28 de olympic TOAN 10 full 200 trang

Câu 1. (5,0 điểm) 1) Giải phương trình . 2) Giải hệ phương trình . Câu 2. (4,0 điểm) Cho Parabol (P): . 1) Tìm các giá trị của a, b để (P) có đỉnh . 2) Với giá trị của a, b vừa tìm được câu 1, hãy tìm giá trị k để đường thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho trung điểm H của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d: . Câu 3. (4, 0 điểm) 1) Cho tam giác ABC đều và các điểm M, N, P thỏa mãn , , . Tìm giá trị của k để AM vuông góc với PN. 2) Cho tam giác ABC có . Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu Câu 4. (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi E, F là điểm xác định bởi , . Đường thẳng BF cắt đường thẳng AE tại I. 1) Tính giá trị theo a. 2) Chứng minh rằng . Câu 5. (3,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn . Chứng mình rằng

KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 Mơn thi : TỐN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình ( x  1)( x  4)  x  x  28 �x  x  y  16 x b) Giải hệ phương trình �  y  5(1  x ) � Câu (4,0 điểm) Cho hàm số y  x  x   m ;  Pm  a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m 1 b) Tìm m để  Pm  cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn   1;4 Câu (4,0 điểm) a) Cho số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a  b  c  d  a b c d    �2 Chứng minh rằng: 2  b c  c d  d a  a 2b b) Cho x  0, y  số thay đổi thỏa mãn 2018 2019   x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y Câu (3,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A  1;1; B 2;4  a) Tìm điểm C trục Ox cho tam giác ABC vuông B b) Tìm điểm D cho tam giác ABD vng cân A Câu (4,0 điểm) a) Cho tam giác ABC có diện tích S bán kính đường tròn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức S = R  sin A  sin B  sin C  Chứng minh tam giác ABC tam giác b) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh Trên cạnh BC , CA, AB lấy điểm N , M , P cho BN  1, CM  2, AP  x (0  x  3) uuu r uuur uuur i) Phân tích véc tơ AN theo hai vectơ AB, AC ii) Tìm giá trị x để AN vng góc với PM –––––––––––– Hết –––––––––––– Họ tên thí sinh: … ………………………………….; Số báo danh: ……………… KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Mơn thi: TỐN (Đáp án – Thang điểm gồm trang) Câu Đáp án Câu a) Giải bất phương trình ( x  1)( x  4)  x  x  28 (5,0 điểm) Điều kiện: Đk: x �R + Phương trình cho tương đương với x  x  28  24  x  x  28  Đặt t  x  x  28(t  0) 2,0 0,25 0,25 0,5 t  3 � Phương trình trở thành t  5t  24  � � t 8 � � t  3 � x  x  28  � x  x  19  0(VN ) Điểm 0,25 0,25 x4 � � t  � x  x  28  64 � x  x  36  � � x  9 � 0,25 x4 � Vậy phương trình cho có nghiệm � x  9 � 0,25 �x3  x  y  16 x(1) b) Giải hệ phương trình �  y  5(1  x )(2) � �x( x  16 x )  y ( y  16 y )(3) �2 y   x (4) Hệ cho tương đương với hệ : � Bình phương hai vế (1) ta : x ( x  16 x)2  y ( y  16 y ) (5) 2 Thay y   x vào phương trình (5) ta được: x ( x  16 x)  25 x (4  x ) 3,0 0,5 0,5 0,5 � x ( x  1)(31x  64)  2 + Với x  y  � y  �2 0,5 �� x 1 �� y  3 15 x  y � �� �� x2  �2 x  1 �y  �� + Với hệ trở thành: � �� �y  0,5 Vậy phương trình có nghiệm: (0, �2);(1, 3);(1,3) 0,5 Câu a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m 1 (4,0 TXĐ : D = R điểm) BBT: x � y � 2,5 0,25 � � 0,25 -1 + Hàm số nghịch biến khoảng  �;  ; Hàm số đồng biến khoảng + Đỉnh I(2; -1)  2; � 0,5 0,25 + Trục đối xứng đường thẳng: x = 0,25 + Giao điểm đồ thị trục tung: (0; 3) 0,25 + Giao điểm đồ thị trục hoành: (1; 0) (3; 0) 0,25 0,5 b) Tìm m để  Pm  cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn   1;4 Xét pt hoành độ giao điểm x  x   m 0  x  x  m  Dựa vào đồ thị tìm   m  3   m 4 Câu a) Cho số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh (4,0 a b c d    �2 điểm) rằng: 2 2 1 b c 1 c d Ta có 1 d a 1 a b a ab c ab c ab c  a  � a  a 2 1 b c 1 b c 2b c ab c b a.ac 1 a �a  b  a  ac   a   ab  abc  2 4 a �a   ab  abc  Vậy 1 b c Lại có a  1,5 0,5 1,0 2,5 0,25 0,5 Chứng minh tương tự ta có b c d �b  (bc  bcd ), �c  (cd  cda), �d  (da  dab) 2 1 c d 1 d a 1 a b a b c d �    �  b c  c d  d a  a 2b �a  b  c  d   ab  bc  cd  da  abc  bcd  cda  dab  0,5 �a  b  c  d � Lại có ab  bc  cd  da   a  c   b  d  �� � � � 0,25 16 �1 1 � �a  b  c  d � abc  bcd  cda  dab  abcd �    ��� � �a b c d � � � abc d   abcd  16 a b c d    �a  b  c  d   Do 2  b c  c d  d a  a 2b Dấu « = » xảy � a  b  c  d  Vậy 0,25 0,25 a b c d    �2 2  b c  c d  d a  a 2b 0,25 b)Cho x  0, y  số thay đổi thỏa mãn 2018 2019   Tìm giá trị nhỏ x y biểu thức P  x  y 2018 y 2019 x 2018 y 2019 x  Ta có : P  ( x  y )(  )  2018    2019 x y x y 2019x 2018y Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số đương ta y x 2018 y 2019 x  �2 2018.2019 x y Suy P �( 2018  2019) GTNN P ( 2018  2019) 0,25 2.0 0,5 025 0,25 � �x  0; y  � �2018 2019   10.5 � y �x �2018 y 2019 x  � y � x 0,5 � �x  2018( 2018  2019) �� �y  2019( 2019  2018) Câu Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A  1;1; B 2;4  (3,0 a) Tìm điểm C trục Ox cho tam giác ABC vng B điểm) 3.0 b) Tìm điểm D cho tam giác ABD vuông cân A a) Gọi C  x;0 0,5 + Sử dụng AB.BC 0  C  6;0  1,0  AB AD 0 b) Gọi D x; y  Giải hệ   AB  AD + Tìm D 2; 2 D  4;4  0,5 1,0 Câu a) Cho tam giác ABC có diện tích S bán kính đường tròn ngoại tiếp (4,0 2 3 điểm) R thỏa mãn hệ thức S = R sin A  sin B  sin C Chứng minh tam giác   ABC tam giác b)Cho tam giác ABC có độ dài cạnh Trên cạnh BC , CA, AB N, M , P lấy điểm cho BN  1, CM  2, AP  x (0  x  3) uuu r uuur uuur i) Phân tích véc tơ AN theo hai vectơ AB, AC ii) Tìm giá trị x để AN vng góc với PM a) Theo định lí sin ta có : sin A  VT = a3 B3 c3 3 ; sin B  ;sin C  8R 8R 8R 2 �a3 b3 c3 � R �   � R( a3  b3  c ) �8R 8R 8R � 12 Áp dụng bắt đẳng thức – si ta có: a  b  c3 �3abc abc  VT � 4R Mà S  abc , dấu “ =” xảy a = b = c  ABC 4R uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur b) i) AN = AB  BN = AB  AC  AB  AB + AC 3 uuuu r uuu r uuuu r uuur x uuur b) ii) Ta có PM = PA  AM  AC - AB 3   uuur uuuu r r uuur ��1 uuur x uuu r� �2 uuu � AC  AB � Mặt khác: AN  PM � AN PM  � � AB  AC � 3 �3 ��3 � u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2 2x x � AB AC  AB  AB AC  AC  9 9 x � 1 2x  1  �x 4,0 0.5 0.5 0.5 0.5 1,0 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ĐỀ ĐỀ NGHỊ KỲ THI OLYMPIC 10 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu (6.0 điểm) Cho hàm số y  x  x   m ;  Pm  a) Với m 1 , khảo sát vẽ đồ thị hàm số y  x  x   m b) Tìm m để  Pm  cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn   1;4 c) Cho x1 x hai nghiệm phương trình x  x  a 0 ; x3 x hai nghiệm phương trình x  12 x  b 0 Biết x x3 x   Tìm a b x1 x x3 Câu (5.0 điểm) a) Giải phương trình    x   x  x2  x2  4x   2x  x  3x  x   y  y b)Giải hệ phương trình:   x  x    x  1 y Câu (4.0 điểm) a) Cho tam giác ABC có sin B  2019sin C  sin A Gọi M trung điểm BC, G trọng tâm 2019 cos B  cosC tam giác ABC Tam giác ABC tam giác Tính tỉ số S MBG S ABC b) Cho đường tròn tâm O ba dây cung song song AB, CD, EF đường tròn Gọi H, I, K trực tâm tam giác ACF, AED, CEB Chứng minh H, I, K thẳng hàng Câu (3.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;1) Trên trục Ox, Oy lấy hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông A Tìm tọa độ điểm B, C cho diện tích tam giác ABC lớn biết hồnh độ điểm B tung độ điểm C không âm Câu (2.0 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y 2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x 2019  x  y 2019  y -Hết Họ tên thí sinh : Số báo danh Họ tên, chữ ký: Giám thị 1: Họ tên, chữ ký: Giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ NGHỊ KỲ THI OLYMPIC 10 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu ĐÁP ÁN Cho hàm số y  x  x   m ; Điểm 6.0  Pm  a) Với m 1 , khảo sát vẽ đồ thị hàm số y  x  x   m b) Tìm m để  Pm  cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn   1;4 c) Cho x1 x hai nghiệm phương trình x  x  a 0 ; x3 x hai nghiệm phương trình x  12 x  b 0 Biết x x3 x   Tìm a b x1 x x3 a) Với m 1 , khảo sát vẽ đồ thị hàm số y  x  x   m 2.0 Với m=1 y  x  x  TXĐ: R Đặt f ( x)  x  x  Dựng đồ thị y  f ( x) 0.5 Từ lập luận suy đồ thị y  f ( x ) 0.75 b) Tìm m để  Pm  cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn   1;4 1.0 Xét pt hoành độ giao điểm x  x   m 0  x  x  m  Dựa vào đồ thị tìm   m  3   m 4 Chú ý: HS dùng bảng biến thiên cho hàm y  x  x  y  x  x  0.5 0.5 c) Cho x1 x hai nghiệm phương trình x  x  a 0 ; x3 x hai x x3 x   Tìm a b nghiệm phương trình x  12 x  b 0 Biết x1 x x3 3.0   9  4a 0 Điều kiện có nghiệm  '   36  b 0  x kx1 x x3 x    x3 kx k x1 Đặt k    x1 x x3  x kx k x  0.5 Theo định lý viet ta có hệ  x1 1  k  3  x k 1  k  12    x1 k a  x12 k b  k 2 Với k 2 x1 1 ta a 2, b 32 (tm) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Với k  x1  ta a  18, b  288 (tm) a) Giải phương trình    5.0  2.5 x   x  x2  x2  4x   2x  x  3x  x   y  y  x  x    x  1 y b)Giải hệ phương trình:  a) Giải phương trình   x   x  x2  x2  4x   2x Điều kiện x �1 Với x �1 � x   x      x   x  x2  x2  4x   x �   x   x  x2  x2  4x  � x  x  x   x   x   x 1  x   x 1  2x   x   x 1  0.75 � x  x x   ( x  3)( x  1)  x x   � x x3  � x  x  x  x 1  � � x  x 1  �    0.75 �x �0 �x �0  13 x x3  � x3  x � � � � x  � 2 �x   x �x  x   �x �0 �x �0 1 x  x 1  � x 1  x � � � �x �2 2 �x   x �x  x    x  3x  x   y  y  x  x    x  1 y 0.5 0,5 b)Giải hệ phương trình:  2.5 Phương trình thứ  ( x  3x  3x  1)  x   y  y 0.5   x  1   x  1  y  y Đặt a x  ta a  a  y  y   a  y  a  ay  y  0  a  y 0   y 3y2    0; a, y Vì a  ay  y   a    2  Ta y x  thay vào pt thứ hai ta x   x  4 x ĐK: x 1     x    x  0.5 0.5 0.25 x   2 x  x   x  2 x     x 2  y 3 2  x   x  3 Kết luận: Hệ pt có nghiệm  x; y   2;3 sin B  2019sin C  sin A Gọi M trung điểm BC, G a) Cho tam giác ABC có 2019 cos B  cosC S MBG trọng tâm tam giác ABC Tam giác ABC tam giác Tính tỉ số S ABC 0.25 0.25 0.25 4.0 b) Cho đường tròn tâm O ba dây cung song song AB, CD, EF đường tròn Gọi H, I, K trực tâm tam giác ACF, AED, CEB Chứng minh H, I, K thẳng hàng sin B  2019sin C  sin A Gọi M trung điểm BC, G 2019 cos B  cosC S MBG trọng tâm tam giác ABC Tam giác ABC tam giác Tính tỉ số S ABC 2.0 sin B  m sin C  sin A b + mc = a(mcosB + cosC) m cos B  cosC m( a  c  b ) a  b  c  b  mc   2c 2b 2  (c  mb)(b  c  a )   b  c  a 0.5 a) Cho tam giác ABC có Đặt m = 2018, ta có Vậy tam giác ABC vng A Dễ dàng chứng minh S MBG  S ABC b) Cho đường tròn tâm O ba dây cung song song AB, CD, EF đường tròn Gọi 0.5 0.5 0.25 0.25 2.0 H, I, K trực tâm tam giác ACF, AED, CEB Chứng minh H, I, K thẳng hàng *) Chứng minh tính chất: Cho tam Gọi uuu r ugiác uu r ABC uuur u uur H, O trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì: OA  OB  OC  OH Gọi A’ điểm đối xứng A qua O, D trung điểm BC Ta có: tứ giác BHCA’ hình bình hành nên D trung điểm HA’ Mà 0.75 uuu r uuur uuur uuur OB  OC  2OD  AH uuu r uuur uuur uuu r � OB  OC  OH  OA uuu r uuu r uuur uuur � OA  OB  OC  OH *)Ta có: H, I, K trực tâm tam giác ACF, AED, BCE 0.75 uuur uuu r uuur uuu r � OH  OA  OC  OF(1) r uuur uuur � �uur uuu �� OI  OA  OE  OD(2) r uuur uuur �uuur uuu OK  OB  OC  OE (3) � uuu r uuur uur Từ (1)và (2) � IH  DC  EF uuur uuu r uur (1)và (3) � KH  BA  EF uuur uur uuur uur Mà AB//CD//EF � m, n cho DC  mEF , BH  nEF uuu r uur uuur uur � IH  ( m  1)EF , KH  (n  1)EF uuu r uuur � IH , KH phương � I , H , K thẳng hàng Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;1) Trên trục Ox, Oy lấy hai điểm B, C 0.5 3.0 cho tam giác ABC vuông A Tìm tọa độ điểm B, C cho diện tích tam giác ABC lớn biết hồnh độ điểm B tung độ điểm C không âm Gọi B(b;0), C(0;c) ( b, c �0 ) uuur AB (b  3; 1) � AB  (b  3)  uuur AC (3; c  1) � AC   (c  1) uuu r uuur Tam giác ABC vuông A � AB AC  � 3(b  3)  (c  1)  � c  10  3b 10 �� 10 3 b� Mà c �  �0 b (b  3)  (c  1)  Lại có: SVABC   (b  3)  (3  b)   b  9b  15 1,0 1,0 10 KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THAM KHẢO Mơn thi: TỐN (Đáp án – Thang điểm gồm trang) Câu 1: a) Giải phương trình: (1) 2, 3x  1   x     3x  x Điều kiện: x � (1) � �  0,5 0,5 3x 5x  x  3x  1 3x   x   x  0(TM ) � � ��   3x 1 (*) � 5x   � 3x   Với x=1: VT(*)= 2=VP(*) nên x=1 nghiệm (*) Nếu x>1 VT(*) 0( " k ) + Trung điểm M AB có hồnh độ 0,75 x1  x2 k  ; M nằm trục tung 2 k � 0� k 0 0,5 0,5 0,5 Câu 3: a  c a) Cho số thực dương a, b, cthỏa  Chứng minh rằng: b  c 2.0 127 c a  c   c b  c   ab Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: c a  c   c b  c  ab  c  a  c c b  c  b a a b 0,5 1c a c 1 c b c        2b a  2a b  1c c 1c c           1 2b a 2a b  c a  c   c b  c   ab (đpcm) 0,5 0,5 0,5 b) Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện x  y 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P  Từ giả thiết suy ra: P  x  xy  xy  y  2.0 x  xy  y 2 xy  y  x 0.5 Với y = P = (1) 3t  2t  3t  2t    3P  3t  2 P  1t  P  0 Với y 0 ta có: P  * Phương trình (*) khơng có nghiệm P = Khi P 1 0.5 '  P  1  P   0   P  0.5 (2) Kết hợp (1) (2): P    2;1 Suy ra: MinP = - x  10 10 ; y  10 10 0.5 MaxP = x 1; y 0 Câu 4: 3.0 C (C1)cótâmlàgốctọa độO d I A GọiIlàtâm củađường tròn (C) cần viết phương trình.Ta có AB⊥OI 0,5 0,5 Mà AB⊥d vàO∉dnênOI//d,dođóOIcóphươngtrìnhy=x B (C1) MặtkhácI ∈(C2), (CnêntọađộcủaIthỏamãnhệ: 2) 0,5 0,5 128 �y  x �x  �� � I (3;3) �2 �x  y  12 x  18  �y  0,5 Do (C)tiếpxúcvớidnên(C)cóbánkínhR=d(I,d)=2 0,5 Vậyphương trìnhcủa(C)là(x−3)2+(y−3)2=8 Câu 5: uur uAuur uur uuur uuur uuur uuur uuuu r r uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu  AI  AB  AC  AC  AD  AM  AB  2DM  DM  AB  DM a) IG  AG 3    4,0  1,0 G B C uur H uuu r Muuur uur uuur uuuu r uur uuur b) 2CJ  JM  2AB � I2AJ  2AC  AM  AJ  2AB uur uuur uuur uuuu rR uuuu r uur uuuu r � 3AJ  2AB  2ACJ AM  5AM � AJ  AM MJ  Mà M trung điểmcủaD AD nên JD MI MJ MI  Vậy ta có:  � IJ // CD // AB Gọi K trung điểm CD, ta có IK JD IK 1.0 F c) Kẻ AH vng góc với BC Ta có: BH  AB.cos60  a a , AH  AB.sin600  2 3a � AC  AH  CH  a � BC2  AB2  AC 2 Vậy tam giác ABC vuông A uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r Dựng BF  2AC � AB  2AC  AB  BF  AF BF  2AC  2a r uuur uuur � u  AB  2AC  AF  AB2  BF  a 13 Từ ta có CH  BC  BH  1.0 uuu r uuur uuur uuu r uur uur r d) Lấy điểm S cho 2SA  3SB  5SC  � AS  AC  AB � S điểm cố định 4 uuur uuu r uuu r uuur uuur 2EA  3EB  5EC  ED  EG Gọi R trung điểm DG Khi đó, ta có: uur uuur � 4ES  2ER � ES  ER Vậy ta suy tập hợp điểm E đường trung trực đoạn thẳng SR 1.0 ============Hết============= ĐỀ THAM KHẢO KỲ THI OLIMPIC CẤP TỈNH Mơn thi : Thời gian: TỐN 10 150 phút Câu (5,0 điểm) 129 a) Giải phương trình: x   3x   x  (x �R) �  x  y   x  xy  y  3   x  y   �  x, y �� b) Giải hệ phương trình: � x   y    x  x  � � Câu (4,0 điểm) a) Cho hàm số y = x   m  1 x  m3   m  1 cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2 �4 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: P  x13  x23  x1 x2  x1  x2   b) Tìm m để phương trình x   m  m  có bốn nghiệm phân biệt Câu (4,0 điểm)  Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn điều kiện: x   x P  x  y Câu (4,0 điểm)  y   y  2019 Tìm giá trị nhỏ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp ttrong tâm có tọa độ I (4;0), G ( 11 ; ) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C tam giác ABC biết 3 đỉnh B nằm đường thẳng (d): 2x + y – = điểm M(4;2) nằm đường cao kẻ từ đỉnh B tam giác ABC Câu (3,0 điểm) a) Cho tam giác ABC có trọng tâm G Hai điểm D E xác định hệ thức: uuur uuu r uuur uuur AD  AB; AE  AC Chứng minh rằng: D, E, G thẳng hàng b) Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn điểm M nằm bên tứ giác cho 2 2 �  MBC �  MCD �  MDA �   Chứng minh: cot   AB  BC  CD  DA , với  số đo góc MAB AC.BD.sin  hai đường thẳng AC BD –––––––––––– Hết –––––––––––– Họ tên thí sinh: … …………………………………….; Số báo danh: ………………… 130 ĐÁP ÁN ĐỀ THAM KHẢO KỲ THI OLIMPIC CẤP TỈNH Mơn thi: TỐN 10 Câu Đáp án Câu a) Giải phương trình x   3x   x  (5,0 � điểm) �x �0 x � � � � x Điều kiện: �x �۳۳ �x � � x  �0 � �x � � (x �R) Điểm 2,0 0,25 x   x   3x  � x   2x    x    x  3  x    x  3  �  x    x  3  3x �  3x   3x 0,75 3x x  1 � � x  x   3x � x  x   � � x3 � Kết hợp với điều kiện ta x = Vậy tập nghiệm phương trình S = {3} 0,75 0,25 �  x  y   x  xy  y  3   x  y   �  x, y �� b) Giải hệ phương trình � x   y    x  x  � � Điều kiện: x �6, y �3 Từ phương trình đầu hệ ta có:  x  y   x  xy  y  3   x  y   �  x  y   x  xy  y    x  y   3x  y  3,0 0,25 0,5 � x  y  x  y  3x  y   1 �  y 1�  x�  3 x y y x x 0,5 Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: x   x    x  x  8,  x �1 � x    x    x2  x   � 0,25 x3 x3    x  3  x  1  x6 3 x 1  � � �  x  3 �   x  1� x 1  � x6 3 � � x3 1,0 Khi x  � y  0,25 So sánh với điều kiện ta nghiệm hệ phương trình (x;y) = (3;1) 0,25 131 Câu a) Cho hàm số y = x   m  1 x  m3   m  1 cắt trục hoành hai điểm có (4,0 điểm) hồnh độ x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2 �4 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 3 biểu thức sau: P  x1  x2  x1 x2  x1  x2   2,0 Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số trục hoành: x   m  1 x  m3   m  1  Phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 �4 0,5 �� m � m  m   �0  ' �0 2 �m �0 � � �� � �� �� � �� 2 �m �0 � � �m �3  m  1 �4 � �x1  x2 �4 � � � m �3 � Theo định lý Viet ta có x1  x2   m  1 , x1 x2   m3   m  1 0,5 � P   x1  x2   8x1 x2   m  1  8m   m  1  16m  40m 3 2 Bảng biến thiên: 0,5 Từ bảng biến thiên ta được: Pmax  16 m =2, Pmin  144 m = -2 0,5 b) Tìm m để phương trình x   m  m  có bốn nghiệm phân biệt 2,0 Phương trình cho phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = x  đường thẳng y = m  m2  nên số nghiệm phương trình số giao điểm 0,25 hai đồ thị Bảng biến thiên hàm số y = x  0,5 Dựa vào bảng biến thiên, hai đồ thị cắt điểm phân biệt  m4  m2   � m4  m2  �  m  0,5 m �0 � �� 1  m  � 0,5 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt � m � 1;1 \  0 0,75 132  Câu Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn điều kiện: x   x (4,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P  x  y t 1 Đặt t  x   x , t >  t  1   x � x  (1) 2t Từ giả thiết ta có y   y  Từ (1) (2) suy x  y   y   y  2019 0,75 2019 20192  t Từ suy y  (2) t 2.2019t 0,75 t  20192  t 2018 � 2019 �   t � � 2t 2.2019.t 2.2019 � t � 0,5 2018 2019 2018 2018 t  2019  Do x  y � 2.2019 t 2.2019 2019 Đẳng thức xảy t  2019 Từ (1) (2) suy x  y  Vậy giá trị nhỏ P 4,0 1,0 2018 2019 2018 2018 , x  y  2019 2019 Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại (4,0 11 điểm) tiếp ttrong tâm có tọa độ I (4;0), G ( ; ) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C tam giác ABC biết đỉnh B nằm đường thẳng (d): 2x + y – = điểm M(4;2) nằm đường cao kẻ từ đỉnh B tam giác ABC 0,5 0,5 4,0 c) Gọi B (a;1 – 2a) ∈ d, N trung điểm AC uuur suy BN  uuur BG (1) uuur 0,5 uuur � 11 �3 Mà BN   xN  a; y N  2a  1 , BG  �  a; 2a  2� � 3� Theo (1) � 3� 11 � 11  a � �xN  a  �3  a � 11  a � � � � �xN  � �� �� ;a� �N� � � � � �y  2a   yN  a 2a  � � � N � � 2� 3� � uur r uur uuuu r uur uuuu r �3  a �uuuu ;a� ; BM    a; 2a  1 mà IN / / BM � k ��: IN  k BM �2 � �3  a a 1 �  k   a � � ��2 � � � B  1; 1 , N  5;1 � �k  a  k  2a  1 � � Ta có: IN  � 1,0 1,0 133 r uur AC qua N(5;1) có vecto pháp tuyến n  IN   1;1 suy AC có phương trình x + y – = Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(4;0), bán kính R = IB = 10 nên có phương trình:  x    y  10 0,5 Suy tọa độ A, C nghiệm hệ phương trình: �y   x � � � �x  y   �y   x �� � �� x3 � 2 2  x    y  10 � x    y  10 ��x  � �� 0,5 Vậy A(3;3), B(1;-1), C(7;-1) A (7;-1), B (1;-1), C(3;3) Câu (3,0 điểm) 0,5 a) Cho tam giác ABC có trọng tâm G Hai điểm D E xác định hệ uuur uuu r uuur uuur thức: AD  AB; AE  AC Chứng minh rằng: D, E, G thẳng hàng Gọi M trung điểm BC ta có: uuur uuuu r uuu r uuur AG  AM  AB  AC 3 uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur DE  DA  AE  2 AB  AC  5 AB  AC (1) 5 uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur r uuur uuu r uuur uuu DG  DA  AG  2 AB  AB  AC   AB  AC  5 AB  AC 3 3 uuur uuur Từ (1) (2) suy DE  DG � D, E, G thẳng hàng  0,25   0,25  (2) b) Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn điểm M nằm bên tứ giác cho 2 2 �  MBC �  MCD �  MDA �   Chứng minh: cot   AB  BC  CD  DA , MAB AC.BD.sin   với số đo góc hai đường thẳng AC BD S ABCD 1,0 AB  MA2  MB  AC.BD.sin ;cot   4S MAB 0,25 0,25 2,0 0,5 Tương tự ta được: cot   AB  MA2  MB BC  MB  MC CD  MC  MD   S MAB 4S MBC 4S MCD  DA2  MD  MA2 AB  BC  CD  DA2  S MDA  SMAB  S MBC  S MCD  S MDA   AB  BC  CD  DA2 AB  BC  CD  DA2  S ABCD AC.BD.sin  0,5 1,0 134 Đề thi Giỏi toán Khối 10 Câu 1: điểm a) ( điểm) Cho ( P ) : y  x  x  đường thẳng (d ) : y  2 x  m Tìm m để (d ) cắt ( P ) hai điểm A,B cho tam giác OAB vuông O (O) gốc tọa độ 2 b) (2 điểm) Tìm m để phương trình x  x   4m  3m có nghiệm phân biệt Câu 2: điểm 1 � 2x 1 x2  4x  2 � �y  y x  6 x b) ( điểm) Giải hệ phương trình � 3  x y  19 x � Câu 3: điểm  cosB 2a  c  a) (2,5điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn , Chứng minh tam giác ABC cân sin B 4a  c b) (2,5điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC , Giả sử A(1;-2) , Các đường phân giác góc B, góc C 2x-y+1=0 x+y= Viết phương trình đường thẳng BC Câu ( điểm) Cho tam giâc ABC có cạnh Trên cạnh BC,CA,AB lấy M,N,P cho BM=1, CN=2 , AP=x ( 0- , ta gọi x ,x nghiệm phân biệt (1) x + x = -(2m+1) , x x = m 0,5đ A= 2m + x 12 + x 22 = 2m + (x + x ) -2x x 0,5đ = 2m +(2m+1) -2(m -1) = 4m + 4m +3 0,5đ = (2m+1) +2 2 Suy giá trị nhỏ biểu thứcA = 2m+1=0  m =  (thỏa) 0,5đ KL: Vậy với m =  biểu thức A = 2m + x 12 + x 22 đạt giá trị nhỏ Bài 3:(2 điểm) Cho a,b,c,d,e số thực.Chứng minh rằng: a  b  c  d  e2 �ab  ac  ad  ae (1) 0,5đ a2 a2 a2 a2  ab  b   ac  c   ad  d   ae  e �0 (1) � 4 4 1đ 2 2 a � �a � �a � �a � � � �  b � �  c � �  d � �  e ��0 (đúng với số thực a,b,c,d,e) �2 � �2 � �2 � �2 � 1đ Bài 4: ( đ) Số HS trường tham gia bơi chơi bóng bàn là: 1136 – 54 = 1082 (em) 0,5đ Số HS trường tham gia mơn bơi bóng bàn (620 + 739) – 1082 = 277 (em) 0,5đ Số HS trường tham gia môn bơi là: 620- 277 =343 (em) 0,5đ Số HS trường tham gia mơn bóng bàn là: 739 – 277 = 462 (em) 0,5đ Bài : ( điểm) uuu r uuuu r uuur uuuu r r uuur uuuu r r a) 8MB  3MC  � 8( AB  AM )  3( AC  AM )  đ uuuu r uuu r uuur � 11AM  AB  AC 0;5 đ � uuuu r uuu r uuur AM  AB  AC 11 11 b) Tam giác vuông A Suy BC =5 uuur BA uuur uuur DC   DC BD phân giác góc ABC suy AD   BC 0;5 đ 0;5 đ 0;5 đ 139 uuur uuur uur uuu r uuur AI  ( AB  AD) u r uuur uu  ( AB  AC ) u u u r uuur  AB  AC uur2 uuur16 uuur Suy 16uuAI  AB  AC r uuuu r Suy 16 AI  11AM Suy ba điểm A,I M thẳng hàng Suy AD  AC Vì I trung điểm đoạn BD ,suy 0;5 đ 1đ 0;5 đ Bài (3điểm): Lí luận hai điểm A B nằm phía trục hồnh ( vẽ hình) 0;5 đ Tìm điểm đối xứng A’(-3 ;-4) điểm A (hay B’(5 ;-2) điểm B ) qua trục hoành 0;5 đ Suy MA = MA’ ( MB’ = MB) 0;5 đ MA + MB = MA’+ MB �A ' B 0;5 đ MA+ MB đạt giá trị nhỏ MA’+MB đạt giá trị nhỏ A’B ba điểm A’ , M, B thẳng hàng 0;5 đ Suy M( ;0) 0;5 đ …………………………………………………………………………………………… Chú y’: HS giải cách khác cho điểm tối đa 140 ...  10  3b 10 �� 10 3 b� Mà c �  �0 b (b  3)  (c  1)  Lại có: SVABC   (b  3)  (3  b)   b  9b  15 1,0 1,0 10 Xét hàm số f ( x)  1,0 10 x  x  15 ( �x � ) Bảng biến thiên: x 10. ..  10 10 ; y  10 10 0.75 MaxP = x 1; y 0 Câu 2.0 Gọi A = n n  1  n  2  n  3 = (n2  3n)2  2(n2  3n) 0.5 (n2  3n)2  A  (n2  3n  1)2 Kết luận: A số phương 1.0 0.5 KỲ THI OLYMPIC. ..KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Mơn thi: TỐN (Đáp án – Thang điểm gồm trang) Câu Đáp án Câu a) Giải bất phương trình ( x  1)( x  4)  x  x  28 (5,0 điểm) Điều kiện: