Bài tiểu luận về Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biến

Bài tiểu luận về Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biếnBài tiểu luận về Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biếnBài tiểu luận về Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biếnBài tiểu luận về Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biếnBài tiểu luận về Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biếnBài tiểu luận về Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biếnBài tiểu luận về Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biến

Lời mở đầu

thông qua những ví dụ cũng như các bài tập củng cố để ta nắm bắt rõ và chuyên sâu hơn về hàm nhiều biến Thông qua bài tiểu luận này chúng ta sẽ thấy được rằng : Toán học nằm trong sự trừu tượng và cái ích của toán học nằm trong sự cụ thể Qua

đó ta sẽ hiểu rõ hai mặt đó của toán học nhằm rèn luyện được những khả năng rèn luyện của sinh viên

Phần 1: Chúng ta sẽ tìm hiểu và biết được những khái niệm cơ bản của hàmnhiều biến, ta sẽ thấy được giữa hàm một biến và hàm nhiều biến có nhiều sự khácbiệt rất căn bản song song đó giữa hàm hai biến và hàm nhiều hơn hai biến khôngkhác nhau về nguyên tắc

Phần 2: Ta sẽ biết được giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến cũng như biếtđược các hàm hữu tỉ liên tục tại những điểm mà chúng ta xác định cũng như hợp củahai hàm liên tục là một hàm liên tục

Phần 3: Ta sẽ tìm hiểu về đạo hàm của hàm nhiều biến thông qua một số địnhlý

Phần 4: Sẽ tìm hiểu về khả vi và vi phân của hàm nhiều biến, biết được điềukiện cần của khả vi và vi phân cũng như thông qua các phép tính và các tính chất liênquan cần biết

Không những vậy, phần 5 ta sẽ biết được thế nào là đạo hàm riêng và vi phâncủa hàm hợp Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến thì có gì khác so với hàmbình thường

Phần 6: Sẽ nói về hàm ẩn, đạo hàm riêng và vi phân của nó Ta sẽ biết đượchàm ẩn ra sao cũng như nó khác gì về đạo hàm riêng và vi phân so với hàm khác vànhững bài tập liên quan giúp ta hiểu rõ hơn

Và trong tiểu luận , chúng ta cố gắng đưa vào những định lí hay cũng như một

số bài tập cơ bản với nhiều cách giải tối ưu với những phương pháp suy luận rất điểnhình , rất cần cho việc rèn luyện tư duy Và người đọc không cần nhớ chi tiết mà chỉcẩn hiểu là đã xem là đạt yêu cầu.Chúng tôi hy vọng rằng, với bài tiểu luận về “ Củng

cố kiến thức về hàm nhiều biến” này sẽ là cẩm nang tốt cho những ai chưa hiểu sâu

về hàm nhiều biến cũng như là những người đam mê giải tích

Đây cũng là những lần đầu tập viết tiểu luận song không tránh khỏi những saisót ngoài ý muốn mong các quý thầy cô cũng như quý độc giả thông cảm Rất mongnhững sự góp ý từ thầy cô và độc giả, chúng tôi sẽ ghi nhận nhiệt tình để cho nhữngbài tiểu luận sau tốt hơn

Tập thể thành viên nhóm làm bài tiểu luận “Củng cố kiến thức về hàm nhiềubiến” xin chân thành cảm ơn

PHẦN I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

I Định nghĩa hàm nhiều biến.

Xét các ví dụ: trong quá trình tính toán để xác định một dữ kiện nào đó Ta thườngphải xác định rất nhiều thông số

Ví dụ 1: Thể tích của hình trụ được xác định bởi V =π r2h

Như vậy khi xác định được bán kính r và chiều cao h thì ta tính được thể tích củahình trụ V (r , h)→ V =f (r , h)

Ví dụ 2: Bài toán về con lắc

Một chất điểm khối lượng m, chuyển động theo một đường tròn L trong mặt phẳngđứng, dưới tác dụng của trọng lực Phương trình chuyển động của chất điểm là:

s=s0sin ¿ ( l là bán kính, s0 là biên độ) nếu bỏ qua sức cản

Như vậy khi ta xác định được thông số s0, l ,t thì sẽ xác định được vị trí của chấtđiểm tại thời gian t: s=f (s0, l ,t )

Định nghĩa: Giả sử D là tập hợp của n số thực (x1, x2,… , x n) Một hàm số thực

f trên D là một biểu thức (quy tắc toán học) ứng mỗi phần tử của D xác định một giá trị thực w=f (x1, x2, …, x n) Kí hiệu: f : D → R

x1, x2, … x n xác định trên D

Trong trường hợp hàm 2 biến, ta dùng kí hiệu z=f(x,y)

Tập hợp tất cả các giá trị x1, x2, … x n làm cho biểu thức f có nghĩa được gọi là miềnxác định của hàm số f, ký hiệu Df

Nếu tương ứng cặp giá trị (x,y) với 1 điểm M(x, y) trong mặt phẳng Oxy thì miềnxác định của hàm số chính là tập hợp các điểm trong mặt phẳng sao cho tại nhữngđiểm đó hàm số được xác định Vì vậy, miền xác định của hàm số 2 biến thườngđược biểu diễn hình học

Tập hợp các giá trị w được xác định bởi hàm số f được gọi là miền giá trị của hàmsố

II Một số khái niệm

1 Khoảng cách

Giả sử M (x1, x2, … , x n), N ( y1, y2, … y n) là hai điểm trong R n Khoảng cách giữa haiđiểm ấy lí hiệu là d(M, N)

2 Lân cận

Cho M0 là một điểm thuộc Rn Lân cận (bán kính ε hoặc ε −¿ lân cận) là tập hợp tất

cả những điểm M của Rn sao cho d(M , M0)<ε Kí hiệu B(M0, ε)

+ Điểm trong (Interrior point)

E là một tập hợp trong Rn Điểm M ϵ E được gọi là điểm trong của E nếu

∃r>0: B ( M ,r )⊂ E

+ Điểm biên (Boundary point)

Điểm M được gọi là điểm biên của E nếu mỗi lân cận của M đều có chứa điểmthuộc E và điểm không thuộc E Tập hợp các điểm biên được gọi là biên của E kíhiệu δ

1 Giới hạn của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 1: Giả sử D ⊂R và f: D → R , M 0 (x 0 ,y 0 ) là điểm tụ của tập D Ta nói rằnghàm f (x , y ) có giới hạn l tại M0 và viết:

Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau

Định nghĩa 2: Hàm z=f (M ) có giới hạn l khi M  M0 nếu với mọi dãy điểm

Mn(xn,yn) (khác M0) thuộc lân cận V của điểm M0 dần đến M0 ta đều có:

Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn tại là duy nhất Do đó, f(x,y) phần dần tới cùng

số L dù (x,y) dần đến (x 0, y 0 ) theo bất kỳ kiểu gì Trong không gian nhiều chiều, càng

Chú ý: Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm

một biến số Chẳng hạn:

f ( x , y )= 1

x2

+y2→+∞khi (x,y)  (0,0) Định lý: Cho

f ( x , y )= 2 x4k x2

x4+k2x4=

2 k 1+k2

Như vậy không tồn tại giới hạn limx →0

Ta thấy hai giới hạn tồn tại và bằng nhau

Ví dụ 2: Tìm giới hạn lặp của hàm số: f ( x , y )= x+ ycosy

 lim

x →0 lim

y→ 0 f (x , y )=1

2

∀ y≠0, ta có limx→ o f ( x , y )=cosy

 limy → 0limx→ 0 f (x , y )=lim y → 0 cosy=1

Ta thấy hai giới hnaj này tồn tại và không bằng nhau

3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp

 Định lí: Cho hàm z=f (x , y ) xác định trên tập hợp D và (x 0 ,y 0 ) là điểm tụ của D Giả sử tồn tại giới hạn L=(x , y)→(xlim

 Dễ thấy limy → 0limx→ 0 f (x , y )=lim y → 00=0 và limx →0limy→ 0 f (x , y )=lim x →00=0

4 Hướng dẫn làm bài tập

Tìm giới hạn của hàm hai biến f(x,y) khi (x,y)(a,b)

 Cách 1: tìm giới hạn theo định nghĩa

- Bằng kinh nghiệm, dự đoán giới hạn là L

-Với ε > 0, xuất phát từ bất đẳng thức |f (x , y )−L|<ε, ta biến đổi tương đương hoặctìm điều kiện đủ (dạng ⟺ hoặc ⟸) để đi đến bất đẳng thức √(x−a)2

hạn của f(x, y) khi (x, y) → (0, 0) Trái lại thì không có giới hạn.

 Cách 3: (khi a = b = 0)

Xét phương trình f(x, y) = k.

 Nếu tồn tại duy nhất một giá trị của k để phương trình có nghiệm trong lân cận

đủ bé của (0, 0), thì giá trị k đó chính là giới hạn của f(x, y) khi (x, y) → (0, 0)

 Nếu tồn tại ít nhất hai giá trị của k để phương trình có nghiệm thì không tồn tạigiới hạn của f(x, y) khi (x, y) → (0, 0)

Chú ý bằng phép đổi biến x' = x – a, y' = y – b, khi đó việc tìm giới hạn của f(x,

y) khi (x, y) → (a, b) tương đương với tìm giới hạn của g(x', y') khi (x', y') → (0, 0)

II Hàm số liên tục

1 Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa 1: hàm số f(x,y) gọi là liên tục tại M 0 (x 0 ,y 0 )  D f nếu ∀ ε > 0,

∃ δ>0 sao cho ∀ M∈ Df mà ρ(M,M 0 )< δ thì:

|f (M )−f ( M | ε

Định nghĩa 2: Hàm số f(x,y) gọi là liên tục tại M 0 D nếu:

Hàm f(M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D.

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x,y) xác định trong R2 được cho bởi biểu thức

f ( x , y )={|xy|

3 2

3 2

Vậy hàm số liên tục tại (0,0)

Ví dụ 2: Trong R2 xét hàm số f(x,y) được xác định bởi:

5 Hàm số liên tục đều

Định nghĩa: Hàm số f(M) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu: ∀ε>0,

∃δ>0 sao cho với mọi cặp điểm M1,M2 ∈ D mà ρ(M1,M2) < δ ta đều có:

Nhận xét : Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm

một biến số liên tục Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong tập compac (đóng và bị chặn) thì nó bị chặn trong miền ấy, nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất trong miền ấy, nó liên tục đều trong miền ấy.

6 Hàm số liên tục theo từng biến

Định nghĩa: Cho hàm z = f(x,y) xác định trên tập D

Ta nói rằng hàm z = f(x,y) liên tục theo biến x tại điểm M0(x0,y0) ∈ D nếu hàm một

biến f(x,y 0 ) liên tục tại điểm x0, tức là:

lim

x→ x0f(x , y0)=f (x0, y0)

Ta nói rằng hàm z = f(x,y) liên tục theo biến y tại điểm M0(x0,y0) ∈ D nếu hàm một

biến f(x 0 ,y) liên tục tại điểm y0, tức là

lim

y → y0f (x0, y)=f (x0, y0)

Nếu hàm z = f(x,y) liên tục theo biến x và y tại điểm M0 , ta nói rằng nó liên tục theotừng biến tại M0.

Định lý: Nếu hàm z = f(x,y) liên tục tại M 0 ∈ D (liên tục theo tập hợp các biến) thì nó liên tục theo từng biến tại M 0

Dễ thấy tại các điểm M(x,y) mà x2+4 y2<1 và x2+4 y2>1 hàm số liên tục

Xét điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) thoả mãn x02+4 y02=1, ta thấy khi M(x,y) → M 0 (x 0 ,y 0 ) thì

f ( x , y )→√1−x02−4 y02=0

Do đó để hàm liên tục trên ℝ2 thì c=0

7 Hướng dẫn bài tập

Sự liên tục của hàm hai biến

Hàm f(x, y) liên tục tại điểm (a, b) nếu các kiểm tra sau đều đúng:

a) Hàm f xác định tại (a, b), tức là tồn tại f(a, b)

b) Có giới hạn: f(x, y) → L khi (x, y) → (a, b)

c) Giới hạn đó trùng với giá trị của hàm tại (a, b), tức là L = f(a, b)

Các hàm sơ cấp liên tục trong miền xác định của nó

Ví dụ 1: Tìm miền liên tục của hàm f ( x , y )= x y

giá trị của hàm tại (0, 0), do đó hàm liên tục tại (0,0)

Kết luận: Hàm đã cho liên tục trên toàn mặt phẳng

PHẦN III: ĐẠO HÀM

I Đạo hàm riêng cấp 1

-Cho z = f(x;y) là hàm theo hai biến số độc lập x;y Cố định biến số y (cho y là hằng số)

-Có một hàm số theo biến x.Ta xét sự thay đổi Giả sử hàm số z = f(x;y) (y là hằng

số ) có đạp hàm theo biến số x, thì giá trị đạo hàm này là:

lim

∆ x→ 0

f ( x +∆ x ; y )−f (x ; y )

∆ x

-Ta ký hiệu giới hạn trên là f x ,

(x ; y), trong đó biến x ở chỉ số dưới, ngầm chỉ rằngđạo hàm được lấy theo biến x khi cố định biến y Và gọi là đạo hàm riêng của hàm ftheo biến x

 Vậy: Chúng ta định nghĩa đạo hàm riêng của f(x;y) theo biến x tại điểm (x0; y0)

như là đạo hàm thường của hàm f(x ; y0) tại điểm x = x0.

 Để chỉ ký hiệu đạo hàm riêng, ta dùng ký hiệu ∂thay cho ký hiệu d (vốn dùng

để ký hiệu đạo hàm thường – đạo hàm của hàm một biến)

 Để tính đạo hàm riêng theo biến x, ta chỉ việc xem các biến còn lại là các hằng

số và lấy đạo hàm như hàm số một biến số x

 Các quy tắc lấy đạo hàm thường vẫn đúng trong trường hợp lấy đạo hàm riêng

 Trong thực hành, để tính ∂ f ∂ x(x0; y0) dựa vào định nghĩa ta có hai cách:

Cách 1: Tìm ∂ y ∂ f = ¿∂ f

∂ y(x0; y0) (trong trường hợp hàm số ∂ y ∂ f xác định tại (x0; y0)

Cách 2: Theo định nghĩa , lặp hàm f(x ; y0)tìm d

dx f(x ; y0)∨x=x0 thì đây chính làgiá trị ∂ y ∂ f (x0; y0)

 Khi hàm số z=f(x;y) có các đạo hàm riêng theo các biến , vector có các thànhphần lần lượt là các đạo hàm riêng theo các biến của hàm f được gọi là vectorgradient , ký hiệu:

)

Do đó: ∂ y ∂ f (1; 1)=2 μx cos μx=−2 μx

Cách 2:

Do đó: ∂ y ∂ f (1; 1)=2 μx cosμx=−2 μx

Cả hai cách cùng kết quả nên suy ra: ∇ f (1;1)=(−μx ;−2 μx)

Ví Dụ 2: Cho hàm f ( x ; y )={x2xy

+y2( x ; y )≠ (0 ; 0) 0( x ; y )=0 ;0

¿

¿ tìm ∂ f ∂ x (0; 0); ∂ f

∂ y(0 ;0)

Giải:

Với hàm số f(x; y) này ta không thể tìm hàm đạo hàm riêng ∂ f ∂ x ; ∂ f

∂ y rồi suy ra giá trịđạo hàm riêng tại (0;0), vì hai hàm ∂ f ∂ x (x ; y )= y (x2−y2)

(x2+y2)2 ; ∂ f

∂ y ( x ; y )=

x (x2−y2)

(x2+y2)2 chỉ xácđịnh với mọi (x; y) khác (0;0)

Do đó, ta phải dùng định nghĩa để tính giá trị ∂ f ∂ x (0; 0), ta có:

 Đối với hàm một biến, ta đã biết nếu hàm có đạo hàm thì số liên tục (tại điểmkhảo sát ) Đối với hàm nhiều biến , việc tồn tại các đạo hàm riêng chưa đảm bảo sựliên tục của hàm số.

II Đạo hàm riêng cấp cao:

1 Tìm hiểu về đạo hàm riêng cấp cao:

-Cho z= f(x;y) là hàm theo hai biến số độc lập x;y

-Các hàm đạo hàm riêng ∂ z ∂ x ; ∂ z

∂ y nói chung là những hàm số của các biến số x vàbiến số y Do đó, ta lại có thể tìm các đạo hàm riêng của chúng Vì vậy, hàm số z-f(x; y) có 4 đạo hàm riêng cấp 2 vì mỗi hàm số ∂ z ∂ x ; ∂ z

∂ y có thể lấy đạo hàm theo x vàtheo y

-Đạo hàm riêng cấp hai là đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một Giả sử xéthàm hai biến z = f(x; y) , ta có các đạo hàm cấp hai sau:

lấy đạo hàm hàm f liên tiếp hai lần theo biến y

Tới đây, lại có thể đạo hàm các đạo hàm cấp hai theo x cũng như theo y ta được cácđạo hàm riêng cấp ba Vậy là có 8 đạo hàm riêng cấp ba:

Tổng quát: Đạo hàm riêng cấp n là đạo hàm riêng cáp một của hàm đạo

hàm riêng cấp n -1 Đối với hàm nhiều hơn hai biến số, đạo hàm riêng cấp cấp cao được định nghĩa tương tự.

Ví dụ: ∂ n z

∂ x p ∂ y n− p là đạo hàm cấp n Ở đây, trước tiên lấy đạo hàm hàm số z liên tiếp p lần theo x, và sau đó n-p lần theo y

9 Các ví dụ minh họa cho đạo hàm riêng cấp cao:

Ví dụ 1: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số : f(x; y) = e x cosy+x2y2

Giải:

Ta có: ∂ f ∂ x=e x cosy+2 x y2; ∂ f

∂ y=−e

x siny+2 y x2

2f

∂ y ∂ x=−e

x siny+ 4 yx

Ví dụ 2: Cho f(x; y) = e x siny +x3 tính đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:

Giải:

Ta có: ∂ f ∂ x=e x siny+3 x2; ∂ f

∂ y=e

x cosy

∂2f

∂ x2=e

x siny +6 x ; ∂

2

f

∂ y2=−e

x siny

Ví dụ 3: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 tại điểm (0;0) của hàm số:

f ( x ; y )={xy(x2−y2)

x2+y2 ( x ; y )≠ (0 ; 0 )

0 ( x ; y )=(0 ;0)

M 0

Khi đó, đại lượng A ∆ x +B ∆ y được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) tại

(x0, y0) ứng với các số gia ∆ x , ∆ y được kí hiệu df(x0, y0).

b) Ta không thể dung định nghĩa để xét sự khả vi của hàm số z=sin x cos y như ở

ví dụ tổng quát, ta chỉ có thể áp dụng định nghĩa để xét sự khả vi cho những hàm sốdạng đa thức, còn các hàm số khác thì không thể dung định nghĩa để khảo sát sự khả

vi tại một điểm/ vì vậy, ta cần phải tìm một công cụ khác để giải quyết vấn đề này

c) Hàm số z=f (x , y ) được gọi là khả vi trên miền D nếu nó có khả vi tại mọi điểmthuộc D

a) Nếu hàm số f(x, y) không liên tục tại (x0, y0) thì sẽ không khả vi tại điểm đó

b) Hàm số khả vi trên miền D thì liên tục trong miền đó

 Định lý 2: Nếu f (x , y ) khả vi tại (x0, y0) thì nó có các đạo hàm riêng f ' x , f ' y

tại (x0, y0) và chúng tương ứng bằng A, B trong biểu thức

Cho f(x, y) xác định trong miền mở chứa điểm (x0, y0) và các đạo hàm riêng f ' x , f ' y

liên tục tại (x0, y0) thì hàm f(x, y) khả vi tại (x0, y0)

Với ∆ x , ∆ y đủ bé ta có:

∆ f(x0, y0)=f(x0+∆ x , y0+∆ y)−f (x0, y0)

¿[f(x0+∆ x , y0+∆ y)−f (x0, y0+∆ y )]+[f(x0, y0+∆ y)−f(x0, y0)]

Mỗi đại lượng trong các dấu móc vuông là các số gia riêng tương ứng theo biến x và

y, nên có thể sử dụng công thức Lagrange cho hàm một biến và ta được:

Với α , β →0 khi ∆ x , ∆ y → 0 Từ đó rút ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 1: Cho hàm F ( x , y )={x 2 xy2+y2khi (x , y )≠ (0 ;0)

0 khi ( x , y )=(0 ;0)

Tính ∂ f ∂ x (0; 0) và ∂ y ∂ f (0 ; 0) Hàm cókhả vi tại (0; 0) hay không?

IV Vi phân cấp cao

 Định nghĩa: Cho hàm f = f(x, y) khi đó df(x, y) cũng là một hàm hai biến x, y

Vi phân (nếu có) của vi phân cấp một được gọi là vi phân cấp 2

Phần V ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP

I Định nghĩa đạo hàm riêng

Giả sử Z= f(x, y) là hàm số xác định và liên tục trong miền D, nếu giữ y không đổi,cho x một số gia Dx1 0 và khá bé thì hàm Z= f(x, y) có một số gia tương ứng gọi là sốgia riêng theo biến x của hàm tại M(x, y)

Như vậy: muốn tính đạo hàm riêng của một biến số nào đó ta chỉ việc xemhàm số chỉ phụ thuộc vào biến đó còn các biến khác xem như không đổi và áp dụngqui tắc đối với hàm một biến để tính đạo hàm riêng.

Biểu diễn hình học:

Trong đó: f(x, y) biểu diễn bởi mặt S (màu xanh)

Giả sử f(a, b)= c, nên điểm P (a , b , c ) ∈ S Cố định y= Đường cong C1 là giao của S

II Đạo hàm riêng của hàm hợp

Giả sử u= f(x, y) với x= x(s, t); y= y(s, t) Trong đó u là hàm hợp của hai hàm s, t

u=f[x ( s , t ), y (s ,t )] Tính ∂u ∂ s, ∂u ∂ t Giả thiết u, x, y đều là những hàm khả vi

 Định lý: Cho u= f(x, y) với x= =(s, t); y= y(s, t) thỏa mãn các biến trung gian

x(s, t); y(s, t) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (a, b), f(x, y) khả vi tại điểm

y

(a, b, 0) x