Bài giảng Chương 4: Phân tích tín hiệu liên tục theo thời gian biến đổi Fourier

Bài giảng cung cấp cho người đọc các kiến thức: Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng tích phân Fourier, một số dạng biến đổi, một số đặc tính của biến đổi Fourier, truyền tín hiệu qua hệ thống liên tục, tuyến tính, bất biến (LT-TT-BB),... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

CHƢƠNG 4: PHÂN TÍCH TÍN HIỆU LIÊN TỤC THEO THỜI GIAN BIẾN ĐỔI FOURIER Nội dung 4.1 Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn dùng tích phân Fourier 4.2 Một số dạng biến đổi 4.3 Một số đặc tính biến đổi Fourier 4.4 Truyền tín hiệu qua hệ thống liên tục, tuyến tính, bất biến (LT-TT-BB) 4.5 Mạch lọc lý tưởng mach lọc thực tế 4.6 Năng lượng tín hiệu 4.7 Ứng dụng thơng tin: Điều chế biên độ 4.8 Điều chế góc 4.9 Giới hạn liệu: Hàm cửa sổ 4.10 Tóm tắt Tài liệu tham khảo: B.P Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Trong chương 3, ta biểu diễn tín hiệu tuần hoàn thành dạng tổng thành phần sin hay dạng mũ (không dừng) Chương biểu diễn dạng phổ cho tín hiệu khơng tuần hồn 4.1 Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn dùng tích phân Fourier Phép tính giới hạn chứng tõ tín hiệu khơng tuần hồn biểu diễn thành tổng liên tục (tích phân) hàm mũ khơng dừng Để biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn f (t ) hình 4.1 dùng hàm mũ khơng dừng, ta tạo tín hiệu tuần hoàn f T0 (t ) cách lặp lại nhiều lần tín hiệu f (t ) thời khoảng T0 giây hình 4.1b Chu kỳ T0 cần đủ lớn để tránh trùng lắp tín hiệu Tín hiệu tuần hoàn f T0 (t ) biểu diễn chuỗi Fourier mũ Khi cho T0   , xung tín hiệu tuần hồn lặp lại sau thời khoảng vơ hạn, đó: lim f T0 (t )  f (t ) T0  Vậy, chuỗi Fourier biểu diễn f T0 (t ) biểu diễn f(t) giới hạn T0   Chuỗi hàm mũ Fourier f T0 (t ) cho bởi: f T0 (t )  Với Và  D n   n e jn0t T0 / f T (t )e  jn0t dt T0 T0 / 2 0  T0 Dn  (4.1) (4.2a) (4.2b)  T T  Ta thấy tích phân f T0 (t ) khoảng   ,  giống tích phân f(t) khoảng  2 (, ) Viết lại phương trình (4.2a)  (4.2c) Dn   f (t )e  jn0t dt T0  Xét chất thay đổi phổ tăng giá trị T0 , định nghĩa F ( ) hàm liên tục theo  :  F ( )   f (t )e  jt  Các phương trình (4.2c) (4.3) cho: Dn  F (n0 ) T0 (4.3) (4.4) Điều có nghĩa hệ số Dn tích (1/ T0 ) với mẩu F ( ) , phân bố khoảng  , vẽ hình 4.2a Như thế, (1/ T0 ) F ( ) đường biên hệ số Dn Khi cho T0   cách bước lặp đôi T0 Khi tăng hai lần T0 tần số  giảm 1/2 [phương trình (4.2b)], nên khơng nhân đôi số thành phần (các mẫu) phổ Tuy nhiên, nhân đơi T0 , đường bao (1/ T0 ) F ( ) giảm nửa, vẽ hình 4.2b Nếu ta tiếp tục tăng đôi T0 nhiều lần, phổ dày hơn, biên độ giảm nhỏ Tuy nhiên, cần ý hình dạng tương đối đường bao giữ củ [tăng tỉ lệ với F ( ) theo phương trình (4.3)] Trong giới hạn T0   , 0  Dn  Kết có nghĩa phổ đặc nên có thành phần phổ cách khoảng zêrô (vô bé) Trong thời gian này, biên độ thành phần zêrơ (vơ bé) Thay phương trình (4.4) vào phương trình (4.1)  F (n0 ) jn0t f T0 (t )   e (4.5) T0 n   Khi T0   ,  trở thành vô bé ( 0  ) Nên ta thay  ý niệm thích hợp,  Từ đó, viết lại phương trình (4.2b) 2 phương trình (4.5) viết lại thành:   T0 f T0 (t )   F (n )  ( jn )t e 2 n     (4.6a) Phương trình (4.6a) cho thấy f T0 (t ) viết thành tổng hàm mũ khơng dừng có tần số 0,,2,3,, (chuỗi Fourier) Số lượng thành phần tần số n F (n ) / 2 Khi T0   ,   f T0 (t )  f (t ) Do đó:  (4.6b) F (n )e ( jn )t   T0 0 2 n  Tổng bên vế phải phương trình (4.6b) xem vùng diện tích hàm F ( )e jt , hình 4.3 Vậy  (4.7) f (t )  F ( )e jt d    2 Tích phân bên vế phải gọi tích phân Fourier Về tích phân chuỗi Fourier (trong giới hạn) với tần số   , phương trình (4.6) Số lượng hàm mũ e jnt F (n ) / 2 Nên hàm F ( ) phương trình (4.3) hoạt động hàm phổ f (t )  lim Ta gọi F ( ) biến đổi Fourier trực tiếp f (t ) f (t ) biến đổi Fourier nghịch F ( ) Ta gọi f (t ) F ( ) cặp biến đổi Fourier viết theo: F ( )  F[f(t)] f(t) = F-1[F()] f (t )  F () Tóm lại  F ( )   f (t )e  jt dt  f (t )  2    F ( )e jt d (4.8a) (4.8b) Cần nhớ tích phân Fourier phương trình (4.8b) chất chuỗi Fourier với tần số   (phương trình (4.6b) Do đó, hầu hết tính chất chuỗi Fourier dùng cho biến đổi Fourier Có thể vẽ phổ F ( ) theo  Do F ( ) phức, ta có phổ biên độ phổ pha theo F ( )  F ( ) e jF ( ) (4.9) Trong F ( ) phổ biên độ F ( ) góc (hay pha) F ( ) Từ phương trình (4.8a), ta có:  F ( )   f (t )e jt dt  Vậy f (t ) hàm thực theo t, F ( ) F ( ) liên hợp Do đó: F ( )  F ( )  F ( )   F ( ) (4.10a) (4.10b) Do đó, với hàm thực f (t ) , phổ biên độ F ( ) hàm chẵn, phổ pha F ( ) hàm lẻ theo  Đặc tính (đặc tính đối xứng liên hợp) cho hàm thực f (t ) Các kết tìm phần phổ Fourier tín hiệu tuần hồn (phương trình 3.77), biến đổi F ( ) đặc tính tần số f (t ) ■ Thí dụ 4.1: Tìm biến đổi Fourier e  atu (t ) ? Từ định nghĩa [phương trình (4.8a)]  F ( )   e u (t )e at  jt  Do e  jt  dt   e   , nên t   , e F ( )  ( at j ) t a  j  ( a j ) t  ( at j )t dt  e a  j  at  jt e e a0   a  , đó: (4.11a) Dạng cực F ( )   a2   e  j tan 1 ( ) a (4.11b) Vậy:   F ( )   tan 1   (4.12) a a2   Phổ biên độ phổ pha vẽ hình 4.4b Ta thấy phổ biên độ hàm chẵn phổ pha hàm lẻ theo tần số  ■ F ( )  Tồn biến đổi Fourier Trong thí dụ 4.1, ta thấy a < 0, biến đổi Fourier e  atu (t ) khơng hội tụ Do đó, biến đổi Fourier e  atu (t ) không hội tụ a < (hàm mũ tăng) Tức khơng phải tín hiệu có biến đổi Fourier Tồn biến đổi Fourier cho hàm f (t ) bảo đãm nhờ điều kiện Dirichlet Điều kiện    f (t ) dt   (4.13) Do e  jt  , từ phương trình (4.8a) ta có F ( )     f (t ) dt Bất đẳng thức cho thấy biến đổi Fourier tồn thỏa điều kiện (4.13) Ngược lại khơng bảo đãm Thí dụ 4.1 cho thấy biến đổi Fourier khơng tồn với tín hiệu hàm mũ tăng (đã vi phạm điều kiện này) Mặc dù điều kiện đủ, không điều kiện cần cho tồn biến đổi Fourier tín hiệu Thí dụ, tín hiệu sin(at ) / t vi phạm điều kiện (3.13), có biến đổi Fourier Các tín hiệu thực tế thường thỏa điều kiện Dirichlet nên có biến đổi Fourier Như thế, tồn thực tế tín hiệu điều kiện đủ để tồn biến đổi Fourier Tính tuyến tính biến đổi Fourier Biến đổi Fourier biến đổi tuyến tính, tức f1 (t )  F1 () f (t )  F2 () (4.14) a1 f1 (t )  a2 f (t )  a1F1 ()  a2 F2 () Chứng minh đơn giản lấy từ phương trình (4.8a) Kết mở rộng có nhiều thừa số nũa 4.1-1 Đánh giá thực tế biến đổi Fourier Để hiểu nét biến đổi Fourier, ta cần nhớ biểu diễn Fourier phương thức biểu diễn tín hiệu thành tín hiệu sin (hay mũ) khơng dừng Phổ Fourier tín hiệu biên độ pha tương đối sóng sin cần thiết để tổng hợp tín hiệu Phổ Fourier tín hiệu tuần hồn có biên độ hữu hạn tồn tần số rời rạc (0 bội tần), phổ dạng dễ nhận thấy, phổ tín hiệu khơng tuần hồn khơng dễ nhìn thấy có dạng phổ liên tục Ý niệm phổ liên tục hiễu qua xem xét tượng tương đồng, hữu hình Một thí dụ phân phối liên tục tải xà ngang Xét xà ngang với tải đơn vị trọng lượng D1 , D2 , D3 , , Dn , điểm cách x1 , x2 , x3 , , xn , vẽ hình 4.5a Tải chung WT đặt vào xà ngang tổng tải n điểm: n WT   Di i 1 Xét trường hợp tải liên tục xà ngang, vẽ hình 4.5b Trường hợp này, dù tải xuất điểm, tải điểm lại zêrơ Điều khơng có nghĩa khơng có tải xà Trường hợp đo lường thích hợp khơng tải điểm, mà nên mật độ tải đơn vị dài xà ngang Gọi F (x) mật độ tải đơn vị dài xà Theo tải chiều dài xà ngang x (x 0) điểm x F ( x)x Để tìm tải xà ngang, ta chia xà ngang thành khoảng cách x (x 0) Tải n đoạn có chiều dài x F (nx)x Tải chung WT là: xn WT  lim  F (nx)x   F ( x)dx x0 x1 xn x1 Trường hợp tải rời rạc hình 4.5a, tải tồn n điểm rời rạc Các điểm khác tải Nói cách khác, trường hợp tải liên tục, tải có điểm điểm cụ thể x, tải zêrơ Tuy nhiên, tải mơt đoạn nhỏ x F (nx)x (hình 4.5b) Do đó, dù tải điểm x zêrơ tải tương đối F(x) Lập luận tương tự cho trường hợp phổ tín hiệu Khi f (t ) tuần hồn phổ rời rạc, viết f (t ) thành tổng hàm mũ rời rạc có biên độ hữu hạn: f (t )   Dn e jn0t n Khi tín hiệu khơng tuần hồn, phổ trở thành liên tục; tức phổ tồn cho giá trị , biên độ thành phần phổ zêrơ Đo lường có nghĩa trường hợp khơng phải biên độ thành phần số tần số mà mật độ phổ đơn vị băng thơng Phương trình (4.6b) cho thấy f (t ) tổng hợp cách cộng hàm mũ dạng e jnt , theo đóng góp thành phần mũ zêrơ Nhưng đóng góp hàm mũ dải tần vô bé  vị trí   n (1 / 2 ) F (n) , việc lấy tổng thành phần cho f (t ) có dạng:   f (t )  lim F (n )e( jn )t   F ( )d (4.15)   0 2 2  n Đóng góp thành phần dải tần d F ( )d  F ( )dF , với dF băng thơng 2 tính theo Hertz Rõ ràng, F() mật độ phổ đơn vị băng thông (Hertz) Cũng cần thấy cho dù biên độ thành phần zêrơ, lượng tương đối thành phần tần số  F() Mặc dù F() mật độ phổ, thực tế lại thường đươc gọi phổ f (t ) thay mật độ phổ f (t ) Do đó, gọi F() phổ Fourier (hay biến đổi Fourier) f (t ) Sự hài hòa kỳ diệu Điểm quan trọng cần nhớ f (t ) biểu diễn (hay tổng hợp) dùng hàm mũ (hay sin) hàm không dừng (hay không nhân quả) Xét việc tổng hợp tín hiệu xung f (t ) tồn thời gian giới hạn (hình 4.6) thành phần sóng sin phổ Fourier Tín hiệu f (t ) tồn khoảng (a,b) zêrơ ngồi khoảng Phổ f (t ) chứa vô hạn hàm mũ (hay sin) bắt đầu t   tiếp tục mãi Biên độ pha thành phần phải hợp lại thành f (t ) khoảng giới hạn, zêrô khoảng Sắp xếp biên độ pha vơ số thành phần đòi hỏi hài hòa trí tưởng tưởng tinh tế người, biến đổi Fourier lại thực việc theo trình tự , khơng phải suy nghĩ Một vài ý niệm Trong chương 2, ta định nghĩa hàm truyền H(s)  Cho s = j H ( s)   h(t )e st dt (4.16)   H ( j )   h(t )e  jt dt (4.17)  Vế phải biến đổi Fourier h(t ) , theo ý niệm từ phương trình (4.3) H ( ) , có ý niệm tương tự H ( j ) chương Do đó, trung thành với ý niệm trước, ta gọi biến đổi Fourier F ( j ) thay F ( ) phương trình (4.3) Thực ra, ý niệm F ( j ) cho biến đổi Fourier thường dùng nhiều tài liệu Do đó, ta tiếp tục dùng hai ý niệm, với ghi nhớ F ( ) F ( j ) biểu diễn đặc tính Điều quan trọng ta bàn biến đổi Laplace tính lọc chương kế, cần nhớ H ( ) H ( j ) biểu diễn đặc tính 4.1-2 Khảo sát đáp ứng hệ LT – TT – BB dùng biến đổi Fourier Để biểu diễn tín hiệu f (t ) thành tổng hàm mũ (không dừng) nhằm tìm đáp ứng hệ thống f (t ) tổng đáp ứng thành phần mũ f (t ) Xét hệ LT – TT – BB ổn định tiệm cận có hàm truyền H(s) Đáp ứng hệ thống với hàm mũ không dừng e jt H ( )e jt Cặp vào– biểu diễn sau: e jt  H ( )e jt Vậy e j ( n )t  H (n )e j ( n )t Và  F n   j ( n )t  F (n ) H (n )  j ( n )t e    e 2 2   Do tính tuyến tính    F n   j ( n )t  F n H n   j ( n )t lim   e  lim    e  0    2 2  n n  Ngõ vào f (t ) Ngõ y(t ) Vế phải ngõ vào f (t ) [xem phương trình (4.6a) (4.6b)], vế phải đáp ứng y(t ) Nên:  1 lim  F (n ) H (n )e j ( n )t      2 2 n  y(t )  Y ( )e jt d 2  Với Y ( ) biến đổi Fourier y(t ) , cho Y ()  F () H () y(t )     F ( ) H ( )e jt d (4.18) (4.19) Gút lại, hệ LT – TT – BB có hàm truyền H(s) có ngõ vào f (t ) , ngõ y(t ) f (t )  F () y(t )  Y () Các bước phương pháp miền tần số giống hệt trường hợp miền thời gian Trong miền thời gian ta biểu diễn f (t ) thành tổng thành phần xung; miền tần số, ngõ vào viết thành tổng hàm mũ (hay sin) không dừng Trong trường hợp đầu, đáp ứng y(t ) tổng đáp ứng thành phần xung từ phép tích phân chập; miền tần số đáp ứng tổng đáp ứng hệ thống thành phần hàm không dừng dạng mũ lấy từ tích phân Fourier Ý tưởng diễn đạt cách toán học sau: Trong miền thời gian  (t )  h(t ) đáp ứng xung hệ thống h(t )  f (t )   f ( x) (t  x)dx biểu diễn f (t ) thành tổng thành phần xung,   y(t )   f ( x)h(t  x)dx  biểu diễn y(t ) thành tổng đáp ứng thành phần xung Trong miền tần số đáp ứng hệ thống e jt H ( )e jt e  H ( )e jt  f (t )  F ( )e jt d ; f (t ) thành tổng thành phần hàm mũ không dừng,    2  y(t )  F ( ) H ( )e jt d ; y(t ) tổng đáp ứng thành phần hàm mũ    2 jt Quan điểm miền tần số nhìn nhận hệ thống theo đáp ứng tần số (đáp ứng hệ thống với nhiều dạng thành phần sóng sin) Khi xem tín hiệu tổng nhiều thành phần sóng sin Truyền tín hiệu qua hệ (tuyến tính) xem truyền nhiều thành phần sóng sín tín hiệu qua hệ thống 4.2 Biến đổi Fourier số hàm hữu ích Để tiện, ta giới thiệu ý niệm cô đọng số hàm hữu ích xung vng góc, xung tam giác, hàm nội suy Xung vng góc đơn vị Được định nghĩa hàm rect(x) xung vng góc có chiều cao đơn vị độ rộng đơn vị, nằm cách gốc, vẽ hình 4.7a;   rect  1 /   x  1/ x  1/ x  1/ (4.20) Xung cổng hình 4.7b xung cổng đơn vị rect (x) mở rộng theo thừa số  viết thành rect (x/) (xem phần 1.3-2) Ta thấy , mẫu số (x/), cho thấy độ rộng xung Xung tam giác đơn vị Xung tam giác đơn vị (x) xung tam giác có độ cao đơn vị độ rộng đơn vị, nằm cách gốc, vẽ hình 4.8a  ( x)   1  x x  1/ x  1/ (4.21) Xung hình 4.8b ( x /  ) Ta thấy trường hợp giống trường hợp xung cổng, mẫu số  ( x /  ) độ rộng xung Hàm nội suy sinc(x) Hàm sinx/x gọi sinc(x), hàm có vai trò quan trọng xử lý tín hiệu, gọi hàm lọc hay hàm nội suy Định nghĩa: sin x (4.22) sin c( x)  x Xét phương trình (4.22) ta thấy: sinc(x) hàm chẵn theo x sin(x) = sin x = trừ giá trị x = (xuất dạng vô định), tức sin x = x   ,2 ,3 , Dùng định L’Hopital, ta có sin (0) =1 sin(x) tích sóng dao động sin x (có chu kỳ 2) hàm đơn điệu giảm 1/x Như thế, hàm sinc (x) dao động sin với chu kỳ 2, có biên giảm liên tục theo 1/x Hình 4.9a vẽ tín hiệu sinc (x) Ta thấy sinc (x) = giá trị x dương âm với bội số  Hình 4.9b vẽ sinc (3/7) Đối số (3/7) =   = 7/3 Do đó, zêrơ hàm xuất  = 7/3 tín hiệu có giới hạn Fw ( ) khơng zêrơ có búp biên Các búp biên giảm theo /  Do đó, giới hạn tạo rò phổ dải tần mà phổ f (t ) zêrô Đỉnh búp biên 0,217 lần biên độ búp (13,3 dB biên độ đỉnh búp Đồng thời, búp biên giảm theo /  , tức – 6dB/octave (hay – 20 dB/decade) Đây tốc độ rolloff búp biên Ta cần có búp biên nhỏ tốc độ giảm nhanh (tốc độ rolloff lớn hơn) Hình 4.46d vẽ WR ( ) (tính theo dB) hàm theo  Hình cho thấy rõ tính búp búp biên, với biên độ cũa búp biên – 13,3 dB biên độ búp chính, tốc độ giảm búp biên – dB/octave (hay – 20 dB/decade) Ta thảo luận tín hiệu có giới hạn (giới hạn miền thời gian) phổ tín hiệu Nhờ tính đối ngẫu thời gian –tần số, ảnh hưởng giới hạn phổ (giới hạn miền tần số) hình dạng tín hiệu tương tự Khắc phục ảnh hƣơng phụ giới hạn Để có kết tốt hơn, ta phải tìm cách giảm thiểu hai ảnh hưởng tác dụng phụ rải phổ (của búp chính) rò phổ (búp biên) Hảy xét yếu điểm Rải phổ (độ rộng búp chính) tín hiệu giới hạn với băng thông hàm cửa số w(t ) Ta biết băng thơng tín hiệu tỉ lệ nghịch với độ rộng tín hiệu (thời gian tồn tại) Do đó, để giảm rải phổ (độ rộng búp chính), ta cần tăng độ rộng cứa số Để cải thiện yếu tố rò phổ, ta phải tìm kiếm nguyên nhân làm búp biên giảm chậm Trong chương 3, ta biết phổ Fourier giảm theo /  cho tín hiệu có bước nhảy gián đoạn, giảm theo /  với tín hiệu có đạo hàm bậc gián đoạn, v.v , Độ mịn (smoothness) tín hiệu đo từ số đạo hàm liên tục tín hiệu Tín hiệu mịn, phổ giảm nhanh Do đó, ta giảm tác động rò phổ cách chọn hàm cửa sổ có độ mịn thích hợp Với độ rộng cửa sổ, cách khác phục hai ảnh hưởng lại khơng tương thích Khi ta có cải thiện yếu tố này, lại làm xấu yếu tố khác Thí dụ, độ rộng cửa sổ, cửa sổ vng có rải phổ bé (độ rộng búp chính), lại có búp biên độ có biên độ cao giảm chậm Loại cửa số hình nón (mịn) có độ rộng lại có búp biên bé va giảm nhanh nhất, búp lại rộng Nhưng ta tăng độ rộng cửa sổ để giảm biên độ búp Vậy ta khắc phục hai yếu điểm giới hạn cách chọn cửa sổ đủ mịn độ rộng đủ lớn Có nhiều dạng hàm cửa sổ hình hình nón tiếng cửa sổ Bartlett (tam giác) Hanning (von Hann), Hamming, Bleckman Kaiser, có cách giới hạn liệu Các cửa sổ cho nhiều chọn lựa rải phổ (độ rộng búp chính) biên độ đỉnh búp biên, tốc độ giảm rò phổ bảng 4.3 Quan sát thấy cửa số đối xứng quanh gốc (hàm chẵn theo t) Từ đặc tính này, W ( ) hàm thực theo ; W ( ) hay  Do đó, hàm pha tín hiệu có giới hạn giảm thiểu méo dạng HÌnh 4.47 vẽ hai dạng hàm cửa sổ tiếng, hàm cửa sổ von Hann (hay Hanning) wHAN (x) hàm cửa sổ Hamming wHAM (x) Ta chủ định chọn biến x giới hạn cửa sổ thực miền thời gian miền tần số; nên x t hay , tùy theo ứng dụng Có hàng trăm loại cửa sổ với đặc tính khác Việc chọn lựa tùy theo ứng dụng đặc thù Cửa sổ vng có búp hẹp Cửa sổ Bartlett (tam giác; gọi cửa sổ Fejer hay Cesaro) có yếu điểm so với cửa sổ Hanning, nên dùng thực tế Cửa số Hanning tốt Hamming phân tích phổ có búp biên giảm nhanh Nhưng ứng dụng làm mạch lọc, cửa sổ Hamming lại chọn có biên độ búp biên bé với dùng độ rộng búp Cửa sổ Hamming dùng nhiều nhất, ứng dụng thông thường Cửa sổ Kaiser, dùng I ( ) , hàm Bessel bậc 0, nên có tính đa chỉnh định Việc chọn giá trị  (0    10) cho phép người thiết kế chọn cửa sổ thích hợp với ứng dụng điều khiển cân búp búp biên Khi   , cửa sổ Kaiser cửa sổ vng Khi   5,4414 cửa sổ Hamming,   8,885 , cửa sổ Blackman Khi  tăng, độ rộng búp tăng biên độ búp biên giảm Ta thiết kế mạch lọc thơng thấp lý tưởng có băng thơng W rad/s Mạch lọc có đáp ứng W xung h(t )  sin c(Wt ) (hình 4.48c) không nhân quả, nên không thực Giới hạn  hàm h(t ) dùng cửa sổ thích hợp (hình 4.48a) cho phép thực mạch lọc này, dù mạch lọc có dạng xấp xỉ mạch lọc lý tưởng cần có Ta dùng sổ vuông wR (t ) cửa sổ tam giác wT (t ) để giới hạn h(t ) Đáp ứng giới hạn hR (t ) ht (t ) hai trường hợp vẽ hình 4.48d hR (t )  h(t )wR (t ) hT (t )  h(t )wT (t ) Do đó, hàm truyền mạch lọc có giới hạn tích phân chập H ( ) với biến đổi Fourier cửa sổ, vẽ hình 4.48e f Ta có quan sát sau: Phổ mạch lọc có giới hạn cho thấy tính rải phổ rìa, thay có thay đổi đột ngột ta có chuyển tiếp từ từ từ dải dẫn sang dải ngưng mạch lọc Dải chuyển tiếp nhỏ (2/T rad/s) cho trường hợp cửa sổ vuông so với trường hợp tam giác (4/T rad/s) Dù H ( ) có giới hạn, lọc qua cửa sổ khơng Nhưng hoạt động dải ngưng (stopband) trường hợp cửa sổ tam giác tốy nhiều so với trường hợp cửa sổ vng Trong cửa sổ vng, rò phổ dải ngưng giảm chậm (1/) so với trường hợp cửa sổ tam giác ( /  ) Hơn nữa, trường hợp cửa sổ vng có biên độ đỉnh búp biên cao so với trường hợp cửa số tam giác Bảng 4.3 Một số hàm cửa sổ đặc tính Tóm tắt Trong chương ta giới thiệu tín hiệu tuần hồn tổng sóng (khơng dừng) sin hay hàm mủ (chuỗi Fourier) Chương mở rộng kết cho tín hiệu khơng tuần hồn, dùng tích phân Fourier (thay cho chuỗi Fourier) Một tín hiệu khơng tuần hồn f (t ) xem tín hiệu tuần hồn với chu kỳ T0   , cho tích phân Fourier chuỗi Fourier với tần số tiến zêrơ Do đó, tín hiệu khơng tuần hồn, phổ Fourier liên tục Tính liên tục cho phép biểu diễn tín hiệu thành tổng sóng sin (hay hàm mủ) tần số khoảng tần số liên tục Biến đổi Fourier F ( ) mật độ phổ (trên đơn vị băng thông Hz) Một dáng vẽ khác biến đổi Fourier tính đối ngẫu thời gian tần số, tạo điều kiên đối ngẫu cho tín hiệu f (t ) biến đổi F ( ) Tính đối ngẫu xuất phương trình gần-đối xứng biến đổi Fourier trực tiếp gián tiếp Nguyên lý đối ngẫu hữu ích phân tích tín hiệu Tính tỉ lệ cho kết luận băng thơng tín hiệu tỉ lệ nghịch với độ rộng tín hiệu Tính dời theo thời gian khơng làm thay đổi biên độ phổ, làm phổ pha tăng tuyến tính Nhân tín hiệu với hàm mủ e j0t làm dời phổ 0 Trong thực tế, dời phổ thực cách nhân tín 4.10 hiệu với sóng sin cos 0t (thay hàm mủ e j0t ) Quá trình gọi điều chế biên độ Nhân hai tín hiệu tạo tích phân chập cho phổ, tích phân chập hai tích hiệu tạo phép nhân phổ Khi hệ LT – TT – BB có hàm truyền H ( ) , phổ ngõ vào ngõ F ( ) Y ( ) quan hệ với theo phương trình Y ()  F () H () Điều với hệ ổn định tiệm cận Để truyền không méo tín hiệu qua hệ thống LT – TT – BB, đáp ứng biên độ H ( ) hệ thống phải số, đáp ứng pha H ( ) phải hàm theo  dải tần công tác Lọc lý tưởng, cho phép truyền không méo dải tần triệt thành phổ tần số lại, thường khơng thực thực tế (do hệ không nhân quả) Trong thực tế, khơng thể thực hệ vật lý mà có độ lợi zêrô [ H ( )  ] dải tần hữu hạn Các hệ thống (bao gồm lọc lý tưởng) thực với hệ có đáp ứng với thời gian trễ hữu hạn Năng lượng tín hiệu f (t ) / 2 nhân với vùng diện tích F ( ) (định lý Parseval) Năng lượng thành phần phổ đóng góp dải tần F (Hz) F ( ) F Do đó, F ( ) mật độ phổ lượng tín hiệu f (t ) biến đổi Fourier hàm tự tương quan  f (t ) tín hiệu f (t ) Do đó, hàm tự tương quan có quan hệ trực tiếp với thơng tin phổ Q trình điều chế dời phổ tín hiệu đến tần số khác Điều chế dùng với nhiểu lý do: để truyền đồng thời nhiều tin kênh truyền, dùng kênh có băng thơng rộng, hay để phát xạ với hiệu suất lớn qua đường truyền vơ tuyến, để dời phổ tín hiệu lên tần số cao nhằm tránh khó khăn việc xử lý tín hiệu tần số thấp, v.v, Nói rộng hơn, có hai dạng điều chế chính: điều chế biên độ điều chế góc Các dạng điều chế chia thành nhiều dạng nhỏ Băng thông điều chế AM thường cố định, băng thơng điều chế góc điều khiển Sơ đồ có băng thơng cao, tính chống nhiễu lớn Trong thực tế, ta thường phải giới hạn liệu Giới hạn liệu xem việc quan sát qua cửa sổ, thấy cửa sổ cho phép thấy Cửa sổ vng cho phép ta giới hạn đột ngột liệu, cho số đơn vị liệu qua cửa sổ phần liệu lại có trọng số Các cửa sổ hình nón, cho phép trọng số giảm từ từ, từ đến Giới hạn liệu tạo thêm rắc rối Thí dụ, tính biến đổi Fourier, cửa sổ giới hạn làm rải phổ, tùy theo hàm cửa sổ dùng, Cửa sổ vng tạo rải phổ nhất, lại có rò phổ búp biên giảm chậm theo /  Cửa sổ dạng nón thường có rải phổ lớn hơn, rò phổ nhỏ giảm nhanh với tần số Điều may mắn giảm rải phổ cách tăng chiều rộng cửa sổ Do đó, ta giải kết hợp yếu tố rải phổ rỏ phổ cách chọn thích hợp hàm cửa sổ với độ rộng T đủ lớn Tham khảo Churchill, R.V., and J.W Brown, Fourier Series and Boundery Value Problems, 3rd Ed., McGraw-Hill, New York, 1978 Bracewell, R.N., Fourier Transform and Its Applications, revised 2nd Ed., McGraw-Hill, New York, 1986 Guillemain E.A., Theory of Linear Physical Systems, Wiley, New York, 1963 Lathi, B.P., odern Digital and Analog Communication Systems, 3rd Ed., Oxford University Press, New York, 1998 J Carson, “Notes on Theory of Modulation” Proc IRE, vol 10 Febuary 1922, pp 57-64 J Carson, “The Reduction of Asmospheric Disturbances” Proc IRE, vol 16 July 1928, pp 966-975 Armstrong E.H “A Method of Reducing Disturbances in Radio Signalling by a System of Frequency Modulation” Proc IRE, vol 24 May 1936, pp 689 – 740 Hamming R.W., Digital Filters, 2nd Ed Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J 1983 Harris, F J., “On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform” Proc IEEE, vol 66 No 1, January 1978, pp 51-83 BÀI TẬP 4.1-1 Chứng tõ f (t ) hàm chẵn theo t,  F ( )  2 f (t ) cos tdt f (t ) hàm lẻ theo t,  F ( )  2 j  f (t ) sin tdt Từ đó, chứng minh f (t ) hàm thực chẵn theo t, F ( ) hàm thực chẵn theo  Hơn nũa, f (t ) hàm lẻ theo t, F ( ) hàm phức lẻ theo  4.1-2 Chứng tõ với hàm thực f (t ) , phương trình (4.8b) viết thành  f (t )   F () cos[t  F ()]d  Đây dạng lượng giác tích phân Fourier So sánh với dạng chuỗi Fourier lương giác 4.1-3 Tín hiệu f (t ) biểu diễn thành tổng thành phần chẵn f e (t ) lẻ f (t ) (xem phần 1.5-2) f (t )  f e (t )  f (t ) (a) Nếu f (t )  F () , chứng minh với hàm thực f (t ) f e (t )  Re[ F ( )] f o (t )  j Im[ F ( )] (b) Kiểm nghiệm lại kết cách tìm biến đổi Fourier thành phần hàm chẵn hàm lẻ tín hiệu sau: (i) u (t ) (ii) e  atu (t ) 4.1-4 4.1-5 4.1-6 4.1-7 Từ định nghĩa (4.8a), tìm biến đổi Fourier tín hiệu f (t ) hình P4.1-4 Từ định nghĩa (4.8a), tìm biến đổi Fourier tín hiệu f (t ) hình P4.1-5 Từ định nghĩa (4.8b), tìm biến đổi Fourier nghịch phổ vẽ hình P4.1-6 Từ định nghĩa (4.8b), tìm biến đổi Fourier nghịch phổ vẽ hình P4.1-7 4.2-1 Vẽ hàm sau: t  3  (a) rect   (b)   2  100  t  t  (f) sin c rect   5  10  xa Hướng dẫn: f    b   t  10     10     (c) rect   (d) sin c   (e) sin c        x f   dời phải đoạn a b   4.2-2 Từ định nghĩa (4.8b) chứng tõ biến đổi Fourier rect (t – 5) sin c e  j 5 Vẽ phổ 2 biên độ phổ pha    10  j10t 4.2-3 Từ định nghĩa (4.8b) chứng tõ biến đổi Fourier rect   sin ct e  2  4.2-4 Tìm biến đổi Fourier nghịch F ( ) phổ vẽ hình P4.2-4a P4.2-4b Hướng dẫn: F ( )  F ( ) e jF ( ) Bài tập cho thấy phương thức phổ pha khác biểu diễn tín hiệu hồn tồn khác (dù có phổ biên độ) 4.3-1 Dùng đặc tính đối xứng cho cặp thích hợp bảng 4.1 để chứng minh 1 j (a)  (t )    u ( ) (b)  (t  T )   (t  T )  cos T 2 t  (c)  (t  T )   (t  T )  j sin T 4.3-2 Biến đổi Fourier xung tam giác f (t ) hình P4.3-2a F ( )   e j   je j  Dùng thơng tin này, đặc tính dời theo thời gian tỉ lệ theo thời gian, tìm biến đổi Fourier tìn hiệu f t (t ) (i  1,2,3,4,5) vẽ hình P4,3-2 Hướng dẩn: Xem phần 1.3 phép tính tín hiệu Xung f t (t ) (i  1,2,3,4,5) xem tổ hợp f (t ) f1 (t ) với thời gian trễ thích hợp (có thể dương hay âm) 4.3-3 Chỉ dùng tính dời theo thời gian bảng 4,1, tìm biến đổi Fourier tín hiệu vẽ hình P4.3-3 Hướng dẫn: Tín hiệu hình b, c, d viết thành dạng f (t )[u(t )  u(t  a)] 4.3-4 Dùng đặc tính dời theo thời gian, chứng tõ f (t )  F () f (t  T )  f (t  T )  2F () cos T Đây dạng đối ngẫu phương trình (4.41) Dùng kết cặp 17, cặp 19 bảng 4.1 để tìm biến đổi Fourier tín hiệu hình P4.3-4 4.3-5 Chứng tõ kết sau đối ngẫu lẫn F (  0 )  F (  0 ) f (t ) sin t  2j  f (t  T )  f (t  T )  F ( ) sin T 2j Dùng kết bảng 4.1, tìm biến đổi Fourier tín hiệu hình P4.3-5 4.3-6 Các tín hiệu hình P4.3-6 tín hiệu điều chế với sóng mang cos 10t Tìm biến đổi Fourier tín hiệu dùng đặc tính thíc hợp biến đổi Fourier bảng 4.1 Vẽ phổ biên độ phổ pha phần (a) (b) 4.3-7 Dùng đặc tính dời theo tần số bảng 4.1, tìm biến đổi Fourier nghịch phổ vẽ hình P4.3-7 4.3-8 Dùng đặc tính tích chập theo thời gian, chứng tõ cặp 2, 4, 13 14 bảng 2.1 (giả sử   cặp 2, 1 2  cặp 4, 1  2  cặp 13, 1 2  cặp 14) Hướng dẫn: Dùng khai triển đa thức Đối với cặp 12, dùng kết từ phương trình (1.23) 4.3-9 Tín hiệu f (t ) có băng thơng giới hạn B Hz Chứng tõ tín hiệu f n (t ) có băng thơng nB Hz Hướng dẫn: Bắt đầu với n = Dùng đặc tính tích chập theo tần số đặc tính độ rộng phép tích chập 4.3-10 Tìm biến đổi Fourier tín hiệu hình P4.3-3a với ba phương pháp khác nhau: (a) Lấy tích phân trực tiếp từ định nghĩa (4.8a) (b) Chỉ dùng cặp 17 đặc tính dời theo thời gian (c) Dùng đặc tính vi phân dời theo thời gian,  (t )  Hướng dẫn:  cos x  sin x 4.3-11 (a) Chứng minh đặc tính vi phân theo tần số (đối ngẫu với vi phân theo thời gian) d  jtf (t )  F ( ) d (b) Dùng đặc tính cặp (bảng 4.1), xác định biến đổi Fourier te  atu(t ) 4.4- Hệ thống LT – TT – BB có hàm truyền H ( s)  s 1 Tìm đáp ứng trạng thái zêrô ngõ vào f (t ) là: (a) e 2t u (t ) (b) e t u (t ) (c) et u (t ) (d) u (t ) Hướng dẫn: Từ phần (d), cần áp dụng kết phương trình (1.23) 4.4-2 Hệ thống LT – TT – BB có hàm truyền 1 H ()  j  21 Tìm đáp ứng xung hệ thống chứng tõ hệ thống không nhân Tìm đáp ứng trạng thái – zêrơ hệ thống ngõ vào f (t ) là: (a) e t u (t ) (b) et u (t ) 4.4-3 Tín hiệu f1 (t )  104 rect (104 t ) f (t )   (t ) ngõ vào lọc thông thấp lý       tưởng H1 ( )  rect   H ( )  rect   (hình P4.4-3) Các ngõ  40.000   20.000  y1 (t ) y2 (t ) lọc nhân với để có y(t )  y1 (t ) y2 (t ) (a) Vẽ F1 ( ) F2 ( ) (b) Vẽ H1 ( ) H ( ) (c) Vẽ Y1 ( ) Y2 ( ) (d) Tìm băng thơng y1 (t ) , y2 (t ) y (t ) Hướng dẫn cho phần (d): Dùng đặc tính tích phân chập đặc tính độ rộng tích phân chập để xác định băng thông y1 (t ) y2 (t ) 4.4-4 Hằng số thời gian lọc thông thấp thường định nghĩa độ rộng đáp ứng xung h(t ) (xem phần 2.7-2) Xung vào p(t ) có cường độ với điện tích p(t ) độ rộng p(t ) bé so với số thời gian hệ thống Giả sử p(t ) xung thơng thấp, tức có phổ tập trung tần số thấp Kiểm tra lại đáp ứng cách xét hệ  t  thống có đáp ứng xung đơn vị h(t )  rect  3  Xung vào xung tam giác  10   t  p(t )   6  Phần diện tích xung A  0,5x106 Chứng tõ đáp ứng hệ  10  thống với xung giống với đáp ứng hệ thống ngõ vào A (t ) 4.4-5 Hằng số thời gian lọc thông thấp thường định nghĩa độ rộng đáp ứng xung h(t ) (xem phần 2.7-2) Xung p(t ) vào hệ thống không bị méo thực tế, độ rộng p(t ) lớn só thời gian hệ thống Giả sử p(t ) xung thơng thấp, tức có phổ tập trung tần số thấp Kiểm tra lại đáp ứng cách xét hệ thống có  t  đáp ứng xung đơn vị h(t )  rect  3  Xung vào xung tam giác p(t )  t  Chứng  10  tõ đáp ứng hệ thống với xung gần kp(t ) với k độ lợi hệ thống ngõ vào tín hiệu dc, tức k  H (0) 4.4-6 Tín hiệu nhân h(t ) có biến đổi Fourier H ( ) Nếu R( ) X ( ) phần thực phần ảo H ( ) , tức H ()  R()  jX () , chứng minh:  X ( )  R( ) R( )   X ( )        y     y Giả sử h(t ) khơng có xung gốc, cặp tích phân gọi biến đổi Hilbert Hướng dẫn: gọi he (t ) ho (t ) thành phần chẵn lẻ h(t ) Dùng kết tập 4.1-3, xem phương trình 1.24 để tìm quan hệ he (t ) ho (t ) Nhắc lại sgn( t )  / j Dùng đặc tính tích phân chập Bài tập cho thấy đặc tính quan trọng hệ thống nhân quả: phần thực phần ảo quan hệ với hàm truyền hệ thống nhân Nếu đặc trưng phần thực phần ảo khơng thể đặc trưng độc lập nũa Phần ảo định trước từ phần thực, ngược lại Kết dẫn đến kết luận biên độ pha H ( ) có quan hệ với cực zêrơ nằm bên trái mặt phẳng phức 4.5-1 Xét lọc có hàm truyền H ( )  e ( k  jt0 ) Chứng tõ hàm truyền không thực thực tế dùng tiêu chuẩn miền thời gian [hàm h(t ) không nhân tiêu chuẩn miền tần số (Paley-Wiener) Bộ lọc thực xấp xỉ khơng với việc chọn t đủ lớn? Dùng tiêu chuẩn riêng xấo xỉ bạn để xác định t Hướng dẫn: Dùng cặp 22 bảng 4.1 4.5-2 Chứng tõ lọc với hàm truyền 2(105 )  jt0 H ( )  e   1010 Là khơng thực Có thể thực mạch xấp xỉ cho t0 đủ lớn? Dùng tiêu chuẩn xấp xỉ bạn để xác định t0 Hướng dẫn: chứng tõ đáp ứng xung không nhân 4.5-3 Xác định xem lọc với hàm truyền sau thực thực tế Nếu khơng thực được, thực chúng cách xác hay xấp xỉ cách cho thời gian trễ hữu hạn đáp ứng?    (c) 2 ( ) H ( ) = (a) 106 sin c(106  ) (b) 10 4    40.000  4.6-1 Chứng tõ lượng xung Gauss t2 1 Kiểm nghiệm kết cách tìm lượng E f từ f (t )  e 2e 2   2 F ( ) dùng định lý Parseval Hướng dẫn: Xem cặp 22 bảng 4,1 Dùng kiện   e x  /2 dx  2 4.6-2 Chứng tõ    sin c (kx)dx   k Hướng dẫn: thừa nhận tích phân lượng f (t )  sin c(kt) Tìm lượng dùng định lý Parseval 4.6-3 Tín hiệu thơng thấp f (t ) đưa qua linh kiện có tính bình phương Ngõ f (t ) đưa qua mạch lọc thơng thấp có băng thơng F (Hz) hình P4.6-3 Chứng tõ F nhỏ ( F  ), ngõ tín hiệu dc y(t )  2E f f Hướng dẫn: Nếu f (t )  A( ) , chứng minh Y ()  [4A(0)F ] () F  , chứng minh A(0)  E f 4.6-4 Tổng quát hóa định lý Parseval để chứng minh với tín hiệu thực, có biến đổi Fourier f1 (t ) f (t )    f ( t ) f ( t ) dt  F (   ) F (  ) d   F1 ( )F2 ( )d 2  2  2  4.6-5 Cho tín hiệu 2a t  a2 Xác định băng thông chủ yếu B Hz f (t ) cho lượng chứa thành phần phổ f (t ) có tần số thấp B Hz 99% lượng tín hiệu E f Hướng dẫn: Xem tập E 4.5b f (t )  4.7-1 Với ba tín hiệu băng (i) m(t )  cos 1000t (ii) m(t )  cos 1000t  cos 2000t (iii) m(t )  1000t cos 3000t (a) Vẽ phổ m(t ) (b) Vẽ phổ tín hiệu DSB – SC m(t ) cos 10.000t (c) Tìm phổ biên tần (USB) biên tần (LSB) (d) Tìm tần số băng nền, tần số tương ứng phổ DSB – SC, USB LSB Tìm chất dời tần trường hợp 4.7-2 Bạn yếu cầu thiết kế điều chế DSB – SC tạo tín hiệu điều chế km(t ) cos ct , m(t ) tín hiệu có băng thơng giới hạn B Hz (hình P4.7-2a) Hình P4.7-2b vẽ điều chế DSB – SC thích hợp Bộ lọc thông dải chỉnh tần số c Máy phát sóng mang khơng tạo cos c t mà tạo cos ct (a) Bạn tạo tín hiệu cần thiết dùng thiết bị khơng? được, cho biết k bao nhiêu? (b) Xác định phổ tín hiệu điểm b c, cho biết dải tần số phổ (c) Cho biết giá trị tối thiểu để c dùng? (d) Sơ đồ có hoạt động khơng ngõ máy phát sóng mang cos ct ? Giải thích? (e) Sơ đồ có hoạt động không ngõ máy phát sóng mang cos n c t ? Với giá trị số nguyên n  ? 4.7-3 Trong thực tế, việc nhân tín hiệu analog thường phức tạp tốn Do đó, điều chế biên độ, cần tìm cách khác để nhân m(t ) với cos c t May mắn trường hợp này, ta thay phép nhân tác động chuyển mạch Tương tự cho trường hợp giải điều chế Trong sơ đồ hình P4.7-3a, chu kỳ xung vng tuần hồn x(t ) hình P4.7-3b T0  2 / c Bộ lọc thơng dải có tần số trung tâm  c Chú ý phép nhân xung vng tuần hồn x(t ) hình P4.7-3b thực chuyển mạch on –off theo chu kỳ m(t ) Đây sơ đồ tương đối đơn giản rẽ tiền Chứng tõ sơ đồ tạo tín hiệu điều chế k cos c t Xác định giá trị k Chứng tõ sơ đồ dùng giải điều chế thay lọc thông dải hình P4.7-3a lọc thơng thấp (hay băng nền) 4.7-4 Hình P4.7-4 giới thiệu sơ đồ giải điều chế đồng Chứng tõ sơ đồ giải điều chế tín hiệu AM, [ A  m(t )] cos ct bất chấp giá trị A 4.7-5 Vẽ tín hiệu AM, [ A  m(t )] cos ct tín hiệu tuần hồn tam giác m(t ) vẽ hình P4.7-5 tương ứng với số điều chế (a)   0,5 (b)   (c)   (d)    Hảy diễn giải trường hợp    4.7-6 Với tín hiệu ba tín hiệu băng (i) m(t )  cos 100t (ii) m(t )  cos 100t  cos 300t (iii) m(t )  cos 100t cos 500t (a) Vẽ phổ m(t ) (b) Vẽ phổ tín hiệu DSB – SC 2m(t ) cos 1.000t (c) Từ phổ phần (b), loại phổ biên tần (LSB) để có phổ biên tần USB (d) Biết phổ USB (b), viết biểu thức USB (t ) tín hiệu USB (e) Làm lại phần (c) (d) đề có tín hiệu LSB  LSB (t ) 4.8-1 Vẽ  FM (t )  PM (t ) tín hiệu điều chế m(t ) hình P4.8-1, cho biết c  2x107 , k f  2x105 k p  50 4.8-2 Một tín hiệu băng m(t ) tín hiệu sóng cưa vẽ hình P4.8-2 Vẽ  FM (t )  PM (t ) tín hiệu điều chế m(t ) c  2x106 , k f  20.000 k p   / Giải thích phải có k p   trường hợp này? 4.8-3 Tín hiệu điều chế m(t )  cos 100t  18 cos 2.000t Tìm băng thơng tương ứng với  FM (t )  PM (t ) k f  1.000 k p  4.8-4 Tín hiệu điều chế góc mơ tả phương trình  EM (t )  10 cos(ct  0,1sin 2000t) (a) Tìm độ dời tần F 4.8-5 (b) Ước lượng băng thông  EM (t ) Làm lại tập P4.8-4  EM (t )  cos(ct  20 sin 1000t  10 sin 2000t ) ... Theo tính tỉ lệ nén tín hiệu a theo thời gian làm giãn phổ tín hiệu, giãn theo thời gian tức nén theo phổ Một cách trực giác nén theo thời gian với thừa số a tức tín hiệu thay đổi nhanh với thừa... 4.3-6 Tích phân chập Đặc tính tích phân chập theo thời gian đối ngẫu đặc tính tích phân chập theo tần số, cho rằng, nếu: f1 (t )  F1 () f (t )  F2 () thì: Tích phân chập theo thời gian f1... có biến đổi Fourier Như thế, tồn thực tế tín hiệu điều kiện đủ để tồn biến đổi Fourier Tính tuyến tính biến đổi Fourier Biến đổi Fourier biến đổi tuyến tính, tức f1 (t )  F1 () f (t )  F2 ()