Tối ưu hóa trong mô hình chống khủng bố bất đối xứng lanchester (2,1)

Bài viết này mở rộng mô hình KKS (do Kaplan, Kress và Szechtmann đưa ra [10,11]), với nhiều lực lượng quân chống khủng bố chống lại một nhóm khủng bố. Chúng tôi sử dụng nguyên lý cực đại Pontryagin để đưa ra phương án tình báo và bổ sung quân số tối ưu cho các lực lượng chống khủng bố. Chúng tôi cũng đưa ra một số kết quả tính toán cho thấy chống khủng bố bằng liên minh hiệu quả hơn chống khủng bố đơn lẻ.

Nghiên cứu khoa học cơng nghệ TỐI ƯU HĨA TRONG MƠ HÌNH CHỐNG KHỦNG BỐ BẤT ĐỐI XỨNG LANCHESTER (2,1) Nguyễn Hồng Nam*, Hy Đức Mạnh, Vũ Anh Mỹ Tóm tắt: Chống khủng bố nhiệm vụ toàn cầu mà quốc gia quan tâm Để cải thiện hiệu hoạt động chống khủng bố, nhiều quốc gia liên minh với để lên phương án thực hoạt động chống khủng bố Bài báo mở rộng mơ hình KKS (do Kaplan, Kress Szechtmann đưa [10,11]), với nhiều lực lượng quân chống khủng bố chống lại nhóm khủng bố Chúng sử dụng nguyên lý cực đại Pontryagin để đưa phương án tình báo bổ sung quân số tối ưu cho lực lượng chống khủng bố Chúng tơi đưa số kết tính toán cho thấy chống khủng bố liên minh hiệu chống khủng bố đơn lẻ Từ khóa: Mơ hình Lanchester; Điều khiển tối ưu; Tình báo; Chống khủng bố; Mơ hình KKS MỞ ĐẦU Mơ hình tốn học cho trận đánh lần Lanchester đưa vào năm 1916 dạng hệ phương trình vi phân với hai phương trình hai hàm ẩn quân số hai bên tham chiến [12] Quân số bên tham chiến giả thiết đồng (cùng loại vũ khí) Loại vũ khí hai bên nhau, nói chung Mơ hình khơng phân biệt loại vũ khí bên mà ý đến hiệu tiêu diệt đối phương chúng Thực chất cường độ dòng phát bắn hiệu Mơ hình sau gọi mơ hình Lanchester hay mơ hình Lanchester tổ chức cao Tính tổ chức cao mơ hình thể cách xử lý thơng tin tiến trình trận đánh Mỗi đơn vị chiến đấu bên tồn hai trạng thái: chiến đấu (chưa bị tiêu diệt) bị tiêu diệt (không chiến đấu nữa) Đồng thời quan điểm “điều khiển trận đánh” trạng thái đơn vị chiến đấu bên nhận biết cách tức thời (một đơn vị bị diệt đối phương biết để khơng bắn vào nữa) Mãi đến năm 1962, Deitchman [6] mở rộng mơ hình Lanchester cách xét trận đánh bên qn qui bên khơng qui Tính qui dựa vào xử lý thơng tin Trong mơ hình mở rộng thơng tin khơng xử lý tức thời mà có độ trễ Mơ hình gọi mơ hình chiến tranh du kích Mơ hình gọi mơ hình Lanchester bất đối xứng Trong mơ hình này, hỏa lực lực lượng du kích xác định, hỏa lực lực lượng qn quy khơng xác định Sau Deitchmann, Schaffer[14] Schreiber[15] mở rộng mơ hình Deitchmann cách đưa vào yếu tố thông tin tình báo xem xét vấn đề phân bố hỏa lực tối ưu bên quân qui Gần đây, Kaplan, Kress Szechtman (KKS) [10,11] xem xét mô hình Lanchester có thêm thơng tin tình báo Mơ hình ứng dụng cho chống khủng bố Theo mơ hình thơng tin tình báo ảnh hưởng lớn đến kết chiến lực lượng chống khủng bố lực lượng khủng bố Kaplan, Kress Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 133 Công nghệ thông tin Szechtman gọi mơ hình mơ hình bất đối xứng (do lực lượng không cân bằng) Năm 1974, Taylor [16] nghiên cứu hỏa lực tối ưu theo thời gian cho số mơ hình trận đánh Mackay tác giả [13] mở rộng kết Taylor cho toán hỏa lực tối ưu theo thời gian cho mơ hình Lanchester (n,1) Chen nhóm tác giả [4] lại nghiên cứu toán điều khiển tối ưu cho mơ hình Lanchester (1,1) có bổ sung qn số với tham số điều khiển tốc độ bổ sung quân số; kết sau mở rộng cho mơ hình Lanchester (2,2) [5] Đặc điểm chung nghiên cứu hàm mục tiêu hàm quân số Theo hướng khác, Feichtinger nhóm tác giả [1, 2, 3, 7] nghiên cứu toán điều khiển tối ưu cho mơ hình KKS số mơ hình khác với hàm mục tiêu chi phí cho trận đánh chống khủng bố, biến điều khiển thơng tin tình báo tốc độ bổ sung quân số Trong báo này, mở rộng kết nghiên cứu Feichtinger nhóm tác giả cho mơ hình KKS cách đưa mơ hình chống khủng bố bất đối xứng Lanchester (2,1) lực lượng chống khủng bố nhóm khủng bố MƠ HÌNH Giả sử có hai lực lượng tham gia chống khủng bố thời điểm t có quân số X  t   X  t   đối đầu với nhóm khủng bố với quân số Y  t  (nằm tổng dân số P ) Để đơn giản ta gọi lực lượng chống khủng bố X1 X2 bọn khủng bố Y Không tổng quát, ta giả thiết P  1, suy  Y  Ký hiệu: - 1 ,  hiệu công lực lượng khủng bố Y lên X X ;  ,  hiệu công lực lượng chống khủng bố X X lên Y , (0  1 ,  ,  ,   1) -  mức độ thơng tin tình báo lực lượng chống khủng bố, có nghĩa lực lượng chống khủng bố có chia sẻ thơng tin tình báo giúp xác định vị trí xác lực lượng khủng bố, phần   khơng xác định vị trí khủng bố Ở    1; với   có nghĩa lực lượng chống khủng bố khơng có thơng tin qn khủng bố,   có nghĩa lực lượng chống khủng bố có đầy đủ thơng tin qn khủng bố (thực tế điều khơng thể xảy (xem [11]) nên ta coi   1) - 1 ,  hệ số tự tiêu hao X , X (đào ngũ, bệnh tật …),  1 ,   - 1 ,  tốc độ bổ sung quân số lực lượng chống khủng bố 134 N H Nam, H Đ Mạnh, V A Mỹ, “Tối ưu hóa mơ hình … Lanchester (2, 1).” Nghiên cứu khoa học cơng nghệ Do đó, theo kết tương tự Gustav Feichtinger nhóm tác giả [7], có mơ hình dạng hệ phương trình vi phân sau:  X  1Y  1 X  1  (1)  X   2Y   X    Y  ( X   X )(   (1   )Y )   (C ) Trong đó,  (C ) hiệu ứng dao lưỡi với: (2) C  ( X   X )(1   )(1  Y ) Theo Gustav Feichtinger nhóm tác giả [11], chúng tơi giả sử chi phí để thu thập thơng tin tình báo hàm lồi  thỏa mãn: C (0)  0, C (  )  0, C (  )  0, C (1)= (3) Thiệt hại khủng bố gây hàm lồi D (Y ) biến Y thỏa mãn: D (0)  0, D(Y )  0, D(Y )  (4) Chi phí để trì qn đội, ký hiệu A( X ), A( X ) , giả thiết hàm tuyến tính lõm biến X , X thỏa mãn: (5) A1 (0)  0, A2 (0)  0, A1( X )  0, A2 ( X )  0, A1( X )  0, A2( X )  Chi phí để bổ sung quân số, ký hiệu K ( 1 ), K (  ), theo toán quy hoạch nguồn nhân lực, chi phí thường giả thiết hàm bình phương biến 1 ,  Do đó, nhiệm vụ lực lượng chống khủng bố giải toán:   e  rt ( D (Y )  C (  )  A1 ( X )  A2 ( X )  K ( 1 )  K (  ))dt  , 1 ,  (6) Trong báo này, lựa chọn thiệt hại khủng bố gây hàm bình fY (với f  ), chi phí để trì qn đội tuyến tính: c1 X , c2 X ( c1 , c2  ), chi phí để thu thập thơng tin tình báo hàm logarith: log(1   ) chi phương phí để bổ sung quân số 12  22 , tương ứng Hơn nữa, giả thiết  (C )   C KẾT QUẢ Theo trên, nhiệm vụ lực lượng chống khủng bố giải toán:  2 2 fY  e  rt (  c1 X  c2 X  log(1   )   )dt  , 1 ,  2 2 Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 135 Công nghệ thông tin Sử dụng nguyên lý tối ưu Pontryagin, ta có hàm Hamilton:  fY 2 2  H    c1 X  c2 X  log(1   )     2    1 (1Y  1 X  1 )  2 ( 2Y   X   )  2 +3 (   X   X     1    Y      X   X  1    1  Y  ), Với 1 , 2 , 3 biến liên hợp Ta có: H   i  i   i  i , i H 2   3     X   X 1  Y   2   X   X  1   1  Y      1  Nếu 3  hàm Hamilton đơn điệu giảm Khi thơng tin tình báo tối ưu   Do 3  H   2 x  x    3 (7) Phương trình có nghiệm 1   x 4 8 3 Vì x  suy 3   1  x 1  2 x   2 Vậy   1 x   X1   X 1  Y  (8) Các biến liên hợp thỏa mãn phương trình vi phân: i  r i  H , i  1; X i H Y Ta có phương trình liên hợp: 3  r 3  1   r  1  1  c1  2  3      1    Y   2   X   X 1    1  Y   ,   136 (9) N H Nam, H Đ Mạnh, V A Mỹ, “Tối ưu hóa mơ hình … Lanchester (2, 1).” Nghiên cứu khoa học công nghệ 2   r    2  c2  2  3      1    Y   2   X   X 1    1  Y   ,   (10) 3  r 3  fY  11   2  2  3     X   X 1     2   X   X  1    1  Y     Chú ý rằng: (11)   2  i    1    Y   2 i   X   X 1    1  Y    i 1  ,  3   X   X   2    X   X 1     2   X   X  1    1  Y   , 3 1  Y  2    X   X     1    Y      X   X  1    1  Y      X   X   x 1   x  Cuối có hệ bao gồm phương trình trạng thái phương trình liên hợp: X  1Y  1 X  1 , (12) X   2Y   X  2 , (13) Y     X   X   x 1   x  , 1   r  1  1  c1   13  1 ,  X1   X (14) (15) 2 ,  X1   X (16) 1 Y (17) Y    X   X  x 1   x  , (18) 2   r    2  c2   3  3  r 3  fY  11   2  3.1 Trạng thái ổn định i   i   r  i    i  c1   ,   x   x      (19) X i    21 X  1 X   1  12 (20) Ta có hệ tuyến tính: Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 137 Công nghệ thông tin  X   X  x 1   x  , (21)   21 X  1 X   1  12 Định thức sở hệ khác 0, hệ có nghiệm X , X Từ ta tìm Y  Vì 1  1 X 1 1 1  1 212  11 x 1   x   1 1 21  12 2 1  0, 2  nên Y  Để tồn trạng thái ổn định cần có c1  0, c2  Thay i , X i , Y vào phương trình (17) ta thu phương trình chiều F  x   Từ ta thu trạng thái ổn định 3.2 Tính ổn định Ma trận Jacobian cho bởi: 1            12  1   2 J   X1   X    X1   X    1  22      X   X 2  X1   X  1 2   0   Với f 1  0 0 0 r  1 0 r  2 1 2 1  Y  0    x  1  2 x   3   1     2    r   x  3 3 3  83 3.3 Trạng thái ổn định biên Nếu có lực lượng chống khủng bố tham gia chiến, ta thu kết báo [7] MỘT SỐ TÍNH TỐN SỐ Trong báo [7] tác giả chọn tham số: r  2.2;   2.23;   0.34;   1.19;   1.86; c  2.3734; f  1.12 Kết tính tốn số sau: trạng thái ổn định X  1.39523; Y  0.16034, tốc độ bổ sung quân số tối ưu     0.83193 ,   0.48822 mức độ thơng tin tình báo tối ưu Để so sánh, sử dụng lại tham số cho mơ hình chúng tơi 138 N H Nam, H Đ Mạnh, V A Mỹ, “Tối ưu hóa mơ hình … Lanchester (2, 1).” Nghiên ccứu ứu khoa học cơng nghệ Hình 1 K Kết ết cho trư rường ờng hợp Trường hợp 11: r  2.2, 1    2.23; 1    0.34;     1.19;  1.86 V Trường Với ới tham ssố ố này, này, chúng tơi có kkết ết số nh sau: Trạng thái ổn định trong: Trạng X  X  0.294785; Y  0.284383; 1  2  0.7344; 3  0.998427 Mức độ thông tin ttình Mức ình báo ttối ối ưu:   0.200107 Trạng Tr ạng thái ổn định đạt ạt đư ợc hai đa tạp ổn định Kết đđược ợc dư ới Hình Hình 1 Trường hợp 2: Ch Trường Chọn ọn tham số ttùy ùy ý: Hình K Kết ết cho tr trư ường ờng hợp r  2.5; 1  2.0;   1.9; 1  0.34;   0.37;     1.3; c1  c2  2.5; f  1.2;  1.86 Với V ới tham số nnày, ày, chúng tơi có kkết ết số nh sau: Trạng thái ổn định trong: Trạng X  0.355214; X  0.387704; Y =0.302679; 1  0.726132; 2  0.718542; 3  0.698659 M Mức ức độ thơng tin ttình ình báo ttối ối ưu:   0.257162 Tạp ạp chí Nghi Nghiên ên cứu cứu KH&CN quân uân sự, sự, Số ố Đặc san CNTT, CNTT 11 - 20 20188 139 Công nghệ thơng tin Trạng thái ổn định đạt hai đa tạp ổn định Kết Hình KẾT LUẬN Bài báo kết mở rộng mơ hình KKS Các kết Feichtinger nhóm tác giả [7] trường hợp riêng báo Các nghiên cứu báo có sựu hợp tác lực lượng chống khủng bố hiệu tốt nhiều lực lượng riêng lẻ chống khủng bố Dựa mơ hình kết đạt được, chúng tơi đề xuất mở rộng cho mơ hình tổng quát có n (n  1) lực lượng chống khủng bố liên kết với chống lại lực lượng khủng bố TÀI LỆU THAM KHẢO [1] Andrea Seidl, Edward H Kaplan, Jonathan P Caulkins, Stefan Wrzaczek, Gustav Feichtinger Optimal control of a terror queue European Journal of Operational Research, 248, 2016, 246–256 [2] Caulkins, J.P., Grass, D., Feichtinger, G., Tragler, G Optimizing counterterror operations: Should one fight fire with fire or water? Computer and Operations Research, 35, 2008, 1874-1885 [3] Caulkins, J.P., Feichtinger, G., Grass, D., Tragler, G Optimal Control of Terrorism and Global Reputation Operations Research Letters, 37, 2009, 387-391 [4] Chen, X.Y., Jiang, N., Jing, Y., Stojanovski, G., Dimirovski, G.M Differential Game Model and Its Solutions for Force Resource Complementary via Lanchester Square Law Equation International Federation of Automatic Control (IFAC), 18, 2011, 14229-14233 [5] Chen, X.Y., Cao, J., Qiu, J., Jing, Y., Yang, L., Zheng, B Optimal Control of a Class of Warfare Dynamic Systems Based on Lanchester (2,2) Attrition Model 27th Chinese Control and Decision Conference (CCDC), 2015, 1263-1267 [6] Deitchman, S.J A Lanchester model of guerilla warfare Operations Research, 10, 1962, 818-827 [7] [7] Feichtinger, G., Novak, A., Wrzaczek, S Optimizing Counter-terroristic Operations [8] An Asymmetric Lanchester Model 15th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization, 2012, 27-32 [9] Grass, D., Caulkins, J.P., Feichtinger, G., Tragler, G., Behrens, D.A Optimal Control of Nonlinear Processes: With Applications in Drugs, Corruption and Terror Springer, Heidelberg, 2008 [10] Grass, D Numerical computation of the optimal vector field: exemplified by a fishery model Accepted for Journal of Dynamics and Control, 2012 140 N H Nam, H Đ Mạnh, V A Mỹ, “Tối ưu hóa mơ hình … Lanchester (2, 1).” Nghiên cứu khoa học cơng nghệ [11] Kaplan, E.H., Mintz, A., Mishal, S., Samban, C What happened to suicide bombings in Israel? Insights from a terror stock model Studies in Conflict and Terrorism, 28, 2005, 225-235 [12] Kress, M., Szechtmann, R Why defeating insurgencies is hard: the effect of intelligence in counter insurgency operations - a best case scenario Operations Research, 57 (3), 2009, 578-585 [13] Lanchester, F.W Aircraft in Warfare: The Dawn of the Fourth Arm Constable, London, 1916 [14] Lin, K.Y, Mackay, L.J The optimal policy for the one-against-many heterogeneous [15] Lanchester model Operations Research Letters, 42, 2014, 473-477 [16] Schaffer, M.B Lanchester models of guerrilla engagements Operations Research, 16, 1968, tr.457-488 [17] Schreiber, T.S Letter to the Editor—Note on the Combat Value of Intelligence and Command Control Systems Operations Research, 12(3), 1964, 507-510 [18] Taylor, J.G Lanchester-Type Models of Warfare and Optimal Control Naval Research Logistics Quarterly, 21, 1974, 70-106 ABSTRACT OPTIMIZING IN AN ASYMMETRIC LANCHESTER (2,1) MODEL FOR COUTER-TERRORISM Counter-terrorism is a global task that every nation is concerned about To improve operations against terrorism, many nations carry out counterterroristic operations not only by themselves but also by cooperation with other ones In this paper, we propose an extended KKS model to cope with multi-party counter-terrorism Optimal control problem for this model is studied Our main tool is Pontryagin's maximal principle Optimal intelligence level and individual reinforcement of each party are found Numerical results show that counter-terroristic operations in a cooperative model are more effective than that in single model Key word: Lanchester Model; Optimal Control; Intelligence; Counter-terrorism; KKS Model Nhận ngày 04 tháng năm 2018 Hoàn thiện ngày 09 tháng 10 năm 2018 Chấp nhận đăng ngày 05 tháng 11 năm 2018 Địa chỉ: Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT, Học viện KTQS * Email: nguyenhongnam1977@gmail.com Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 141 ... đối xứng Lanchester (2,1) lực lượng chống khủng bố nhóm khủng bố MƠ HÌNH Giả sử có hai lực lượng tham gia chống khủng bố thời điểm t có quân số X  t   X  t   đối đầu với nhóm khủng bố với... đánh chống khủng bố, biến điều khiển thông tin tình báo tốc độ bổ sung quân số Trong báo này, mở rộng kết nghiên cứu Feichtinger nhóm tác giả cho mơ hình KKS cách đưa mơ hình chống khủng bố bất đối. .. lực lượng riêng lẻ chống khủng bố Dựa mơ hình kết đạt được, đề xuất mở rộng cho mơ hình tổng qt có n (n  1) lực lượng chống khủng bố liên kết với chống lại lực lượng khủng bố TÀI LỆU THAM KHẢO