Câu 1:( 3,0 điểm ). Giải các phương trình sau: a). Tính tổng các nghiệm trên π2;π2 b).2Sin(x+π3)Sin(2xπ6)=12 . Câu 2: ( 4,0 điểm ). a) Cho tổng S_n=11.3+13.5+15.7+⋯+1((2n1).(2n+1) ). Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, với n∈N. b) Xác định số hạng tổng của dãy số thỏa mãn: Câu 3: ( 4,0 điểm ). a) Chọn ngẫu nhiên một số có 5 chữ số có dạng ¯abcde tính xác suất để chọn được một số thỏa mãn a≤b 0, ∀n ∈ N * a) Dễ thấy un +1 = 3un2 + ⇔ un2+1 = 3un2 + Từ Đặt Đặt = u có: xn = + xn +1 = xn ta có: ( xn ) = ( + + + + 2( 2011 = −1 =3 2011 = Đặt Ta có: un n +1 x1 = , công bội − 2011 0,25 ) − 2011 0,25 − 2011 0,25 0,25 = a+b n+2 n+3 +c ⇒ → a + b + c n +1 n +1 n → +∞ lim un = ∞ ≠ a+b+c = ) ( n + − n +1 + c n →+∞ 0,25 ⇒ a = −b − c ) n + − n +1 = n → +∞ ta có b 2c + →0 n + + n +1 n + + n +1 Từ tập hợp tất số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số khác 0, lấy Câu ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác (4,0đ) Ω = = 59.049 Ta có: 0,25 0.25 a +b+c ≠ 0,25 0,5 un = n + Ngược lại ( 2010 0, − 2012 cho nên: un = b − 1) 2010 cấp số nhân với S = 2.3 + 2.3 + 2.3 + + 2.3 b) +1 = 3vn + ⇔ +1 + = ( + 1) xn = 2.3n −1 ⇒ = 2.3n−1 − ⇒ un = 2.3n −1 − Nên: 2) (1,5đ) n Từ suy 1) (2,5đ) 0,25 0,25 0.5 2,0 đ 0,5 Gọi A biến cố cần tìm xác suất, ta có: C39 Số cách chọn chữ số phân biệt a, b, c từ chữ số thập phân khác Chọn chữ số lại từ chữ số đó, có trường hợp rời sau đây: TH1 Cả chữ số lại chữ số a, b, c: có cách; hốn vị từ 5! hốn vị chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo số tự nhiên n; 3! hốn vị vị trí mà a, a, a chiếm chỗ tạo 5! × = 60 3! số n, nên TH1 có thảy số tự nhiên TH2 chữ số lại chữ số a, b, c chữ số chữ số khác chữ số đó: có cách; hoán vị từ 5! hoán vị chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo số tự nhiên n; 2! hốn vị vị trí mà a, a chiếm chỗ 2! hốn vị vị trí mà b, b chiếm chỗ tạo số n, nên TH2 có thảy Vậy: 9! ΩA = (60 + 90)C39 = 150 × = 150 ×7 ×4 ×3 = 12600 3!6! P ( A) = 5! 3× = 90 2!2! số tự nhiên ΩA 12 600 400 = = ≈ 0,213382106 Ω 59049 6561 a b c + + =0 m+ 2016 m+ 2015 m+ 2014 Câu Chứng minh phương trình: thực f (x) = ax2 + bx + c Ta có 0,5 Kết luận: Cho m > a, b, c số thực thoả mãn: (2đ) 0,5 0, (1) f (x) = ax2 + bx + c = có nghiệm xác định liên tục R 0,5 (1) m+ 2015 m+ 2015 (m+ 2015)2 a + b + c =0 ÷ m+ 2016 (m+ 2014)(m+ 2015) ⇔ m+ 2016 0.25 m+ 2015 m+ 2015 m+ 2015 a + c+ c= ÷ +b m+ 2016 (m+ 2014)(m+ 2015) ⇔ m+ 2016 f (0) = c 0.25 0,25 m+ 2015 m+ 2015 m+ 2015 m+ 2015 f +c= − c ÷ = a ÷ +b m+ 2016 (m+ 2014)(m+ 2015) m+ 2016 m+ 2016 Suy 0,25 m+ 2015 f ÷ (0) ≤ 0,∀ m > 0,c∈ R m+ 2016 Vậy phương trình: f (x) = ax2 + bx + c = có nghiệm thực 0,25 Cho tam giác ABC đường tròn (O) Gọi F trung điểm AC, cạnh AB lấy điểm E cho BE = 2AE I đỉnh thứ tư hình bình hành AEIF Với điểm P đường tròn (O), xác định quỹ tích điểm Q cho uuu r uuu r uuur uur PA + PB + 3PC = IQ Hình vẽ: A O E F Q P I B C Câu (3,0đ) O’ 0,5 Ta có Mà uuu r uuu r uuur uur uu r uur uur uur uur PA + PB + 3PC = IQ ⇔ IA + IB + 3IC = IQ − PI uu r uur uur r uuur uuu IA = IE + IF = − AC − AB uur uur uuur uuur uuur IC = IF + FC = AC − AB ; 0,5 uur uur uur r uuur uuu IB = IE + IB = − AC + AB 0,5 uur uur r uur uur r uu r uur uur r ⇒ IA + IB + 3IC = ⇒ IQ − PI = ⇒ IQ + IP = 0,5 ⇒ Câu (4,0đ) I trung điểm PQ Hay phép đối xứng tâm I biến điểm P thành điểm Q Gọi (O’) ảnh (O) qua phép đối xứng tâm I Vì P di động (O) nên Q di động (O’) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O Đường cao hình chóp SA = a M điểm di động SB, đặt BM = x (α ) d) 0,5 mặt phẳng qua OM vng góc với (ABCD) S Xác định thiết diệnMcủa hình chóp cắt mặt phẳng c) 0,5 (α ) Tính diện tích thiết diện theo a x Xác định x để thiết diện hình thang vng K Hình vẽ: A N D O B H C 0,5 a) Ta có: SA⊥(ABCD) (α)⊥(ABCD) ⇒ SA // (α) (α)∩(SAB) = MN // SA (α)∩(SAC) = OK // SA (α)∩(SABCD) = NH qua O (α)∩(SCD) = KH Vậy thiết diện cần tìm tứ giác MNHK 1,0 Ta có MN// OK // SA ⇒ MN ⊥ (ABCD); OK⊥ (ABCD) Std = ShtMKON + S ∆KOH = 1 ( MN + KO ).ON + OK OH 2 0,5 SA MN = BN = x; KO = ; Tính ON, theo định lý hàm số Cơsin ta có: a a · OH = ON = BN + BO − BN BO.cosOBN = x2 + − 2x cos450 2 = x − ax + Suy : a2 (a + x) x − 2ax + a s1 = a x − 2ax + a s1 = a2 (a + x ) x − ax + 2 Vậy: Std = để thiết diện hình thang vuông ⇔ MK// NO// BC ⇔ N trung điểm x= AB ⇔ 0, 0,25 0, 0,25 a 0,5 KỲ THI HỌC SINH GIỎI Mơn thi: TỐN KHỐI 11 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (3,0 điểm) cos3x cos3 x - sin3x sin3 x = a) Giải phương trình sau: ( 2- ) y = 4sin 2x − sinx 3cosx+1 − cos x + + 2cos 6x b) Tìm giá trị nhỏ hàm số: Câu 2.(4,0 điểm) ( un ) a)Xét tính đơn điệu bị chặn dãy số un = xác định bởi: 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) u1 = * un +1 = 3un − 4n + 6;( n ∈ N ) ( un ) b/ Cho dãy số xác định bởi: ( un ) Tìm cơng thức tổng qt dãy số Câu (4,0 điểm) a.Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 ta lập nên số tự nhiên gồm chữ số khác Lấy ngẫu nhiên số từ số này.Tính xác suất số lấy có số chia hết cho ≥ ∈ b Tìm số cạnh đa giác có 2n đỉnh (n 2,n Z) nội tiếp đường tròn (O).Biết số tam giác có đỉnh 2n đỉnh gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n đỉnh đa giác Câu ( 3,0đ) a) Tìm giới hạn sau 1+ x − − x lim x →0 x b) Cho a>0, b>0 chứng minh phương trình khoảng (a;b) 1 + + =0 x x-a x+b ln có nghiệm phân biệt thuộc Câu (3,0 điểm) ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Đường tròn tâm I tiếp xúc với hai cạnh AC, BC E, F tiếp xúc với đường tròn tâm O điểm P Một đường thẳng song song với AB tiếp xúc với đường tròn tâm I điểm Q nằm tam giác ABC a) Gọi K, L giao điểm thứ hai PE PF với (O) Chứng minh KL song song với EF ·ACP = QCB · b) Chứng minh a SA = a SA Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , , E B A vng góc với đáy Gọi điểm đối xứng qua Tính khoảng cách hai đường AC SE thẳng = = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = = S ABCD Lưu ý: Học sinh không sử dụng tài liệu Giáo viên coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN CÂU 1a ABCD NỘI DUNG 2- cos3x + 3cosx 3sinx - sin3x 2- Û cos3x - sin3x = 4 2 Û 2(cos 3x + sin 3x) + 6(cos3xcosx- sin3xsinx) = - ĐIỂ M cos3x cos3 x - sin3xsin3 x = Û cos4x = - 0,5 0,5 2 3p + k2p 3p p Û x=± + k ,k Ỵ Z 16 Û 4x = ± ( 1b 0,5 ) y = 4sin 2x − sinx 3cosx+1 − cos x + + 2cos6x = 4sin 2x − 3sinxcosx-sinx − + sin x + + 2(2cos 3x − 1) 1 1 = (2sin 2x − 3) + sin x − ÷ + 4cos 3x − ≥ − 2 4 sin 2x = 1 y = − ⇔ sinx = cos3x = π ⇔ x = + k2π ,k ∈ Ζ 0.5 0,5 0,5 3.0đ 2a Ta có : 1 1 1 1 < un = − + − + − + + − = 1−