011 đề HSG toán 7 huyện nga sơn 2009 2010

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2009-2010 Mơn thi: TỐN Câu ( điểm) Tìm x biết: 13  13  a) 7,5 x :     21  25  c) x  x   160 b)  3x  1  46  2.33 d) x   x   3x Câu (3 điểm) So sánh: 500 a) c) P  300 13    b)      243   83  1019  1020  Q  1020  1021  Câu (4 điểm) Tìm ba số tự nhiên có tổng bình phương 1201; số thứ số thứ hai có tỉ lệ 4; số thứ số thứ ba tỉ lệ với Câu (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC, điểm E nằm M C Kẻ BH, CK vng góc với AE (H K thuộc đường thẳng AE) Chứng minh rằng: a) BH = CK b) MBH  MAK c) Tam giác MHK tam giác vuông cân d) Khi E di động đoạn thẳng MC BH  CK ln khơng đổi Câu (1 điểm) Cho ba số phương x; y; z Chứng minh A   x  y  y  z  z  x  12 ĐÁP ÁN HSG NGA SƠN 2009-2010 Câu a) 7,5x :    Vậy x  13  13 50 63 63 50   7,5 x   x     7,5 x : 21  25 21 25 25 21 5 b)  3x  12  46  2.33  3x 1  46  54   3x  1  100   3x  1  102 2 3x 1  10 3x 1  10 *Nếu 3x   10  x  11 *Nếu 3x 1  10  x  3 Vậy x  11 ; x  3 c) 2x 1  22   160  2x  32  x  Vậy x  d) x   x   3x (*) *) Xét x   VT  , VP < nên khơng có giá trị x thỏa mãn *) Xét x   x   x   nên x  1  x ; x2  x2 2 Khi (*) trở thành: x   x   3x  x  Vậy x  2 Câu a) Ta có: 3500   35   243100 100 Vì 243100  343100 nên 3500  7300 Vậy 3500  7300 ;7300   73  100  343100 9 45 52 13 13 13    1 1 1 1  1 b) Ta có:                243       3 3   81   83  13   1 Vậy      243   83  1020  10   20 (1) 20 10  10  c) Ta có 1021  10 10Q    21 (2) 21 10  10  10 P  Vì 9  10  10  20 21 nên từ (1) (2) suy 10P  10Q  P  Q Vậy P > Q Câu Gọi số tự nhiên cần tìm x, y, z Theo đề ta có: x y x z x y z      15 20 24 Đặt x y z    k (k  0)  x  15k ; y  20k ; z  24k 15 20 24  x  y  z  15k    20k    24k   1201k  1201 2  k   k  1(Vi k  0)  x  15; y  20; z  24 Vậy x  15; y  20; z  24 ba số phải tìm Câu A H E B C M K a) Xét ABH CAK có: H  K  900 ( gt ); AB  AC ( gt ) ; ABH  CAK (cùng phụ với BAH )  ABH  CAK (ch  gn)  BH  AK b) Dễ thấy ABM  AMC (cgc)  AMB  AMC Mà AMB  AMC  1800  AMB  AMC  900  AM  BC Do ABC vuông cân nên ABC  450  AMB vuông cân M  MA  MB Xét MBH MAK có: BH  AK (chứng minh câu a) MBH  MAK (cùng phụ với AEB) ; MA = MB (chứng minh trên)  MBH  MAK (c.g.c) c) Theo câu b) MBH  MAK  MH  MK KMA  HMB (1) Mà HMB  900  HMA ; KMA  KMH  HMA  KMH  900 (2) Từ (1) (2)  MKH vuông cân M d) Khi E khác M C Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng ACK ta có: AK  KC  AC mà AK  BH  AK  BH  BH  KC  AC khơng đổi *Khi E trùng với C BH  CK  AB2  02  AB2  AC *Khi E trùng với M BH  KC  MA2  MC  AC Vậy E di động đoạn thẳng MC tổng BH  KC ln khơng đổi Câu Theo đề x; y; z số phương Mà số phương chia cho cho có thê dư dư Do số phương x; y; z chia cho phải có hai số có số dư, nên số x  y; y  z; z  x phải có số chia hết cho suy  x  y  y  z  z  x  Chứng minh tương tự ta có  x  y  y  z  z  x  Mà  3,   nên A   x  y  y  z  z  x  12 ...ĐÁP ÁN HSG NGA SƠN 2009-2010 Câu a) 7,5x :    Vậy x  13  13 50 63 63 50   7,5 x   x    