Từ phương pháp qui nạp đến phương pháp sai phân

TỪ PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP ĐẾN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN @ Phương pháp sai phân - Khái niệm : Khi tính tổng S n = u 1 + u 2 + .+ u n nếu ta phân tích được số hạng tổng quát của tổng là u k = f(k+1) - f(k) (*) với f(x) là một hàm nào đó thì tổng: S n = f(2) - f(1) + f(3) -f(2)+ .+ f(n+1) - f(n) = f(n+1) - f(1) . f(k+1) - f(k) là biểu thức sai phân của hàm số f(x) Phương pháp tính tổng như vậy gọi là phương pháp sai phân . ° Chú ý :(*) có thể là u k = f(k) - f(k+1) .Điểm then chốt của phương pháp là xác lập được biểu thức sai phân Một cách tương tự như bài toán tính tổng; trong cminh bđt mà một vế là tổng S n thay vì phân tích số hạng tổng quát u k thành một bthức sai phân ,ta đánh giá u k theo một bthứ sai phân @ Từ pp qui nạp đến pp sai phân: Bài toán : Chứng minh với mọi n ≥ 1, n∈N ta có : S n = 1+ n2 n 1 . 3 1 2 1 <+++ Lời giải 1: . Giả sử S k < 2 k . Ta có S k+1 = S k + 1k 1 + < 2 k .+ 1k 1 + ,cần tiếp tục cminh 2 k .+ 1k 1 + < 2 1k + hay 1k 1 + < 2 1k + - 2 k (*) (dễ cmịnh (*) ) suy ra S k+1 < 2 1k + . Vậy bđt đúng với mọi n ∈ N , n ≥ 1. Trong quá trình cminh bđt bằng pp qui nạp ta xác lập được bđt (*), từ đây ta đề xuất cminh bđt trên bằng pp"sai phân " Lời giải 2 : Dễ chứng minh 1k 1 + < 2 1k + - 2 k (*) với k∈N . Với k lần lượt nhận các giá trị 0, 1 , 2 , ., n-1 ; từ (*) ta có : 1 < 2 2 1 < 2 2 - 2 2232 3 1 −< . 1n2n2 n 1 −−< Cộng n bđt trên vế theo vế ta có : S n < 2 n (đpcm) ( (*) là bđt mà số hạng tổng quát ở vế trái nhỏ hơn một biểu thức sai phân ) ° . TỪ PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP ĐẾN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN @ Phương pháp sai phân - Khái niệm : Khi tính tổng S n = u 1 + u 2 + .+ u n nếu ta phân tích. số hạng tổng quát u k thành một bthức sai phân ,ta đánh giá u k theo một bthứ sai phân @ Từ pp qui nạp đến pp sai phân: Bài toán : Chứng minh với mọi n