Nghiên cứu mô hình toán mô phỏng dòng chảy hở một chiều có kể đến vận tốc theo chiều đứng tại đáy

Trong bài báo này, phương pháp phần tử hữu hạn Taylor-Galerkin được áp dụng để rời rạc hóa hệ phương trình Saint-Venant có kể vận tốc chiều đứng ở đáy lòng dẫn, với độ chính xác bậc ba theo thời gian và không gian. Mô hình toán được kiểm định bởi hai ví dụ: Dòng chảy ổn định trên kênh có vật cản và dòng chảy vỡ đập trên kênh dốc. Kết quả cho thấy tính hiệu quả và chính xác của mô hình toán. Mô hình vật lý được xây dựng nhằm tạo ra vận tốc chiều đứng ở đáy kênh để kiểm chứng tính đúng đắn của mô hình.

BÀI BÁO KHOA HỌC NGHIÊN CỨU MƠ HÌNH TỐN MƠ PHỎNG DỊNG CHẢY HỞ MỘT CHIỀU CĨ KỂ ĐẾN VẬN TỐC THEO CHIỀU ĐỨNG TẠI ĐÁY Huỳnh Phúc Hậu1, Nguyễn Thế Hùng2, Trần Thục3, Lê Thị Thu Hiền4 Tóm tắt: Trong báo này, phương pháp phần tử hữu hạn Taylor-Galerkin áp dụng để rời rạc hóa hệ phương trình Saint-Venant có kể vận tốc chiều đứng đáy lòng dẫn, với độ xác bậc ba theo thời gian khơng gian Mơ hình tốn kiểm định hai ví dụ: Dòng chảy ổn định kênh có vật cản dòng chảy vỡ đập kênh dốc Kết cho thấy tính hiệu xác mơ hình tốn Mơ hình vật lý xây dựng nhằm tạo vận tốc chiều đứng đáy kênh để kiểm chứng tính đắn mơ hình Kết đo đạc biến đổi mực nước dọc máng thí nghiệm thực hiên với cấp lưu lượng khác Kết so sánh với kết tính tốn theo mơ hình tốn cho thấy phù hợp tốt số Nash trường hợp lên tới gần 90% Từ khóa: Saint-Venant, Taylor-Galerkin, thí nghiệm, xáo trộn đáy lòng dẫn ĐẬT VẤN ĐỀ Hệ phương trình vi phân phi tuyến SaintVenant (hay xem hệ phương trình nước nông chiều) sử dụng rộng rãi việc mơ dòng chảy khơng ổn định chiều lòng dẫn hở Trong năm gần đây, có nhiều nghiên cứu việc giải hệ phương trình xét tới dòng chảy chịu ảnh hưởng trọng lực hay lực Coriolit (Lai nnk, 2012; Pilotti nnk, 2011) Tuy nhiên, ảnh hưởng xáo trộn đáy lòng dẫn có dòng chảy bổ sung đáy chưa xem xét Vì vậy, tác giả xét tới thành phần bổ sung vào số hạng nguồn hệ phương trình Saint -Venant Mặt khác, việc lựa chọn phương pháp số phù hợp để giải hệ phương trình vấn đề nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Lai nnk(2012) dùng phương pháp phần tử hữu hạn discontinuous Galerkin để giải; Pilotti nnk(2011) lại dùng phương pháp sai phân hữu hạn Mac-Cormack để có nghiệm xác bậc hai theo khơng gian thời gian Tuy nhiên, số hạng nguồn xét tới ảnh hưởng độ Trường Cao đẳng Giao thông Vận tải Trung ương V Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng Viện khoa học khí tượng thủy văn biến đổi khí hậu Bộ môn Thủy lực, Trường Đại học Thủy lợi dốc đáy ma sát Vì vậy, nội dung báo này, tác giả dùng phương pháp phần tử hữu hạn Taylor-Galerkin để rời rạc hóa hệ phương trình Saint-Venant có kể xáo trộn đáy lòng dẫn, với độ xác bậc ba theo thời gian khơng gian Sau dùng ngơn ngữ lập trình Fortran để xây dựng chương trình tính Tính xác, tính ổn định hiệu sơ đồ số kiểm định số ví dụ có nghiệm giải tích hay thực đo báo Bên cạnh đó, để đánh giá khả mơ hình tốn việc mơ ảnh hưởng dòng chảy bổ sung theo chiều đứng, mơ hình vật lý thiết lập đo đạc Phòng Thí nghiệm trọng điểm Quốc gia Kết đường mặt nước tính tốn thực đo phù hợp số Nash trường hợp thí nghiệm lên tới 90% Hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng dòng chảy chiều có kể đến xáo trộn đáy lòng dẫn giải số phương pháp phần tử hữu hạn Taylor–Galerkin lập trình ngơn ngữ Fortran (Huỳnh Phúc Hậu, Nguyễn Thế Hùng, 2017) Để kiểm chứng tính xác mơ hình tốn, thí nghiệm mơ hình vật lý thực trình bày báo KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MƠI TRƯỜNG - SỐ 61 (6/2018) 91 MƠ HÌNH TỐN 2.1 Hệ phương trình Sant Venant có kể đến xáo trộn đáy lòng dẫn A Q A   wq t x h Q Q 4 / Q Q2 / A h   g  a A  gAi  gn2 R  qv (1) t x x A Trong đó: h: độ sâu dòng chảy (m); Q: lưu lượng dòng chảy (m3/s); q: lưu lượng bổ sung dọc sông (m2/s); g: gia tốc trọng trường (m/s2); i: độ dốc đáy lòng dẫn; n: hệ số nhám lòng dẫn A: diện tích mặt cắt ướt (m2):  A  hb0  0.5h m ; b0: bề rộng đáy; m: tổng hệ số mái dốc; R: bán kính thủy lực (m) Dòng chảy bổ sung đáy lòng dẫn gây xáo w trộn, có vận tốc w gia tốc a  t Viết lại hệ phương trình Saint Venant theo cặp biến (h, Q), ta được: h Q A     w q t A / h x A / h  h   Q Q 4 / Q  Q / A h    g  a  A  gAi  gn R  qv (2) t x x A Viết thành dạng vector: p f ( p)   S ( p) (3) t x p p Hay:  D( p )  S ( p) (4) t x Trong vec-tơ ẩn p=(h,Q)T ; f thông lượng: Ma trận Jacobian D(p) tính biểu thức (5)    f ( p ) A / h   D( p )   (5)  Q  A Q p    g  a A A   A h Số hạng nguồn phương trình (3) xác định bằng: T  A Q Q 4 / Q  S ( p)   R  q  (6)  w  q , gAi  gn A A   A / h  h 2.2 Rời rạc theo thời gian Thực khai triển véc tơ ẩn pn+1 chuỗi Taylor theo t lân cận bên phải điểm thời gian t=tn; đến bậc ba, nhận được: t 2 p tt  t 3 p ttt  O t 3 pn1  pn  t  pnt  n  n   1   2 pn1  pn  t  pnt    t  pntt1    t  pntt  6 3 2 (7)   Trong đó:  trọng số ẩn, pnt đạo hàm bậc theo thời gian p đánh giá t= tn Và tương tự vậy, pntt đạo hàm bậc hai: p f ( p )  f ( p )    S ( p)     S ( p ) (8) t x  x  Vậy: 2 p  f ( p )   f ( p) p S ( p) p   p  p   S ( p )       D( p )   B( p) t t x t x p t p t x  t  t 92 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 61 (6/2018) 2 p  f ( p)   f ( p ) p S ( p ) p   S ( p )     t t x t x p t p t (9) 2 p    f ( p )   f ( p)    D( p )   S ( p)    B ( p )   S ( p)  t x   x   x  Thay (8) (9) vào phương trình (7): p      2   p  p n 1    t    D( p )  D( p )  S ( p)    B ( p)  D( p)  S ( p )    p n  t  x x  6      n 1  x  p p p   1       2    D( p) x  S ( p )     t   x  D( p )  D( p ) x  S ( p )    B( p )  D( p ) x  S ( p )   n   n (10) 2.3 Rời rạc theo không gian Gọi chiều dài phần tử chiều bậc 2L, có nút 1,2,3 Chọn gốc tọa độ địa phương nút đầu 1, hướng x dương từ nút đầu đến nút cuối Chọn hàm nội suy bậc 2, ta có: x  L x  2L   x  L x  L  1  0  L 0  2L  L2 x  0x  L   xx  2L   x2 L  x  2  L  0L  2L   L2 L2 x  L x  0  xx  L  2  2 L  L 2 L  0 2L2 Áp dụng tích phân trọng số cho phương trình (10) trên, áp dụng tích phân phần cho đạo hàm bậc ta hệ phương trình đại số tuyến tính để xác định phương trình hệ ma trận phần tử, sau ghép nối hệ phương trình tổng thể, gán điều kiện biên để giải vec tơ ẩn số bước thời gian Các tác giả sử dụng ngơn ngữ lập trình Fortran90 xây dựng chương trình tính dựa mơ hình toán chọn Phương pháp số kiểm định tính bảo tồn khối lượng, khơng xuất 0.2  0.05 x  10 2 zb   0 nhiễu động, tính xác kết phương pháp số v.v… Một số ví dụ nhằm kiểm định tính đắn mơ hình mục 2.5 2.4 Kiểm định mơ hình tốn a Dòng chảy ổn định kênh có vật cản Ví dụ nhằm mơ dòng chảy ổn định kênh có vật cản (Hou nnk, 2013) Kênh dẫn mặt cắt chữ nhật dài 25m, độ nhám coi Cao độ đáy kênh định dạng biểu thức: 8m  x  12m x  8   x  12  Trường hợp 1: Dòng chảy kênh chuyển chuyển tiếp, khơng có sóng gián đoạn Độ sâu hạ lưu 0,66m, lưu lượng đơn vị phía thượng lưu q = 1,53m3/s.m Trường hợp 2: Dòng chảy kênh chuyển chuyển tiếp, có sóng gián đoạn Độ sâu mực nước hạ lưu 0,33m, lưu lượng đơn vị phía (11) thượng lưu q = 0,18m3/s.m Kết trình mực nước lưu lượng đơn vị tính theo phương pháp số so sánh với kết giải tích cho thấy có phù hợp cao Vì vậy, mơ hình tốn tác giả lựa chọn có khả mơ dòng chảy ổn định kênh có địa hình phức tạp KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 61 (6/2018) 93 Hình Quá trình mực nước lưu lượng đơn vị hai trường hợp b Dòng chảy vỡ đập kênh dốc Thí nghiệm thực phòng thí nghiệm US Army Engineer Waterway Experiment Station (Bellos nnk, 1987) nhằm kiểm tra khả mơ hình việc mơ dòng chảy vỡ đập kênh dốc Kênh lăng trụ mặt cắt chữ nhật dài 122m, rộng 1,22m có độ dốc đáy So =0,005, hệ số nhám Manning lấy 0,009 Đô sâu mực nước trước đập h1 = 0,305m, kênh hạ lưu khô Đường q trình độ sâu nước vị trí x=70,1m 85,1m hình Kết mơ hình tốn thực đo mơ hình tốn chọn cho kết hồn toàn phù hợp với thực đo với số Nash tương ứng 87,25% 89,1% Hình Quá trình mực nước vị trí x=70,1m x=85,4m Những ví dụ cho thấy, phương pháp số tác giả lựa chọn hoàn toàn phù hợp Để đánh giá ảnh hưởng nhiễu động sinh có dòng bổ sung theo chiều đứng đáy kênh Các tác giả xây dựng mơ hình vật lý Kết đo đạc mực nước so sánh với kết tính tốn theo mơ hình tốn trình bày mục 3 MƠ HÌNH VẬT LÝ 3.1 Mơ tả thí nghiệm Thí nghiệm kiểm chứng mơ hình tốn dòng chảy hở chiều có xáo trộn đáy lòng dẫn thực Phòng thí nghiệm trọng điểm quốc gia động lực học sông, biển Mơ hình thí nghiệm: Máng kính mặt cắt 94 ngang chữ nhật rộng 50 cm, cao 1m, dài 15m Để tạo điều kiện biên vận tốc chiều đứng đáy dòng chảy, Máng kính chia thành phần: phần dòng chảy ngăn cách lớp bê tông dày 5cm lớp vữa xi măng dày 25cm xoa phẳng Phần gọi đường hầm có bề rộng 0,44m, chiều cao 0,15m Thiết bị đo lưu lượng sử dụng thí nghiệm đập lường thành mỏng tiết diện chữ nhật có bề rộng b=0,6m; chiều cao đập lường P=0,75m Công thức đo lưu lượng: Q  mbH gH với hệ số lưu lượng m = 0,402+0,054.H/P, H: chiều sâu nước đỉnh đập lường (m) KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 61 (6/2018) Hạ lưu Khe đáy máng hình thang đo lưu lượng Khe đáy tạo vận tốc chiều đứng Tấm giảm sóng Hình Mỏng thớ nghim Máng lường hình thang đo lưu lượng Tấm lặng sóng bờ tụng i=1% máng kính có sẵn Cửa khe đáy Đổ cát xây trát mặt Đổ cát xây trát mặt đường hầm Hỡnh Thụng s kỹ thuật máng kính thí nghiệm 3.2 Tiến hành thí nghiệm Mặt cắt số (MC1) cách tâm khe đáy 350cm thượng lưu MC2 cách tâm khe 300cm thượng lưu MC3 cách tâm khe 200cm thượng lưu MC cách tâm khe 100cm thượng lưu MC5 tâm khe đáy MC6 cách tâm khe 100cm hạ lưu MC cách tâm khe 200cm hạ lưu MC8 cách tâm khe 300cm hạ lưu MC cách tâm khe 400cm hạ lưu MC10 cách tâm khe 450cm hạ lưu Giữa MC MC6 chia nhỏ thành mặt cắt cách 10cm hai mặt cắt mực nước biến đổi nhiều Các cấp lưu lượng tổng Q: 70; 75; 80; 90; 95; 100; 105 (l/s) Các cấp lưu lượng dòng phía Q1: 45; 50; 60; 65; 70; 75(l/s) Lưu lượng bổ sung Q2 = Q-Q1 Chiều sâu đo thước thép, máy thủy bình mia Mỗi mặt cắt ngang đo thủy trực để lấy trị số trung bình KẾT QUẢ THÍ NGHIỆM VÀ THẢO LUẬN 4.1 Kết đo độ sâu mực nước KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 61 (6/2018) 95 Bảng Độ sâu mực nước Q=75÷105(l/s); Q2 = 30 (l/s) STT Tên mặt cắt Độ sâu mực nước (cm) cấp lưu lượng tổng Q (l/s) 80 90 95 75 Ghi MC1 MC2 MC3 MC4 MC5 MC6 MC7 MC8 MC9 22,64 23,49 23,54 22,64 20,99 10,34 9,99 9,64 9,77 22,84 23,67 23,82 23,49 21,99 11,24 10,79 10,44 9,89 23,74 24,09 24,39 24,49 23,09 11,79 11,54 11,24 11,16 23,97 25,17 25,24 24,84 23,59 12,64 12,57 12,46 11,97 100 24,31 25,54 25,89 25,49 24,14 12,89 12,76 12,62 12,34 10 MC10 9,74 9,84 11,11 11,87 12,29 105 24,87 26,04 26,49 26,04 25,29 13,49 13,67 13,81 13,27 Cách tâm khe 350cm thượng lưu Cách tâm khe 300cm thượng lưu Cách tâm khe 200cm thượng lưu Cách tâm khe 100cm thượng lưu Tâm khe Cách tâm khe 100cm hạ lưu Cách tâm khe 200cm hạ lưu Cách tâm khe 300cm hạ lưu Cách tâm khe 400cm hạ lưu 13,24 Cách tâm khe 450cm hạ lưu Bảng Độ sâu mực nước chi tiết mặt cắt MC 1-4 10 11-5 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21-6 Q=75-45-30 22,65 22,65 22,65 22,70 22,65 22,80 23,00 22,70 22,35 22,20 21,00 19,50 17,00 14,15 12,00 11,25 10,85 10,70 10,55 10,50 10,35 Q=80-50-30 23,50 23,50 23,50 23,45 23,45 23,40 23,35 23,25 22,85 22,65 22,00 19,50 17,65 14,95 13,00 12,10 11,60 11,45 11,30 11,20 11,25 Q=90-60-30 24,50 24,50 24,50 24,50 24,50 24,40 24,40 24,30 24,10 24,00 23,10 20,55 18,75 16,25 14,50 13,50 12,90 12,50 12,10 11,90 11,80 4.2 So sánh kết thí nghiệm kết giải số mơ hình tốn Thí nghiệm nhằm kiểm chứng thuật tốn chương trình tính thiết lập (Huỳnh Phúc Hậu, 96 Q=95-65-30 Q=100-70-30 Q=105-75-30 24,85 25,50 26,05 24,80 25,50 26,05 24,75 25,45 26,05 24,75 25,50 25,95 24,75 25,45 25,95 24,75 25,55 25,90 24,65 25,50 25,95 24,70 25,40 25,90 24,50 25,30 25,80 24,30 25,00 25,75 23,60 24,15 25,25 21,50 22,50 23,50 19,20 20,05 20,50 16,90 17,90 18,50 15,30 15,80 16,50 14,35 14,70 15,50 13,50 14,20 14,70 13,10 13,80 14,25 12,80 13,50 13,95 12,65 13,25 13,65 12,65 12,90 13,50 2016, 2017); qua kết so sánh thí nghiệm tính tốn hình đến 10 (sai số tương đối max 5,5%) cho thấy tính đắn thuật tốn chương trình tính KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MƠI TRƯỜNG - SỐ 61 (6/2018) Hình Chiều sâu nước với lưu lượng dòng phía Q=45(l/s), Hình Chiều sâu nước với lưu lượng dòng phía Q=50(l/s), Hình Chiều sâu nước với lưu lượng dòng phía Q=60 (l/s) Hình Chiều sâu nước với lưu lượng dòng phía Q=65(l/s), Hình Chiều sâu nước với lưu lượng dòng phía Q=70(l/s) Hình 10 hiều sâu nước với lưu lượng dòng phía Q=75(l/s), KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 61 (6/2018) 97 KẾT LUẬN Bài báo giải mô hình tốn dòng chảy hở chiều Saint-Venant ảnh hưởng vận tốc theo chiều đứng đáy Với phương số phần tử hữu hạn Taylor-Galerkin, kết thu có độ xác bậc ba theo thời gian khơng gian Chương trình tính kiểm nghiệm tính đắn hiệu thơng qua ví dụ có nghiệm giải tích thực đo Sau đó, thí nghiệm thực phòng Thí nghiệm Trọng điểm Quốc gia Động lực Sông biển để kiểm chứng thuật tốn chương trình tính xây dựng cho mơ hình tốn dòng chảy hở chiều ảnh hưởng vận tốc theo chiều đứng đáy Kết thí nghiệm dùng để so sánh với kết giải số mơ hình tốn, cho thấy có phù hợp tốt, điều cho thấy thuật tốn chương trình tính có độ tin cậy cao TÀI LIỆU THAM KHẢO Huỳnh Phúc Hậu, Nguyễn Thế Hùng (2017), "Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn Taylor Galerkin giải tốn dòng chảy hở chiều khơng ổn định có xáo trộn đáy lòng dẫn", Hội nghị học toàn quốc 2017, Hà Nội Huỳnh Phúc Hậu, Nguyễn Thế Hùng (2017), "Áp dụng phương pháp Runghe-Kutta bậc bốn giải tốn dòng chảy hở chiều ổn định có xáo trộn đáy lòng dẫn", Hội nghị học toàn quốc 2017, Hà Nội W Lai, A.A, Khan (2014), "Discontinuous Galerkin Method for 1D shallow water flow in Natural Rivers”, J, Engineering Application of Computational Fluid Mechanics, 6, 74-86 M Pilotti, A Maranzoni, M Tomirotti G Valerio (2011), “1923-Gleno Dam Break: Case Study and Numerical Modelling”, J, Hydraulic Engineering, 137( 4) (ASCE), 480-492 J Hou, F Simons, M Mahgoub, R Hinkelmann (2013), “A robust well balanced model on unstructured grids for shallow water flows with wetting and drying over complex topography”, Comput Methods Appl Mech Engrg, 257, 126-149 C Bellos, G J Sakkas (1987), “1D Dam break flood wave propagation on dry bed”, Journal of Hydraulic Engineering, 113(12), 1510-1524 ASCE Abstract: STUDY A NUMERICAL MODEL FOR SOLVING THE ONE DIMENSIONAL FLOW ACOUNTING FOR VERITCAL VELOCITY AT THE BOTTOM OF CHANNEL This paper is investigated the Taylor–Galerkin finite element method to solve Saint-Venant equations accouting for additional discharge at the bottom of channel The numerical solution with third order accuracy in space and time is validated by some reference test cases A physical model is implemented at Key Labolatory of River and Coastal Engineering to verify the capacity of the proposed numerical model in terms of capturing correctly water hydrographs with different cases of discharges The very good agreement between numerical rerults and experimental ones of can be observered Keywords: Taylor-Galerkin, Saint Venant, Expreriment, bed disturbance Ngày nhận bài: 18/5/2018 Ngày chấp nhận đăng: 11/6/2018 98 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 61 (6/2018) ... chương trình tính xây dựng cho mơ hình tốn dòng chảy hở chiều ảnh hưởng vận tốc theo chiều đứng đáy Kết thí nghiệm dùng để so sánh với kết giải số mơ hình tốn, cho thấy có phù hợp tốt, điều cho thấy... Q=45(l/s), Hình Chiều sâu nước với lưu lượng dòng phía Q=50(l/s), Hình Chiều sâu nước với lưu lượng dòng phía Q=60 (l/s) Hình Chiều sâu nước với lưu lượng dòng phía Q=65(l/s), Hình Chiều sâu nước... dựng mơ hình vật lý Kết đo đạc mực nước so sánh với kết tính tốn theo mơ hình tốn trình bày mục 3 MƠ HÌNH VẬT LÝ 3.1 Mơ tả thí nghiệm Thí nghiệm kiểm chứng mơ hình tốn dòng chảy hở chiều có xáo