Các đường phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại E và lần lượt cắt đường tròn tại D và F.. Lấy điểm I cố định trên tia phân giác Ot của góc xOy làm tâm vẽ đường tròn sao cho nó
Trang 1Bài tập Nâng cao Chương 1
Bài 1: a) Tìm x và y trong mỗi hình bên
(a) (b)
b) Tìm x, y, z trong hình c
(c)
Bài 2: a) Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ hình và thiết lập các hệ thức tính các
tỉ số lượng giác của góc B từ đó suy ra các hệ thức tính các tỉ số lượng giác của góc C
b) Không dùng bảng và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau đây theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: sin240 ; cos350 ; sin540 ; cos700 ; sin780
c) Không dùng bảng số và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
cotg250 ; tg320 ; cotg180 ; tg440 ; cotg620
Bài 3: a) Dựng góc nhọn α, biết rằng tg 4
5
α = b) Dựng góc nhọn α , biết rằng cot g 1
2
α = c) Dựng góc nhọn α, biết sin 3
2 Giải tam giác vuông ABC, biết rằng A 90 µ = 0, AB = 5, BC = 7
3 Hãy tính các góc nhọn của một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là
13 : 21
Bài 5: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm Trên cạnh BD lấy
điểm C sao cho BC = 3 cm Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E
a) Tính AD
b) Tính các góc BAD, BAC Từ các kết quả đó, có thể kết luận rằng Ac là tia phân giác của góc BAD không ?
c) Chứng minh tam giác ADE cân tại D
d) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD
Bài 6: Cho hình vuông ABCD, cạnh AB = 1 đơn vị độ dài Gọi I, J lần lượt là trung
điểm của AB, AD
5 4
z y x
25 9
x
10
8 x y
Trang 2b) Tính sinICJ.
Bài 7: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) đường cao AH, AB = 8 cm, CD = 12
cm, AD = 10 cm
a) Tính AH
b) Tính số đo góc ADC, suy ra số đo góc ABC
c) Tính AC Vì sao ta không có hệ thức 2 2 2
b) Trung điểm của BC là M Chứng minh MKH là tam giác đều
Bài 10: Cho ABC có µA là góc nhọn Chứng minh diện tích của tam giác đó là S=
1
2AB.AC.sinA Aùp dụng: a) Tính S (ABC) biết AB = 4 cm, AC = 7 cm và A µ = 60 0
b) Biết S (ABC) = 5 2 (cm2), AB = 4 cm, AC = 5 cm Tính số đo của µA
Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có µA < 900 Chứng minh diện tích của hình đó là
S =AB.AD.sinA Aùp dụng: Biết (ABCD)
27 3 S
2
= (cm2) , AB = 4,5 cm, AD = 6 cm Tính số đo các góc của hình bình hành ABCD
Bài 12: Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O, tạo thành góc nhọn AOD
Bài 15: Tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 6 cm, µA= 1200 Kẻ đường phân giác
AD của µA Tính độ dài của AD
Bài 16: Cho ABC có µA= 700, AB = 10 cm Số đo của các góc B và C tỉ lệ với 4 và 3 Tính độ dài của các cạnh CA, CB và S(ABC)
Bài 17: Cho ABC có C µ = 45 0, AB.AC = 32 6, AB:AC = 6 : 3 Tính số đo cạnh BC; µBvà S(ABC)
Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O Biết đường chéo
AC = 14 cm,
Trang 3sin AOD = 0, 6 Tính tgADB· và độ dài các cạnh hình chữ nhật
Bài 19: Cho tam vuông ABC (µA= 900), cạnh AB = 3 cm Kẻ trung tuyến AM Biết
·
sin AMB = 0,8
Tính tgB và S(ABC)
Bài 20: Cho hình bình hành ABCD ( ACD 90 · < 0)
a) Chứng minh : AD 2 = CD 2 + CA 2 - 2CD.CA.cos ACD ·
b) Nếu CD = 6 cm, CA = 4 cm, cos ACD· 1
b) Trung điểm của BC là M Chứng minh MKH là tam giác đều
Bài 24: Cho tam giác ABC có BC = a ACB · = 45 0 Về phía ngoài của ABC, vẽ các hình vuông ABDE và ACFG Giao điểm các đường chéo của hai hình vuông là
Q và N Trung điểm của BC và EG là M và P
a) Chứng minh AEC = ABG
b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông
c) Biết ·BGC a= Tính diện tích hình vuông MNPQ theo a và a
Bài 25: Cho hình chữ nhật MNPQ có 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh của hình thoi ABCD
( M ∈ AB, N ∈ BC, P ∈ CD, Q ∈ DA ) Các cạnh hình chữ nhật song song với các đường chéo của hình thoi Biết AB = 7 cm tgBAC· =0,75
a) Tính diện tích hình thoi ABCD
b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó
Bài 26: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD Kẻ CH ⊥ AD và CK ⊥ AB
a) Chứng minh CKH ~ BCA
b) Chứng minh HK=AC.sin BAD·
c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD · = 60 0, AB = 4 cm và AD = 5 cm
Trang 4Bài 27: Cho ABC (µA= 900 ) Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ⊥ BC Nối AF và BE.
a) Chứng minh AF = BE.cosC
b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6 Tính diện tích tứ giác ABFE
c) AF và BE cắt nhau tại O Tính sin AOB·
Bài 28: Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm Trung điểm của AB
và BC theo thứ tự là M và N Nối CM và DN cắt nhau tại P
a) Chứng minh CM ⊥ DN
b) Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của góc ·CMN
c) Nối MD, tính các tỉ số lượng giác của góc ·MDN và diện tích tam giác MDN
Bài 29: Cho hình chữ nhật ABCD; sin DAC· = 0,8 ; AD = 42 mm, kẻ CE ⊥ BD và DF
⊥ AC
a) AC cắt BD ở O, tính sin AOD·
b) Chứng minh tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích của nó
c) Kẻ AG ⊥ BD và BH ⊥ AC, chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật và tính diện tích của nó
Bài 30: Cho đoạn thẳng MN = 6 cm Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6 cm Vẽ
đường tròn tâm N bán kính 4,8 cm, chúng cắt nhau tại A và B
a) Chứng minh : 2 2 2
MB =AM + AN
b) Tính số đo các góc của MAB
Bài 31: Cho tam giác vuông ABC ( µA = 900 ) Kẻ đường thẳng song song với cạnh
BC cắt các cạnh góc vuông AB và AC tại M và N Biết MB = 12 cm và NC = 9 cm, trung điểm của MN và BC là E
và F
a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng
b) Trung điểm của BN là G Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của
EFG
c) Chứng minh EFG ~ ABC
Bài 32: Cho ABC, kẻ AH ⊥ BC, biết BH = 9 cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75 Trên
AH lấy điểm O sao cho OH = 2 cm
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông
b) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên OB lấy điểm P và trên OC lấy điểm N sao cho
AB =OB=OC =5 Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của MPN
Trang 5Bài tập Nâng cao Chương 2
1 Định nghĩa và sự xác định đường tròn
Bài1: Cho đường tròn (O; R) và 1 điểm M nằm trên (O; R) dựng điểm N sao cho
MN vuông góc với OM đồng thời MN có độ dài bằng a cho trước
a) Tìm tập hợp điểm N
b) Tìm tập hợp chân đường vuông góc hạ từ M xuống ON
c) Tìm hệ thức giữa a và R để cho đường tròn (O; R) là tập hợp trọng tâm của
MON
Bài 2: Cho 1 đoạn thẳng cố định AB có độ dài bằng 2a Gọi I là trung điểm của
AB K là trung điểm của IB Trên tia Kx kẻ tuỳ ý, lấy 1 điểm M sao cho
KMB MAB =
a) So sánh hai tam giác KMB và MAB
b) Tìm tập hợp điểm M
c) Dựng điểm M với a = 3 cm BKx 120 ¼ = 0 (không dùng thước đo góc)
Bài 3: Cho một hình vuông ABCD, cạnh bằng a Một đoạn thẳng MN có độ dài
thay đổi, M chạy trên AB, N chạy trên CD sao cho chu vi tam giác AMN luôn luôn không đổi và bằng 2a Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống MN Chứng minh rằng H luôn nằm trên một đường tròn cố định
Bài 4: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên cùng một đường thẳng theo thứ tự đó.
a) Hãy dựng đường tròn (O), (O1), (O2), (O3) có đường kính là AD, AB, BC, CD b) CMR mọi điểm nằm trên (O1), (O2), (O3) không kể hai điểm A và D đều nằm trong (O)
c) CMR mọi điểm nằm trên (O2) không kể hai điểm B và C đều nằm ngoài (O1) và (O3)
Bài 5: Cho hai điểm A và B cố định Một đ.thẳng d đi qua A Gọi P là điểm đối
xứng của B qua d
a) Tìm quĩ tích các điểm P khi d quay xung quanh điểm A
b) Xác định vị trí của d để BP có độ dài lớn nhất, có độ dài bé nhất
Bài 7: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H là trực tâm của tam giác, N, P, Q
lần lượt là trung điểm của AH, AB, AC Chứng minh OPNQ là hình bình hành
Bài 8: Cho ABC, các góc đều nhọn Vẽ đường tròn tấm đường kính AB, vẽ
đường tròn tâm O đường kính AC Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) tại D và E, cắt đường tròn (O) tại H và K (các điểm xếp đặt theo thứ tự D, H, E, K)
Trang 6a) Chứng minh BD, BE là những đường phân giác của góc ·ABC; CK, CH là những đường phân giác của góc ·ACB.
b) Chứng minh BDAE, AHCK là những hình chữ nhật
Bài 9: Cho đường tròn (O) dường kính AB Vẽ bán kính OC vuông góc với AB tại
O Lấy điểm M trên cung AC Hạ MH ⊥ OA Trên bán kính OM lấy điểm P sao cho OP = MH
a) Tìm quĩ tích các điểm P khi M chạy trên cung AC
b) Tìm quĩ tích các điểm P lấy trên bán kính OM sao cho OP bằng khoảng cách từ
M đến AB khi M chạy khắp đường tròn (O)
2 Tính chất đối xứng của đường tròn
Bài 1: Cho hai đường tròn bằng nhau (O ; R) và (O’; R) và hai dây AB, CD bằng
nhau theo thứ tự thuộc hai đường tròn ấy sao cho B và C nằm giữa A và D và AB < 2R
a) Chứng minh rằng AD // OO’
b) Chứng minh rằng AC = OO’ = BD
c) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ rằng điểm I nằm trên một đường cố định khi các dây AB, CD thay đổi vị trí sao cho AB, CD luôn luôn bằng nhau và B, C luôn nằm giữa A, D
Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên một đường tròn (O) sao cho AB là đường
kính Gọi I, K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ A và B xuống đường thẳng CD Chứng minh CI = DK
Bài 3: Cho đường tròn (O ; R) và đường kính CD vuông góc với dây AB tại điểm I.
a) Tìm công thức tính R theo AI, CI
b) Miệng của một tháp nước hình vành khăn bị vỡ gần hết, chỉ còn sót lại một mảng cung tròn Hãy tìm cách đo đạc trên mảng còn lại đó để tính đường kính của miệng tháp ấy
Bài 4: Cho đường tròn (O ; R) và hai điểm A, B với AB < 2R Dựng qua A, B hai
đường thẳng song song sao cho chúng tạo thành với đường tròn (O ; R) hai dây bằng nhau
Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) và giao điểm I của hai đường chéo
Chứng minh rằng I là điểm chung duy nhất của đường tròn (O ; R) đi qua ba điểm I,
A, D với đường tròn (O’ ; R’) đi qua I, B, C
Bài 6: Cho ABC cân tại A có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O ; R) Các đường
phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại E và lần lượt cắt đường tròn tại D và F Chứng minh ADEF là hình thoi
Bài 7: Cho góc xOy 60· = 0 Lấy điểm I cố định trên tia phân giác Ot của góc xOy làm tâm vẽ đường tròn sao cho nó cắt Ox tại A, Oy tại B (A và B không đối xứng nhau qua Ot) Hạ ID ⊥ Ox, IE ⊥ Oy
a) Chứng minh DA = EB
Trang 7b) Gọi T là tâm đường tròn qua A, I, B Chứng minh TAI, TBI là các tam giác đều Xác định vị trí của T một cách nhanh nhất.
c) Tìm quĩ tích điểm T khi đường tròn tâm I có độ lớn bán kính thay đổi (nhưng vẫn cắt Ox, Oy)
d) Tìm quĩ tích điểm H, trực tâm của AIB (theo điều kiện câu c)
Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH Trên đoạn thẳng
HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) với đường thẳng AB Chứng minh:
a) AEF là tam giác cân
b) DO ⊥ OE
c) D, A, O, E nằm trên cùng một đường tròn
Bài 9: Cho hai điểm A, B ở ngoài đường tròn tâm O Hãy dựng một đường kính CD
sao cho
CA = DB
3 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Tiếp tuyến của đường tròn Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) Một tiếp tuyến chung ngoài MM’, một tiếp
tuyến chung trong NN’ (M, N nằm trên (O) ; M’, N’ nằm trên (O’)) Các đường thẳng MM’ , NN’ cắt nhau tại tiếp điểm P và các dây MN, M’N’ cắt PO, PO’ tương ứng tại các điểm Q, Q’
a) Chứng minh rằng các tam giác MPO, M’O’P đồng dạng, suy ra M 'O 'M 'P = MOMP b) Chứng minh rằng O 'Q 'Q 'P =QOPQ
c) Kéo dài MQ, M’Q’ cắt nhau tại điểm I Chứng minh rằng ba điểm O, I, O’ thẳng hàng
Bài 2: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R) Kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến
MBC đi qua O
a) Chứng minh rằng các tam giác MAB, MCA đồng dạng Suy ra: MA2 = MB.MC bính R, biết MA = 20 cm ; MB = 8 cm
Bài 3: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R) Các tiếp tuyến MA, MB có độ
dài bằng a và tạo với nhau một góc α
a) Tính bán kính R theo a và α
b) Dựa vào câu a, hãy nêu tên phương pháp tính bán kính đáy của một chiếc cột hình trụ, của một cái chum đang đựng đầy nước
Bài 4: Cho góc xAy và một điểm M nằm trong góc ấy Tìm trên Ax một điểm I sao
cho khoảng cách từ I đến Ay bằng IM
Trang 8Bài 5: Cho tam giác cân OAB trong đó OA = OB và ·AOB = α , một đường tròn (O ; R) với R < OA Hạ đường cao OH của tam giác OAB và kẻ từ A, B các tiếp tuyến
AM, BN với đường tròn (O ; R) sao cho chúng không đối xứng với nhau qua OH Gọi giao điểm của các đường thẳng AM với BN là I Chứng minh rằng độ lớn góc AIB không phụ thuộc vào R
Bài 6: Cho tam giác cân có cạnh đáy bằng 10 cm, các cạnh bên bằng 13 cm Tính
bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Bài 7: Tìm cạnh đáy của một tam giác cân, nếu tâm đường tròn nội tiếp chia đường
cao thành hai đoạn từ tâm dến chân đường cao và từ tâm đến đỉnh theo tỉ số 123
Bài 8: Tìm đường kính của đường tròn nội tiếp một tam giác vuông nếu cạnh huyền
bằng c và tổng các cạnh góc vuông bằng m
Bài 9: Cho góc · 0
xOy 60 = Một đường tròn tâm I bán kính R = 5 cm, tiếp xúc với Ox tại A, tiếp xúc với Oy tại B Từ M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, nó cắt
Ox tại E, cắt Oy tại F
a) Tính chu vi OEF Chứng tỏ rằng chu vi đó có giá trị không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB
b) Chứng minh ·EIF có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB
Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một dây AC tạo với AB góc
300 Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt đường thẳng AB tại D Chứng minh rằng:a) OAC ~ CAD
b) DB.DA = DC2 = 3R2
Bài 11: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Đường tròn tâm I đường kính BH
cắt AB tại E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F Chứng minh rằng:
a) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H
b) EF là tiếp tuyến của (I) tại E, tiếp tuyến của (J) tại F
Bài 12: Cho ABC cân tại A Đường cao AH và BK cắt nhau tại I Chứng minh:
a) Đường tròn đường kính AI đi qua K
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI
Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm D trên bán kính OB
Gọi H là trung điểm của AD Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại
C Đường tròn tâm I đường kính DB cắt CB tại E
a) Tứ giác ACED là hình gì ?
b) Chứng minh HCE cân tại H
c) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I
Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By
với nửa đường tròn Lấy M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn, vẽ đường tiếp tuyến, nó cắt Ax tại C, cắt By tại D Gọi A’ là giao điểm của BM với Ax, B’ là giao điểm của BM với By Chứng minh rằng:
a) A’AB ~ ABB’ , suy ra AA’.BB’ = AB2
b) CA = CA’ ; DB = DB’
Trang 9c) Ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng qui.
Bài 15: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến Ax tại điểm A của đường tròn Trên Ax
chọn hai điểm B, C tùy ý (C nằm giữa A và B) vẽ hai tiếp tuyến BD, CE với đường tròn đã cho
a) Chứng minh: BOC DAE· = ·
b) Giả sử B, C ở về hai phía đối với điểm A, chứng minh rằng trong trường hợp này
BOC DAE + =1800
4 Vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; 4 cm) và (O’ ; 3 cm) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A
và B biết
OO’ = 5 cm Từ B vẽ 2 đường kính BOC và BO’D
a) Chứng minh 3 điểm C, A, D thẳng hàng;
b) Chứng minh tam giác OBO’ là tam giác vuông;
c) Tính diện tích các tam giác OBO’ và CBD;
d) Tính độ dài các đoạn AB, CA, AD
Bài 2: Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại điểm A Đường thẳng OO’ cắt
hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở B và C (khác điểm A) DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, D ∈ (O) ; E ∈ (O’) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BD và CE Chứng minh rằng:
a) DME· = 90 0;
b) MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’);
c) MD.MB = ME.MC
Bài 3: Cho đường tròn (O ; R), một điểm A nằm trên đường tròn và một điểm B
không nằm trên đường tròn ấy
a) Hãy nêu cách dựng qua B một đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn đã cho tại A
b) Không cần dựng, hãy căn cứ vào các dữ kiện sau đây để xác định xem trường hợp nào dựng được, trường hợp nào không dựng được đường tròn (O’) đi qua B tiếp xúc trong với (O) (hoặc tiếp xúc ngoài (O)) tại A
a) Tính chu vi tam giác OO1O2 theo R
b) Dựng hai đường tròn (O1 ; r1) và (O2 ; r2) biết R = 3 cm ; r1 = 1 cm
Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d và điểm A nằm trên d Dựng đường
tròn tiếp xúc với (O ; R) đồng thời tiếp xúc với d tại A
Trang 10Bài 6: Cho hình vuông ABCD, đường tròn tâm A, bán kính AB cắt đường tròn
đường kính CD tại điểm M (M ≠ D) Chứng minh rằng đường thẳng DM đi qua trung điểm I của BC
Bài 7: Cho đường tròn (O ; R) tiếp xúc trong đường tròn (O’ ; R’) , R’ > R, tại điểm
A Đường thẳng OO’ cắt hai đường tròn ấy lần lượt tại điểm thứ hai B, B’ Chứng minh rằng tiếp tuyến chung ngoài của các đường tròn đường kính OO’, BB’ đi qua A
Bài 8: Cho hai đường tròn có bán kính bằng nhau cắt nhau tại A và B Trong cùng
nửa mặt phẳng bờ OO’, vẽ hai bán kính OC và O’D song song với nhau Gọi D’ là điểm đối xứng của D qua O’
a) Chứng minh AB, OO’, CD’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn
b) Chứng minh A là trực tâm của tam giác BCD
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD (AB > AD) Lấy A làm tâm vẽ đường tròn bán
kính AD, nó cắt AB tại E Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính BE, nó cắt tiếp đường thẳng DE tại F
a) Chứng minh hai đường tròn (A ; AD) và (B ; BE) tiếp xúc nhau
b) Chứng minh F, B, C thẳng hàng
Bài 10: Cho đường tròn tâm O và điểm A cố định thuộc đường tròn (O) Cho đường
thẳng d ở ngoài đường tròn Hãy dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d đồng thời tiếp xúc với (O) tại A
Bài 11: Cho hai đường tròn (O) và (O’) bán kính lần lượt là 3R và R tiếp xúc ngoài
nhau tại A Đường thẳng d1 qua A cắt (O) tại B, cắt (O’) tại B’ Đường thẳng d2 vuông góc với d1 tại A cắt (O) tại C, cắt (O’) tại C’
a) Chứng minh BC’, CB’ và OO’ đồng qui tại một điểm M cố định
b) Chứng minh các tiếp tuyến chung ngoài PP’ và TT’ cắt nhau tại M
c) Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC’ Tìm quĩ tích điểm I khi d1 và
d2 thay đổi vị trí (vẫn qua A và vuông góc với nhau)
Bài 12: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A Góc vuông xAy quay
xung quanh điểm A, Ax cắt (O) tại B, Ay cắt (O’) tại C
a) Chứng minh OB // O’C
b) Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua O’ Chứng minh B, A, C’ thẳng hàng
c) Qua O vẽ d ⊥ AB, nó cắt BC tại M Tìm quĩ tích điểm M khi các dây AB, AC thay đổi vị trí nhưng vẫn vuông góc với nhau
Bài 13: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ABC có bán kính lần lượt
là R và r Tính diện tích ABC biết rằng A C B Aµ − = − µ $ µ
Bài 14: Cho tam nhọn ABC, phân giác CD Lấy D làm tâm vẽ nửa đường tròn bán
kính R tiếp xúc với AC tại E, tiếp xúc với CB tại F Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với nửa đường tròn (D) tại K, và tiếp xúc với hai cạnh AC và BC của ABC
a) Chứng minh C, O, D thẳng hàng
b) Tính bán kính đường tròn tâm O biết AC = b, BC = a, ·ACB =α
Trang 115 oõõn taọp chửụng II
Bài 1: Cho đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A Gọi BC là tiếp tuyến chung
ngoài của (O) và (O’); B, C là hai tiếp điểm Tiếp tuyến chung trong của hai đtròn tại A cắt BC tại M
a) Chứng minh rằng A, B, C thuộc đờng tròn ( M ; BC/2 )
b) Đờng thẳng OO’ có vị trí gì đối với đờng tròn ( M ; BC/2 )
c) Xác định tâm của đờng tròn đi qua 3 điểm O, O’, M
d) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua 3 điểm O, O’, M
Bài 2: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của AB Trên một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ
hai tia Ax, By vuông góc với AB Một góc vuông có đỉnh là O có hai cạnh cắt Ax và By tại C và D Gọi C’ là giao điểm của tia CO với tia đối của tia By Chứng minh:
a) Tam giác CDC’ là tam giác cân
b) Đờng thẳng CD là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính AB
c) Đờng tròn ngoại tiếp COD luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố định khi góc vuông tại O thay đổi
Bài 3: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) ngoài nhau Các tiếp tuyến chung ngoài MN, PQ
Bài 4: Cho đờng tròn (O) và tiếp tuyến xy tại tiếp điểm C nằm trên (O).
a) CMR nếu dây AB song song với xy thì CA = CB
b) CMR nếu một đờng thẳng d song song với xy đồng thời tiếp xúc với (O) tại một điểm D thì 3 điểm C, O, D thẳng hàng
c) Cho hai đờng thẳng song song d1 , d2 cách nhau một khoảng bằng 3 cm, một
điểm M nằm giữa hai đờng thẳng d1 , d2 và cách d1 một khoảng bằng 1 cm Hãy dựng một đờng tròn đi qua M và tiếp xúc d1 , d2
Bài 5: Cho 2 đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A Qua A kẻ đờng thẳng a cắt
(O) tại C, cắt (O’) tại C’ và đờng thẳng b cắt (O) tại B, cắt (O’) tại B’ Chứng minh BC // B’C’
Baứi taọp Naõng cao Chửụng 3
Đ1 Goực ụỷ taõm - Soỏ ủo cuỷa cung - Lieõn heọ giửừa cung vaứ daõy
Baứi 1: Treõn ủửụứng troứn (O ; R) coự 5 ủieồm A, B, C, D, E trong ủoự AB laứ ủửụứng kớnh;
C laứ ủieồm chớnh giửừa cuỷa cung AB; Tia OE naốm giửừa caực tia OA, OC vaứ daõy CD baống R Ngoaứi ra, D vaứ E khoõng thuoọc cuứng moọt nửỷa maởt phaỳng bụứ AB vaứ
DOE 90 = Tớnh ủoọ lụựn cuỷa taỏt caỷ caực goực ụỷ taõm nhoỷ hụn 3600 coự chửựa OC
Baứi 2: Goùi ủieồm chớnh giửừa cuỷa moọt cung cuỷa moọt ủửụứng troứn (O ; R) laứ I, trung
ủieồm cuỷa daõy trửụng cung aỏy laứ K Chửựng minh raống ủửụứng thaỳng IK ủi qua O
Trang 12Bài 3: Chứng minh rằng trong một đường tròn với hai cung nhỏ hơn 1800, cung nào lớn hơn thì có khoảng cách giữa điểm chính giữa của cung với trung điểm của dây lớn hơn, và đảo lại.
Bài 4: Cho đường tròn (O ; r) Tìm hai cung không lớn hơn nửa đường tròn, biết
rằng cung này lớn gấp ba lần cung kia đồng thời có dây trương cung lớn gấp đôi dây trương cung nhỏ
Bài 5: Cho đường tròn (O) Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại I
Trung điểm của các dây cung BC và AD theo thứ tự là M, N Chứng minh rằng
Bài 6: Trên nửa đường tròn đường kính EF, tâm O, người ta lấy ba điểm A, B, C
theo thứ tự E, A, B, C, F Gọi M là điểm thuộc cung BC mà BM MC ¼ = ¼
Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC Đường tròn tâm I, đường kính AB, và đường tròn
tâm K đường kính AC cắt nhau tại H (AB < AC)
a) Chứng minh điểm H nằm trên cạnh BC
b) Một cát tuyến d qua A cắt đường tròn (I) tại E, cắt đường tròn (K) tại F (A nằm giữa E và F) Hãy nêu đặc điểm của tứ giác BCEF
c) d ở vị trí nào thì A là trung điểm của EF ?
Bài 8: Cho hai đường tròn đồng tâm (O ; r) và (O ; R) Tìm quĩ tích những điểm M
sao cho từ đó vẽ các tiếp tuyến MP với (O ; R) và MQ với (O ; r) thì MP ⊥ MQ
Bài 9: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên nửa đường tròn đường kính AB
lấy hai điểm C, D (không điểm trùng với A, B) Từ C kẻ CH ⊥ AB, nó cắt tiếp đường tròn tại E Từ A kẻ AK ⊥ DC, nó cắt tiếp đường tròn tại F Chứng minh DE
= BF
Bài 10: Cho ABC, trên tia đối của tia BC, lấy điểm D sao cho BD = BA Trên tia
đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CA
a) Chứng minh điểm I, tâm đường tròn ngoại tiếp ADE, nằm trên phân giác của góc ·BAC
b) Điểm I có vai trò gì đối với ABC ?
Bài 11: Cho ABC vuông tại A Đường tròn tâm I đường kính AB và đường tròn
tâm K đường kính AC cắt nhau tại H Một đường thẳng d đi qua A, thuộc miền ngoài của tam giác cắt đường tròn (I) tại E, cắt đường tròn (K) tại F
a) Tìm quĩ tích trung điểm M của EF khi d thay đổi vị trí
b) Xác định vị trí của d để BCFE có chu vi nhỏ nhất
§2 Góc nội tiếp – Góc giữa tiếp tuyến và một dây
Trang 13Bài 1: Cho ABC cân tại A Các đường tròn đường tròn đường kính AC, AB cắt
AB tại H, cắt AC tại K Một đường thẳng xy qua A sẽ cắt đường tròn thứ nhất ở D, đường tròn thứ hai ở E
a) Chứng minh BK, CH, AN đồng qui (N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn).b) Chứng minh D và E là hình chiếu vuông góc của B và C trên xy
c) Chứng minh NDE cân
Bài 2: Từ điểm B bất kì trên đường tròn (O) kẻ đường vuông góc BH với tiếp tuyến
của đường tròn tại điểm A cho trước Gọi I là giao điểm thứ hai của BH với đường tròn (O), gọi B’ là điểm đối xứng của điểm B qua tâm O
a) Chứng minh rằng IA AB' º = ¼
b) Chứng minh rằng BA là phân giác của góc OBH
c) Khi B di động trên đường tròn, chứng minh rằng đường phân giác ngoài của góc OBH đi qua một điểm cố định
d) Gọi M là giao điểm của BH với đường phân giác của góc AOB, khi B di động M chạy trên đường nào ?
Bài 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), BAC 45 · = 0, điểm C nằm trên cung AB lớn Người ta kẻ dây BM vuông góc với AC và dây CN vuông góc với AB Gọi P,
Q theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng BM và CN, BN và CM
a) Chứng minh rằng MN là một đường kính của (O)
b) Tứ giác ABQC là hình gì ?
c) Hãy xét vị trí tương đối của hai đường thẳng AO và PQ
Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm chính giữa của cung AB, M là
một điểm chạy trên cung CB Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ C xuống AM.a) Chứng minh rằng NCM vuông cân
b) Chứng minh rằng độ lớn của góc ONM không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cung CB
c) Xác định vị trí của M sao cho MC // NB
Bài 5: Cho đường tròn (O) và dây AB Gọi M là điểm chính giữa của cung AB và C
là điểm bất kì nằm giữa A, B Tia MC cắt đường tròn (O) tại D
a) Chứng minh MC.MD = MA2
b) Chứng minh MBC ~ MDB
c) Chứng minh MB là tiếp tuyến với đường tròn (O1) đi qua ba điểm B, C, D tại B.d) Chứng minh rằng khi C di động trên AB thì tổng bán kính các đường tròn (O1) và đường tròn (O2) đi qua ba điểm A, C, D không đổi
Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R) Các đường cao AD, BE và CI
cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại D’, E’ và I’
a) Chứng minh DD’ = DH ; EE’ = EH
b) Chứng minh rằng đường tròn đi qua H và hai trong ba đỉnh A, B, C đều bằng đường tròn (O)
c) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp D’E’I’
Trang 14d) Hãy dựng ABC có ba đỉnh nằm trên đường tròn O cho trước, điểm A cho trước và trực tâm H cho trước nằm trong đường tròn.
Bài 7: Cho hai đường tròn đồng tâm và một điểm M cố định trên đường tròn nhỏ
Qua M kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau, một đường cắt đường tròn nhỏ ở A khác M, đường kia cắt đường tròn lớn ở B và C Khi hai đường thẳng này quay quanh điểm M mà vẫn vuông góc với nhau C/m:
a) Tổng MA2 + MB2 + MC2 không đổi
b) Trọng tâm tam giác ABC là điểm cố định
Bài 8: Trên dây AB của đường tròn tâm O lấy điểm M tùy ý khác A và B Vẽ
đường tròn qua A, M, O Gọi C là giao điểm thứ hai của đường tròn
a) So sánh các góc AMC và ABC· ·
b) So sánh MB và MC
Bài 9: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Dây CD ⊥ AB tại H Lấy điểm M tùy
ý trên đường tròn Hai đường thẳng CM và AB cắt nhau tại F, hai đường thẳng DM và AB cắt nhau tại E
a) Chứng minh EMB ~ EAD ; EMB ~ EAC
b) Chứng minh EA FAEB FB=
Bài 10: Hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại M và N Trên đường tròn
(O) lấy ba điểm A, B, C Các đường thẳng MA, MB, MC cắt tiếp đường tròn (O’) tại A’, B’, C’
a) So sánh các tam giác NAA’, NBB’, NCC’ Tính tỉ số NA'NA theo các bán kính R, R’
b) Chứng minh NAB ~ NA’B’ ; ABC ~ A’B’C’
Bài 11: Cho đường tròn tâm O và điểm P ở ngoài (O) Vẽ đường tròn (P ; PO) Hai
đường tròn (O) và (P) cắt nhau tại A và B Đường thẳng OP cắt đường tròn (P) tại điểm thứ hai C
a) Chứng minh CA là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b) Lấy điểm D thuộc cung BA của đường tròn (P) (cung có chứa điểm C) Chứng minh DO là tia phân giác của góc ·ADB
c) Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng OD với đường tròn (O) C/m: AI là tia phân giác của góc ·BAD
Bài 12: Cho đường tròn đường kính AB Lấy M trên đường tròn (khác A, B) sao cho
MA < MB Lấy MA làm cạnh vẽ hình vuông MADE (E thuộc đoạn thẳng MB) Gọi
F là giao điểm của DE và AB
a) Chứng minh ADF ~ BMA
b) Lấy C là điểm chính giữa cung AB (không chứa M) Chứng minh CA = CE = CB
c) Trên đoạn thẳng MC lấy điểm I sao cho CI = CA C/m I là tâm đường tròn nội tiếp AMB