Xây dựng mô hình toán học về dòng chảy hở hai chiều đứng bằng tiếp cận đối ngẫu

Bài báo Xây dựng mô hình toán học về dòng chảy hở hai chiều đứng bằng tiếp cận đối ngẫu giới thiệu cách tiếp cận đối ngẫu để thiết lập phương trình dòng chảy hở hai chiều đứng; cách xây dựng mô hình này sẽ phức tạp hơn cách xây dựng cổ điển, tích phân có thể được thực hiện nhiều lần. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung!

KHOA HỌC CƠNG NGHỆ XÂY DỰNG MƠ HÌNH TỐN HỌC VỀ DÒNG CHẢY HỞ HAI CHIỀU ĐỨNG BẰNG TIẾP CẬN ĐỐI NGẪU Nguyễn Thế Hùng Đại học Đà Nẵng Tóm tắt: Mơ hình tốn học dịng chảy hở hai chiều đứng xây dựng phương pháp trung bình cổ điển, tích phân từ bờ phải đến bờ trái sơng từ phương trình Navier-Stockes ba chiều trung bình theo Reynolds; đại lượng trung bình nhận theo cách tiếp cận cổ điển không tổng quát so với cách tiếp cận đối ngẫu Bài báo giới thiệu cách tiếp cận đối ngẫu để thiết lập phương trình dịng chảy hở hai chiều đứng; cách xây dựng mơ hình phức tạp cách xây dựng cổ điển, tích phân thực nhiều lần Trong báo này, tác giả thực hai lần: (i) lần đầu, tích phân từ bờ sông phải đến mặt phẳng thẳng đứng nằm khoảng bờ sông phải bờ sông trái, (ii) lần thứ hai, tích phân từ bờ sơng phải đến bờ sơng trái Mơ hình dịng chảy hở hai chiều đứng cải tiến nhận từ cách tiếp cận đối ngẫu cho phép nhận tham số dịng chảy xác phương pháp cổ điển Mặt khác, cung cấp thêm số tham số để điều chỉnh kết tính tốn dựa theo số liệu đo đạc từ thực tế thí nghiệm Từ khóa: Phương pháp trung bình cổ điển, tiếp cận đối ngẫu, dòng chảy hai chiều đứng, đại lượng trung bình Summary: The mathematical model of two-dimensional vertical flow, in currently, is constructed by the classic average method which is integrated from the right to the left river bank of the three-dimensional Reynolds averaged Navier-Stokes equations; the average quantities received by this approach not generalize by means of dual approach This paper presents a dual approach to establish the twodimensional vertical flow equations; the setup model will more complex than classic approach, the integral can be performed locally several times In this paper, the Author performed twice integrals: (i) the first, integration from the right river bank to the intermediate vertical surface layer between the right bank and the left bank, and then (ii) the second, integration from the right bank to the left bank The improved two-dimensional vertical flow model received from this dual approach allows the calculation of flow parameters is more accurate than the classical method In other words, it provides some flexible parameters to adjust based on the field or experimental data Keywords: Classic average method, dual approach, two-dimensional vertical flow, average quantities ĐẶT VẤN ĐỀ * Dòng chảy thiên nhiên thường ba chiều, nhiên có trường hợp xem dòng chảy hai chiều đứng (chẳng hạn tốn dịng chảy qua đập tràn, dịng chảy vịnh sâu hẹp, dịng chảy sơng hẹp sâu có chiều rộng sơng thay đổi…) Dịng chảy ba chiều mơ tả theo phương trình Navier Stocks ba chiều (3D), nhiên việc giải trực tiếp từ phương trình 3D gặp nhiều khó khăn mặt tốn số, thời gian tính tốn lâu thiếu số liệu thực đo để kiểm chứng Nhằm đơn giản hóa tốn, mà số trường hợp thực tế đảm Ngày nhận bài: 02/9/2021 Ngày thông qua phản biện: 29/12/2022 bảo yêu cầu kỹ thuật, mô hình tốn thường đưa dạng đơn giản chiều (1D), hai chiều ngang (2DH), hai chiều đứng (2DV) (NGUYEN The Hung 1992; Hung NGUYEN The 2017; Tinh Ton That et al., 2019; Hung NGUYEN The 2020; Weiming Wu 2007) Với mơ hình dịng chảy 2DV, vận tốc dòng chảy theo phương ngang oy bỏ qua (v≈0); vận tốc (u,w) theo phương (ox,oz) lấy trung bình theo chiều rộng sơng Để nhận mơ hình tốn dịng chảy 2DV, Ngày duyệt đăng: 21/02/2022 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 71 - 2022 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ người ta tích phân hệ phương trình 3D Navier-Stocks lần theo chiều rộng sơng; tích phân từ bờ sông phải đến bờ sông trái (gọi tích phân tổng thể) Trong báo này, tác giả xây dựng mơ hình 2DV từ hệ phương trình 3D Navier-Stocks trung bình theo Reynolds theo cách tiếp cận đối ngẫu Theo cách tiếp cận đối ngẫu, đại lượng vật lý tích phân nhiều lần, có tích phân cục tổng thể (Nguyen Dong Anh, 2012), báo tích phân hai lần (i) Đầu tiên (tích phân lần 1, hay cịn gọi tích phân cục bộ), tích phân từ bờ sơng phải A đến mặt thẳng đứng trung gian nằm bờ sông phải bờ sông trái; (ii) (tích phân lần 2, gọi tích phân tổng thể), tích phân lần từ bờ sơng phải đến bờ sơng trái, ta nhận hệ phương trình vi phân toán 2DV theo cách tiếp cận đối ngẫu Với cách tiếp cận phức tạp cách tiếp cận cổ điển bù lại ta thu đại lượng vật lý dòng chảy tốt cách tiếp cận theo phương pháp cổ điển w   u.w    v.w    w.w      t x y z 1 p  zx  zy  zz Fz       z  x  y  z (4) Trong đó: u, v, w thành phần vận tốc theo phương x, y z; Fx, Fy, Fz thành phần lực khối F   g tương ứng theo phương x, y z; p thành phần áp suất trung bình; τxx,τyy, τzz, τxy, τxz, τyx, τyz, τzx, τzy thành phần ứng suất theo trục x, y, z theo mặt phẳng x-y, x-z, y-z;  khối lượng riêng nước Trong điều kiện định, ta xây dựng mơ hình dịng chảy theo 2DV cách tích phân hệ phương trình (1), (2), (3), (4) (Weiming Wu, 2007) Với tốn 2DV số hạng phương trình trung bình Reynolds theo phương y nhỏ phương trình (3) biến TIẾP CẬN ĐỐI NGẪU TRONG XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH DỊNG CHẢY 2DV Từ phương trình Navier-Stockes 3D trung bình hóa theo Reynolds sau: - Phương trình liên tục: u v w   0 x y z (1) - Các phương trình động lượng tương ứng theo phương x, y z: u   u.u    u.v    u.w      t x y z 1 p  xx  xy  xz Fx       x  x  y  z v   u.v    v.v    v.w      t x y z 1 p  yx  yy  yz Fy       y  x  y  z (2) (3) Hình 1: Sơ đồ xây dựng dịng chảy 2DV tiếp cận đối ngẫu Xây dựng mơ hình tốn dịng chảy 2DV từ mơ hình tốn dịng chảy 3D theo tiếp cận đối ngẫu: + Hiện để xây dựng mơ hình tốn 2DV người ta tích phân lần (gọi tích phân tổng thể) hệ phương trình 3D theo phương ngang (trục oy) từ bờ sông phải A(x,z) đến bờ sông trái B(x,z) + Theo cách tiếp cận đối ngẫu (Nguyen Dong Anh, 2012), toán 2DV tích phân nhiều lần, báo tác giả tích phân TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 71 - 2022 KHOA HỌC lần; (i) lần (gọi tích phân cục bộ): tích phân từ bờ sơng phải A(x,z,t) đến mặt phẳng thẳng đứng C(x,z,t) nằm bờ sông phải A(x,z,t) bờ sông trái B(x,z,t); (ii) lần (gọi tích phân tổng thể): tích phân từ bờ sông phải A(x,z,t) đến bờ sông trái B(x,z,t) - Điều kiện biên toán:  Điều kiện mặt phẳng C(x,z,t) vị trí ym nằm khoảng bờ sông phải A bờ sông trái B (v≈0): y  y  y  y  y  u  w    U  W   | y  ym z  y  ym z  t  x  x Từ phương trình liên tục: Ic (6) Kc Jc ym  u w  v   x  y  z  dy  (7) T [CQ]  u  x dy  v( y m y1 )  v( y1 )  ym ym  y1 u dy  x  y1    (w.b1 ) z z Y Ym  wdy ;  m   w (dy)   z w (b1 ) Y1 z Y 2c  Y1 (12) Tích phân lần hai (tích phân tổng thể) phương trình liên tục (1) từ bờ sơng phải A đến bờ sông trái B: b     T [CQ]:   1c (u b1 )  1c (w.b1 )  *  dy  (13)  x  z t  y1  ym  y1 Ta tính số hạng: b1    dy  y2  y12  y1  y2   t  t t t y1 y2   y2    x (u b )dy  ( y     1 w dy  TI c  TKc  z (8) w    dy  1c (w.b1 )   2c w ( ym )   2c w ( y1 ) (10) z z z z Cộng hai biểu thức (9) (10) tính đến điều kiện biên (5), ta có: y1       y1 )  (u b)  u (b)   x   x   z (w.b )dy  ( y u    dy  1c (u b1 )  2c u ( ym )  2c u ( y1 ) (9)  x  x  x  x y1 y1 Y  2c  (  2c   2c ) / y2 ym  1c  m  m  udy ;  2c   u (dy)    (u.b1 ) x Y1 u (b1 ) Y1 x x x  TI c   ym Phương trình (11) phương trình liên tục tốn 2DV cổ điển Trong đó: b1=ym-y1 khoảng cách theo phương oy từ bờ sông phải A đến mặt phẳng phẳng thẳng đứng qua C(x,z,t) y=ym Với hệ số hiệu chỉnh phương trình liên tục sau:    u y22  y12   u y2  y12 x  x w dy  z Đi tính tích phân với sử dụng qui tắc Leibnitz: TKc  11 y1 Mà: v( ym )  v( y1 )  , nên ta có: T [CQ]  b1 0 t y1 ym   (u b1 )  1c (w.b1 ) x z y Tích phân lần thứ (tích phân cục bộ) phương trình liên tục (1) từ bờ sông phải A(x,y=y1,z,t) đến mặt thẳng đứng C(x,y=ym,z,t) nằm khoảng bờ sông bên phải A bờ sông bên trái B: T [CQ]   * 1c  2.1 Xây dựng phương trình liên tục 2DV theo tiếp cận đối ngẫu u v w   0 x y z T [CQ]  TI c  TK c  1c (5) Trong đó: U , W vận tốc trung bình tương ứng theo phương x, z CÔNG NGHỆ      y1 )  (w.b)  w (b)   z   z    w y22  y12   w y2  y12  z z     Như ta phương trình liên tục tốn 2DV thiết lập theo cách tiếp cận đối ngẫu:    2 u y22  y12   1cu y2  y1  x  x (14a)   2 2 1c  w y2  y1   1c w y2  y1  z z  T [CQ]: 1c        Nếu chọn gốc toạ độ trục oy bờ sơng phải A (y1=0,y2=b), ta có: TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 71 - 2022 KHOA HỌC 1c CÔNG NGHỆ    u b   1c  w.b    1c b 0 x  z  t   Với: (14b)  1c  ( 1c  1c ) / y1   (u b)  1c (w.b)  x z (14c) Trong đó: b chiều rộng sơng u ; w vận tốc theo trục ox, oz lấy trung bình theo chiều rộng lịng sơng b Các hệ số β1c, δ1c hệ số hiệu chỉnh có giá trị gần (β1c ≈ δ1c ≈ 1); điều kiện lý tưởng vận tốc u phân bố theo chiều rộng sông b, vận tốc w phân bố theo chiều sâu z hệ số (β1c = δ1c = 1) 2.2 Xây dựng phương trình động lượng 2DV trung bình theo cách tiếp cận đối ngẫu theo phương x Tích phân phương trình (2) lần thứ từ bờ sông phải A đến mặt phẳng thẳng đứng C(x,y=ym,z,t) nằm phạm vi từ bờ sông phải A bờ sông trái B:    u   u.u    u.v    u.w   T [MEx]:       dy  t x y z  y1   Ix  Jx Lx Kx     ym  1 p  xx  xy  xz  y   F   x   x   y   z  dy  M  Nx Frx  x x  (15) Ta tính tích phân số hạng:   u  T [Ix]=    dy  t  t y1  T [Ix]=1tx ym ym y1 y1   udy   u t (dy) y    y (u1.b1 )   2tx u1  m   t t   t m (uu )  m  T [Jx]=  dy   (uu ).dy   (uu ) (dy) x x y1 x y1 y1 ym T [Jx]=1x y ym T [Mx]=   y1 ym T [Nx]=  y1 ym y1 y1  (uw).dy   (uw)  (dy) z Fx dy   Fx ( ym  y1 )   Fx b1 p p p dy  ( ym  y1 )  b1  x  x  x   xx  xy  xz     dy x  y  z  y1    (b1. xx )  (b  )   x  z xz T [Frx]  ym    y  1  ym  xx   xz m     x z   div(b1. ) x  y1   y1  xx x   xz z    ( n) x   Tóm lại, sau tích phân số hạng phương trình (15), ta có: T [Frx]     (u1.b1 )  1x (uu.b1 )  1x (uw.b1 )  t x z 1 p 1 F b  b  div(b1. ) x  ( n) x 16  x  x   T [MEx]: 1tx Trong đó, hệ số hiệu chỉnh sau: 1tx  Ym  (u1.b1 ) t  Y1 m u  dy ;  2tx   u (dy) b t u1 Y1 t t Y m  m  (uu).dy ; 2 x   (uu) (dy)     x  x Y1 (b1.uu) (uu) (b1 ) Y1 x x Y Ym (17)  m  1x   (uw).dy ;  x   (uw) (dy)    z  z (b1.uw) Y1 (uw) (b1 ) Y1 z z Y 1x  Y Phương trình (16) phương trình chuyển động theo phương x tốn dịng chảy 2DV cổ điển Tích phân phương trình chuyển động (2) lần thứ hai từ bờ sông phải A đến bờ sông trái B: y2 T [MEx]:  1tx y1 y    (uu.b1 )   x (uu ) ( ym )   x (uu ) ( y1 ) x x x ym    T [Lx]=1x (uw.b1 )   x (uw) ( ym )   x (uw) ( y1 ) z z z ym ym (uw)  dy  z z ym T [Lx]=  Khi b = const theo phương x z, từ phương trình (14b) ta trở phương trình liên tục cổ điển tốn 2DV: 1c T [Kx]=0 y2   1 x y1 y2  y1    (u1.b1 )dy   1x (uu.b1 )dy t  x y1 y  (uw.b1 )dy  z y2 div(b1. ) x dy   TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 71 - 2022 y1 y2 y2 1 p   F b    x b dy x y1  1 (18) y1 b1 b dy    xz dy x  z y1 y  xx KHOA HỌC 2DV ta xem vận tốc v theo phương ngang trục oy khơng đáng kể Đi tính tích phân số hạng: y2 T [Ix]=  1tx y1  (u1.b1 )dy  t 2.3 Xây dựng phương trình động lượng 2DV trung bình theo cách tiếp cận đối ngẫu theo phương z    1tx u.( y22  y12 )  1tx u  ( y22  y12 )  t  t     T [Jx]= Tích phân phương trình (4) lần thứ từ bờ sông phải A đến mặt phẳng thẳng đứng C nằm phạm vi bờ sông phải A bờ sông trái B:  (uu.b1 )dy  x y2  1x y1   1x (uu ).( y22  y12 )  1x (uu ) ( y22  y12 ) x x   y2 T [Lx]=  1x y1    w   w.u    w.v    w.w   T [MEz]:       dy  t x y z  y1   Iz  Jz Lz Kz     ym  1 p  zz  zy  zz  y   Fz   z   x   y   z  dy  M  Nz Frz  z  ym  (uw.b1 )dy  z   1x (uw).( y22  y12 )  1x (uw) ( y22  y12 ) z z   y2 T [Mx]=  y1 y2 T [Nx]=  y1 y2 T [Ox]=  y1  Fx b1dy  Fx ( y22  y12 ) 2   y y   w  T [Iz]=    dy  1tz (w1.b1 )   2tz w1  m   t  t  t t  y1  ym div(b1. ) x dy  m m  m   (wu )  T [Jz]=   dy  (w u ) dy  (wu ) (dy)    x  x y1 x y1  y1 y 1  div( x ).( y22  y12 )   xx ( y22  y12 ) 2 2 x ( ym  y1 ) ( ym  y1 ) T [Px]=    xx dy    xz dy  x  z y1 y1 y2 y 1      xx ( y2  y1 )   xz ( y2  y1 )  ( y2  y1 )    x x   ( n) x ( y2  y1 ) 2 T [Px]=  Tổng hợp số hạng sau tích phân lần thứ hai, ta có phương trình chuyển động theo phương ox theo cách tiếp cận đối ngẫu:    T [MEx]: 1tx u.( y22  y12 )  1tx u  ( y22  y12 )  t  t     1x (uu ).( y22  y12 )  1x (uu ) ( y22  y12 ) x x    1 x (uw).( y22  y12 )  1x (uw) ( y22  y12 )  z z 1  p Fx ( y22  y12 )  ( y22  y12 )  2  x 1 div( ) x ( y22  y12 )  ( n) x ( y2  y1 ) 2 2       (20) Ta tính tích phân số hạng: p p b dy  ( y2  y12 )  x  x  CÔNG NGHỆ y    (wu.b1 )   z (wu ) ( ym )   z (wu ) ( y1 ) x x x T [Jz]=1z T [Kz]=0 T [Lz]=  (ww)  dy  z z T [Lz]=1z    (ww.b1 )   z (ww) ( ym )   z (ww) ( y1 ) z z z ym y1 ym T [Mz]=  y1  y1 y1 Fz ( ym  y1 )    zx  zy  zz   x  y  z y1 ym (19)  1  Fz dy  ym  (ww).dy   (ww)   (dy) z Fz b1  z y1 T [Frz ]  ym p p dy  b1  z ym T [Nz]=  Phương trình (3) triệt tiêu với tốn y      dy    (b1. zx )  (b  )   x  z zz y y  1 y y   m   zz m    zx   zz    zx x z    x z  T [Frz ]   div(b1. ) z  ( n) z  TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 71 - 2022 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ y2  (ww.b1 )dy  z Tóm lại, sau tích phân số hạng phương trình (20), ta có: T [Lz]=  1z    T [MEz]: 1tz (w1.b1 )  1z (wu.b1 )  1z (ww.b1 ) t x z 1 p 1  Fz b1  b1  div(b1. ) z  ( n) z   z    1 z (ww).( y22  y12 )  z  1z (ww) ( y22  y12 ) z  (21) Trong đó, hệ số hiệu chỉnh sau: w  1tz   dy ;  2tz   w (dy)   b (w1.b1 ) Y1 t w1 Y1 t t t Y  m 1z   (wu ).dy ;  (b1.wu ) x Y1 x Ym  2 z   (wu ) (dy)   x (wu ) (b1 ) Y1 x Y  m 1 z   (ww).dy ;  (b1.ww) z Y1 (22) z Ym  2z   (ww) (dy)   z (ww) (b1 ) Y1 z Ym Ym Phương trình (21) phương trình chuyển động theo phương z tốn dịng chảy 2DV cổ điển Tích phân phương trình (4) lần thứ hai từ bờ sông phải A đến bờ sông trái B: y2 T [MEz]:  1tz y1   (w1.b1 )dy   1z (wu.b1 )dy t  x y1 y 2  1 p   1z (ww.b1 )dy   Fz b1dy   b1dy  z   z (23) y1 y1 y1 y2 y y2 y y 1 div ( b  ) dy  y  z y  ( n) z dy 1 Đi tính tích phân: y2 T [Iz]=  1tz y1   (w1.b1 )dy  1tz w.( y22  y12 )  t t     1tz w  ( y22  y12 )   t   T [Jz]=  1z (wu.b1 )dy   x y1   1z (wu ).( y22  y12 )  1z (wu ) ( y22  y12 ) x x   y2 T [Mz]=  y1 y2 T [Nz]=  y1 y2 T [Oz]=  y1 y2 T [Pz]=   y1 Fz b1dy   Fz.( y22  y12 ) 2 p p b1dy  ( y2  y12 )  z  z div(b1. ) z dy    div( ) z ( y22  y12 ) 2 ( ym  y1 ) ( ym  y1 ) dy    zz dy x  z y1 y  zx      zx ( y2  y1 )   zz ( y2  y1 )  ( y2  y1 )   x x  T [Pz]  ( n) x ( y2  y1 ) 2 T [Pz]=  Tổng hợp số hạng sau tích phân lần thứ hai, ta có phương trình chuyển động theo phương oz theo cách tiếp cận đối ngẫu:    1tz w.( y22  y12 )  1tz w  ( y22  y12 )  t  t     1z (wu ).( y22  y12 )  1z (wu ) ( y22  y12 ) x x   (24)  1 z (ww).( y22  y12 )  1z (ww) ( y22  y12 ) z z 1 p  Fz ( y22  y12 )  ( y22  y12 )  2  z 1 2 div( ) z ( y2  y1 )  ( n) z ( y2  y1 ) 2 2  T [MEz]:      Tóm lại, báo xây dựng hệ phương trình 2DV mơ tả dòng chảy hở hai chiều đứng theo cách tiếp cận đối ngẫu sau:  2  y2  y1  1c u y22  y12   t x   1c  w y22  y12   z  1c y2  y1    TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 71 - 2022    KHOA HỌC    u.( y22  y12 )  1tx u  ( y22  y12 )   t  t     1x (uu ).( y22  y12 )  1x (uu ) ( y22  y12 ) x x   1x (uw).( y22  y12 )  1x (uw) ( y22  y12 )  z z  1tx        Fx ( y22  y12 )  p ( y22  y12 )   x div( ) x ( y22  y12 )      1tz w.( y22  y12 )  1tz w  ( y22  y12 )   t  t    2 1z (wu ).( y2  y1 )  1z (wu ) ( y2  y12 ) x x   1z (ww).( y22  y12 )  1z (ww) ( y22  y12 )  z z 1 p 2 2 F ( y  y )  ( y  y )   z  z 1 div( ) z ( y22  y12 )  ( n) z ( y2  y1 )        (25a)  Trong đó: u , w thành phần vận tốc tương ứng theo phương ox, oz lấy trung bình theo chiều rộng sông; n vec tơ pháp tuyến mặt biên; ( n) x , ( n) z ma sát thành bên theo phương trục ox oz tương ứng;  trọng lượng riêng nước; α1tx, α1tz, 1x, 1z, δ1x, δ1z hệ số hiệu chỉnh gần Trong trường hợp gốc tọa độ trục 0y chọn trùng với điểm A (bờ sông phải), hệ phương trình (25) viết lại sau: 1c    u b   1c  w.b    1c b 0 x z t      u.(b )  1tx u  (b )   t  t    1x (uu ).(b )  1x (uu ) (b )  x x   1 x (uw).(b )  1x (uw) (b )  z z 1 p 1 F (b )  (b )  div( ) x (b )  ( n) x (b)  x  x   1tx          w.(b )  1tz w  (b )   t  t     1z (wu ).(b )  1z (wu ) (b )  x x   1 z (ww).(b )  1z (ww) (b )  z z 1 p Fz (b )  (b )    z 1 div( ) z (b )  ( n) z (b)  1tz       ( n) x ( y2  y1 ) CÔNG NGHỆ (25b)  Nhận xét: Hệ phương trình (25a) (25b) nhờ có hệ số điều chỉnh αi, βi nên dễ dàng điều chỉnh kết tính tốn cho sát với thực tế Khi chiều rộng sơng b thay đổi theo thời gian không gian (dọc sông 0x chiều sâu 0z), từ hệ phương trình (25a) (25b) ta nhận hệ phương trình 2DV (26) sau: 1c    u b   1c w b   x  z      u.(b )  1x (uu ).(b )  t x  1 p 1 x (uw).(b )  Fx (b )  (b )  z   x 1 div ( ) x (b )  ( n) x (b) 1tx           1tz w.(b )  1z (wu ).(b )  t x  1 p 1 z (ww).(b )  Fz (b )  (b )  z   z 1 div ( ) z (b )  ( n) z (b) (26)         Từ hệ phương trình (26) tuyến tính hóa theo chiều rộng lịng dẫn b, ta dễ dàng nhận hệ phương trình dòng chảy 2DV thiết lập theo phương pháp cổ điển Từ phương trình hai chiều ngang thiết lập theo tiếp cận đối ngẫu (Tinh Ton That et al., 2019) phối hợp với phương trình (26) ta nhận phương trình 1D thiết lập theo phương pháp đối ngẫu sau: H    (1c uH )  ( 1c ub )  t x x TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 71 - 2022 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ     (1 u.H )  1tx (u.b )  ( u H )  1x (uu.b ) t t x x Z s Z s   gH  g.b  div( ) x ( H ) x x  1  ( n) x ( H )  div( ) x (b )  ( n) x (b) (27)    Viết lại hệ (27) theo biến lưu lượng Q chiều cao mực nước Zs :  ( AH )    (1c HQ)+ ( 1c bQ)  t x x    HQ  (1 HQ)  1tx (bQ)  ( )  1x (Q )  t t x A x Z s Z s 1  gAH  g Ab  div( ) x ( H )  div( ) x (b ) x x   1  ( n) x ( H )  ( n) x (b)  28   Trong đó, hệ số lấy sau: 1  1tx ; 2  1x Đơn giản nữa, bỏ qua ảnh hưởng chiều rộng b, ta nhận hệ phương trình dịng chảy hở chiều thiết lập theo phương pháp đối ngẫu: ( AH )   (1c HQ)  t x   HQ (1 HQ)  ( ) t x A Z  2Q  gAH s  H  gAHS f x x Trong đó: A: diện tích mặt cắt ngang; H: độ sâu dịng chảy; Q: lượng dịng chảy; Zs: cao trình mặt nước;  : hệ số ma sát nhớt chất lỏng; Sf : độ dốc ma sát lịng dẫn Tuyến tính hóa (29) theo H, ta nhận hệ phương trình chiều cổ điển (NGUYEN The Hung, 1992; Weiming Wu, 2007) KẾT LUẬN Mơ hình tốn học dịng chảy hai chiều đứng lòng dẫn hở xây dựng theo cách tiếp cận đối ngẫu (25), (26) tổng quát so với mơ hình tốn học dịng chảy hai chiều đứng xây dựng theo phương pháp cổ điển Mơ hình xây dựng cho phép mô tả tổng quát có biến hình lịng dẫn; mực nước trường vận tốc trung bình hai chiều đứng thu xác Từ hệ phương trình hai chiều ngang xây dựng theo tiếp cận đối ngẫu hệ phương trình hai chiều đứng xây dựng theo tiếp cận đối ngẫu (26), ta nhận hệ phương trình dịng chảy chiều theo tiếp cận đối ngẫu (27), (28) (29) tổng quát hệ phương trình chiều cổ điển (29) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyen Dong Anh (2012), Dual approach to averaged values of functions, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol 34, No 3, pp 211 – 214 [2] Nguyen Dong Anh (2012), Dual approach to averaged values of functions: Advanced formulas, Vietnam Journal of Mechanics, Vast, Vol 34, No 4, pp 321 – 325 [3] NGUYEN, The Hung (1992), Salinity intrusion in Huong river network and the measure of hydraulic construction, The Journal of Science & Technology (Five University of Technology), No 2, pp 17-21 [4] Hung, NGUYEN The (2017), A dual approach to modeling solute transport, The International Conference on Advances in Computational Mechanics, pp 821-834 [5] Tinh Ton That1, The Hung Nguyen1*, Dong Anh Nguyen2, A dual approach for model construction of two-dimensional horizontal flow, Proceedings of the 10th International Conference on Asian and Pacific Coasts (APAC 2019) Hanoi, Vietnam, Sept 25-28, 2019, 115-120 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 71 - 2022 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ [6] Hung, NGUYEN The (2020), A dual approach for modeling two- and one-dimensional solute transport, The International Conference on modern mechanics and applications, Lecture notes in Mechanical Engineering (Pp 978-981), Springer [7] Weiming Wu (2007), Computation river dynamics, Taylor and Francis / Balkema TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 71 - 2022 ...  z (2) (3) Hình 1: Sơ đồ xây dựng dịng chảy 2DV tiếp cận đối ngẫu Xây dựng mô hình tốn dịng chảy 2DV từ mơ hình tốn dịng chảy 3D theo tiếp cận đối ngẫu: + Hiện để xây dựng mơ hình tốn 2DV người... hình tốn học dịng chảy hai chiều đứng lòng dẫn hở xây dựng theo cách tiếp cận đối ngẫu (25), (26) tổng quát so với mơ hình tốn học dịng chảy hai chiều đứng xây dựng theo phương pháp cổ điển Mô. .. hệ phương trình hai chiều đứng xây dựng theo tiếp cận đối ngẫu (26), ta nhận hệ phương trình dòng chảy chiều theo tiếp cận đối ngẫu (27), (28) (29) tổng quát hệ phương trình chiều cổ điển (29)