chuyên toan tin Hai Duong 2004-2005

kỳ thi tuyển sinh trờng tHPT chuyên Số BD năm học 2004-2005 ************* GT số 1 đề chính thức GT số 2 môn thi toán (Dành cho thí sinh dự thi chuyên Toán - Tin) Thời gian làm bài 150 phút ============ Bài 1 (2, 0 điểm) Cho biểu thức A = 3 2 11 2233 + + yx yx x y y x ; x 1 và y 1. Rút gọn biểu thức A khi x + y = 1. Bài 2 (2, 0 điểm) Tìm các số nguyên x và số nguyên tố p thỏa mãn phơng trình : 2x 2 + 3x - 35 = p 2 Bài 3 (3, 0 điểm) Cho hai đờng tròn tâm O 1 và tâm O 2 cắt nhau tại A và B. Đờng thẳng O 1 A cắt đờng tròn tâm O 2 tại D, đờng thẳng O 2 A cắt đờng tròn tâm O 1 tại C. Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD cắt đờng tròn tâm O 1 tại M và cắt đờng tròn tâm O 2 tại N. Chứng minh: 1) Năm điểm B, C, D, O 1 , O 2 nằm trên một đờng tròn, 2) BC + BD = MN Bài 4 (1,5 điểm) Cho x = 21217 + ; y = 21217 Tính giá trị của x 5 + y 5 . Bài 5 (1, 5 điểm) Cho a, b là các số thực dơng và a 2 + b 3 a 3 + b 4 . Chứng minh: a 3 + b 3 2 ________________ kỳ thi tuyển sinh trờng trung học phổ thông chuyên năm học 2004-2005 ********** đề chính thức Đáp án và và biểu điểm môn toán (Dành cho thí sính dự thi chuyên Toán) ============ Bài 1 A= 3 2 )1)(1( 1 )1)(1( 1 2222 + + ++ ++ yx yx xxx x yyy y = 0, 25 = 1 1 1 1 22 ++ ++ yyxx + 3 2 22 + yx yx 0, 25 = )1)(1( 22 22 ++++ + yyxx xxyy + 3 2 22 + yx yx 0, 25 = )1)(1( )1)(( 22 ++++ ++ yyxx xyxy + 3 2 22 + yx yx 0, 25 = + ++++ 3 1 )1)(1( 1 )(2 2222 yxyyxx xy 0, 25 = 0, 25 Tử số: x 2 y 2 + 3 - (x 2 y 2 +xy + xy + x 2 + y 2 + x + y + 1) = 0 0, 25 Vậy A = 0 0, 25 Bài 2 2x 2 + 3x - 35 = (2x - 7)(x + 5) = p 2 ta có các hệ sau: 0, 50 =+ = px px 5 72 ; =+ = px px 5 72 ; =+ = 2 5 172 px x ; =+ = 15 72 2 x px ; =+ = 15 72 2 x px ; =+ = 2 5 172 px x Đa đủ về 6 hệ 0, 50 Giải đủ 6 hệ trên tìm đợc p = 17, x = 12 và p = 3 ; x = 4 1, 00 Bài 3 1) CAO 1 = DAO 2 (đ đỉnh) , CAO 1 , DAO 2 là hai tam giác cân CO 1 A = DO 2 A 0, 50 tứ giác CDO 2 O 1 là tứ giác nội tiếp 0, 25 O 1 BO 2 + O 1 CO 2 = O 1 AO 2 + O 1 AC = 180 0 0, 50 tứ giác O 1 CO 2 B nội tiếp 5 điểm O 1 ; C; D; O 2 ; B nằm trên một đờng tròn 0,25 2) MAC =ACD (sole) ; DCO 2 = BCO 2 (tứ giác nội tiếp, O 2 B = O 2 D) 0, 50 MAC = BCO 2 MC = AB MCAB hình thang MA = BC0, 50 tơng tự BD = AN MN = BC + BD 0, 50 Bài 4 x = 21217 + = 3 + 2 2 0, 25 y = 21217 = 3 - 2 2 x + y = 6 , xy = 1 0, 50 x 2 + y 2 = (x + y) 2 - 2xy = 34 0, 25 x 3 + y 3 = (x + y)[(x + y) 2 3xy] = 6(36 - 3) = 198 0, 25 x 5 + y 5 = (x 3 + y 3 )(x 2 + y 2 ) - x 2 y 2 (x + y) = 198.34 - 6 = 6726 0, 25 Bµi 5 Tríc hÕt chøng minh a + b 2 ≥ a 2 + b 3 Gi¶ sö a + b 2 < a 2 + b 3 ⇒ 2(a 2 + b 3 ) > a + b 2 + a 3 + b 4 = a+a 3 +b 2 +b 4 ≥ ≥ 2 423 2 bbaa + = 2(a 2 + b 3 ) v« lý 0, 50 a + b 2 ≥ a 2 + b 3 ≥ a 3 + b 4 ⇒ 2(a + b 2 ) ≥ a 2 + b 3 + a 3 + b 4 0, 50 (1+a 2 ) + (1+b 4 ) ≥ 2(a + b 2 ) ≥ a 2 + b 3 + a 3 + b 4 ⇒ a 3 + b 3 ≤ 2 0, 50 . trờng tHPT chuyên Số BD năm học 2004-2005 ************* GT số 1 đề chính thức GT số 2 môn thi toán (Dành cho thí sinh dự thi chuyên Toán - Tin) Thời gian. trờng trung học phổ thông chuyên năm học 2004-2005 ********** đề chính thức Đáp án và và biểu điểm môn toán (Dành cho thí sính dự thi chuyên Toán) ============