xét tứ giác ENBI có: · · IEN + IBN = 90° + 90° = 180° mà góc ở vị trí đới ⇒ Tứ giác ENBI nội tiếp º ) · · EI ⇒ ENI = EBI (2 góc nội tiếp chắn cung · * Chứng minh MIN = 90° · · = EAI Tứ giác ENBI nội tiếp nên EMI (2 góc nội tiếp chắn cung EI ) · · · Lại có: AEB = 90° ⇒ EAI + EBI = 90° · · ⇒ EMI + ENI = 90° ⇒ ∆MNI vuông I · Vậy MIN = 90° Chứng minh AM BN = AI BI · · Xét ∆AMI ∆BNI có: MAI = NBI = 90° ·AIM = BNI · · (cùng phụ với góc BIN ) ⇒ ∆AMI # ∆BIN ( g g ) AM BI ⇒ = ⇒ AM BN = AI BI AI BN Ta có hình vẽ Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Câu 38 Cho đường trịn tâm O, bán kính Ơn thi tuyển sinh vào 10 R, đường kính AD Điểm H thuộc đoạn OD BC ⊥ AD Kẻ dây H Lấy điểm M thuộc cung nhỏ AC, kẻ BM cắt CK N CK ⊥ AM K Đường thẳng AH AD = AB Chứng minh Chứng minh tam giác CAN cân A Giả sử H trung điểm OD Tính R theo thể tích hình nón có bán kính đáy HD, đường cao BH Tìm vị trí M để diện tích tam giác ABN lớn Giải: Tam giác ABD vuông B, BH ⊥ AD nên AH AD = AB Do AH ⊥ BC ⇒ HB = HC ⇒ ∆ABC cân · · A ABC = ACB · · · · Mà ACB = AMB nên ABC = AMB · ⇒ ·ABC = KMN (1) Tứ giác ABCM nội tiếp đường tròn (O; · · · R) nên ABC = KMC (cùng bù với AMC ) (2) · · Từ (1) (2) ⇒ KMN = KMC Lại có MK ⊥ CN (giả thiết) ⇒ ∆MCN cân M ⇒ KC = KN Tam giác CAN có AK ⊥ CN KC = KN nên ∆ACN cân A Khi OH = HD, tam giác BOD cân B ⇒ BO = BD , mà OB = OD = R nên tam giác R ⇒ BH = OB.sin 60 o = × o · OBD đều ⇒ BOH = 60 V = π r h Thể tích hình nón Trong đó: r = HD = R R h = BH = 2, R2 R π R3 V = π× × = × 2 Vậy Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 S Hạ NE ⊥ AB Vì AB không đổi nên ABN lớn NE lớn Ta có: AN = AC khơng đổi Mà NE ≤ NA, dấu bằng xảy E ≡ A Lấy I đối xứng với B qua O Khi E ≡ A thì · NAB = 90o NA qua I · Mặt khác AM phân giác NAC nên M điểm giữa cung nhỏ IC Vậy điểm M cần tìm điểm giữa cung nhỏ IC Câu 39 Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường trịn ( AC ≤ AB ) Dựng về phía ngồi F Nới BF cắt ED K ∆ABC hình vng ACED Tia EA cắt nửa đường trịn Chứng minh rằng điểm B, C, D, K thuộc đường tròn Chứng minh Cho AB = EK ·ABC = 30o ; BC = 10cm Tính diện tích hình viên phần giới hạn bởi dây AC cung nhỏ AC Tìm vị trí điểm A để chu vi tam giác ∆ABC lớn Giải: ACED hình vuông · · ⇒ CAE = CDE = 45o Tứ giác BCAF nội tiếp đường tròn · · (O) ⇒ FBC = CAE · (cùng bù với góc CAF ) · · · · ⇒ FBC = CDE ⇒ FBC + CDK = 180o ⇒ BCDK tứ giác nội tiếp o · · Có: BAC = 90 = CEK Mà tứ giác BCDK tứ giác nội tiếp · · ⇒ ·ABC = CKD ⇒ ·ACB = ECK Lại có: AC = CE (cạnh hình vuông) Suy ∆ABC = ∆EKC (cạnh góc vng – góc nhọn) ⇒ AB = EK o · o · Vì ABC = 30 nên AOC = 60 , tam giác OAC tam giác đều Kẻ AH ⊥ BC , ta có AH = OA.sin 60o = R Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Gọi diện tích hình viên phân S, ta có: Ơn thi tuyển sinh vào 10 S = Squat AOC − S AOC 60o π R − OC AH o 360 2 π πR 3R  25(2π − 3) = − = R  − (cm ) ÷ ÷= 6 12   S= 2 Chu vi ∆ABC lớn ⇔ AB + AC lớn Áp dụng BĐT 2( x + y ) ≥ ( x + y ) Ta có: ( AB + AC ) ≤ 2( AB + AC ) = BC = 8R ⇒ AB + AC ≤ 2 R Dấu '' = '' xảy AB = AC ⇔ A điểm giữa nửa đường trịn đường kính BC 2 2 Câu 40 Cho đường trịn (O;R) đường kính AC cớ định Kẻ tiếp tuyến Ax với đường trịn A Lấy M thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn B (B khác A) Tiếp tuyến đường trịn C cắt AB D Nới OM cắt AB I, cắt cung nhỏ AB E Chứng minh OIDC tứ giác nội tiếp Chứng minh tích AB.AD khơng đổi M di chuyển Ax Tìm vị trí điểm M Ax để AOBE hình thoi Chứng minh OD ⊥ MC Giải: Có MA = MB; OA = OB = R nên OM trung trực AB nên OI ⊥ AB IA = IB o · · Lại có OC ⊥ CD nên OID + OCD = 180 ⇒ OIDC tứ giác nội tiếp o · Có ABC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Mà ∆ACD vng C nên AB AD = AC không đổi AOBE hình thoi ⇔ AE = EB = BO = OA ⇔ ∆AOE đều ⇔ ·AOE = 60o ∆AOM vuông A nên AM = OA.tan 60o = R ·AMO = BAC · · (cùng phụ với MAB ), · · MAO = OCD = 90o ∆AMO # ∆CAD ( g g ) ⇒ Nên Mà OA = OC = R , suy AM AO = AC CD AM OC · · = ⇒ tan MCA = tan ODC AC CD Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 · · · · ⇒ MCA = ODC ⇒ ODC + MCD = 90o Do OD ⊥ MC ( O; R ) Câu 41 Cho đường trịn đường kính AB điểm C thuộc đường trịn Gọi M N điểm giữa cung nhỏ AC BC Nối MN cắt AC I ND ⊥ AC Hạ Gọi E trung điểm BC Dựng hình bình hành ADEF · MIC Tính Chứng minh DN tiếp tuyến đường tròn ( O; R ) Chứng minh rằng F thuộc đường tròn Cho · CAB = 30o ; R = 30cm thành cho Giải: ∆ABC ( O; R ) Tính thể tích hình tạo quay vòng quanh AB · » A + sđ CN » ) = sđ »AB = 45o ⇒ M · IC = 135o MIA = ( sđ M » = NB » ⇒ ON ⊥ BC E NC Có: o o · · Lại có: ACB = 90 ⇒ DCE = 90 Mà ND ⊥ CD ( gt ) ⇒ CEND hình chữ nhật ⇒ DN ⊥ ON N ⇒ DN tiếp tuyến (O) · · EDC = NCD Theo tính chất hình chữ nhật ta có: o · µ µ · µ · Mà EDC = F ⇒ F = DNC ⇒ F + ACN = 180 ON // AC (cùng ⊥ CB) ⇒ N , E , O, F thẳng hàng Suy ACNF tứ giác nội tiếp ⇒ F ∈ (O) o µ o µ o µ Hạ CK ⊥ AB Tam giác ABC có A = 30 , C = 90 nên B = 60 ⇒ BK = KO = R R ; BC = R; CK = × 2 Do đó, ∆OBC tam giác đều Khi quay ∆ABC vịng quanh AB có hai hình nón tạo thành: hình nón đỉnh A, hình nón đỉnh B có tâm hình trịn đáy K , bán kính CK Gọi thể tích tạo thành V, ta có: Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ôn thi tuyển sinh vào 10 1 V = π CK AK + π CK BK = π CK ( AK + BK ) 3 1 3R π R3 = π CK AB = π × ×2 R = = 500π (cm3 ) 3 Câu 42 Cho đường tròn ( O; R ) với dây AB cớ định Gọi I điểm giữa cung lớn AB Điểm M thuộc cung nhỏ IB Hạ ∆IAB AH ⊥ IM ; AH cắt BM C ∆MAC Chứng minh tam giác cân Chứng minh C thuộc đường trịn cớ định M chuyển động cung nhỏ IB Tìm vị trí M để chu vi ∆MAC lớn Giải: º º Vì IA = IB ⇒ IA = IB ⇒ ∆IAB cân I · · Tứ giác ABMI nội tiếp ⇒ IAB = IMC (cùng bù với · IMB ) · · · · · · Ta có: IAB = IBA ; IBA = IMA; IAB = IMC · · ⇒ IMA = IMC Lại có: MH ⊥ AC ⇒ ∆MAC cân M Từ chứng minh ⇒ MI đường trung trực AC ⇒ IC = IA không đổi ⇒ C thuộc đường tròn ( I ; IA) Chu vi ∆MAC = MA + MC + AC = 2( MA + AH ) o · · · = IBA Có HMA ( không đổi IBA < 90 ) · · Đặt HMA = IAB = α Ta có: AH = MA.sin α Vậy chu vi ∆MAC = MA(1 + sin α ) Chu vi ∆MAC lớn MA lớn ⇔ A, O, M thẳng hàng Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 ( O; R ) Câu 43 Cho đường tròn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường trịn Trên Ax lấy điểm K ( AK ≥ R ) Qua K kẻ tiếp tuyến KM với đường tròn (O) Đường thẳng d ⊥ AB O, d cắt MB E Chứng minh KAOM tứ giác nội tiếp; OK cắt AM I Chứng minh OI.OK không đổi K chuyển động Ax; Chứng minh KAOE hình chữ nhật; Gọi H trực tâm ∆KMA Chứng minh rằng K chuyển động Ax thì H thuộc đường tròn cố định Giải: · · KAO = KMO = 90 ⇒ KAOM nội tiếp Theo tính chất tiếp tuyến: KA = KM o KO phân giác ·AKM ⇒ KO ⊥ AM I Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông vào tam giác vuông AOK ta có OI OK = OA2 = R · · Có OK // BM (cùng ⊥ AM ) ⇒ KOA = EBO · · OA = OB = R; KAO = EOB = 90o Mà ⇒ ∆AKO = ∆OEB (c.g c ) · ⇒ AK = OE , mà AK // OE , KAO = 90o ⇒ AKEO hình chữ nhật H trực tâm ∆KMA ⇒ AH ⊥ KM , MH ⊥ KA ⇒ AH // OM , MH // OA Do AOMH hình bình hành ⇒ AH = OM = R Vậy H thuộc đường tròn ( A; R) Câu 44 Cho đường tròn (O) đường kính MN ⊥ AB AB = R Gọi C trung điểm OA Dây C Trên cung MB nhỏ lấy điểm K Nối AK cắt NM H Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp Chứng minh tích AH AK khơng đổi K chuyển động cung nhỏ MB Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Chứng minh ∆BMN Ơn thi tuyển sinh vào 10 tam giác đều Tìm vị trí điểm K để tổng KM + KN + KB lớn Giải: o · o · o · · Có BKA = 90 ; MCB = 90 ⇒ HCB + HKB = 180 nên tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp AC AH = ⇒ AH AK = AB AC = R AK AB Vì OC ⊥ MN ⇒ CM = CN ⇒ ∆BMN cân B 2 ∆MAB vuông M ⇒ AM = AC AB = R MA · · sin MBA = = ⇒ MAB = 30o ⇒ AM = R Do MB · · · MCB = NCB ⇒ MNB = 60o ∆ACH # ∆AKB ( g g ) ⇒ Mà (tính chất tam giác cân) ∆ MNB Do tam giác đều Trên KN lấy E cho KE = KM o o · · Vì tam giác BMN đều nên MBN = 60 ⇒ MKN = 60 ⇒ ∆KME đều o · Do ME = MK KME = 60 o · · · Lại có: MB = MN KMB = EMN (cùng cộng với BME = 60 ) ⇒ ∆KMB = ∆EMN (c.g c ) ⇒ KB = EN Từ KM + KB = KN ⇒ S = KM + KN + KB = 2KN S lớn ⇔ KN lớn ⇔ K , O, N thẳng hàng Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Câu 45 Cho đường tròn AB, AC ( O; R ) Ôn thi tuyển sinh vào 10 điểm A ở ngồi đường trịn Qua A kẻ tiếp tuyến tới đường tròn (B C tiếp điểm) I điểm thuộc đoạn Kẻ đường thẳng d ⊥ OI BC ( IB < IC ) I Đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt E F Chứng minh OIBE OIFC tứ giác nội tiếp Chứng minh I trung điểm EF K điểm cung nhỏ BC Tiếp tuyến đường tròn (O) K cắt AB; AC ∆AMN OA = R M N Tính chu vi Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt AB, AC P Q Tìm vị trí A để S APQ nhỏ Giải : Có OB ⊥ AB, OC ⊥ AC (tính chất tiếp tuyến) · · ⇒ OIE = OBE = 90o ⇒ OIBE nội tiếp · · OIF + OCF = 180o ⇒ OIFC nội tiếp Tứ giác OIBE nội tiếp · · ⇒ OEI = OBI Tương tự · · OFI = OCI Mà OB = OC = R · · · · ⇒ OBI = OCI ⇒ OEI = OFI ⇒ ∆OEF cân O Mà OI ⊥ EF ⇒ IE = IF (Đpcm) Có MK = MB, NK = NC 2 Suy chu vi ∆AMN = AC + AB = AC = AO − OC = 3R = R · ⇒ S APQ = 2S AOQ Có AO phân giác PAQ, PQ ⊥ AO ⇒ ∆APQ cân A S APQ = AQ.OC mà OC = R khơng đổi, S APQ nhỏ ⇔ AQ nhỏ ∆OAQ vuông O ⇒ AC.CQ = OC = R Mà AQ = AC + CQ ≥ AC.CQ = R, dấu '' = '' xảy AC = CQ S APQ o µ ⇔ AC = CQ ⇔ ∆OQA vng cân O ⇔ A = 45 ⇔ OA = R Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Câu 46 Cho đường tròn OA ( O ) ; ( O ') cắt điểm thứ hai E, F ( O) ( O ') Ôn thi tuyển sinh vào 10 cắt hai điểm lần lượt điểm thứ hai C , D Đường thẳng A, B O' A phân biệt Đường thẳng cắt AB, CE I DF Chứng minh đường thẳng đồng quy điểm BEIF Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Cho PQ tiếp tuyến chung ( O ') ( P ∈ ( O ) , Q ∈ ( O ') ) đường thẳng đoạn thẳng PQ AB Chứng ( O) minh qua trung điểm Giải: o · Ta có: ABC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ·ABF = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Nên B, C, F thẳng hàng Có AB; CE DF đường cao ∆ACF nên chúng đồng quy · · Do IEF = IBF = 90 suy BEIF nội tiếp đường tròn Gọi H giao điểm AB PQ Ta chứng minh o ∆AHP # ∆PHB ⇒ HP HA = ⇒ HP = HA.HB HB HP Tương tự, HQ = HA.HB Vậy HP = HQ hay H trung điểm PQ Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 ( O ) ; ( O ') lần lượt 64 Các tập hình học Câu 47 Cho hai đường tròn chung với DE ( O; R ) hai đường tròn với ( O '; R ') D ∈( O) Ôn thi tuyển sinh vào 10 với R > R' E ∈ ( O ') B A cắt Kẻ tiếp tuyến B cho gần tiếp tuyến so A Chứng minh rằng Tia AB cắt DE Đường thẳng song song với EB · · DAB = BDE DE M Chứng minh trung điểm P, Q PQ DA DB AE cắt đường thẳng cắt Chứng minh rằng M AB Giải: ·DAB DB Ta có = sđ » (góc nội tiếp) · » BDE = sđ DB (góc giữa tiếp tuyến dây cung) · · DAB = BDE Suy Xét ∆DMB ∆AMD có: · DMA chung, · · DAM = BDM Nên ∆DMB # ∆AMD (g.g) MD MA = ⇒ MB MD hay MD = MA.MB Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 ME MA = Tương tự ta có: ∆EMB # ∆AME ⇒ MB ME hay ME = MA.MB Từ đó: MD = ME hay M trung điểm DE · · · · Ta có DAB = BDM , EAB = BEM o · · · · · · · · ⇒ PAQ + PBQ = DAB + EAB + PBQ = BDM + BEM + DBE = 180 · · ⇒ Tứ giác APBQ nội tiếp ⇒ PQB = PAB · · · · = BDM Kết hợp với PAB suy PQB = BDM Hai góc ở vị trí so le nên PQ song song với AB ( O; R ) d O Câu 48 Cho đường đường thẳng khơng qua cắt đường trịn hai điểm A, B MC , MD C, D M BA Lấy điểm tia đối tia kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn ( H AB tiếp điểm) Gọi trung điểm ; Chứng minh rằng điểm M , D, O, H nằm đường tròn OM I I Đoạn cắt đường tròn Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD Đường thẳng qua điểm M O, d vng góc với OM cắt tia cho diện tích tam giác MPQ MC , MD bé Giải: Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 P thứ tự Q Tìm vị trí 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 o · Vì H trung điểm AB nên OH ⊥ AB hay OHM = 90 · Theo tính chất tiếp tuyến ta lại có OD ⊥ DM hay ODM = 90 Suy điểm M, D, O, H nằm đường trịn Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD ⇒ ∆MCD cân M o · ⇒ MI đường phân giác CMD 1 · DCI = º » · » sđ DI Mặt khác I điểm giữa cung nhỏ CD nên = sđ CI = MCI · ⇒ CI phân giác MCD Vậy I tâm đường trịn nội tiếp ∆MCD Ta có ∆MPQ cân ở M, có MO đường cao nên diện tích tính: S = SOQM = .OD.QM = R ( MD + DQ ) Từ S nhỏ ⇔ MD + DQ nhỏ 2 Mặt khác, theo hệ thức lượng tam giác vng OMQ ta có DM DQ = OD = R không đổi nên MD + DQ nhỏ ⇔ DM = DQ = R Khi OM = R hay M giao điểm d với đường trịn tâm O bán kính R Câu 49 Cho ( O; R ) ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn AD; BE ; CF BC , H I AK cắt Gọi trung điểm vẽ đường kính Chứng minh ba điểm Chứng minh Cho Cho lớn H, I, K thẳng hàng DA.DH = DB.DC · BAC = 600 ; S ABC = 20cm BC BC Tính S ABC A cớ định; chuyển động cung cho ∆ABC Chứng minh điểm trịn cớ định H có ba góc nhọn ln thuộc đường Giải: Vì B C thuộc đường tròn đường kính o · · AK: ABK = ACK = 90 Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 Ba đường cao 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Do BH / / CK CH / / BK ⇒ BHCK hình bình hành Mà I trung điểm BC nên I trung điểm HK Suy H; I; K thẳng hàng · · · ∆DBH # ∆DAC ( g g ) Ta có HBD = DAC (cùng phụ với ACB ) nên DB HD = ⇒ DB.DC = DA.DH Suy DA DC ·AEB = ·AFC = 90o ⇒ ∆AEB # ∆AFC ( g g ) Vì AE AB · = ; BAC Suy AF AC chung ⇒ ∆AEF # ∆ABC ( c.g c ) S AEF  AE  = ÷ Do S ABC  AF  AE · = cosBAC = cos 60o = Mà AB S AEF = ⇒ S ABC = S AEF = 80cm Suy S ABC 4 Lấy O’ đối xứng với O qua I suy O’ cố định Ta có IH = IK ; OK = OA = R nên OI đường trung bình ∆KHA Do OI / / AH OI = AH Suy OO '/ / AH , OO ' = AH nên OO ' HA hình bình hành Do O ' H = OA = R (khơng đổi) Vậy H thuộc đường trịn (O’;R) cớ định Câu 50 Cho đường trịn (O; R) có hai đường kính vng góc AB CD Lấy K thuộc KH ⊥ AB cung nhỏ AC, kẻ H Nối AC cắt HK I, tia BC cắt HK E; nới AE cắt đường trịn (O;R) F Chứng minh BHFE tứ giác nội tiếp Chứng minh EC.EB = EF.EA Cho H trung điểm OA Tính theo R diện tích ∆CEF Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Cho K di chuyển cung nhỏ AC Chứng minh đường thẳng FH qua điểm cố định Giải: Do F thuộc đường trịn đường kính AB nên ·AFB = 90o · · BFE = BHE = 90o ⇒ BHFE Suy tứ giác nội tiếp · · · Có ECA = EFB = 90 ; AEC chung o Nên ∆ECA# ∆EFB ( g g ) ⇒ EC EA = ⇒ EC EB = EA.EF EF EB Từ chứng minh suy AC, BF, EH đường cao ∆EAB nên chúng cắt I EC EA = Do EF EB ·AEB chung nên ∆ECF # ∆EAB (cạnh – góc – cạnh) S ECF  EC  = ÷ ( 1) S EAB  EA  o · Vì OB = OC = R nên ∆OBC vuông cân O ⇒ OBC = 45 Do ∆HBE vng cân Mà AH = Tương tự H ⇒ EH = HB = 3R × R R R 10 R R 10 AE = AH + HE = + = ⇒ AE = nên 4 BE = HB + HE = 9R2 3R ⇒ BE = 2 EC HO 1 R = = ⇒ EC = EB = Lại có: OC / / EH (cùng ⊥ AB ) nên EB HB 1 3R  EC  ⇒ = ⇒ S = S = ì ì EH ì AB = ECF EAB ữ 5 10  EA  · · · · · · Các tứ giác BEFH AHCE nội tiếp nên AEB = CHB; AEB = AHF ⇒ AHF = CHB · Suy ·AHF = DHB · Có HO ⊥ OC , OC = OD nên ∆HCD cân H nên ·AHF = DHB o o · · · · · Do ·AHF = DHB mà AHF + FHB = 180 ⇒ DHB + FHB = 180 Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Suy F; H; D thẳng hàng Suy FH qua D cố định Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 ... = 90 o AN ⊥ ON ( AN tiếp tuyến (O)) · ⇒ ONA = 90 o Xét tứ giác AMON có: Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 098 6082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 · · OMA + ONA = 90 o + 90 o... viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 098 6082862 ( O) A, d cắt 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 · · Do DB, DC tiếp tuyến (O) ⇒ OBD = OCD = 90 o · · ⇒ OBD + OCD = 90 o + 90 o = 180o mà góc... P ⇒ PAM = PMA Xét ∆QMA vng M có: · · PMA + PMQ = 90 o ⇒ Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 098 6082862 64 Các tập hình học · · PAM + PQM = 90 o · · ⇒ PMQ = PQM ⇒ ∆PMQ cân P Ôn thi tuyển sinh