Câu 1. (5,0 điểm) 1) Giải phương trình . 2) Giải hệ phương trình . Câu 2. (4,0 điểm) Cho Parabol (P): . 1) Tìm các giá trị của a, b để (P) có đỉnh . 2) Với giá trị của a, b vừa tìm được câu 1, hãy tìm giá trị k để đường thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho trung điểm H của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d: . Câu 3. (4, 0 điểm) 1) Cho tam giác ABC đều và các điểm M, N, P thỏa mãn , , . Tìm giá trị của k để AM vuông góc với PN. 2) Cho tam giác ABC có . Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu Câu 4. (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi E, F là điểm xác định bởi , . Đường thẳng BF cắt đường thẳng AE tại I. 1) Tính giá trị theo a. 2) Chứng minh rằng . Câu 5. (3,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn . Chứng mình rằng
KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 Mơn thi : TỐN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình ( x 1)( x 4) x x 28 �x x y 16 x b) Giải hệ phương trình � y 5(1 x ) � Câu (4,0 điểm) Cho hàm số y x x m ; Pm a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m 1 b) Tìm m để Pm cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn 1;4 Câu (4,0 điểm) a) Cho số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a b c d a b c d �2 Chứng minh rằng: 2 b c c d d a a 2b b) Cho x 0, y số thay đổi thỏa mãn 2018 2019 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y Câu (3,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1; B 2;4 a) Tìm điểm C trục Ox cho tam giác ABC vuông B b) Tìm điểm D cho tam giác ABD vng cân A Câu (4,0 điểm) a) Cho tam giác ABC có diện tích S bán kính đường tròn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức S = R sin A sin B sin C Chứng minh tam giác ABC tam giác b) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh Trên cạnh BC , CA, AB lấy điểm N , M , P cho BN 1, CM 2, AP x (0 x 3) uuu r uuur uuur i) Phân tích véc tơ AN theo hai vectơ AB, AC ii) Tìm giá trị x để AN vng góc với PM –––––––––––– Hết –––––––––––– Họ tên thí sinh: … ………………………………….; Số báo danh: ……………… KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Mơn thi: TỐN (Đáp án – Thang điểm gồm trang) Câu Đáp án Câu a) Giải bất phương trình ( x 1)( x 4) x x 28 (5,0 điểm) Điều kiện: Đk: x �R + Phương trình cho tương đương với x x 28 24 x x 28 Đặt t x x 28(t 0) 2,0 0,25 0,25 0,5 t 3 � Phương trình trở thành t 5t 24 � � t 8 � � t 3 � x x 28 � x x 19 0(VN ) Điểm 0,25 0,25 x4 � � t � x x 28 64 � x x 36 � � x 9 � 0,25 x4 � Vậy phương trình cho có nghiệm � x 9 � 0,25 �x3 x y 16 x(1) b) Giải hệ phương trình � y 5(1 x )(2) � �x( x 16 x ) y ( y 16 y )(3) �2 y x (4) Hệ cho tương đương với hệ : � Bình phương hai vế (1) ta : x ( x 16 x)2 y ( y 16 y ) (5) 2 Thay y x vào phương trình (5) ta được: x ( x 16 x) 25 x (4 x ) 3,0 0,5 0,5 0,5 � x ( x 1)(31x 64) 2 + Với x y � y �2 0,5 �� x 1 �� y 3 15 x y � �� �� x2 �2 x 1 �y �� + Với hệ trở thành: � �� �y 0,5 Vậy phương trình có nghiệm: (0, �2);(1, 3);(1,3) 0,5 Câu a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m 1 (4,0 TXĐ : D = R điểm) BBT: x � y � 2,5 0,25 � � 0,25 -1 + Hàm số nghịch biến khoảng �; ; Hàm số đồng biến khoảng + Đỉnh I(2; -1) 2; � 0,5 0,25 + Trục đối xứng đường thẳng: x = 0,25 + Giao điểm đồ thị trục tung: (0; 3) 0,25 + Giao điểm đồ thị trục hoành: (1; 0) (3; 0) 0,25 0,5 b) Tìm m để Pm cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn 1;4 Xét pt hoành độ giao điểm x x m 0 x x m Dựa vào đồ thị tìm m 3 m 4 Câu a) Cho số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a b c d Chứng minh (4,0 a b c d �2 điểm) rằng: 2 2 1 b c 1 c d Ta có 1 d a 1 a b a ab c ab c ab c a � a a 2 1 b c 1 b c 2b c ab c b a.ac 1 a �a b a ac a ab abc 2 4 a �a ab abc Vậy 1 b c Lại có a 1,5 0,5 1,0 2,5 0,25 0,5 Chứng minh tương tự ta có b c d �b (bc bcd ), �c (cd cda), �d (da dab) 2 1 c d 1 d a 1 a b a b c d � � b c c d d a a 2b �a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab 0,5 �a b c d � Lại có ab bc cd da a c b d �� � � � 0,25 16 �1 1 � �a b c d � abc bcd cda dab abcd � ��� � �a b c d � � � abc d abcd 16 a b c d �a b c d Do 2 b c c d d a a 2b Dấu « = » xảy � a b c d Vậy 0,25 0,25 a b c d �2 2 b c c d d a a 2b 0,25 b)Cho x 0, y số thay đổi thỏa mãn 2018 2019 Tìm giá trị nhỏ x y biểu thức P x y 2018 y 2019 x 2018 y 2019 x Ta có : P ( x y )( ) 2018 2019 x y x y 2019x 2018y Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số đương ta y x 2018 y 2019 x �2 2018.2019 x y Suy P �( 2018 2019) GTNN P ( 2018 2019) 0,25 2.0 0,5 025 0,25 � �x 0; y � �2018 2019 10.5 � y �x �2018 y 2019 x � y � x 0,5 � �x 2018( 2018 2019) �� �y 2019( 2019 2018) Câu Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1; B 2;4 (3,0 a) Tìm điểm C trục Ox cho tam giác ABC vng B điểm) 3.0 b) Tìm điểm D cho tam giác ABD vuông cân A a) Gọi C x;0 0,5 + Sử dụng AB.BC 0 C 6;0 1,0 AB AD 0 b) Gọi D x; y Giải hệ AB AD + Tìm D 2; 2 D 4;4 0,5 1,0 Câu a) Cho tam giác ABC có diện tích S bán kính đường tròn ngoại tiếp (4,0 2 3 điểm) R thỏa mãn hệ thức S = R sin A sin B sin C Chứng minh tam giác ABC tam giác b)Cho tam giác ABC có độ dài cạnh Trên cạnh BC , CA, AB N, M , P lấy điểm cho BN 1, CM 2, AP x (0 x 3) uuu r uuur uuur i) Phân tích véc tơ AN theo hai vectơ AB, AC ii) Tìm giá trị x để AN vng góc với PM a) Theo định lí sin ta có : sin A VT = a3 B3 c3 3 ; sin B ;sin C 8R 8R 8R 2 �a3 b3 c3 � R � � R( a3 b3 c ) �8R 8R 8R � 12 Áp dụng bắt đẳng thức – si ta có: a b c3 �3abc abc VT � 4R Mà S abc , dấu “ =” xảy a = b = c ABC 4R uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur b) i) AN = AB BN = AB AC AB AB + AC 3 uuuu r uuu r uuuu r uuur x uuur b) ii) Ta có PM = PA AM AC - AB 3 uuur uuuu r r uuur ��1 uuur x uuu r� �2 uuu � AC AB � Mặt khác: AN PM � AN PM � � AB AC � 3 �3 ��3 � u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2 2x x � AB AC AB AB AC AC 9 9 x � 1 2x 1 �x 4,0 0.5 0.5 0.5 0.5 1,0 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ĐỀ ĐỀ NGHỊ KỲ THI OLYMPIC 10 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu (6.0 điểm) Cho hàm số y x x m ; Pm a) Với m 1 , khảo sát vẽ đồ thị hàm số y x x m b) Tìm m để Pm cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn 1;4 c) Cho x1 x hai nghiệm phương trình x x a 0 ; x3 x hai nghiệm phương trình x 12 x b 0 Biết x x3 x Tìm a b x1 x x3 Câu (5.0 điểm) a) Giải phương trình x x x2 x2 4x 2x x 3x x y y b)Giải hệ phương trình: x x x 1 y Câu (4.0 điểm) a) Cho tam giác ABC có sin B 2019sin C sin A Gọi M trung điểm BC, G trọng tâm 2019 cos B cosC tam giác ABC Tam giác ABC tam giác Tính tỉ số S MBG S ABC b) Cho đường tròn tâm O ba dây cung song song AB, CD, EF đường tròn Gọi H, I, K trực tâm tam giác ACF, AED, CEB Chứng minh H, I, K thẳng hàng Câu (3.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;1) Trên trục Ox, Oy lấy hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông A Tìm tọa độ điểm B, C cho diện tích tam giác ABC lớn biết hồnh độ điểm B tung độ điểm C không âm Câu (2.0 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x y 2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 2019 x y 2019 y -Hết Họ tên thí sinh : Số báo danh Họ tên, chữ ký: Giám thị 1: Họ tên, chữ ký: Giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ NGHỊ KỲ THI OLYMPIC 10 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu ĐÁP ÁN Cho hàm số y x x m ; Điểm 6.0 Pm a) Với m 1 , khảo sát vẽ đồ thị hàm số y x x m b) Tìm m để Pm cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn 1;4 c) Cho x1 x hai nghiệm phương trình x x a 0 ; x3 x hai nghiệm phương trình x 12 x b 0 Biết x x3 x Tìm a b x1 x x3 a) Với m 1 , khảo sát vẽ đồ thị hàm số y x x m 2.0 Với m=1 y x x TXĐ: R Đặt f ( x) x x Dựng đồ thị y f ( x) 0.5 Từ lập luận suy đồ thị y f ( x ) 0.75 b) Tìm m để Pm cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn 1;4 1.0 Xét pt hoành độ giao điểm x x m 0 x x m Dựa vào đồ thị tìm m 3 m 4 Chú ý: HS dùng bảng biến thiên cho hàm y x x y x x 0.5 0.5 c) Cho x1 x hai nghiệm phương trình x x a 0 ; x3 x hai x x3 x Tìm a b nghiệm phương trình x 12 x b 0 Biết x1 x x3 3.0 9 4a 0 Điều kiện có nghiệm ' 36 b 0 x kx1 x x3 x x3 kx k x1 Đặt k x1 x x3 x kx k x 0.5 Theo định lý viet ta có hệ x1 1 k 3 x k 1 k 12 x1 k a x12 k b k 2 Với k 2 x1 1 ta a 2, b 32 (tm) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Với k x1 ta a 18, b 288 (tm) a) Giải phương trình 5.0 2.5 x x x2 x2 4x 2x x 3x x y y x x x 1 y b)Giải hệ phương trình: a) Giải phương trình x x x2 x2 4x 2x Điều kiện x �1 Với x �1 � x x x x x2 x2 4x x � x x x2 x2 4x � x x x x x x 1 x x 1 2x x x 1 0.75 � x x x ( x 3)( x 1) x x � x x3 � x x x x 1 � � x x 1 � 0.75 �x �0 �x �0 13 x x3 � x3 x � � � � x � 2 �x x �x x �x �0 �x �0 1 x x 1 � x 1 x � � � �x �2 2 �x x �x x x 3x x y y x x x 1 y 0.5 0,5 b)Giải hệ phương trình: 2.5 Phương trình thứ ( x 3x 3x 1) x y y 0.5 x 1 x 1 y y Đặt a x ta a a y y a y a ay y 0 a y 0 y 3y2 0; a, y Vì a ay y a 2 Ta y x thay vào pt thứ hai ta x x 4 x ĐK: x 1 x x 0.5 0.5 0.25 x 2 x x x 2 x x 2 y 3 2 x x 3 Kết luận: Hệ pt có nghiệm x; y 2;3 sin B 2019sin C sin A Gọi M trung điểm BC, G a) Cho tam giác ABC có 2019 cos B cosC S MBG trọng tâm tam giác ABC Tam giác ABC tam giác Tính tỉ số S ABC 0.25 0.25 0.25 4.0 b) Cho đường tròn tâm O ba dây cung song song AB, CD, EF đường tròn Gọi H, I, K trực tâm tam giác ACF, AED, CEB Chứng minh H, I, K thẳng hàng sin B 2019sin C sin A Gọi M trung điểm BC, G 2019 cos B cosC S MBG trọng tâm tam giác ABC Tam giác ABC tam giác Tính tỉ số S ABC 2.0 sin B m sin C sin A b + mc = a(mcosB + cosC) m cos B cosC m( a c b ) a b c b mc 2c 2b 2 (c mb)(b c a ) b c a 0.5 a) Cho tam giác ABC có Đặt m = 2018, ta có Vậy tam giác ABC vng A Dễ dàng chứng minh S MBG S ABC b) Cho đường tròn tâm O ba dây cung song song AB, CD, EF đường tròn Gọi 0.5 0.5 0.25 0.25 2.0 H, I, K trực tâm tam giác ACF, AED, CEB Chứng minh H, I, K thẳng hàng *) Chứng minh tính chất: Cho tam Gọi uuu r ugiác uu r ABC uuur u uur H, O trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì: OA OB OC OH Gọi A’ điểm đối xứng A qua O, D trung điểm BC Ta có: tứ giác BHCA’ hình bình hành nên D trung điểm HA’ Mà 0.75 uuu r uuur uuur uuur OB OC 2OD AH uuu r uuur uuur uuu r � OB OC OH OA uuu r uuu r uuur uuur � OA OB OC OH *)Ta có: H, I, K trực tâm tam giác ACF, AED, BCE 0.75 uuur uuu r uuur uuu r � OH OA OC OF(1) r uuur uuur � �uur uuu �� OI OA OE OD(2) r uuur uuur �uuur uuu OK OB OC OE (3) � uuu r uuur uur Từ (1)và (2) � IH DC EF uuur uuu r uur (1)và (3) � KH BA EF uuur uur uuur uur Mà AB//CD//EF � m, n cho DC mEF , BH nEF uuu r uur uuur uur � IH ( m 1)EF , KH (n 1)EF uuu r uuur � IH , KH phương � I , H , K thẳng hàng Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;1) Trên trục Ox, Oy lấy hai điểm B, C 0.5 3.0 cho tam giác ABC vuông A Tìm tọa độ điểm B, C cho diện tích tam giác ABC lớn biết hồnh độ điểm B tung độ điểm C không âm Gọi B(b;0), C(0;c) ( b, c �0 ) uuur AB (b 3; 1) � AB (b 3) uuur AC (3; c 1) � AC (c 1) uuu r uuur Tam giác ABC vuông A � AB AC � 3(b 3) (c 1) � c 10 3b 10 �� 10 3 b� Mà c � �0 b (b 3) (c 1) Lại có: SVABC (b 3) (3 b) b 9b 15 1,0 1,0 10 KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THAM KHẢO Mơn thi: TỐN (Đáp án – Thang điểm gồm trang) Câu 1: a) Giải phương trình: (1) 2, 3x 1 x 3x x Điều kiện: x � (1) � � 0,5 0,5 3x 5x x 3x 1 3x x x 0(TM ) � � �� 3x 1 (*) � 5x � 3x Với x=1: VT(*)= 2=VP(*) nên x=1 nghiệm (*) Nếu x>1 VT(*) 0( " k ) + Trung điểm M AB có hồnh độ 0,75 x1 x2 k ; M nằm trục tung 2 k � 0� k 0 0,5 0,5 0,5 Câu 3: a c a) Cho số thực dương a, b, cthỏa Chứng minh rằng: b c 2.0 127 c a c c b c ab Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: c a c c b c ab c a c c b c b a a b 0,5 1c a c 1 c b c 2b a 2a b 1c c 1c c 1 2b a 2a b c a c c b c ab (đpcm) 0,5 0,5 0,5 b) Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện x y 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P Từ giả thiết suy ra: P x xy xy y 2.0 x xy y 2 xy y x 0.5 Với y = P = (1) 3t 2t 3t 2t 3P 3t 2 P 1t P 0 Với y 0 ta có: P * Phương trình (*) khơng có nghiệm P = Khi P 1 0.5 ' P 1 P 0 P 0.5 (2) Kết hợp (1) (2): P 2;1 Suy ra: MinP = - x 10 10 ; y 10 10 0.5 MaxP = x 1; y 0 Câu 4: 3.0 C (C1)cótâmlàgốctọa độO d I A GọiIlàtâm củađường tròn (C) cần viết phương trình.Ta có AB⊥OI 0,5 0,5 Mà AB⊥d vàO∉dnênOI//d,dođóOIcóphươngtrìnhy=x B (C1) MặtkhácI ∈(C2), (CnêntọađộcủaIthỏamãnhệ: 2) 0,5 0,5 128 �y x �x �� � I (3;3) �2 �x y 12 x 18 �y 0,5 Do (C)tiếpxúcvớidnên(C)cóbánkínhR=d(I,d)=2 0,5 Vậyphương trìnhcủa(C)là(x−3)2+(y−3)2=8 Câu 5: uur uAuur uur uuur uuur uuur uuur uuuu r r uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu AI AB AC AC AD AM AB 2DM DM AB DM a) IG AG 3 4,0 1,0 G B C uur H uuu r Muuur uur uuur uuuu r uur uuur b) 2CJ JM 2AB � I2AJ 2AC AM AJ 2AB uur uuur uuur uuuu rR uuuu r uur uuuu r � 3AJ 2AB 2ACJ AM 5AM � AJ AM MJ Mà M trung điểmcủaD AD nên JD MI MJ MI Vậy ta có: � IJ // CD // AB Gọi K trung điểm CD, ta có IK JD IK 1.0 F c) Kẻ AH vng góc với BC Ta có: BH AB.cos60 a a , AH AB.sin600 2 3a � AC AH CH a � BC2 AB2 AC 2 Vậy tam giác ABC vuông A uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r Dựng BF 2AC � AB 2AC AB BF AF BF 2AC 2a r uuur uuur � u AB 2AC AF AB2 BF a 13 Từ ta có CH BC BH 1.0 uuu r uuur uuur uuu r uur uur r d) Lấy điểm S cho 2SA 3SB 5SC � AS AC AB � S điểm cố định 4 uuur uuu r uuu r uuur uuur 2EA 3EB 5EC ED EG Gọi R trung điểm DG Khi đó, ta có: uur uuur � 4ES 2ER � ES ER Vậy ta suy tập hợp điểm E đường trung trực đoạn thẳng SR 1.0 ============Hết============= ĐỀ THAM KHẢO KỲ THI OLIMPIC CẤP TỈNH Mơn thi : Thời gian: TỐN 10 150 phút Câu (5,0 điểm) 129 a) Giải phương trình: x 3x x (x �R) � x y x xy y 3 x y � x, y �� b) Giải hệ phương trình: � x y x x � � Câu (4,0 điểm) a) Cho hàm số y = x m 1 x m3 m 1 cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 �4 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: P x13 x23 x1 x2 x1 x2 b) Tìm m để phương trình x m m có bốn nghiệm phân biệt Câu (4,0 điểm) Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn điều kiện: x x P x y Câu (4,0 điểm) y y 2019 Tìm giá trị nhỏ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp ttrong tâm có tọa độ I (4;0), G ( 11 ; ) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C tam giác ABC biết 3 đỉnh B nằm đường thẳng (d): 2x + y – = điểm M(4;2) nằm đường cao kẻ từ đỉnh B tam giác ABC Câu (3,0 điểm) a) Cho tam giác ABC có trọng tâm G Hai điểm D E xác định hệ thức: uuur uuu r uuur uuur AD AB; AE AC Chứng minh rằng: D, E, G thẳng hàng b) Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn điểm M nằm bên tứ giác cho 2 2 � MBC � MCD � MDA � Chứng minh: cot AB BC CD DA , với số đo góc MAB AC.BD.sin hai đường thẳng AC BD –––––––––––– Hết –––––––––––– Họ tên thí sinh: … …………………………………….; Số báo danh: ………………… 130 ĐÁP ÁN ĐỀ THAM KHẢO KỲ THI OLIMPIC CẤP TỈNH Mơn thi: TỐN 10 Câu Đáp án Câu a) Giải phương trình x 3x x (5,0 � điểm) �x �0 x � � � � x Điều kiện: �x �۳۳ �x � � x �0 � �x � � (x �R) Điểm 2,0 0,25 x x 3x � x 2x x x 3 x x 3 � x x 3 3x � 3x 3x 0,75 3x x 1 � � x x 3x � x x � � x3 � Kết hợp với điều kiện ta x = Vậy tập nghiệm phương trình S = {3} 0,75 0,25 � x y x xy y 3 x y � x, y �� b) Giải hệ phương trình � x y x x � � Điều kiện: x �6, y �3 Từ phương trình đầu hệ ta có: x y x xy y 3 x y � x y x xy y x y 3x y 3,0 0,25 0,5 � x y x y 3x y 1 � y 1� x� 3 x y y x x 0,5 Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: x x x x 8, x �1 � x x x2 x � 0,25 x3 x3 x 3 x 1 x6 3 x 1 � � � x 3 � x 1� x 1 � x6 3 � � x3 1,0 Khi x � y 0,25 So sánh với điều kiện ta nghiệm hệ phương trình (x;y) = (3;1) 0,25 131 Câu a) Cho hàm số y = x m 1 x m3 m 1 cắt trục hoành hai điểm có (4,0 điểm) hồnh độ x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 �4 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 3 biểu thức sau: P x1 x2 x1 x2 x1 x2 2,0 Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số trục hoành: x m 1 x m3 m 1 Phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 �4 0,5 �� m � m m �0 ' �0 2 �m �0 � � �� � �� �� � �� 2 �m �0 � � �m �3 m 1 �4 � �x1 x2 �4 � � � m �3 � Theo định lý Viet ta có x1 x2 m 1 , x1 x2 m3 m 1 0,5 � P x1 x2 8x1 x2 m 1 8m m 1 16m 40m 3 2 Bảng biến thiên: 0,5 Từ bảng biến thiên ta được: Pmax 16 m =2, Pmin 144 m = -2 0,5 b) Tìm m để phương trình x m m có bốn nghiệm phân biệt 2,0 Phương trình cho phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = x đường thẳng y = m m2 nên số nghiệm phương trình số giao điểm 0,25 hai đồ thị Bảng biến thiên hàm số y = x 0,5 Dựa vào bảng biến thiên, hai đồ thị cắt điểm phân biệt m4 m2 � m4 m2 � m 0,5 m �0 � �� 1 m � 0,5 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt � m � 1;1 \ 0 0,75 132 Câu Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn điều kiện: x x (4,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P x y t 1 Đặt t x x , t > t 1 x � x (1) 2t Từ giả thiết ta có y y Từ (1) (2) suy x y y y 2019 0,75 2019 20192 t Từ suy y (2) t 2.2019t 0,75 t 20192 t 2018 � 2019 � t � � 2t 2.2019.t 2.2019 � t � 0,5 2018 2019 2018 2018 t 2019 Do x y � 2.2019 t 2.2019 2019 Đẳng thức xảy t 2019 Từ (1) (2) suy x y Vậy giá trị nhỏ P 4,0 1,0 2018 2019 2018 2018 , x y 2019 2019 Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại (4,0 11 điểm) tiếp ttrong tâm có tọa độ I (4;0), G ( ; ) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C tam giác ABC biết đỉnh B nằm đường thẳng (d): 2x + y – = điểm M(4;2) nằm đường cao kẻ từ đỉnh B tam giác ABC 0,5 0,5 4,0 c) Gọi B (a;1 – 2a) ∈ d, N trung điểm AC uuur suy BN uuur BG (1) uuur 0,5 uuur � 11 �3 Mà BN xN a; y N 2a 1 , BG � a; 2a 2� � 3� Theo (1) � 3� 11 � 11 a � �xN a �3 a � 11 a � � � � �xN � �� �� ;a� �N� � � � � �y 2a yN a 2a � � � N � � 2� 3� � uur r uur uuuu r uur uuuu r �3 a �uuuu ;a� ; BM a; 2a 1 mà IN / / BM � k ��: IN k BM �2 � �3 a a 1 � k a � � ��2 � � � B 1; 1 , N 5;1 � �k a k 2a 1 � � Ta có: IN � 1,0 1,0 133 r uur AC qua N(5;1) có vecto pháp tuyến n IN 1;1 suy AC có phương trình x + y – = Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(4;0), bán kính R = IB = 10 nên có phương trình: x y 10 0,5 Suy tọa độ A, C nghiệm hệ phương trình: �y x � � � �x y �y x �� � �� x3 � 2 2 x y 10 � x y 10 ��x � �� 0,5 Vậy A(3;3), B(1;-1), C(7;-1) A (7;-1), B (1;-1), C(3;3) Câu (3,0 điểm) 0,5 a) Cho tam giác ABC có trọng tâm G Hai điểm D E xác định hệ uuur uuu r uuur uuur thức: AD AB; AE AC Chứng minh rằng: D, E, G thẳng hàng Gọi M trung điểm BC ta có: uuur uuuu r uuu r uuur AG AM AB AC 3 uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur DE DA AE 2 AB AC 5 AB AC (1) 5 uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur r uuur uuu r uuur uuu DG DA AG 2 AB AB AC AB AC 5 AB AC 3 3 uuur uuur Từ (1) (2) suy DE DG � D, E, G thẳng hàng 0,25 0,25 (2) b) Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn điểm M nằm bên tứ giác cho 2 2 � MBC � MCD � MDA � Chứng minh: cot AB BC CD DA , MAB AC.BD.sin với số đo góc hai đường thẳng AC BD S ABCD 1,0 AB MA2 MB AC.BD.sin ;cot 4S MAB 0,25 0,25 2,0 0,5 Tương tự ta được: cot AB MA2 MB BC MB MC CD MC MD S MAB 4S MBC 4S MCD DA2 MD MA2 AB BC CD DA2 S MDA SMAB S MBC S MCD S MDA AB BC CD DA2 AB BC CD DA2 S ABCD AC.BD.sin 0,5 1,0 134 Đề thi Giỏi toán Khối 10 Câu 1: điểm a) ( điểm) Cho ( P ) : y x x đường thẳng (d ) : y 2 x m Tìm m để (d ) cắt ( P ) hai điểm A,B cho tam giác OAB vuông O (O) gốc tọa độ 2 b) (2 điểm) Tìm m để phương trình x x 4m 3m có nghiệm phân biệt Câu 2: điểm 1 � 2x 1 x2 4x 2 � �y y x 6 x b) ( điểm) Giải hệ phương trình � 3 x y 19 x � Câu 3: điểm cosB 2a c a) (2,5điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn , Chứng minh tam giác ABC cân sin B 4a c b) (2,5điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC , Giả sử A(1;-2) , Các đường phân giác góc B, góc C 2x-y+1=0 x+y= Viết phương trình đường thẳng BC Câu ( điểm) Cho tam giâc ABC có cạnh Trên cạnh BC,CA,AB lấy M,N,P cho BM=1, CN=2 , AP=x ( 0- , ta gọi x ,x nghiệm phân biệt (1) x + x = -(2m+1) , x x = m 0,5đ A= 2m + x 12 + x 22 = 2m + (x + x ) -2x x 0,5đ = 2m +(2m+1) -2(m -1) = 4m + 4m +3 0,5đ = (2m+1) +2 2 Suy giá trị nhỏ biểu thứcA = 2m+1=0 m = (thỏa) 0,5đ KL: Vậy với m = biểu thức A = 2m + x 12 + x 22 đạt giá trị nhỏ Bài 3:(2 điểm) Cho a,b,c,d,e số thực.Chứng minh rằng: a b c d e2 �ab ac ad ae (1) 0,5đ a2 a2 a2 a2 ab b ac c ad d ae e �0 (1) � 4 4 1đ 2 2 a � �a � �a � �a � � � � b � � c � � d � � e ��0 (đúng với số thực a,b,c,d,e) �2 � �2 � �2 � �2 � 1đ Bài 4: ( đ) Số HS trường tham gia bơi chơi bóng bàn là: 1136 – 54 = 1082 (em) 0,5đ Số HS trường tham gia mơn bơi bóng bàn (620 + 739) – 1082 = 277 (em) 0,5đ Số HS trường tham gia môn bơi là: 620- 277 =343 (em) 0,5đ Số HS trường tham gia mơn bóng bàn là: 739 – 277 = 462 (em) 0,5đ Bài : ( điểm) uuu r uuuu r uuur uuuu r r uuur uuuu r r a) 8MB 3MC � 8( AB AM ) 3( AC AM ) đ uuuu r uuu r uuur � 11AM AB AC 0;5 đ � uuuu r uuu r uuur AM AB AC 11 11 b) Tam giác vuông A Suy BC =5 uuur BA uuur uuur DC DC BD phân giác góc ABC suy AD BC 0;5 đ 0;5 đ 0;5 đ 139 uuur uuur uur uuu r uuur AI ( AB AD) u r uuur uu ( AB AC ) u u u r uuur AB AC uur2 uuur16 uuur Suy 16uuAI AB AC r uuuu r Suy 16 AI 11AM Suy ba điểm A,I M thẳng hàng Suy AD AC Vì I trung điểm đoạn BD ,suy 0;5 đ 1đ 0;5 đ Bài (3điểm): Lí luận hai điểm A B nằm phía trục hồnh ( vẽ hình) 0;5 đ Tìm điểm đối xứng A’(-3 ;-4) điểm A (hay B’(5 ;-2) điểm B ) qua trục hoành 0;5 đ Suy MA = MA’ ( MB’ = MB) 0;5 đ MA + MB = MA’+ MB �A ' B 0;5 đ MA+ MB đạt giá trị nhỏ MA’+MB đạt giá trị nhỏ A’B ba điểm A’ , M, B thẳng hàng 0;5 đ Suy M( ;0) 0;5 đ …………………………………………………………………………………………… Chú y’: HS giải cách khác cho điểm tối đa 140 ... 10 3b 10 �� 10 3 b� Mà c � �0 b (b 3) (c 1) Lại có: SVABC (b 3) (3 b) b 9b 15 1,0 1,0 10 Xét hàm số f ( x) 1,0 10 x x 15 ( �x � ) Bảng biến thiên: x 10. .. 10 10 ; y 10 10 0.75 MaxP = x 1; y 0 Câu 2.0 Gọi A = n n 1 n 2 n 3 = (n2 3n)2 2(n2 3n) 0.5 (n2 3n)2 A (n2 3n 1)2 Kết luận: A số phương 1.0 0.5 KỲ THI OLYMPIC. ..KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Mơn thi: TỐN (Đáp án – Thang điểm gồm trang) Câu Đáp án Câu a) Giải bất phương trình ( x 1)( x 4) x x 28 (5,0 điểm) Điều kiện: