KHÔNG CẦN PHẢI MẤT CÔNG SOẠN BÀI TẬP, HƠN 100 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN ĐỦ CÁC MỨC ĐỘ VỚI LỜI GIẢI CHI TIẾT, RÕ RÀNG, TRÌNH BÀY HỢP LÝ, ĐẸP MẮT. CHỈ CẦN DOWNLOAD VÀ SỬ DỤNG NGAY. THÍCH HỢP CHO VIỆC DÙNG LÀM BÀI GIẢNG VÀ BÀI KIỂM TRA.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM QUAN HỆ VNG GĨC - VECTOR TRONG KHƠNG GIAN Câu Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: uuur uuuur uuuur uuur BD − D′D − B′D′ = k BB′ A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải:: uuur uuuur uuuur uuur Ta có BD + DD′ + D′B′ = BB′ nên k = uuu r r uuur r uuur r AB = a, AC = b, AD = c, gọi M trung điểm BC Trong ABCD Câu Cho tứ diện Đặt khẳng định sau, khẳng định đúng? uuuur r r r DM = a + 2b − c A ( ) uuuur r r r DM = −2a + b + c C ( uuuur r r r DM = a + b − 2c B ( ) uuuur r r r DM = a − 2b + c D ) ( ) Hướng dẫn giải: uuuur uuur uuu r uuuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur DM = DA + AB + BM = AB − AD + BC = AB − AD + BA + AC 2 Ta có: ( = ) r uuur uuur r r r r r r uuu AB + AC − AD = a + b − c = a + b − 2c 2 2 ( ) Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AD, BC Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuu r uuur uuuu r AB , AC , MN A Các vectơ không đồng phẳng uuur uuuu r uuuu r AN , CM , MN B Các vectơ đồng phẳng uuur uuur uuuu r BD , AC , MN C Các vectơ đồng phẳng uuu r uuur uuuu r AB , DC , MN D Các vectơ đồng phẳng Trang 1/50 Hướng dẫn giải: uuuu r uuu r uuur MN = AB + DC Đáp án A: Đúng uuuu r uuuu r Đáp án B: Đúng từ N ta dựng véctơ véctơ MN MN khơng nằm mặt phẳng ( ) ( ABC ) uuur ( CMN ) Đáp án C: Sai Tương tự đáp án B AN khơng nằm mặt phẳng uuuu r uuur uuur MN = AC + BD Đáp án D: Đúng ( ) · · · Câu Hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a B ' A ' D ' = 60 , B ' A ' A = D ' A ' A = 120 Tính diện tích tứ giác A ' B ' CD ACC ' A ' S A ' B 'CD = a S ; AA 'C 'C = 2a A B S A ' B 'CD = a S AA 'C ' C = a 2 ; S A ' B 'CD = a S AA 'C 'C = a 2 D S A ' B 'CD = a ; S AA 'C 'C = a 2 C ; Hướng dẫn giải: uuuur r r r uuuur r r r uuuur uuuur r r r r r r A ' C = a + b + c, B ' D = a − b + c ⇒ A ' C B ' D = a + b + c a − b + c = ( ⇒ A ' C ⊥ B ' D nên S A ' B ' DC = )( ) A ' C.B ' D Trang 2/50 A ' C = a 2, B ' D = a ⇒ S A ' B ' CD = a 2a = a 2 Dễ dàng tính uuur uuur S AA 'C 'C = AA ' AC sin AA ', AC ( ) , AA ' = a, Ac = a uuur uuur uuur uuur sin AA ', AC = − cos AA ', AC = Tính ( ) ( ) uuur uuur S AA 'C 'C = AA ' AC sin AA ', AC = a.a = a2 Vậy ( ) Câu Hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' M , N , P thỏa uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuu r MA = k MB ' ( k ≠ ) , NB = xNC ', PC = yPD ' Hãy tính x, y theo k để ba điểm M , N , P thẳng hàng A x= 1+ k ,y=− 1− k k B +k x= ,y=− 2−k 2k C D x= + 2k ,y=− − 2k 2k x= 2+k ,y=− 2−k k Hướng dẫn giải: uuur r uuur r uuur r Đặt AD = a, AB = b, AA ' = c Từ giả thiết ta có: uuuu r k r r AM = b+c k −1 ( ) uuur r x r r AN = b + a+c x −1 ( ( 1) ) ( 2) uuu r r r y r r AP = a + b + c − b ( 3) y −1 ( ) Trang 3/50 Từ ta có x r r r uuuu r uuur uuuur = a− b+ − ÷c k −1 x −1 k −1 MN = AN − AM x − x k x y r + − ÷c x −1 y −1 uuur uuur uuuur r y r y k r MP = AP − AM = a − ( + )b + − ÷c y −1 k −1 y −1 k −1 uuuu r uuur MN = λ MP Ba điểm M , N , P thẳng hàng tồn λ cho uuuu r uuur MN , MP vào Thay vec tơ x= ( *) ( *) r r r a lưu ý , b, c không đồng phẳng ta tính 1+ k ,y=− 1− k k Câu Hãy chọn mệnh đề sai mệnh đề sau đây: r r r r r r A véctơ x = a + b + c luôn đồng phẳng với hai véctơ a b uuur uuuu r uuur ′ ′ ′, DA′ đồng phẳng AB , C A ABCD A ’ B ’ C ’ D ’ B Cho hình hộp ba véctơ r r r C Ba véctơ a, b, c đồng phẳng có hai ba véctơ phương r r r r a , b , c D Ba véctơ đồng phẳng có ba véctơ véctơ Hướng dẫn giải: Đáp án A: Đúng theo định nghĩa đồng phẳng Đáp án B: Đúng theo định nghĩa đồng phẳng Đáp án C: Sai uuur uuur uuur r r DA′ = AA′ − AD = a − c uuur uuur uuu r uuur r r ′ ′ ′ AB = a + b ⇒ AB = DA − CA r uuu r r r uuuu uuur uuuu r uuur ′A′ = CA = −b − c C ⇒ vectơ AB′, C ′A′, DA′ đồng Đáp án D: Đúng phẳng Trang 4/50 Câu Cho tam giác ABC , cơng thức tính diện tích sau A C S= AB AC − BC 2 S= r uuur 1 uuu AB AC − AB AC 2 B ( ) D S= r uuur 1 uuu AB AC + AB AC 2 S= uuu r uuur AB AC − AB AC ( ( ) ) 2 Hướng dẫn giải: S ABC = = 1 ABAC sin A = AB AB sin A = AB AC ( − cos A ) 2 uuu r uuur AB AC − AB AC ( ) · · · Câu Hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a B ' A ' D ' = 60 , B ' A ' A = D ' A ' A = 120 Tính góc đường thẳng AC ' với đường thẳng AB, AD, AA ' ·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos ( ) ( ) ( ) A ·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos ( ) ( ) ( ) B ·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos ( ) ( ) ( ) C ·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos ( ) ( ) ( ) D Hướng dẫn giải: ( ·AC ', AB ) = ( ·AC ', AD ) = ( ·AC ', AA ') = arccos Trang 5/50 uuur uuu r uuur uuu r E , F EA = kEB , FD = kFC ABCD Câu Cho tứ diện Gọi điểm thỏa nãm P ,Q , R uuur uuur uuur uuur uuur uuur điểm xác định PA = lPD ,QE = lQF , RB = lRC Chứng minh ba điểm P ,Q , R thẳng hàng.Khẳng định sau đúng? A Tất sai B P, Q, R thẳng hàng C P, Q, R không đồng phẳng D P, Q, R khơng thẳng hàng Hướng dẫn giải: Ta có uuur uuu r uuur uuur PQ = PA + AE + EQ ( 1) uuur uuur uuur uuur PQ = PD + DF + FQ ( 2) Từ Lấy ta có ( 2) uuur uuur uuur uuur l PQ = l PD + l DF + l FQ ( 1) − ( 3) theo vế ta có uuur uuur uuur ( 3) ( 1− l ) PQ = AE − l DF uuur uuur l uuur ⇒ PQ = AE − DF 1− l 1− l uuu r r uuu l uuur QR = EB − FC 1− l 1− l Tương tự uuur r kl uuur uuu r uuur l uuur −k uuu uuu r uuu r uuur uuur PQ = AE − DF = EB − FC = − kQR 1− l 1− l 1− l 1− l Mặt khác EA = k EB, FD = k FC nên Vậy P, Q, R thẳng hàng Câu 10 Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a,CA = DB = b, AB = DC = c Gọi S diện tích tồn phần 1 + 2+ 2 ( tổng diện tích tất mặt) Tính giá trị lớn a b b c c a 2 Trang 6/50 A S B S 2 C S D S Hướng dẫn giải: Do tứ diện ABCD BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c có nên ∆BCD = ∆ADC = ∆DAB = ∆CBA Gọi S ' diện tích R bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt S = 4S ' = abc R , nên bất đẳng thức cần chứng minh 1 + 2 + 2 ≤ ⇔ a + b2 + c2 ≤ 9R ab bc ca S 2 Theo cơng thức Leibbnitz: Với điểm M G trọng tâm tam giác ABC MA2 + MB + MC = GA2 + GB + BC + 3MG = a + b + c + MG ) ( Cho M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta R = aa + b + c + 9OG ≥ a + b + c 1 + 2+ 2 Vậy giá trị lớn a b b c c a S đạt M trùng với tâm đường tròn 2 ngoại tiếp tam giác ABC Câu 11 Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Chọn đẳng thức sai? uuur uuu r uuuur uuuur BC + BA = B1C1 + B1 A1 A uuur uuuur uuuur uuur AD + D1C1 + D1 A1 = DC B uuur uuu r uuur uuuu r BC + BA + BB = BD 1 C uuu r uuuur uuuu r uuur BA + DD + BD 1 = BC D Hướng dẫn giải: uuu r uuuur uuuu r uuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur BA + DD + BD = BA + BB + BD = BA + BD 1 1 1 ≠ BC nên D sai Ta có: Trang 7/50 uuur uuur uuuur uuuur BC + BA = B1C1 + B1 A1 A Do nên uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur AD + D1C1 + D1 A1 = AD + D1 B1 = A1 D1 + D1 B1 = A1 B1 = DC uuur uuuur BC = B1C1 uuu r uuuur BA = B1 A1 Do uuur uuuur uuuur uuur AD + D1C1 + D1 A1 = DC nên nên B uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur BC + BA + BB1 = BD + DD1 = BD1 nên C Do Câu 12 Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuu r uuur uuur uuur r A Nếu ABCD hình thang OA + OB + 2OC + 2OD = uuu r uuur uuur uuur r B Nếu OA + OB + OC + OD = ABCD hình bình hành uuu r uuur uuur uuur r OA + OB + 2OC + 2OD = ABCD hình thang C Nếu uuu r uuur uuur uuur r OA + OB + OC + OD = ABCD D Nếu hình bình hành Hướng dẫn giải: uuu r uuur uuur uuur Nếu ABCD hình bình hành ta có OA + OB = OC + OD r ruu r a , b , c Câu 13 Cho ba vectơ không đồng phẳng Trong khẳng định sau, khẳng định sai? r r r r u r r r r r r r r A Các vectơ x = a + b − c; y = 2a − b + 3c; z = − a − b + 2c đồng phẳng r r r r u r r r r r r r r x = a − b + c ; y = a − b + c ; z = a − 3b − 3c đồng phẳng B Các vectơ r r r r u r r r r r r r r C Các vectơ x = a + b + c; y = 2a − 3b + c; z = −a + 3b + 3c đồng phẳng r r r r u r r r r r r r r x = a + b + c ; y = a − b − c ; z = − a + b + c D Các vectơ đồng phẳng Hướng dẫn giải: r u r r r u r r x , y , z ⇔ ∃ m , n : x = m y + nz Các vect u đồng phẳng r r r Mà : x = m y + nz Trang 8/50 3m + 2n = r r r r r r r r r ⇔ −3m − 3n = −2 2m − 3n = ⇔ a − 2b + 4c = m 3a − 3b + 2c + n 2a − 3b − 3c (hệ vô nghiệm) r u r r Vậy không tồn hai số m, n : x = m y + nz ( ) ( ) Câu 14 Cho hình chóp S ABCD Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uur uuu r uur uuu r A Nếu ABCD hình bình hành SB + SD = SA + SC uur uuur uur uuur B Nếu SB + SD = SA + SC ABCD hình bình hành uur uuu r uur uuu r C Nếu ABCD hình thang SB + SD = SA + 2SC uur uuu r uur uuu r SB + SD = SA + SC D Nếu ABCD hình thang Hướng dẫn giải: Đáp án C sai ABCD hình thang có đáy AD BC ta có uuu r uur uuu r uur SD + 2SB = SC + 2SA · · · ( β ) mặt phẳng Câu 15 Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC = a , ASB = BSC = CSA = α Gọi qua A trung điểm SB, SC Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng A C (β) S= a2 cos α − cos α + S= a2 cos α − 16 cos α + B D S= a2 cos α − 16 cos α + S= a2 cos α − cos α + Hướng dẫn giải: Gọi B ', C ' trung điểm SB, SC Thiết diện tam giác AB ' C ' Trang 9/50 Theo tập S AB ' C ' = uuuu r uuuu r AB '2 AC '2 − AB ' AC ' ( ) uuuu r uuur uur uur uur AB ' = SB ' − SA = SB − SA Ta có ⇒ AB '2 = uuruur SB + SA2 − SASB a2 = ( − cos α ) Tính tương tự, ta có uuuu r uuuu r a2 AB ' AC ' = ( − 3cos α ) Vậy SAB'C ' = 2 a4 a4 5− 4cosα ) − ( − 3cosα ) ( 16 16 a2 = cos α − 16 cos α + Câu 16 Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm AB CD , G trung điểm IJ Xác định vị trí M để A Trung điểm CD uuur uuur uuuu r uuuu r MA + MB + MC + MD B Trung điểm AB nhỏ C Trùng với G D Trung điểm AC Hướng dẫn giải: Ta có uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r MA + MB + MC + MD = MG nên uuur uuur uuuu r uuuu r MA + MB + MC + MD uuu r r uuur nhỏ M ≡ G r Câu 17 Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có tâm O Đặt AB = a ; BC = b M điểm xác định uuuu r r r OM = a − b Khẳng định sau đúng? ( ) Trang 10/50 uuuu r uuur uuuu r uuu r r uuu AM = AB ⇒ BM − BA = − BA 3 Ta có uuuu r uuu r ⇒ BM = BA uuur uuur BN = BC Lại có MN P AC ( MNPQ ) ∩ ( ACD ) = PQ P AC Vậy Nếu M , N , P, Q đồng phẳng ⇒ uuur uuur PC QA = =1 DP = DC ⇒ k = PD QD 2 hay CÁCH uuur r uuur r uuur r Đặt DA = a, DB = b, DC = c khơng khó khăn ta có biểu diễn uuuu r r uuuu r r r uuur 2r 1r 1r 1r MN = − a + b MP = − a − b + kc MN = − a − b 3 , 3 , uuuu r uuur uuuu r Các điểm M , N , P, Q đồng phẳng vec tơ MN , MP, MQ đồng phẳng uuur uuuu r uuuu r ⇔ ∃x, y : MP = xMN + yMQ 2r 1r r r r r r ⇔ − a − b + kc = x − a + c ÷+ y − a − b ÷ 3 r urr Do vec tơ a, b,c không đồng phẳng nên điều tương đương với − x − y = − ⇔ x = , y = 1, k = − y = − 2 3 x = k r uuu r u r uuur r uuur x = AB ; y = AC ; z = AD Khẳng ABCD G BCD Câu 68 Cho tứ diện có trọng tâm tam giác Đặt định sau đúng? uuur r r r u AG = − ( x + y + z ) A uuur r u r r AG = ( x + y + z ) B uuur r r r u AG = − ( x + y + z ) C uuur r u r r AG = ( x + y + z ) D Hướng dẫn giải: Trang 36/50 uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AG = AB + BG; AG = AC + CG; AG = AD + DG Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r u r r ⇒ 3AG = AB + AC + AD + BG + CG + DG = AB + AC + AD = x + y + z uuur uuur uuur r Vì G trọng tâm tam giác BCD nên BG + CG + DG = Câu 69 Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tìm giá trị k thích hợp điền vào uuur uuur uuur uuur đẳng thức vectơ: DA + DB + DC = k DG A k = B k= C k= D k = Hướng dẫn giải: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur DA + DB + DC = 3DG ⇔ DG = DA + DB + DC 3 Vì G trọng tâm tam giác ABC nên uuur uuur uuur uuur Hay DA + DB + DC = 3DG uur r uur r uuu r r uuu r ur SA = a , SB = b , SC = c , SD =d S ABCD ABCD Câu 70 Cho hình chóp có đáy hình bình hành Đặt Khẳng định sau r r r ur a A + b = c + d r r ur r r a B + c + d + b = r ur r r a C + d = b + c r r ur r a D + c = d + b Hướng dẫn giải: Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta có: r r uur uuu r uuu r a + c = SA + SC = 2SO r uuu r r ur uur uuu b + d = SB + SD = 2SO r r ur r => a + c = d + b ( α ) qua trọng tâm Câu 71 Cho hình chóp S ABC có SA = a, SB = b, SC = c Một mặt phẳng tam giác ABC , cắt cạnh SA, SB, SC A ', B ', C ' Tìm giá trị nhỏ 1 + + 2 SA ' SB ' SC '2 2 A a + b + c 2 2 B a + b + c 2 2 C a + b + c 2 D a + b + c Hướng dẫn giải: uuur uur uur uuur G ABC Gọi trọng tâm tam giác Ta có SG = SA + SB + SC = SA uuur SB uuur SC uuur SA ' + SB ' + SC ' SA ' SB ' SC ' Trang 37/50 SA SB SC a b c + + =3⇔ + + =3 SA ' SB ' SC ' Mà G , A ', B ', C ' đồng phẳng nên SA ' SB ' SC ' Theo BĐT Cauchy schwarz: 1 b c a + + a + b2 + c2 ) ≥ + + ÷ 2 ÷( SA ' SB ' SC ' Ta có SA ' SB ' SC ' ⇔ 1 + + ≥ 2 2 SA ' SB ' SC ' a + b2 + c2 Đẳng thức xảy 1 a b c = = + + =3 aSA ' bSB ' cSC ' kết hợp với SA ' SB ' SC ' ta SA ' = a2 + b2 + c2 a + b2 + c2 a + b2 + c2 , SB ' = , SC ' = 3a 3b 3c 1 + + 2 2 2 Vậy GTNN SA ' SB ' SC ' a + b + c Câu 72 Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q trung điểm AB CD Chọn khẳng định đúng? uuur uuur uuur PQ = BC − AD A uuur uuur uuur B PQ = BC + AD uuur uuur uuur PQ = BC + AD C uuur uuur uuur PQ = BC + AD D ( ) ( ) ( ) Hướng dẫn giải:: uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur PQ = PB + BC + CQ PQ = PA + AD + DQ Ta có: nên uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2PQ = PA + PB + BC + AD + CQ + DQ = BC + AD ( ) uuur uuur uuur PQ = BC + AD Vậy ( ( ) ) Câu 73 Gọi M , N trung điểm cạnh AC BD tứ diện ABCD Gọi I trung điểm đoạn MN P điểm khơng gian Tìm giá tr ị c k thích hợp điền uu r uur uur uur r IA + (2 k − 1) IB + k IC + ID = vào đẳng thức vectơ: A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải:: Trang 38/50 uur uur uur uur r Ta chứng minh IA + IB + IC + ID = nên k = Câu 74 Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: uuuu r uuur uuur MN = k AC + BD ( k= B A k = ) k= C D k = Hướng dẫn giải: uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuur uuur uuur MN = MC + MD = MA + AC + MB + BD (quy tắc trung điểm) ( ) ( ) uuuu r uuur uuur uuur uuur r ⇒ MN = AC + BD Mà MA + MB = (vì M trung điểm AB ) ( ) Câu 75 Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: uuur uuur uuur uuuur r AC + BA′ + k DB + C ' D = ( ) A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải: Với k = ta có: uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuu r uuur uuuur uuur uuur r AC + BA ' + DB + C ' D = AC + BA ' + C 'B = AC + C 'A' = AC + CA = ( ) uuur r uuur r uuur r uuur ur ′ ′ ′ ABCA B C Câu 76 Cho hình lăng trụ tam giác Đặt AA′ = a, AB = b, AC = c, BC = d Trong biểu thức véctơ sau đây, biểu thức r r r ur a A + b + c = d r r r ur r a B + b + c + d = r r ur b C − c + d = r r r a D = b + c Hướng dẫn giải: r r ur uuur uuur uuur uuur uuur r Ta có: b − c + d = AB − AC + BC = CB + BC = Câu 77 Cho tứ diện ABCD , M điểm nằm tứ diện Các đường thẳng AM , BM , CM , DM cắt mặt ( BCD ) , ( CDA ) , ( DAB ) , ( ABC ) ( α ) qua A ', B ', C ', D ' Mặt phẳng M song song với ( BCD ) cắt A ' B ', A ' C ', A ' D ' điểm B1 , C1 , D1 Khẳng định BC D sau Chứng minh M trọng tâm tam giác 1 BC D A M tâm đường tròn nội tiếp tam giác 1 Trang 39/50 BC D B M trọng tâm tam giác 1 BC D C M trực tâm tam giác 1 BC D D M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 1 Hướng dẫn giải: Vì M nằm tứ diện ABCD nên uuur uuur uuuu r uuuu r r xMA + yMB + zMC + tMD = tồn x, y, z, t > cho Gọi (α) ( 1) ( BCD ) mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng ( α ) P( BCD ) ( BB ' A ') ∩ ( α ) = MB1 ⇒ MB1 P BA ' ( BB ' A ') ∩ ( BCD ) = BA ' Ta có MB1 MB ' uuuur MB ' uuur = ⇒ MB1 = BA ' BB ' Do BA ' BB ' Trong ( 2) ( 1) , chiếu vec tơ lên đường thẳng BB ' theo phương ( ACD ) ta được: uuuur uuur uuuur uuuur r uuuur uuur r xMB ' + yMB + zMB ' + tMB ' = ⇒ ( x + y + z ) MB ' + yMB = uuuur uuur MB ' y ⇒ ( x + y + z + t ) MB ' = yBB ' ⇒ = BB ' x + y + z + t ( 2) Từ suy uuuur MB1 = Tương tự ta có uuur y BA ' x+ y+ z+t uuuur MC1 = uuur z CA ' x+ y+ z+t ( 3) ( 4) Trang 40/50 uuuur MD1 = uuuu r z DA ' ( ) x+ y+ z +t Mặt khác chiếu vec tơ uuuur uuuur uuuur r y A' B + z A'C + t A' D = Vậy từ ( 3) , ( ) , ( ) ta có trọng tâm tam giác ( 1) lên mặt phẳng uuuur uuuur uuuur MB1 + MC1 + MD1 = B1C1D1 ( BCD ) theo phương AA ' tì thu uuur uuur uuuu r r yBA ' + zCA ' + t DA ' = x+ y + z +t , hay M ( ) uur r uur r r uuu r r uuu r Câu 78 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt SA = a ; SB = b ; SC = c ; SD = d Khẳng định sau đúng? r r r r r A a + d = b + c r r r r B a + b + c + d = r r r r C a + c = d + b r r r r D a + b = c + d Hướng dẫn giải: r b r a r c r d Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta phân tích sau: uur uuu r uuu r SA + SC = 2SO r uuu r uur uuu SB + SD = 2SO (do tính chất đường trung tuyến) uur uuu r uur uuu r r r r r ⇒ SA + SC = SB + SD ⇔ a + c = d + b r r r a Câu 79 Cho ba vectơ , b, c Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? r r r r r r r m + n + p ≠ ma + nb + pc = a A Với ba số thực m, n, p thỏa mãn ta có , b, c đồng phẳng r r r r r r a , b , c a B Nếu giá đồng qui , b, c đồng phẳng r r r r r r r a , b , c ma + nb + pc = ta suy m = n = p = C Nếu khơng đồng phẳng từ r r r r r r r 2 ma + nb + pc = m + n + p > a D Nếu có , , b, c đồng phẳng Hướng dẫn giải:: Trang 41/50 Câu D sai Ví dụ phản chứng cạnh hình chóp tam giác đ ồng qui t ại đ ỉnh nh ưng chúng không đồng phẳng ABCD A1 B1C1D1 Câu 80 Cho hình hộp Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: uuu r uuuur uuuur uuuu r AB + B1C1 + DD1 = k AC1 A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải: D C A B D1 C1 A1 B1 uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuu r uuuu r AB + B C + DD = AB + BC + CC = AC 1 1 Nên k = + Ta có: Câu 81 Cho hình chóp S ABC Lấy điểm A′, B′, C ′ thuộc tia SA, SB, SC cho SA = a.SA′, SB = b.SB′, SC = c.SC ′ , a, b, c số thay đổi Tìm mối liên hệ gi ữa a, b, c để mặt phẳng ( A′B′C ′ ) qua trọng tâm tam giác ABC A a + b + c = B a + b + c = C a + b + c = D a + b + c = Hướng dẫn giải: ( ABC ) ≡ ( A′B′C ′) Nếu a = b = c = SA = SA′, SB = SB′, SC = SC ′ nên Suy ( A′B′C ′ ) qua trọng tâm tam giác ABC => a + b + c = đáp án Câu 82 Cho hai điểm phân biệt A, B điểm O không thuộc đường thẳng AB Mệnh đề sau đúng? A Điểm M thuộc đường thẳng AB uuuu r uuu r uuu r uuu r OM = OB = k OB − OA ( ) uuuu r uuu r uuu r B Điểm M thuộc đường thẳng AB OM = OB = k BA Trang 42/50 C Điểm M thuộc đường thẳng AB uuuur uuu r uuur OM = kOA + ( − k ) OB uuuu r uuu r uuu r OM = OA + OB M AB D Điểm thuộc đường thẳng Hướng dẫn giải: uuu r uuu r uur uuuu r uur OA + OB = OI ⇒ OM = OI ⇒ O, M , I thẳng hàng I AB Đáp án A: Sai uuuur uuur ( trung ) uuu r điểum uu r Đáp án B: Sai OM = OB ⇒ M ≡ B OB = k BA ⇒ O, B, A thẳng hàng: vô lý uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r OM = kOA + ( − k ) OB ⇔ OM − OB = k OA − OB ⇔ u BM = k BA ⇒ B, A, M thẳng Đáp án C: ( hàng Đáp án D: Sai ) uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r OB − OA = AB ⇒ OB = k OB − OA = k AB ⇒ O, B, A ( ) thẳng hàng: vơ lý Câu 83 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Xác định vị trí điểm M , N AC DC ' MN cho MN P BD ' Tính tỉ số BD ' bằng? A B C D Hướng dẫn giải: uuu r r uuur r uuur r BA = a, BC = b, BB ' = c uuuur uuur uuur uuuur Giả sử AM = x AC , DN = yDC ' uuuu r r r BM = ( − x ) a + xb Dễ dàng có biểu diễn uuuu r r r r MN = ( x − y ) a + ( − x ) b + yc ( 1) uuuu r uuuu r ( r r r MN = zBD ' = z a + b + c Để MN P BD ' ( 1) Từ ( 2) r ta có: r ) uuur r r r BN = ( − y ) a + b + yc Từ suy ( 2) r ( x − y ) a + ( − x ) b + yc r r r =z a + b + c ( ) Trang 43/50 r r r r ⇔ ( x − y − z ) a + ( − x − z ) b + ( y − z ) c =0 x = x − y − z = ⇔ 1 − x − z = ⇔ y = y − z = z = uuuu r uuur uuur uuuur AM = AC , DN = DC ' 3 Vậy điểm M , N xác định uuuu r uuuu r uuuu r MN MN = zBD ' = BD ' ⇒ = BD ' Ta có uuu r r r uuu r uuur r Câu 84 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ , M trung điểm BB′ Đặt CA = a , CB = b , AA′ = c Khẳng định sau đúng? uuuu r r r 1r AM = a + c − b A uuuu r r r 1r AM = b + c − a C uuuu r r r 1r AM = b − a + c B uuuu r r r 1r AM = a − c + b D Hướng dẫn giải: Ta phân tích sau: uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuur AM = AB + BM = CB − CA + BB′ r r uuur r r r = b − a + AA′ = b − a + c 2 Câu 85 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AB, CD G trung điểm MN Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuu r uuur uuur uuur r GA + GB + GC + GD = A uuuu r uuur r GM + GN = B uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r C MA + MB + MC + MD = 4MG uuu r uuur uuur uuur D GA + GB + GC = GD Hướng dẫn giải: Trang 44/50 M , N , G trung điểm AB, CD, MN theo quy tắc trung điểm : uuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur r GA + GB = 2GM ; GC + GD = 2GN ; GM + GN = uuu r uuur uuur uuur r uuu r uuu r uuur uuur GA + GB + GC + GD = GA + GB + GC = − GD Suy ra: hay · · · Câu 86 Hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a B ' A ' D ' = 60 , B ' A ' A = D ' A ' A = 120 Tính góc cặp đường thẳng AB với A ' D ; AC ' với B' D A (·AB, A ' D ) = 600 ; (·AC ', B ' D ) = 900 B (·AB, A ' D ) = 500 ; (·AC ', B ' D ) = 900 C (·AB, A ' D ) = 400 ; (·AC ', B ' D ) = 900 D (·AB, A ' D ) = 300 ; (·AC ', B ' D ) = 900 Hướng dẫn giải: uuur r uuuuu r r uuuuur r AA ' = a , A ' B ' = b, A ' D ' = c Đặt uuuur r r Ta có A ' D = a + c nên uuur uuuur cos ·AB, A ' D = cos AB, A ' D ( ) ( r uuur uuuur a AB A ' D = uuur uuuur = r AB A ' D a ( r r a+c r r a+c ) ) r r r a2 r r a a+ c = a+c = a Để ý , ( ( ) ) cos ·AB, A ' D = ⇒ (·AB, A ' D ) = 600 Từ uuuu r r r uuuur r r r AC ' = b + c − a, B ' D = a − b + c , từ tính Ta có uuuuruuuur r r r r r r AC 'B ' D = b + c − a a − b + c = ⇒ (·AC ', B ' D ) = 90 ( )( ) Trang 45/50 Câu 87 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Một đường thẳng ∆ cắt đường thẳng AA ', BC , C ' D ' lần uuuur MA uuur lượt M , N , P cho NM = NP Tính MA ' MA =1 A MA ' MA = B MA ' MA =2 C MA ' MA = D MA ' Hướng dẫn giải: uuur r uuur r uuur r Đặt AD = a, AB = b, AA ' = c uuuur uuur r Vì M ∈ AA ' nên AM = k AA ' = kc uuur uuur r uuuur r N ∈ BC ⇒ BN = l BC = la , P ∈ C ' D ' ⇒ C ' P = mb uuuur uuur uuur uuuur r r r Ta có NM = NB + BA + AM = −la − b + kc uuur uuur uuur uuuuu r uuuur r r r NP = BN + BB ' + B ' C ' + C ' P = (1 − l )a + mb + c Do uuuur uuur r r r r r r NM = NP ⇒ −la − b + kc = 2[ ( − l ) a + mb + c ] −l = ( − l ) ⇔ −1 = 2m ⇔ k = 2, m = − , l = 2 k = MA =2 Vậy MA ' Câu 88 Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G Mệnh đề sau sai? uuur uuu r uuur uuur AG = AB + AC + AD A uuur uuu r uuur uuur uuur OG = OA + OB + OC + OD B uuur uuur uuur uuur AG = AB + AC + AD C uuu r ur uuur uuur r D GA + GB + GC + GD = ( ( ) ) ( ) Trang 46/50 Hướng dẫn giải: Ta có G trọng tâm tứ diện ABCD uuu r ur uuur uuur r uuu r uuu r uuur uuur r uuur uuu r uuur uuur ⇔ GA + GB + GC + GD = ⇔ 4GA + AB + AC + AD = ⇔ AG = AB + AC + AD ( ) Câu 89 Giả sử M , N , P ba điểm nằm ba cạnh SA, SB, SC cỏa tứ diện SABC Gọi I giao điểm ba mặt phẳng ( BCM ) , ( CAN ) , ( ABP ) J giao điểm ba mặt phẳng ( ANP ) , ( BPM ) , ( CMN ) Ta S , I , J thẳng hàng tính đẳng thức sau đúng? MS NS PS JS + + + = A MA NB PC JI MS NS PS JS + + +1 = JI B MA NB PC MS NS PS JS + + + = C MA NB PC JI MS NS PS JS + + + = D MA NB PC JI Hướng dẫn giải: Goi E = BP ∩ CN , F = CM ∩ AP, T = AN ∩ BM Trong ( BCM ) ( ANP ) có NF ∩ PT = J có I = BF ∩ CT uur r uur r uuu r r uuur uuur uuu r uuur uur uuur SA = a , SB = b , SC = c SM = xMA , SN = yNB , Sp = z PC Đặt uuur r x r uuu y r uur z r SM = a, SN = b, SP = c x +1 y +1 z + ( x > 0, y > 0, z > ) Ta có Trang 47/50 T = AN ∩ BM Do uuu r uuur uur ST = α SM + ( − α ) SB T ∈ AN ⇒ uuu r uuu r uur T ∈ BM ST = β SN + ( − β ) SA nên uuur uur uuu r uur ⇒ α SM + ( − α ) SB = β SN + ( − β ) SA ⇔ r βy r r αx r a + ( 1− α ) b = b + ( 1− β ) a x +1 y +1 Vì r r a, b khơng phương nên ta có x αx α = = − β x + r r r x + y + uuu x y ⇔ ⇒ ST = a+ b βy y x + y +1 x + y +1 β = = 1− α y + x + y +1 Hoàn toàn tương tự ta có: uur SE = r r uuu r r r y z z x b+ c, SF = c+ a y + z +1 y + z +1 z + x +1 z + x +1 Làm tương tự hai giao điểm I = BF ∩ CT NF ∩ PT = J ta được: uur SI = r r r uur r r r 1 xa + yb + zc , SJ = xa + yb + zc x + y + z +1 x+ y+ z+2 ( ) ( ) uur x + y + z + uur uur uu r SJ = SI ⇒ SJ = ( x + y + z + 1) IJ x+ y+z+2 Suy SI SM SN SP = x + y + z +1 = + + +1 MA NB PC Vậy S , I , J thẳng hàng IJ Câu 90 Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai? uuu r uuur uuur uuur uuur uuur AB , AC , AD đồng phẳng A Từ hệ thức AB = AC − AD ta suy ba vectơ uur uuu r uuu r OI = OA + OB B Vì I trung điểm đoạn AB nên từ O ta có: ( ) uuur uuur uuur uuur r C Vì AB + BC + CD + DA = nên bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng uuuur uuur r D Vì NM + NP = nên N trung điểm đoạn NP Hướng dẫn giải:: uuur uuur uuur uuur r Do AB + BC + CD + DA = với điểm A, B, C , D nên câu B sai Trang 48/50 Câu 91 Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I tâm hình bình hành ABEF K tâm hình bình hành BCGF Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? uuur uuur uuur A BD, EK , GF đồng phẳng uuur uur uuur B BD, IK , GC đồng phẳng uuur uuur uuur C BD, AK , GF đồng phẳng uuur uur uuur D BD, IK , GF đồng phẳng Hướng dẫn giải: D C A B K I H E G F IK //( ABCD) GF //( ABCD ) uur uuur uuur BD ⊂ (ABCD) ⇒ IK , GF , BD đồng phẳng + + Các véctơ câu A, C , D khơng thể có giá song song với mặt phẳng Câu 92 Hãy chọn mệnh đề mệnh đề sau đây: uuu r uuur uuur A Tứ giác ABCD hình bình hành AB + AC = AD uuu r uuur uuur uuur ur B Tứ giác ABCD hình bình hành AB + BC + CD + DA = O uuu r uuur AB = CD ABCD C Tứ giác hình bình hành uur uuu r uur uuu r SB + SD = SA + SC S ABCD D Cho hình chóp Nếu có tứ giác ABCD hình bình hành Hướng dẫn giải: Trang 49/50 uur uuu r uur uuu r uur uuur uur uuur uur uur uuur SB + SD = SA + SC ⇔ SA + AB + SA + AD = SA + SA + AC uuur uuur uuur ⇔ AB + AD = AC ⇔ ABCD hình bình hành - HẾT - Trang 50/50 ... B1B + BM = BB1 + BA + BD = BB1 + B1 A1 + B1D1 2 Đáp án A: Sai uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur = BB1 + B1 A1 + B1 A1 + B1C1 = BB1 + B1 A1 + B1C1 2 ( ( ) ( ) ) Trang 20/50 B A M C D A1... 1 1 1 ≠ BC nên D sai Ta có: Trang 7/50 uuur uuur uuuur uuuur BC + BA = B1C1 + B1 A1 A Do nên uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur AD + D1C1 + D1 A1 = AD + D1 B1 = A1 D1 + D1 B1... AC1 + CA1 + 2C1C = D uuuu r uuur uuur AC1 + A1C = AC Hướng dẫn giải: D C A B O D1 A1 C1 B1 ABCD A1 B1C1 D1 + Gọi O tâm hình hộp + Vận dụng cơng thức trung điểm để kiểm tra Câu 41 Trong không