Bài giảng Kinh tế lượng - Chương 4: Mô hình hồi quy bội

Bài giảng Kinh tế lượng - Chương 4: Mô hình hồi quy bội cung cấp cho người đọc các kiến thức: Mô hình hồi quy tuyến tính 3 biến, mô hình hồi quy k biến, dự báo,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

3 3 2

2 1

3

2 , ) /

E

ta gi  nguyên y u t  Xữ ế ố 3 thì giá tr  trung bình ị

c a bi n ph  thu c Y s  thay đ i (tăng ho c ủ ế ụ ộ ẽ ổ ặ

gi m tùy thu c vào d u c a ả ộ ấ ủ β2) β2 đ n v  cho ơ ị

 m i đ n v  tăng c a y u t  Xỗ ơ ị ủ ế ố 2

2 2

X

E

X E

4.1.2 Các gi  thi t c a mô hình:ả ế ủ

­ Giá tr  trung bình c a Uị ủ i b ng 0 hay:ằ

­ Ui có phân ph i chu n: ố ẩ

) ( i

) ( i

j i

) ,

0 (

~ N 2

U i

4.1.3 Ướ ược l ng các tham s :ố

S  d ng phử ụ ương pháp bình phương nh  nh t ỏ ấ(Ordinary Least Squares ­ OLS) đ  ể ước 

lượng các tham s  c a mô hình:ố ủ

E(Y/X2i, X3i) = β1 + β2X2i + β3X3i

Gi  s  có n quan sát, quan sát th  i có 3 giá ả ử ứ

tr   ng v i Y, Xị ứ ớ 2 và X3, ký hi u là: (Yệ i, X2i, 

X3i). 

Y ˆ1 ˆ2 2 ˆ3 3

i i

i i

i

ˆ ˆ

( )

ˆ

2 2

2

i i

i i

i

e

min )

ˆ ˆ

ˆ

(

2 1

2 3

, 2 ,

ˆ( 1 2 3

f

3 2

1, ˆ , ˆ ˆ

) 3 ( 0

) )(

ˆ ˆ

ˆ (

2 ˆ

)

ˆ ,

) )(

ˆ ˆ

ˆ (

2

ˆ )

ˆ ,

) 1 )(

ˆ ˆ

ˆ (

2 ˆ

) ˆ , ˆ

3 2

2 1

3

3 2

1

1

2 3

3 2

2

1 2

3 2

1

1

3 3 2

2 1

1

3 2

1

n i

i i

i i

n i

i i

i i

n i

i i

i

X X

X Y

f

X X

X Y

f

X X

Y f

i i

n i

i

n i

i

n i

i

i i

i

i i

i

n

i

X X

Y

n

X n

X n

Y

X X

n Y

X X

Y

3 3

2 2

1

1

3 3

1

2 2

1 1

3 3

2 2

1

3 3

2 2

1 1

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

0 ˆ

ˆ ˆ

0 )

ˆ ˆ

ˆ (

)

1

(

2 3

2

2 3

2 2

3 2

3

2 3

2 2

) (

ˆ

i i

i i

i i

i i

i i

i

x x

x x

x x

x y x

x y

2 3

2

2 3

2 2

3 2

2

2 2

3 3

) (

ˆ

i i

i i

i i

i i

i i

i

x x

x x

x x

x y x

x y

i

i X X

ˆ

Y Y

yi i

X X

xi i

Thay k t qu  vào các ph ế ả ươ ng trình còn l i và gi i, ta  ạ ả

đ ượ c:

Thí  du  1:  B ng  dả ưới  đây  cho  các  s   li u  v  ố ệ ềdoanh s  bán (Y), chi phí chào hàng (X2) và chi ốphí qu ng cáo (X3) trong năm 2001    khu v c ả ở ựbán hang c a m t công ty. Hãy ủ ộ ướ ược l ng hàm 

h i  qui  tuy n  tính  c a  doanh  s   bán  hàng  theo ồ ế ủ ốchi phí chào hàng và chi phí qu ng cáoả .

180 248 190 240 150 260 250 160 170 230 220 150

K t qu  trên cho th y: ế ả ấ

•Khi chi phí chào hàng và chi phí qu ng cáo đ u b ng 0  ả ề ằ thì doanh s  bán trung bình c a m t khu v c bán hàng là  ố ủ ộ ự 328,1383 tri u đ ng/ năm ệ ồ

•N u gi  chi phí qu ng cáo không đ i, khi chi phí chào  ế ữ ả ổ hàng  tăng  lên 1  tri u  đ ng/ năm s  làm cho doanh thu  ệ ồ ẽ trung  bình  c a  m t  khu  v c  bán  hàng  tăng  lên  4,6495  ủ ộ ự tri u đ ng/ năm ệ ồ

•  N u  gi   chi  phí  chào  hàng  không  đ i,  khi  chi  phí  ế ữ ổ

qu ng cáo tăng lên 1 tri u đ ng/ năm s  làm cho doanh  ả ệ ồ ẽ thu trung bình c a m t khu v c bán hàng tăng lên 2,56  ủ ộ ự tri u đ ng/ năm ệ ồ

4.1.2. Phương sai c a các ủ ướ ược l ng

Do     là phương sai c a uủ i ch a bi t nên trong th c ư ế ự

t  ngế ười ta dùng ướ ược l ng không ch ch c a nó:ệ ủ

2 2

3 2

2 3

2 2

3 2 3

2

2 2

2 3

2 3

2 2

) (

2 1

( ) ˆ

(

i i i

i

i i i

i

x x x

x

x x X

X x

X x

X n

Var

2 2

3 2

2 3

2 2

2 3 2

) (

)

ˆ

(

i i

i i

i

x x

x x

x Var

2 2

3 2

2 3

2 2

2 2 3

) (

)

ˆ

(

i i i

i

i

x x x

x

x Var

3

) 1

( 3

ˆ

2 2

2 2

n

y

R n

2

)

ˆ ( )

ˆ

(

)

ˆ ( )

ˆ

(

)

ˆ ( )

ˆ

(

3 3

2 2

1 1

Var se

Var se

Var se

n i

n i

n

i i

i i i

y ESS

n

3 2

2 1

12500 ˆ

�

y

e TSS

RSS TSS

ESS R

1

2 1

2

2

3 3

2 2

i

i i i

i

y

x y x

y R

n

k

n R

y

e

i i

2

R

k n

n R

R 2 1 (1 2 ) 1

M i quan h  gi a Rố ệ ữ 2 và 

Người ta dùng      đ  xem xét vi c đ a thêm 1 ể ệ ư

bi n vào mô hình. Bi n m i đ a vào mô hình ph i ế ế ớ ư ả

2 571662,67

0,9677 590478

Ở ình h i qui 2 bi n (bi n ph  thu c Y vồ ế ế ụ ộ à

 bi n đ c l p Xế ộ ậ 2) ta tính được:

3 3

ˆ 2,560152

6,748

ˆ 0,37941( )

t

se

β β

Vì t > t0,025=2,262 nên ta bác b  gi  thi t H ỏ ả ế 0. V y  ậ

vi c  thêm  bi n chi ph ệ ế í  qu ng c ả á o  (X3) vào mô hình 

là c n  ầ

thi t ế

4.1.4. Kho ng tin c y c a các tham sả ậ ủ ố

Kho ng tin c y c a tham s  ả ậ ủ ố i v i m c ý nghĩa ớ ứ  hay đ  tin c y 1­ ộ ậ

)

ˆ ( i n

Ví d : V i s  li u   thí d  1, tìm kho ng tin c y c a ụ ớ ố ệ ở ụ ả ậ ủ

và      v i h  s  tin c y mà 95%.    ớ ệ ố ậ

Gi i: V i h  s  tin c y ả ớ ệ ố ậ

025 ,

0 2

/

% 5

% 95

1

Tra b ng phân ph i Student ta đ ả ố ượ c 

262 ,

2 9

2

t

S  d ng các k t qu  tính toán   ph n trên ta có: ử ụ ế ả ở ầ

Kho ng tin c y c a  ả ậ ủ 2

) 711 ,

5 588

, 3 ( : 469148

, 0 262

, 2 64951

,

K t qu  trên cho bi t, n u gi  chi phí qu ng cáo  ế ả ế ế ữ ả

không đ i, khi chi phí chào hàng tăng lên 1 tri u  ổ ệ

đ/năm thì doanh s  bán trung bình   m t khu v c bán  ố ở ộ ự hàng tăng trong kho ng t  3,588 đ n 5,711 tri u  ả ừ ế ệ

đ/năm.

Kho ng tin c y c a  ả ậ ủ 3

T c là n u gi  chi phí chào hàng không đ i, khi chi ứ ế ữ ổ  phí qu ng cáo tăng lên 1 tri u đ/năm thì doanh s ả ệ ố

 bán trung bình   m t khu v c bán hàng tăng trong  ở ộ ự kho ng t  1,702 đ n 3,418 tri u đ/năm ả ừ ế ệ

) 418 ,

3 702

, 1 ( : 379407

, 0 262

, 2 560152

,

4.1.5. Ki m đ nh gi  thuy tể ị ả ế

* Ki m đ nh gi  thuy t Hể ị ả ế 0: 

)

ˆ (

i

i

i i

SE t

2 ) 1

(

) 3

F

Thí d : V i s  li u cho   thí d  1 , ta ki m đ nh các  ụ ớ ố ệ ở ụ ể ị

gi  thi t: H ả ế 0:  2  = 0 và H1:  2   0 v i m c ý nghĩa  ớ ứ

%

5

Gi i: Ta có:  ả 9,911

469148 ,

0

64951 ,

4 )

( )

(

0

^ 2

^ 2

^ 2

^ 2

se se

t

V i m c ý nghĩa  ớ ứ 5 % , tra b ng ta đ ả ượ c: 

262 ,

2 )

9

(

025 , 0

t

Vì t t /2( 9     nên ta bác b  gi  thi t H ) ỏ ả ế 0:  2 = 0,  

t c  chi  phí  chào  hàng  th c  s   có  nh  h ứ ự ự ả ưở ng 

đ n doanh thu s  bán   m t khu v c bán hàng ế ố ở ộ ự

X X

Y

i ki

k i

2 2

1

ki k

i i

i i

i

3 3 2

2 1

ˆ ˆ

i i

ˆ ˆ

ˆ 2

ˆ

0 ˆ

ˆ ˆ

ˆ 2

ˆ

0 ˆ

ˆ ˆ

ˆ 2

ˆ

1

3 3 2

2 1

ki k

i i

i k

X X

Y e

X X

X X

Y e

X X

X Y

e

Gi  s  ta có n quan sát, m i quan sát g m có k ả ử ỗ ồ giá tr  (Yị i, X2i, …, Xki),

 

35

,

1 n

i

n 3

3 2

2 1

2 2

32 3

22 2

1 2

1 1

31 3

21 2

1 1

U

U

Y U

kn k

n n

n

k k

k k

X X

X Y

X X

X

X X

X Y

Ký hi u:ệ

36

n

2 1

Y

Y Y Y n 2 1

n 2 1

U U U U kn n n k k X X X X X X X X X X

1

1

1 3 2

2 32

22

1 31

21

Y = X.β + U

Hàm h i qui m u SRF có d ng:ồ ẫ ạ

37

ki k

i

Y ˆ ˆ1 ˆ 2 2 ˆ

i ki

(i n

e X

k

ˆ

2

1

X Y

e

e

e e

n

Ta ký hi u Xệ T, YT,     , eT tươ g  ng là các ma n ứ

tr n chuy n v  c a X, Y,     , eậ ể ị ủ

38

ˆT

ˆ

kn k

k

n T

X X

X

X X

X

X

1

1 1 2 1 2 22 21 ) , ,

, ( ) ˆ , ,

ˆ , ˆ ( ) ,

, (

2 1

2 1

2 1

ˆ

n T

k T

n T

e e

e

Y Y

Y

e

Y

V i:ớ

39

ˆ ˆ

ˆ 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ

)

ˆ (

)

ˆ (

)

ˆ (

)

ˆ (

.

.

.

.

.

.

.

.

2

X X

Y X Y

Y

X X

X Y

Y X Y

Y

X Y

X Y

X Y

X Y

e e e

T T

T T

T

T T

T T

T T

T T

Y X

X Y

X

k k

Y X

X X

e

T

).

(

0 ˆ

)

Y X

X

X X

X X

X X

X X

X X

X X

X X

n X

X

ki i

ki i

ki ki

ki i

i i

i i

i i

T

2 3

2

2 3

2

2 2 2

3 2

.

.

XTX là ma tr n ậ đối x ng.ứ

41

X Y

X Y

Y Y

X

i k

i

i i

i

k

T

, 1

1

.

1

Ma tr n hi p phậ ệ ươ g sai:n

Do  σ2 là phương sai c a uủ i ch a bi t nên ư ế

trong th c t  ngự ế ười ta dùng ướ ược l ng không 

ch ch c a nó:ệ ủ

42

)

ˆ var(

)

ˆ ,

ˆ cov(

)

ˆ ,

ˆ cov(

.

ˆ ,

ˆ cov(

)

ˆ var(

)

ˆ ,

ˆ cov(

ˆ ,

ˆ cov(

)

ˆ ,

ˆ cov(

)

ˆ var(

)

ˆ

cov(

2 1

2 2

1 2

1 2

1 1

k k

k

k k

)

2)

ˆ

k n

RSS

Gi i:ả

44

813 1029 282 308 388 2781 52 60 165

3 2

3 2

2 3

2 2

2 3 2

i i

i i

i i i i i i i i

X Y

X Y

X X

X X Y

X X

Y

280 300

3256

300 376

3816

3256 3816

39980 1528

1

308 282

52

282 388

60

52 60

10 )

900

1528 /

1164

1528 /

22908 813

1029

165 280

300 3256

300 376

3816

3256 3816

39980 1528

1

ˆ

58901 ,

0

76178 ,

0

99215 ,

14

ˆ

i i

Yˆ 14 , 99215 0 , 76178 2 0 , 58901 3

280 300

3256

300 376

3816

3256 3816

39980 1528

327 ,

0 )

ˆ cov(

05992 ,

0 0642

, 0 6968

, 0

0642 ,

0 080466

, 0 81664

, 0

6968 ,

0 81664

, 0 55593

,

8 )

ˆ cov(

cjj là ph n t  n m trên dòng j và c t j c a ma ầ ử ằ ộ ủ

tr n (Xậ TX)­1

46

) , , 2

c jj j

05992 ,

0 )

ˆ var(

080466 ,

0 )

ˆ var(

55593 ,

8 )

ˆ var(

3 2 1

4.2.2. Kho ng tin c y c a các tham s , ki m ả ậ ủ ố ể

đ nh các gi  thuy t h i quyị ả ế ồ

* Kho ng tin c y các tham sả ậ ố

* Ki m đ nh gi  thuy tể ị ả ế

 Ki m đ nh gi  thuy t Hể ị ả ế 0: 

)

ˆ (

ˆ *

i

i

i i

SE t

Tìm kho ng tin c y c a ả ậ ủ   trong mô hình h i qui nêu  ồ trong thí d  2   trên v i h  s  tin c y là 95%? ụ ở ớ ệ ố ậ

Gi i: T  k t qu  tính   thí d  2 ta có: ả ừ ế ả ở ụ

28344 ,

0

; 080466 ,

0 1528

376

327 ,

0

1 091

, 0 ( : 28344

, 0 365 ,

2 76178

, 1 (

 :

H0 j 0j j k

) , , 2 , 1

( ) (

^ 0

^

k

j B

se

B

B t

j j

2 2

i

ki i

k i

i i

i

y

x y x

y x

y R

k n

n R

) 2

( :

0 j k

j

k n

RSS k

ESS

)]

, 1 (

[ F F k n k

P

) 1 )(

1 (

k n

R F

0

0 2

0

1

X X

X

2 1

0

2

) /

(

* D  báo ự đi m c a E(Y/Xể ủ 0) là

0 0

2 2

1

X X

Y ˆ0 0T ˆ ˆT 0

X X

X X

X X

) (Y ˆ0 Y ˆ0

se

V i ớ độ tin c y 1­ậ α, d  báo kho ng c a ự ả ủ

) (

) var(

)

var(

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

0 0

0 0

2 0

0 0

Y Y

Y Y

Y Y

Y

se