Bài tiểu luận về Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biến

Bài tiểu luận về Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biếnBài tiểu luận về Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biếnBài tiểu luận về Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biếnBài tiểu luận về Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biếnBài tiểu luận về Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biếnBài tiểu luận về Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biếnBài tiểu luận về Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biến

Lời mở đầu Bài tiểu luận “Củng cố kiến thức hàm nhiều biến ” đưa cho thấy khái niệm tính chất, định lí Hàm nhiều biến Bên cạnh thơng qua ví dụ tập củng cố để ta nắm bắt rõ chuyên sâu hàm nhiều biến Thông qua tiểu luận thấy : Toán học nằm trừu tượng ích tốn học nằm cụ thể Qua ta hiểu rõ hai mặt tốn học nhằm rèn luyện khả rèn luyện sinh viên Phần 1: Chúng ta tìm hiểu biết khái niệm hàm nhiều biến, ta thấy hàm biến hàm nhiều biến có nhiều khác biệt song song hàm hai biến hàm nhiều hai biến không khác nguyên tắc Phần 2: Ta biết giới hạn liên tục hàm nhiều biến biết hàm hữu tỉ liên tục điểm mà xác định hợp hai hàm liên tục hàm liên tục Phần 3: Ta tìm hiểu đạo hàm hàm nhiều biến thông qua số định lý Phần 4: Sẽ tìm hiểu khả vi vi phân hàm nhiều biến, biết điều kiện cần khả vi vi phân thông qua phép tính tính chất liên quan cần biết Không vậy, phần ta biết đạo hàm riêng vi phân hàm hợp Đạo hàm riêng vi phân hàm nhiều biến có khác so với hàm bình thường Trang Phần 6: Sẽ nói hàm ẩn, đạo hàm riêng vi phân Ta biết hàm ẩn khác đạo hàm riêng vi phân so với hàm khác tập liên quan giúp ta hiểu rõ Phần 7: Nói cơng thức Taylor Và tiểu luận , cố gắng đưa vào định lí hay số tập với nhiều cách giải tối ưu với phương pháp suy luận điển hình , cần cho việc rèn luyện tư Và người đọc không cần nhớ chi tiết mà cẩn hiểu xem đạt yêu cầu.Chúng hy vọng rằng, với tiểu luận “ Củng cố kiến thức hàm nhiều biến” cẩm nang tốt cho chưa hiểu sâu hàm nhiều biến người đam mê giải tích Đây lần đầu tập viết tiểu luận song không tránh khỏi sai sót ngồi ý muốn mong quý thầy cô quý độc giả thông cảm Rất mong góp ý từ thầy độc giả, chúng tơi ghi nhận nhiệt tình tiểu luận sau tốt Tập thể thành viên nhóm làm tiểu luận “Củng cố kiến thức hàm nhiều biến” xin chân thành cảm ơn Trang PHẦN I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN I Định nghĩa hàm nhiều biến Xét ví dụ: q trình tính tốn để xác định kiện Ta thường phải xác định nhiều thơng số Ví dụ 1: Thể tích hình trụ xác định Như xác định bán kính r chiều cao h ta tính thể tích hình trụ Ví dụ 2: Bài toán lắc Một chất điểm khối lượng m, chuyển động theo đường tròn L mặt phẳng đứng, tác dụng trọng lực Phương trình chuyển động chất điểm là: ( l bán kính, s0 biên độ) bỏ qua sức cản Như ta xác định thông số s 0, l ,t xác định vị trí chất điểm thời gian t: Định nghĩa: Giả sử D tập hợp n số thực Một hàm số thực f D biểu thức (quy tắc toán học) ứng phần tử D xác định giá trị thực Kí hiệu: xác định D Trong trường hợp hàm biến, ta dùng kí hiệu z=f(x,y) Tập hợp tất giá trị làm cho biểu thức f có nghĩa gọi miền xác định hàm số f, ký hiệu Df Nếu tương ứng cặp giá trị (x,y) với điểm M(x, y) mặt phẳng Oxy miền xác định hàm số tập hợp điểm mặt phẳng cho điểm hàm số xác định Vì vậy, miền xác định hàm số biến thường biểu diễn hình học Tập hợp giá trị w xác định hàm số f gọi miền giá trị hàm số Trang II Một số khái niệm Khoảng cách Giả sử , hai điểm Khoảng cách hai điểm lí hiệu d(M, N) Lân cận Cho M0 điểm thuộc Rn Lân cận (bán kính lân cận) tập hợp tất điểm M Rn cho Kí hiệu + Điểm (Interrior point) E tập hợp Rn Điểm M E gọi điểm E + Điểm biên (Boundary point) Điểm M gọi điểm biên E lân cận M có chứa điểm thuộc E điểm không thuộc E Tập hợp điểm biên gọi biên E kí hiệu + Tập mở Tập E gọi mở điểm điểm + Tập đóng Tập E gọi đóng chứa điểm biên + Tập bị chặn Tập E gọi bị chặn (giới nội) + Tập liên thông Tập E gọi liên thông cặp điểm E ln có đường cong lien tục nối nằm hoàn toàn E III Đồ thị, đường mặt đẳng trị Đồ thị Đồ thị hàm số tập (thuộc không gian ) Trang Tập đẳng trị Tập tất điểm (x, y) cho f(x, y) = const gọi tập đẳng trị (hoặc tập đồng mức) hàm f(x, y) Ví dụ: Cho hàm số Tập hợp điểm (x, y) thỏa mãn điều kiện tập đẳng trị, mặt trụ trục Oz, bán kính PHẦN II: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC I Giới hạn Giới hạn hàm số điểm Định nghĩa 1: Giả sử : , M0(x0,y0) điểm tụ tập Ta nói hàm có giới hạn M0 viết: cho thoả mãn ρ(M,M0) < δ Định nghĩa tương đương với định nghĩa sau Định nghĩa 2: Hàm có giới hạn M → M0 với dãy điểm M n(xn,yn) (khác M0) thuộc lân cận V điểm M0 dần đến M0 ta có: Khi ta viết: Hay Ta gọi giới hạn giới hạn kép giới hạn theo tập hợp biến • Nhận xét: Trang Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn Do đó, f(x,y) phần dần tới số L dù (x,y) dần đến (x0,y0) theo kiểu Trong khơng gian nhiều chiều, có nhiều kiểu để (x,y) dần đến (x0,y0) nên khó tồn giới hạn Chú ý: Khái niệm giới hạn vô hạn định nghĩa tương tự hàm biến số Chẳng hạn: (x,y) → (0,0) • Định lý: Cho Khi ta có: 1) 2) 3) 4) Tất giới hạn x→x0,y→y0 Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm vơi Giải: Vì Nên Do đó: Ví dụ 2: tìm Giải: Nếu cho (x,y)→(0,0) theo phương đường thẳng y = kx2, ta có: Như khơng tồn giới hạn k thay đổi giới hạn đổi Trang Giới hạn lặp Xét hàm số f(x,y) cố định giá trị , xem hàm f(x,y) hàm biến x Giả sử tồn giới hạn: Nếu tồn giới hạn: gọi giới hạn lặp x→x0, y→y0 viết: Hồn tồn tương tự ta có: Ví dụ 1: Cho hàm số Hãy tìm Giải: ∀y≠0 ta có ⇒ ∀x≠0 ta có ⇒ Ta thấy hai giới hạn tồn Ví dụ 2: Tìm giới hạn lặp hàm số: (x,y) = (0,0) ∀x≠0, ta có ⇒ ∀ y≠0, ta có ⇒ Ta thấy hai giới hnaj tồn không  Quan hệ giới hạn theo tập hợp biến giới hạn lặp Định lí: Cho hàm xác định tập hợp (x 0,y0) điểm tụ Giả sử tồn giới hạn Khi tồn giới hạn lặp hàm số (x 0,y0) giới hạn Trang Chứng minh: Giả sử tồn giới hạn Ta chứng minh Đặt: ⇒ Bởi : Nên ∀ ε ≥ 0, ∃ δ > cho ∀(x,y) thỏa Thì Ta có: cho ⇒ Cho x→x0 ta ⇒ L=L’ Chú ý Sự tồn giới hạn lặp kể chúng không suy tồn giới hạn hàm theo tập hợp biến Sự tồn giới hạn theo tập hợp biến không suy tồn giới hạn lặp Ví dụ : Tìm giới hạn (x,y)→ (0,0) hàm số    • •   Ta có (x,y)→ (0,0).Vậy Dễ thấy Hướng dẫn làm tập Tìm giới hạn hàm hai biến f(x,y) (x,y)→(a,b) Cách 1: tìm giới hạn theo định nghĩa - Bằng kinh nghiệm, dự đoán giới hạn L -Với ε > 0, xuất phát từ bất đẳng thức , ta biến đổi tương đương tìm điều kiện đủ (dạng ⟺ ⟸) để đến bất đẳng thức - Lấy δ = B(ε) Vậy ta chứng minh , ⟹ Tức (x, y) → (a, b) Cách 2: (khi a = b = 0) Trang • • •  • • Đặt (hay y = tx) Xét khả t t → (VD , ) t → ∞ (VD , ) t → k ≠ 0, k ≠ ∞ (VD y = 2x, ) Nếu khả mà dần tới giá trị f0 f0 giới hạn f(x, y) (x, y) → (0, 0) Trái lại khơng có giới hạn Cách 3: (khi a = b = 0) Xét phương trình f(x, y) = k Nếu tồn giá trị k để phương trình có nghiệm lân cận đủ bé (0, 0), giá trị k giới hạn f(x, y) (x, y) → (0, 0) Nếu tồn hai giá trị k để phương trình có nghiệm khơng tồn giới hạn f(x, y) (x, y) → (0, 0) Chú ý phép đổi biến x' = x – a, y' = y – b, việc tìm giới hạn f(x, y) (x, y) → (a, b) tương đương với tìm giới hạn g(x', y') (x', y') → (0, 0) II Hàm số liên tục Hàm số liên tục điểm • Định nghĩa 1: hàm số f(x,y) gọi liên tục M0(x0,y0) ∈ Df ∀ ε > 0, ∃ δ>0 cho ∀ M∈ Df mà ρ(M,M0)< δ thì: • Định nghĩa 2: Hàm số f(x,y) gọi liên tục M0∈D nếu: Nếu D tập hợp đóng, M0 điểm biên D hiểu giới hạn f(M) M dẫn tới M0 bên D • Định nghĩa 3: Hàm số f(M) liên tục M 0(x0,y0)∈D với dãy {Mk(xk,yk)}⊂ D, Mk→M0 k→ ∞ ta có: f(Mk)→f(M0) hay f(xk,yk)→f(x0,y0) Hàm f(M) gọi liên tục miền D liên tục điểm thuộc D Ví dụ 1: Xét hàm số f(x,y) xác định cho biểu thức Ta thấy ⇒ →0 (x,y)→(0,0) Vậy hàm số liên tục (0,0) Ví dụ 2: Trong R2 xét hàm số f(x,y) xác định bởi: Trang Ta thấy dãy n→+∞ Nhưng n → +∞ Vậy hàm số không liên tục điểm (0,0) Hàm số liên tục • Định nghĩa: Hàm số f(M) gọi liên tục miền D nếu: ∀ε>0, ∃δ>0 cho với cặp điểm M1,M2 ∈ D mà ρ(M1,M2) < δ ta có: Ví dụ: Xét hàm số R2 Với cặp điểm M1(x1,y1) M2(x2,y2) ta có: Do nên Từ ta có , ∀ M1 , M2 ∈ ℝ2 mà ρ(M1,M2) < δ ⇒Hàm số liên tục ℝ2 • Nhận xét: Hàm số nhiều biến số liên tục có tính chất hàm biến số liên tục Chẳng hạn, hàm số nhiều biến số liên tục tập compac (đóng bị chặn) bị chặn miền ấy, đạt giá trị lớn giá trị bé miền ấy, liên tục miền Hàm số liên tục theo biến • Định nghĩa: Cho hàm z = f(x,y) xác định tập D Ta nói hàm z = f(x,y) liên tục theo biến x điểm M0(x0,y0) ∈ D hàm biến f(x,y0) liên tục điểm x0, tức là: Trang 10 Vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào hệ số k nên giới hạn khơng tồn Do đó: Nên hàm số không liên tục (0; 0) khơng khả vi (0; 0) Ví dụ 2: Tìm vi phân hàm số Giải: Hàm số xác định liên tục với nên khả vi điểm Khi ta có: III Tính gần +) Cho f(x, y) khả vi , ta có: Cơng thức dung để tính gần giá trị f (x, y): Ta có +) Quy tắc dung vi phân cấp để tính gần đúng: Để tính gần giá trị hàm f điểm cho trước (x, y), ta thực hiện: 1) 2) 3) Chọn điểm gần với điểm (x, y) cho tính dễ dàng Tính giá trị Sử dụng công thức: Nếu điểm xa với điểm (x, y) giá trị tính khơng phù hợp Ví dụ 1: Tính gần giá trị Giải: Xét hàm số với Ta có: Trang 20 Ví dụ 2: Chứng tỏ khả vi (1,0) Sử dụng kết để tính gần giá trị Giải: Các đạo hàm riêng cấp lien tục nên liên tục lân cận (1, 0) Theo định lý điều kiện đủ khả vi khả vi (1, 0) Chọn So sánh với giá trị thực a) b) Ví dụ 3: Cho Tìm Khi x thay đổi từ đến 2.05, y thay đổi từ đến 2.96, so sánh Giải: a) b) Cho IV Vi phân cấp cao  Định nghĩa: Cho hàm f = f(x, y) df(x, y) hàm hai biến x, y Vi phân (nếu có) vi phân cấp gọi vi phân cấp Trang 21 Vi phân cấp n hàm biến f(x, y): (Sử dụng nhị thức Newton ta có cơng thức tính vi phân cấp n) Tổng qt cho hàm số s biến : Ví dụ: Tìm vi phân cấp hai biết: Giải: Vi phân cấp hai V Tính chất vi phân Cho f(x, y) g(x, y) khả vi Khi ta có: a) b) c) d) Phần V ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP I Định nghĩa đạo hàm riêng Giả sử Z= f(x, y) hàm số xác định liên tục miền D, giữ y không đổi, cho x số gia Dx1 bé hàm Z= f(x, y) có số gia tương ứng gọi số gia riêng theo biến x hàm M(x, y) Tương tự, giữ x không đổi cho y số gia Dy1 bé Z= f(x, y) có số gia tương ứng số gia riêng theo biến y hàm M (x, y) Trang 22 Nếu mà giới hạn xác định giới hạn gọi đạo hàm riêng theo biến x (hoặc y) hàm điểm hay Z’(x)= f’x(x, y) Z’(y)= f’y(x, y) Tương tự: • • Như vậy: muốn tính đạo hàm riêng biến số ta việc xem hàm số phụ thuộc vào biến biến khác xem không đổi áp dụng qui tắc hàm biến để tính đạo hàm riêng Biểu diễn hình học: z C1 T1 T2 P(a, b, c) C2 O y (a, b, 0) x Trong đó: f(x, y) biểu diễn mặt S (màu xanh) Giả sử f(a, b)= c, nên điểm Cố định y= Đường cong C giao S mặt phẳng y= b Phương trình đường cong C1 g(x)= f(c, b) Hệ số góc tiếp tuyến T với đường cong C1 là: g’(a)= f’x(a; b) Đạo hàm riêng theo x f= f(x, y) hệ số góc tiếp tuyến T với đường cong C1 P(a, b, c) Tương tự đạo hàm riêng theo y f= f (x, y) hệ số góc tiếp tuyến T với đường cong C2 P(a, b, c) Trang 23 II Đạo hàm riêng hàm hợp Giả sử u= f(x, y) với x= x(s, t); y= y(s, t) Trong u hàm hợp hai hàm s, t Tính , Giả thiết u, x, y hàm khả vi  Định lý: Cho u= f(x, y) với x= =(s, t); y= y(s, t) thỏa mãn biến trung gian x(s, t); y(s, t) có đạo hàm riêng cấp (a, b), f(x, y) khả vi điểm Khi hàm hợp u= u(s, t) có đạo hàm riêng cấp (a, b) tính theo cơng thức: Được gọi ma trận Jacobi x, y t, s; định thức ma trận gọi định thức Jacobi x, y t, s kí hiệu Viết dạng ma trận: Kết luận: • • Ví dụ 1: Cho Tính Ta có: +) Cho hàm f(x, y) y= y(x), đó: +) Cho hàm f(x, y) x, y hàm hai biến Khi đó: Trang 24 +) Trong trường hợp tổng quát hàm n biến , với k= 1, 2,…, n Khi đó: Với i= 1, ,…, m Ví dụ 2: cho với Tính Ta có: +) +) III Vi phân hàm hợp Nếu hàm z= f(x, y) khả vi, biến x, y biến độc lập Trong Xét hàm hợp z= f(x, y), với x= x(u, v), y= y(u, v) (u, v biến độc lập) Ta có: Trong đạo hàm riêng , công thức +) Đạo hàm +) Hàm hợp Ta được: +) Tính bất biến dạng vi phân cấp một: dạng vi phân tồn phần khơng đổi cho dù x y biến độc lập hàm số Tuy nhiên khơng cho vi phân cấp cao Trang 25 IV Đạo hàm riêng vi phân cấp cao hàm hợp a) Đạo hàm cấp hàm hợp TH1: (Trong hàm hợp biến u) b) TH2: ; (Trong hàm hợp hai biến u, v) a) 13 TH1: Vi phân cấp hàm hợp (Trong u, v biến hàm, du, dv khơng số) hàm hợp hai biến ; ; Vi phân cấp hai khơng tính bất biến Trang 26 b) TH2: Để tìm đạo hàm riêng (vi phân) cấp hai hàm hợp ta lấy đạo hàm (vi phân) cấp phải biết phân biệt hàm hợp biến Phần VI: HÀM ẨN, ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM ẨN I Hàm ẩn đạo hàm riêng Hàm ẩn đạo hàm riêng nó: Cho hàm số xác định miền D chứa điểm Giả thiết biết với , tồn giá trị y cho Như ta xác định hàm số y=y(x)xác định khoảng thỏa mãn vói Khi ta nói phương trình F(x;y) = xác định y hàm ẩn x khoảng VD: Phương trình rõ ràng xác định hàm số R 14 Định lý: Giả sử F( x;y ) = xác định hàm ẩn cho với Ta sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp: Ví dụ: Tìm y’(x) biết y = y(x) hàm ẩn xác định từ phương trình: Giải: Cách 1: Ta đạo hàm vế phương trình ý y hàm theo x y + xy’ + 2x + 2yy’= exy (y + xy’) Sau biến đổi ta được: Cách 2: Ta sử dụng công thức ý sử dụng đạo hàm riêng: Trang 27 Chú ý: Ta cần phân biệt đạo hàm theo x cách Cách 1, đạo hàm vế coi y hàm theo x Cách 2, đạo hàm riêng F theo x, coi y  II Trường hợp hàm ẩn nhiều biến Giả sử phương trình xác định hàm ẩn cho với thuộc miền xác định z Sử dụng cơng thức tính đạo hàm hàm hợp ( ý x, y biến độc lập, z hàm theo x, y) Ví dụ: Tìm z’(x) biết z = z(x;y) hàm ẩn xác định từ phương trình: x + y – z = ez – x – y Giải: Cách 1: đạo hàm vế phương trình theo x, y y hằng, z hàm theo x Cách 2: ta sử dụng công thức Chú ý x biến, y z Tương tự đạo hàm riêng z theo y III Định lý hàm ẩn Cho hàm F(x;y) thỏa điều kiện sau: 1/ Xác định, liên tục hình tròn mở tâm bán kính r 2/ 3/ 4/ Tồn trongcác đạo hàm riêng liên tục Khi đó, xác định lân cận U , hàm thỏa U Ngoài ra, khả vi, liên tục U Trang 28 Đạo hàm riêng cấp hàm ẩn  Chú ý: x hằng, y biến, z hàm theo y Vi phân cấp hàm ẩn: Vi phân cấp hàm ẩn:  Chú ý: Vì hàm biến độc lập x y Nên vi phân cấp 1, cấp cấp cao hàm ẩn giống vi phân cấp cấp hàm IV Hệ hàm ẩn vi phân chúng: Cho hệ phương trình : (1) có nghiệm x = x0 , y = y0 , u = u0 , v = v0 lận cận điểm điểm hàm F G có đạo hàm riêng cấp liên tục định thức Jacobi khác Khi lân cận điểm , hệ (1) xác định cặp hàm u(x; y) , v(x; y) có đạo hàm riêng liên tục thỏa điều kiện (đó nội dung định lý hàm ẩn hệ mà ta không chứng minh) Để tìm vi phân du, dv đạo hàm riêng, ta lấy vi phân toàn phần hàm F, G , giải hệ: Ví dụ: Cho u, v hàm biến độc lập x; y xác định hệ phương trình u + v = x; u – y0 = Hãy tính du, dv, d2u, d2v Giải: Trang 29 Ta có: Lấy vi phân hệ ta được: Giải ta được: Vậy: Để tính d2u, d2v ta có hai phương pháp Thứ vi phân trực tiếp vi phân cấp Thứ hai lấy vi phân hệ thức Ta làm theo phương pháp sau: Lấy vi phân hệ thức: Giải ta được: V Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm dz(1;1) biết hàm ẩn xác định từ phương trình Giải: f(x;y;z) = Vi phân cấp 1: Ví dụ 2: Tìm , biết z= z(x;y) hàm ẩn xác định từ phương trình: Trang 30 Giải: F(x;y;z)= ( đạo hàm theo y , coi x số, y biến, z hàm theo y) Ví dụ 3: Tìm hàm ẩn xác định từ phương trình: Giải: F(x;y;z)= ; (coi x số, y biến, z hàm theo y) PHẦN VII: CÔNG THỨC TAYLOR Cho hàm z = f(x;y) có đạo hàm riêng đến cấp (n+1) Giả thiết rằng: Nếu t = => Vì có đạo hàm đến cấp n+1 nên theo cơng thức Maclaurin ta có: Trang 31 Nếu t =1: (1) Mặc khác: Tương tự, theo qui nạp ta được: Do đó: Thay vào (1) ta công thức Taylor: (0< Vậy công thức Taylor là: F(x;y)=,