Bài1: Bài hình thì chỉ cần để ý rằng và sẽ cùng cắt tại một điểm.Sử dụng phương tích suy ra được cùng thuộc một đường tròn Tương tự ta có cùng thuộc một đường tròn cùng thuộc một đường tròn Gọi tâm các đường tròn trên lần lượt là suy ra thẳng hàng với là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Mà nó lại thuộc trung trực của nên các điểm này trùng nhau hay ta có điều phải chứng minh. Bài2: Đặt suy ra Thay vào giả thiết suy ra Suy ra điều phải chứng minh Để chứng minh ý sau ta chỉ cần chỉ ra tồn tại vô hạn bộ hữu tỉ sao cho và .Chú ý là Thật vậy, thế vào ta có Chọn với Dễ thấy phương trình có nghiệm hữu tỉ thỏa mãn bài toán. Bài3: ta sử dụng tính chất với mọi luôn tồn tại sao cho Ta có thể giả sử vì ta có thể thay bởi Đặt suy ra nên Suy ra Cho đủ lớn suy ra cũng đủ lớn và khi đó ta có được bất đẳng thức Bài4: Bài hàm giải như sau Thay ta có .Thay ta được Thay thì ta được hoặc Nhận thấy hàm này thỏa mãn bài toán. Nếu xảy ra trường hợp tồn tại sao cho Thay vào ta sẽ có điều vô lí. Vậy có hàm thỏa mãn bài toán. Bài5: . ta có được bất đẳng thức Bài4 : Bài hàm giải như sau Thay ta có .Thay ta được Thay thì ta được hoặc Nhận thấy hàm này thỏa mãn bài toán. Nếu xảy ra trường. thế vào ta có Chọn với Dễ thấy phương trình có nghiệm hữu tỉ thỏa mãn bài toán. Bài3 : ta sử dụng tính chất với mọi luôn tồn tại sao cho Ta có thể giả sử