Goïi K laø giao ñieåm cuûa BE vaø AC (giaû söû K vaø C ôû hai nöûa maët phaúng khaùc nhau bôø BD). Laáy ñieåm M treân ñöôøng troøn sao cho MA < MB. Caùc ñöôøng thaúng MT, MO, MS caét [r]
(1)Bài tập Nâng cao Chương
Bài 1: a) Tìm x y hình bên
(a) (b)
b) Tìm x, y, z hình c
(c)
Bài 2: a) Cho tam giác ABC vuông A Vẽ hình thiết lập hệ thức tính tỉ số lượng giác góc B từ suy hệ thức tính tỉ số lượng giác góc C
b) Khơng dùng bảng máy tính, xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: sin240 ; cos350 ; sin540 ; cos700 ; sin780.
c) Khơng dùng bảng số máy tính, xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: cotg250 ; tg320 ; cotg180 ; tg440 ; cotg620.
Bài 3: a) Dựng góc nhọn a, biết
4 tg
5 a =
b) Dựng góc nhọn a, biết
1 cot g
2 a =
c) Dựng góc nhọn a, biết
3 sin
5 a = Baøi 4:
1 Cho tam giác DEF có ED = cm, Dµ =40 , F0 $=580 Kẻ đường cao EI tam giác Hãy tính: a) Đường cao EI
b) Cạnh EF
2 Giải tam giác vuông ABC, biết Aµ =900, AB = 5, BC =
3 Haõy tính góc nhọn tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông 13 : 21
Bài 5: Cho tam giác ABD vuông B, AB = cm, BD = cm Trên cạnh BD lấy điểm C cho BC = cm Từ D kẻ Dx // AB, cắt đường thẳng AC E
a) Tính AD
b) Tính góc BAD, BAC Từ kết đó, kết luận Ac tia phân giác góc BAD khơng ?
c) Chứng minh tam giác ADE cân D
d) Chứng minh AC tia phân giác góc BAD
Bài 6: Cho hình vng ABCD, cạnh AB = đơn vị độ dài Gọi I, J trung điểm AB, AD. a) Tính diện tích hình cánh diều AICJ cách khác
b) Tính sinICJ
Bài 7: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) đường cao AH, AB = cm, CD = 12 cm, AD = 10 cm. a) Tính AH
b) Tính số đo góc ADC, suy số đo góc ABC
c) Tính AC Vì ta khơng có hệ thức 2
1 1 1
?
AD +AC =AH
Bài Cho hình thang ABCD vng B C, AC AD Biết àD= 580, AC = 8. a) Tính độ dài cạnh AD, BC
b) Chøng minh AC2 = AB.DC
Bài 9: Cho ABC có Aµ =600 Kẻ BH AC CK AB a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm BC M Chứng minh MKH tam giác
5
z y x 25
9 x
(2)Bài 10: Cho ABC có µA góc nhọn Chứng minh diện tích tam giác S= 1
2AB.AC.sinA p dụng: a) Tính S(ABC) biết AB = cm, AC = cm Aµ =600
b) Biết S(ABC) = 5 2 (cm2), AB = cm, AC = cm Tính số đo µA Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có µA < 900 Chứng minh diện tích hình là S =AB.AD.sinA p dụng: Biết (ABCD)
27 3 S
2 =
(cm2) , AB = 4,5 cm, AD = cm Tính số đo góc hình bình hành ABCD
Bài 12: Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O, tạo thành góc nhọn AOD Chứng minh: ·
(ABCD) 1
S AC.BD.sin AOD
2 =
p dụng: Cho hình vng ABCD ( Aµ = =Dµ 900 ), AB = 12 cm, AD = cm, DC = 18 cm Hai đường chéo cắt O Tính sin AOD·
Bài 13: Cho ABC (µA< 900) Trên cạnh AB lấy điểm B’, cạnh AC lấy điểm C’ Chứng minh: (ABC)
(AB'C')
S AB.AC
S =AB'.AC '.
Bài 14: Cho ABC có góc nhọn, cạnh đối diện với góc A , B,Cµ µ µ theo thứ tự a, b, c Chứng minh:
a b c
sin A=sin B=sin C.
Bài 15: Tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, µA= 1200 Kẻ đường phân giác AD µA Tính độ dài AD
Bài 16: Cho ABC có µA= 700, AB = 10 cm Số đo góc B C tỉ lệ với Tính độ dài các cạnh CA, CB S(ABC)
Bài 17: Cho ABC có Cµ =450, AB.AC = 32 6, AB:AC = 6 : 3 Tính số đo cạnh BC; µBvà S(ABC) Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo cắt O Biết đường chéo AC = 14 cm,
·
sin AOD=0,6 Tính tgADB· độ dài cạnh hình chữ nhật.
Bài 19: Cho tam vuông ABC (µA= 900), cạnh AB = cm Kẻ trung tuyến AM Biết sin AMB· =0,8 Tính tgB S(ABC)
Bài 20: Cho hình bình hành ABCD ( ACD 90· < 0)
a) Chứng minh : AD2=CD2+CA2- 2CD.CA.cos ACD· b) Nếu CD = cm, CA = cm,
· 1
cos ACD 3 =
tứ giác ABCD hình gì? Tính diện tích tứ giác
Bài 21: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC; µA< 900 ) Kẻ BK AC. a) Chứng minh : Aµ =2.KBC·
b) Chứng minh :
A A
sin A 2.sin .cos
2 2
=
c) Bieát
· 2
sin KBC 3 =
, tính sinA
Bài 22: Cho tam giác vng ABC ( µB= 900 ) Lấy điểm M cạnh AC Kẻ AH BM, CK BM. a) Chứng minh : CK=BH.tgBAC·
b) Chứng minh :
·
MC BH.tg BAC
(3)Bài 23: Cho ABC có µA= 600 Kẻ BH AC CK AB. a) Chứng minh : KH = BC.cosA
b) Trung điểm BC M Chứng minh MKH tam giác
Bài 24: Cho tam giác ABC có BC = a ACB· =450 Về phía ngồi ABC, vẽ hình vng ABDE ACFG Giao điểm đường chéo hai hình vng Q N Trung điểm BC EG M P
a) Chứng minh AEC = ABG
b) Chứng minh tứ giác MNPQ hình vng
c) Biết ·BGC a= Tính diện tích hình vuông MNPQ theo a a
Bài 25: Cho hình chữ nhật MNPQ có đỉnh nằm cạnh hình thoi ABCD ( M AB, N BC, P CD, Q DA ) Các cạnh hình chữ nhật song song với đường chéo hình thoi Biết AB = cm
·
tgBAC=0, 75.
a) Tính diện tích hình thoi ABCD
b) Xác định vị trí điểm M cạnh AB cho diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trị lớn tính giá trị lớn
Bài 26: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn đ.chéo BD Kẻ CH AD CK AB. a) Chứng minh CKH ~ BCA
b) Chứng minh HK=AC.sin BAD·
c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD· =600, AB = cm AD = cm Bài 27: Cho ABC (µA= 900 ) Từ trung điểm E cạnh AC kẻ EF BC Nối AF BE.
a) Chứng minh AF = BE.cosC
b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6 Tính diện tích tứ giác ABFE c) AF BE cắt O Tính sin AOB·
Bài 28: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh cm Trung điểm AB BC theo thứ tự M N Nối CM DN cắt P
a) Chứng minh CM DN
b) Nối MN, tính tỉ số lượng giác góc ·CMN
c) Nối MD, tính tỉ số lượng giác góc ·MDN diện tích tam giác MDN Bài 29: Cho hình chữ nhật ABCD; sin DAC· = 0,8 ; AD = 42 mm, kẻ CE BD DF AC
a) AC cắt BD O, tính sin AOD·
b) Chứng minh tứ giác CEFD hình thang cân tính diện tích
c) Kẻ AG BD BH AC, chứng minh tứ giác EFGH hình chữ nhật tính diện tích Bài 30: Cho đoạn thẳng MN = cm Vẽ đường trịn tâm M bán kính 3,6 cm Vẽ đường trịn tâm N bán kính 4,8 cm, chúng cắt A B
a) Chứng minh : 2
4 1 1
MB =AM +AN
b) Tính số đo góc MAB
Bài 31: Cho tam giác vng ABC ( µA = 900 ) Kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh góc vng AB AC M N Biết MB = 12 cm NC = cm, trung điểm MN BC E
vaø F
a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng
b) Trung điểm BN G Tính độ dài cạnh số đo góc EFG c) Chứng minh EFG ~ ABC
Bài 32: Cho ABC, kẻ AH BC, bieát BH = cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75 Trên AH lấy điểm O cho OH = cm
a) Chứng minh ABC tam giác vuông
(4)AM OP ON 2
AB =OB=OC =5 Tính độ dài cạnh số đo góc MPN
Bài tập Nâng cao Chương 2
1 Định nghĩa xác định đường tròn
Bài1: Cho đường tròn (O; R) điểm M nằm (O; R) dựng điểm N cho MN vng góc với OM đồng thời MN có độ dài a cho trước
a) Tìm tập hợp điểm N
b) Tìm tập hợp chân đường vng góc hạ từ M xuống ON
c) Tìm hệ thức a R đường tròn (O; R) tập hợp trọng tâm MON
Bài 2: Cho đoạn thẳng cố định AB có độ dài 2a Gọi I trung điểm AB K trung điểm IB Trên tia Kx kẻ tuỳ ý, lấy điểm M cho KMB¼ =MAB¼
a) So sánh hai tam giác KMB MAB b) Tìm tập hợp điểm M
c) Dựng điểm M với a = cm BKx 120¼ = (khơng dùng thước đo góc)
Bài 3: Cho hình vng ABCD, cạnh a Một đoạn thẳng MN có độ dài thay đổi, M chạy AB, N chạy CD cho chu vi tam giác AMN luôn không đổi 2a Gọi H chân đường vng góc hạ từ C xuống MN Chứng minh H nằm đường tròn cố định
Bài 4: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm đường thẳng theo thứ tự đó. a) Hãy dựng đường trịn (O), (O1), (O2), (O3) có đường kính AD, AB, BC, CD
b) CMR điểm nằm (O1), (O2), (O3) không kể hai điểm A D nằm (O) c) CMR điểm nằm (O2) không kể hai điểm B C nằm (O1) (O3)
Bài 5: Cho hai điểm A B cố định Một đ.thẳng d qua A Gọi P điểm đối xứng B qua d. a) Tìm quĩ tích điểm P d quay xung quanh điểm A
b) Xác định vị trí d để BP có độ dài lớn nhất, có độ dài bé Bài
: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC);
1
BC CD AD a
2
= = =
a) Chứng minh A, B, C, D nằm đường tròn Hãy xác định tâm O bán kính đường trịn
b) Chứng minh AC OB
Bài 7: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H trực tâm tam giác, N, P, Q trung điểm AH, AB, AC Chứng minh OPNQ hình bình hành
Bài 8: Cho ABC, góc nhọn Vẽ đường trịn đường kính AB, vẽ đường trịn tâm O đường kính AC Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) D E, cắt đường tròn (O) H K (các điểm xếp đặt theo thứ tự D, H, E, K)
a) Chứng minh BD, BE đường phân giác góc ·ABC; CK, CH đường phân giác góc ·ACB
b) Chứng minh BDAE, AHCK hình chữ nhật
Bài 9: Cho đường trịn (O) dường kính AB Vẽ bán kính OC vng góc với AB O Lấy điểm M trên cung AC Hạ MH OA Trên bán kính OM lấy điểm P cho OP = MH
a) Tìm q tích điểm P M chạy cung AC
b) Tìm quĩ tích điểm P lấy bán kính OM cho OP khoảng cách từ M đến AB M chạy khắp đường tròn (O)
(5)Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; R) (O’; R) hai dây AB, CD theo thứ tự thuộc hai đường tròn cho B C nằm A D AB < 2R
a) Chứng minh AD // OO’ b) Chứng minh AC = OO’ = BD
c) Gọi I trung điểm AD, chứng tỏ điểm I nằm đường cố định dây AB, CD thay đổi vị trí cho AB, CD ln B, C nằm A, D
Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn (O) cho AB đường kính Gọi I, K chân đường vng góc hạ từ A B xuống đường thẳng CD Chứng minh CI = DK
Bài 3: Cho đường tròn (O ; R) đường kính CD vng góc với dây AB điểm I. a) Tìm cơng thức tính R theo AI, CI
b) Miệng tháp nước hình vành khăn bị vỡ gần hết, cịn sót lại mảng cung trịn Hãy tìm cách đo đạc mảng cịn lại để tính đường kính miệng tháp
Bài 4: Cho đường tròn (O ; R) hai điểm A, B với AB < 2R Dựng qua A, B hai đường thẳng song song cho chúng tạo thành với đường tròn (O ; R) hai dây
Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) giao điểm I hai đường chéo Chứng minh I điểm chung đường tròn (O ; R) qua ba điểm I, A, D với đường tròn (O’ ; R’) qua I, B, C Bài 6: Cho ABC cân A có ba đỉnh nằm đường trịn (O ; R) Các đường phân giác góc B góc C cắt E cắt đường tròn D F Chứng minh ADEF hình thoi
Bài 7: Cho góc xOy· =600 Lấy điểm I cố định tia phân giác Ot góc xOy làm tâm vẽ đường trịn cho cắt Ox A, Oy B (A B không đối xứng qua Ot) Hạ ID Ox, IE Oy
a) Chứng minh DA = EB
b) Gọi T tâm đường tròn qua A, I, B Chứng minh TAI, TBI tam giác Xác định vị trí T cách nhanh
c) Tìm quĩ tích điểm T đường trịn tâm I có độ lớn bán kính thay đổi (nhưng cắt Ox, Oy) d) Tìm quĩ tích điểm H, trực tâm AIB (theo điều kiện câu c)
Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K dựng hình chữ nhật AHKO Lấy O làm tâm, vẽ đường trịn bán kính OK, đường tròn cắt cạnh AB D, cắt cạnh AC E Gọi F giao điểm thứ hai đường tròn (O) với đường thẳng AB Chứng minh:
a) AEF tam giác cân b) DO OE
c) D, A, O, E nằm đường tròn
Bài 9: Cho hai điểm A, B ngồi đường trịn tâm O Hãy dựng đường kính CD cho CA = DB
3 Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Tiếp tuyến đường trịn
Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Bài 1: Cho hai đường trịn (O) (O’) Một tiếp tuyến chung ngồi MM’, tiếp tuyến chung NN’ (M, N nằm (O) ; M’, N’ nằm (O’)) Các đường thẳng MM’ , NN’ cắt tiếp điểm P dây MN, M’N’ cắt PO, PO’ tương ứng điểm Q, Q’
a) Chứng minh tam giác MPO, M’O’P đồng dạng, suy
M 'O ' MP
M 'P =MO. b) Chứng minh
O 'Q ' PQ Q 'P =QO.
c) Kéo dài MQ, M’Q’ cắt điểm I Chứng minh ba điểm O, I, O’ thẳng hàng
Bài 2: Cho điểm M nằm ngồi đường trịn (O ; R) Kẻ tiếp tuyến MA cát tuyến MBC qua O. a) Chứng minh tam giác MAB, MCA đồng dạng Suy ra: MA2 = MB.MC.
bính R, biết MA = 20 cm ; MB = cm
Bài 3: Cho điểm M nằm ngồi đường trịn (O ; R) Các tiếp tuyến MA, MB có độ dài a tạo với góc a
a) Tính bán kính R theo a a
(6)Bài 4: Cho góc xAy điểm M nằm góc Tìm Ax điểm I cho khoảng cách từ I đến Ay IM
Bài 5: Cho tam giác cân OAB OA = OB ·AOB a= , đường tròn (O ; R) với R < OA Hạ đường cao OH tam giác OAB kẻ từ A, B tiếp tuyến AM, BN với đường trịn (O ; R) cho chúng khơng đối xứng với qua OH Gọi giao điểm đường thẳng AM với BN I Chứng minh độ lớn góc AIB khơng phụ thuộc vào R
Bài 6: Cho tam giác cân có cạnh đáy 10 cm, cạnh bên 13 cm Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
Bài 7: Tìm cạnh đáy tam giác cân, tâm đường tròn nội tiếp chia đường cao thành hai đoạn từ
tâm dến chân đường cao từ tâm đến đỉnh theo tỉ số 3 12.
Bài 8: Tìm đường kính đường trịn nội tiếp tam giác vuông cạnh huyền c tổng cạnh góc vng m
Bài 9: Cho góc xOy· =600 Một đường trịn tâm I bán kính R = cm, tiếp xúc với Ox A, tiếp xúc với Oy B Từ M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, cắt Ox E, cắt Oy F
a) Tính chu vi OEF Chứng tỏ chu vi có giá trị không đổi M chạy cung nhỏ AB b) Chứng minh ·EIF có số đo khơng đổi M chạy cung nhỏ AB
Bài 10: Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R dây AC tạo với AB góc 300 Tiếp tuyến của đường tròn C cắt đường thẳng AB D Chứng minh rằng:
a) OAC ~ CAD b) DB.DA = DC2 = 3R2.
Bài 11: Cho ABC vng A, đường cao AH Đường trịn tâm I đường kính BH cắt AB E, đường trịn tâm J đường kính HC cắt AC F Chứng minh rằng:
a) AH tiếp tuyến chung hai đường tròn (I) (J) H b) EF tiếp tuyến (I) E, tiếp tuyến (J) F
Bài 12: Cho ABC cân A Đường cao AH BK cắt I Chứng minh: a) Đường trịn đường kính AI qua K
b) HK tiếp tuyến đường tròn đường kính AI
Bài 13: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm D bán kính OB Gọi H trung điểm AD Đường vuông góc H với AB cắt nửa đường trịn C Đường trịn tâm I đường kính DB cắt CB E
a) Tứ giác ACED hình ? b) Chứng minh HCE cân H
c) Chứng minh HE tiếp tuyến đường tròn tâm I
Bài 14: Cho nửa đường trịn đường kính AB Từ A B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Lấy M điểm tùy ý nửa đường tròn, vẽ đường tiếp tuyến, cắt Ax C, cắt By D Gọi A’ giao điểm BM với Ax, B’ giao điểm BM với By Chứng minh rằng:
a) A’AB ~ ABB’ , suy AA’.BB’ = AB2. b) CA = CA’ ; DB = DB’
c) Ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng qui
Bài 15: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến Ax điểm A đường tròn Trên Ax chọn hai điểm B, C tùy ý (C nằm A B) vẽ hai tiếp tuyến BD, CE với đường tròn cho
a) Chứng minh: BOC· =DAE·
b) Giả sử B, C hai phía điểm A, chứng minh trường hợp BOC DAE· +· =1800.
4 Vị trí tương đối hai đường tròn
Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; cm) (O’ ; cm) cắt điểm phân biệt A B biết OO’ = cm Từ B vẽ đường kính BOC BO’D
(7)d) Tính độ dài đoạn AB, CA, AD
Bài 2: Hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi điểm A Đường thẳng OO’ cắt hai đường tròn (O) (O’) B C (khác điểm A) DE tiếp tuyến chung hai đường tròn, D (O) ; E (O’) Gọi M giao điểm hai đường thẳng BD CE Chứng minh rằng:
a) DME· =900;
b) MA tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’); c) MD.MB = ME.MC
Bài 3: Cho đường tròn (O ; R), điểm A nằm đường trịn điểm B khơng nằm đường tròn
a) Hãy nêu cách dựng qua B đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn cho A
b) Không cần dựng, vào kiện sau để xác định xem trường hợp dựng được, trường hợp khơng dựng đường trịn (O’) qua B tiếp xúc với (O) (hoặc tiếp xúc (O)) A
R = cm ; AB = cm ; BO = 4,5 cm R = cm ; AB = 12 cm ; BO = 13 cm R = cm ; AB = cm ; BO = 3,5 cm
Bài 4: Cho đường tròn (O ; R), đường tròn (O1 ; r1) tiếp xúc với (O ; R) đường tròn (O2 ; r2) vừa tiếp xúc với (O ; R) vừa tiếp xúc với (O1 ; r1)
a) Tính chu vi tam giác OO1O2 theo R
b) Dựng hai đường tròn (O1 ; r1) (O2 ; r2) biết R = cm ; r1 = cm
Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d điểm A nằm d Dựng đường tròn tiếp xúc với (O ; R) đồng thời tiếp xúc với d A
Bài 6: Cho hình vng ABCD, đường trịn tâm A, bán kính AB cắt đường trịn đường kính CD điểm M (M ≠ D) Chứng minh đường thẳng DM qua trung điểm I BC
Bài 7: Cho đường tròn (O ; R) tiếp xúc đường tròn (O’ ; R’) , R’ > R, điểm A Đường thẳng OO’ cắt hai đường tròn điểm thứ hai B, B’ Chứng minh tiếp tuyến chung ngồi đường trịn đường kính OO’, BB’ qua A
Bài 8: Cho hai đường trịn có bán kính cắt A B Trong nửa mặt phẳng bờ OO’, vẽ hai bán kính OC O’D song song với Gọi D’ điểm đối xứng D qua O’
a) Chứng minh AB, OO’, CD’ cắt trung điểm đoạn b) Chứng minh A trực tâm tam giác BCD
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD (AB > AD) Lấy A làm tâm vẽ đường trịn bán kính AD, cắt AB tại E Lấy B làm tâm vẽ đường trịn bán kính BE, cắt tiếp đường thẳng DE F
a) Chứng minh hai đường tròn (A ; AD) (B ; BE) tiếp xúc b) Chứng minh F, B, C thẳng hàng
Bài 10: Cho đường tròn tâm O điểm A cố định thuộc đường trịn (O) Cho đường thẳng d ngồi đường tròn Hãy dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d đồng thời tiếp xúc với (O) A
Bài 11: Cho hai đường tròn (O) (O’) bán kính 3R R tiếp xúc A Đường thẳng d1 qua A cắt (O) B, cắt (O’) B’ Đường thẳng d2 vng góc với d1 A cắt (O) C, cắt (O’) C’
a) Chứng minh BC’, CB’ OO’ đồng qui điểm M cố định b) Chứng minh tiếp tuyến chung PP’ TT’ cắt M
c) Gọi I chân đường vng góc hạ từ A xuống BC’ Tìm quĩ tích điểm I d1 d2 thay đổi vị trí (vẫn qua A vng góc với nhau)
Bài 12: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Góc vng xAy quay xung quanh điểm A, Ax cắt (O) B, Ay cắt (O’) C
a) Chứng minh OB // O’C
b) Gọi C’ điểm đối xứng C qua O’ Chứng minh B, A, C’ thẳng hàng
c) Qua O vẽ d AB, cắt BC M Tìm quĩ tích điểm M dây AB, AC thay đổi vị trí vng góc với
(8)Bài 14: Cho tam nhọn ABC, phân giác CD Lấy D làm tâm vẽ nửa đường trịn bán kính R tiếp xúc với AC E, tiếp xúc với CB F Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với nửa đường tròn (D) K, tiếp xúc với hai cạnh AC BC ABC
a) Chứng minh C, O, D thẳng hàng
b) Tính bán kính đường tròn tâm O biết AC = b, BC = a, ·ACB a=
5 ôân tập chương II
Bài 1: Cho đờng tròn (O) (O’) tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung (O) (O’); B, C hai tiếp điểm Tiếp tuyến chung hai đtròn A cắt BC M
a) Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn ( M ; BC/2 ) b) Đờng thẳng OO’ có vị trí đờng tròn ( M ; BC/2 ) c) Xác định tâm đờng tròn qua điểm O, O’, M
d) Chứng minh BC tiếp tuyến đờng tròn qua điểm O, O’, M
Bài 2: Cho đoạn thẳng AB trung điểm O AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax, By vng góc với AB Một góc vng có đỉnh O có hai cạnh cắt Ax By C D Gọi C’ giao điểm tia CO với tia đối tia By Chứng minh:
a) Tam gi¸c CDC’ tam giác cân
b) ng thng CD l tiếp tuyến đờng trịn đờng kính AB
c) Đờng trịn ngoại tiếp COD ln tiếp xúc với đờng thẳng cố định góc vng O thay đổi Bài 3: Cho hai đờng tròn (O) (O’) Các tiếp tuyến chung MN, PQ ( M,P nằm (O); N, Q nằm (O’) )
a) CMR: MN đối xứng với PQ qua đờng thẳng OO’ b) CMR: điểm M, N, P, Q nằm đờng tròn
c) Nối MQ cắt (O), (O’) tơng ứng điểm thứ hai A, B Chứng minh MA = QB Bài 4: Cho đờng tròn (O) tiếp tuyến xy tiếp điểm C nằm (O).
a) CMR nÕu d©y AB song song víi xy th× CA = CB
b) CMR đờng thẳng d song song với xy đồng thời tiếp xúc với (O) điểm D điểm C, O, D thẳng hàng
c) Cho hai đờng thẳng song song d1 , d2 cách khoảng cm, điểm M nằm hai đờng thẳng d1 , d2 cách d1 khoảng cm Hãy dựng đờng tròn qua M tiếp xúc d1 , d2
Bài 5: Cho đờng tròn (O) (O’) tiếp xúc với A Qua A kẻ đờng thẳng a cắt (O) C, cắt (O’) C’ đờng thẳng b cắt (O) B, cắt (O’) B’ Chứng minh BC // B’C’
Bài tập Nâng cao Chương 3 (Góc với đường trịn)
§1.Góc tâm - Số đo cung - Liên hệ cung dây
Bài 1: Trên đường tròn (O ; R) có điểm A, B, C, D, E AB đường kính; C điểm giữa cung AB; Tia OE nằm tia OA, OC dây CD R Ngoài ra, D E không thuộc nửa mặt phẳng bờ AB DOE· =900 Tính độ lớn tất góc tâm nhỏ 3600 có chứa OC
Bài 2: Gọi điểm cung đường tròn (O ; R) I, trung điểm dây trương cung K Chứng minh đường thẳng IK qua O
Bài 3: Chứng minh đường tròn với hai cung nhỏ 1800, cung lớn có khoảng cách điểm cung với trung điểm dây lớn hơn, đảo lại
Bài 4: Cho đường trịn (O ; r) Tìm hai cung khơng lớn nửa đường trịn, biết cung lớn gấp ba lần cung đồng thời có dây trương cung lớn gấp đôi dây trương cung nhỏ
Bài 5: Cho đường tròn (O) Hai dây cung AB CD vng góc với I Trung điểm dây
cung BC AD theo thứ tự M, N Chứng minh
1 1
OM AD ; ON BC
2 2
= =
Bài 6: Trên nửa đường trịn đường kính EF, tâm O, người ta lấy ba điểm A, B, C theo thứ tự E, A, B, C, F. Gọi M điểm thuộc cung BC mà BM¼ =MC¼
a) Chứng minh
¼ 1(» » )
AM AB AC
2
= +
b) Chứng minh
· 1(· · )
AOM AOB AOC
2
(9)Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC Đường tròn tâm I, đường kính AB, đường trịn tâm K đường kính AC cắt H (AB < AC)
a) Chứng minh điểm H nằm cạnh BC
b) Một cát tuyến d qua A cắt đường tròn (I) E, cắt đường tròn (K) F (A nằm E F) Hãy nêu đặc điểm tứ giác BCEF
c) d vị trí A trung điểm EF ?
Bài 8: Cho hai đường tròn đồng tâm (O ; r) (O ; R) Tìm quĩ tích điểm M cho từ vẽ các tiếp tuyến MP với (O ; R) MQ với (O ; r) MP MQ
Bài 9: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Trên nửa đường trịn đường kính AB lấy hai điểm C, D (khơng điểm trùng với A, B) Từ C kẻ CH AB, cắt tiếp đường tròn E Từ A kẻ AK DC, cắt tiếp đường trịn F Chứng minh DE = BF
Bài 10: Cho ABC, tia đối tia BC, lấy điểm D cho BD = BA Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE = CA
a) Chứng minh điểm I, tâm đường tròn ngoại tiếp ADE, nằm phân giác góc ·BAC b) Điểm I có vai trị ABC ?
Bài 11: Cho ABC vng A Đường trịn tâm I đường kính AB đường trịn tâm K đường kính AC cắt H Một đường thẳng d qua A, thuộc miền ngồi tam giác cắt đường trịn (I) E, cắt đường tròn (K) F
a) Tìm quĩ tích trung điểm M EF d thay đổi vị trí b) Xác định vị trí d để BCFE có chu vi nhỏ
§2.Góc nội tiếp – Góc tiếp tuyến dây
Bài 1: Cho ABC cân A Các đường trịn đường trịn đường kính AC, AB cắt AB H, cắt AC K. Một đường thẳng xy qua A cắt đường tròn thứ D, đường tròn thứ hai E
a) Chứng minh BK, CH, AN đồng qui (N giao điểm thứ hai hai đường tròn) b) Chứng minh D E hình chiếu vng góc B C xy
c) Chứng minh NDE cân
Bài 2: Từ điểm B đường trịn (O) kẻ đường vng góc BH với tiếp tuyến đường tròn tại điểm A cho trước Gọi I giao điểm thứ hai BH với đường tròn (O), gọi B’ điểm đối xứng điểm B qua tâm O
a) Chứng minh IAº =AB'¼ .
b) Chứng minh BA phân giác góc OBH
c) Khi B di động đường tròn, chứng minh đường phân giác ngồi góc OBH qua điểm cố định
d) Gọi M giao điểm BH với đường phân giác góc AOB, B di động M chạy đường ? Bài 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), BAC· =450, điểm C nằm cung AB lớn Người ta kẻ dây BM vng góc với AC dây CN vng góc với AB Gọi P, Q theo thứ tự giao điểm cặp đường thẳng BM CN, BN CM
a) Chứng minh MN đường kính (O) b) Tứ giác ABQC hình ?
c) Hãy xét vị trí tương đối hai đường thẳng AO PQ
Bài 4: Cho đường trịn (O) đường kính AB, C điểm cung AB, M điểm chạy trên cung CB Gọi N chân đường vng góc hạ từ C xuống AM
a) Chứng minh NCM vuông cân
b) Chứng minh độ lớn góc ONM khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M cung CB c) Xác định vị trí M cho MC // NB
Bài 5: Cho đường tròn (O) dây AB Gọi M điểm cung AB C điểm nằm A, B Tia MC cắt đường tròn (O) D
a) Chứng minh MC.MD = MA2. b) Chứng minh MBC ~ MDB
c) Chứng minh MB tiếp tuyến với đường tròn (O1) qua ba điểm B, C, D B
(10)Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R) Các đường cao AD, BE CI cắt H cắt đường tròn (O) theo thứ tự D’, E’ I’
a) Chứng minh DD’ = DH ; EE’ = EH
b) Chứng minh đường tròn qua H hai ba đỉnh A, B, C đường tròn (O) c) Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp D’E’I’
d) Hãy dựng ABC có ba đỉnh nằm đường trịn O cho trước, điểm A cho trước trực tâm H cho trước nằm đường tròn
Bài 7: Cho hai đường tròn đồng tâm điểm M cố định đường tròn nhỏ Qua M kẻ hai đường thẳng vng góc với nhau, đường cắt đường trịn nhỏ A khác M, đường cắt đường tròn lớn B C Khi hai đường thẳng quay quanh điểm M mà vng góc với C/m:
a) Tổng MA2 + MB2 + MC2 không đổi. b) Trọng tâm tam giác ABC điểm cố định
Bài 8: Trên dây AB đường tròn tâm O lấy điểm M tùy ý khác A B Vẽ đường tròn qua A, M, O. Gọi C giao điểm thứ hai đường tròn
a) So sánh góc AMC ABC· · b) So sánh MB MC
Bài 9: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Dây CD AB H Lấy điểm M tùy ý đường tròn Hai đường thẳng CM AB cắt F, hai đường thẳng DM AB cắt E
a) Chứng minh EMB ~ EAD ; EMB ~ EAC b) Chứng minh
EB FB
EA=FA.
Bài 10: Hai đường tròn (O ; R) (O’ ; R’) cắt M N Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B, C. Các đường thẳng MA, MB, MC cắt tiếp đường tròn (O’) A’, B’, C’
a) So saùnh caùc tam giaùc NAA’, NBB’, NCC’ Tính tỉ số NA
NA ' theo bán kính R, R’. b) Chứng minh NAB ~ NA’B’ ; ABC ~ A’B’C’
Bài 11: Cho đường trịn tâm O điểm P ngồi (O) Vẽ đường tròn (P ; PO) Hai đường tròn (O) (P) cắt A B Đường thẳng OP cắt đường tròn (P) điểm thứ hai C
a) Chứng minh CA tiếp tuyến đường tròn (O)
b) Lấy điểm D thuộc cung BA đường trịn (P) (cung có chứa điểm C) Chứng minh DO tia phân giác góc ·ADB
c) Gọi I giao điểm đoạn thẳng OD với đường tròn (O) C/m: AI tia phân giác góc ·BAD Bài 12: Cho đường trịn đường kính AB Lấy M đường tròn (khác A, B) cho MA < MB Lấy MA làm cạnh vẽ hình vuông MADE (E thuộc đoạn thẳng MB) Gọi F giao điểm DE AB
a) Chứng minh ADF ~ BMA
b) Lấy C điểm cung AB (không chứa M) Chứng minh CA = CE = CB
c) Trên đoạn thẳng MC lấy điểm I cho CI = CA C/m I tâm đường tròn nội tiếp AMB Bài 13: Từ điểm C bên ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến CA, CB.
a) Trình bày cách dựng đường tròn tâm K, qua C tiếp xúc với đường thẳng AB B
b) Đường tròn (O) (K) cắt B M C/m đường thẳng AM qua trung điểm I BC c) Chứng minh rKCB ~ rOAB
Bài 14: Cho nửa đường trịn đường kính AB, dây AC tia tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn (Bx trong nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường tròn) Tia phân giác góc CAB cắt dây BC F, cắt nửa đường tròn H, cắt Bx D
a) Chứng minh FB = BD ; HF = HD b) Chứng minh rHBD ~ rCAF c) Chứng minh DB2 = DH.DA.
d) Gọi M giao điểm AC với Bx Chứng minh MB2 = MC.MA
(11)Bài 16: Cho hai đường tròn tiếp xúc A Vẽ đường kính AB đường trịn lớn, cắt đường trịn nhỏ điểm thứ hai C Từ B vẽ tiếp tuyến BP với đường tròn nhỏ, cắt đường trịn lớn Q Chứng minh AP phân giác góc ·QAB
Bài 17: Lấy điểm M trung điểm cung AB thuộc đường tròn (O) Qua M vẽ hai dây MD, ME, chúng cắt AB C F
a) Chứng minh AFM· =MDE· b) Chứng minh MC.MD = ME.MF
c) Chứng minh đường thẳng MA tiếp xúc với đường tròn qua A, D, C (tại A)
Bài 18: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB cố định tia tiếp tuyến Ax nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường tròn Lấy M tùy ý nửa đường tròn Vẽ tia phân giác góc MAx, cắt đường thẳng BM I
a) Chứng minh rABI cân B
b) Tìm quĩ tích điểm I M chạy nửa đường tròn cho
Bài 19: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Qua A vẽ tiếp tuyến Ax với đường trịn (O) cắt đường trịn (O’) E Qua A vẽ tiếp tuyến Ay với đường tròn (O’) cắt đường trịn (O) D a) Chứng minh rABD ~ rEBA
b) Chứng minh
AE EB
AD BD
ổ ửữ
ỗ ữ=
ỗ ữ
ỗố ứ .
Đ3 Gúc có đỉnh bên hay bên ngồi đường trịn
Bài 1: Cho đường trịn (O) Đường kính AB chia đường tròn thành hai nửa đường tròn điểm C, D nằm hai nửa đường tròn Gọi M, N theo thứ tự điểm cung AC, AD Các giao điểm MN với AC, AD tương ứng E, F
a) Chứng minh AEF cân
b) Gọi giao điểm CN DM P xác định giao điểm hai đ.tròn (M ; MA) (N ; NA) c) Giả sử cung AC, AD không Các đường thẳng MN, CD cắt điểm H cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) theo thứ tự I, K HIK tam giác ?
Bài 2: Cho đường trịn (O ; R) với ba dây liên tiếp AB, BC, CD nhỏ R Các đường thẳng AB, CD cắt điểm I, tiếp tuyến đường tròn B, D cắt K
a) So sánh góc BIC BKD
b) Chứng minh ràng BC nằm tia phân giác góc KBD c) Chứng minh rIBC ~ rKBD rCBD ~ rIBK
d) Chứng minh IK // BC
Bài 3: Cho rABC cân A nội tiếp đường tròn (O ; R) điểm M cung nhỏ AC Tai Bx AM cắt tai CM D
a) Chứng minh AMD· =ABC· b) Chứng minh rBMD cân
c) Chứng minh M di động D chạy đường tròn cố định
d) Xác định vị trí M để tứ giác ABMD hình thoi Tính AM vị trí biết ·BAC a=
Bài 4: Từ điểm S nằm ngồi đường trịn (O) người ta kẻ tiếp tuyến SA cát tuyến SBC với đường tròn cho BAC 90· < Tia phân giác góc BAC cắt dây BC điểm D cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E Các tiếp tuyến của(O) C, E cắt điểm N Gọi P, Q theo thứ tự giao điểm cặp đường thẳng AB CE; AE CN
a) Chứng minh SA = SD b) Chứng minh EN // BC
c) So sánh hai tam giác QBC PCE d) Chứng minh hệ thức:
1 1 1
CN=CD+CP.
Bài 5: Một đường trịn (O) qua đỉnh A góc xAy cắt Ax, Ay điểm B, C cho AC > AB Đường trung trực BC cắt cung BAC điểm D Lấy điểm M, N tương ứng tia Bx, Cy cho BM = CN
(12)b) Chứng minh bốn điểm D, A, M, N nằm đường tròn c) Bốn điểm B, C, M, N có nằm đường trịn khơng ? Tại ?
Bài 6: Cho bốn điểm M, N, P, Q nằm đường thẳng theo thứ tự Hãy dựng hình vng ABCD cho đường thẳng AB, CD, AD, BC qua điểm M, N, P, Q
Bài 7: Cho hình thang ABCD (AD // BC) I giao điểm hai đường chéo Chứng minh đường tròn (O) qua I, A, D tiếp xúc với đường tròn (O’) qua I, B, C
Bài 8: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) I giao điểm hai đường chéo Chứng minh rằng đường vuông góc hạ từ I xuống đường thẳng AB trục đối xứng đường tròn qua I, C, D
Bài 9: Cho hai điểm A, B cố định Tìm tập hợp điểm C cho rABC có góc nhọn, A là góc nhỏ C góc lớn
Bài 10: Trong đường trịn (O), cho góc nội tiếp ·BAC; tâm O thuộc miền góc Gọi M, N điểm cung nhỏ BA , AC» » Dây MN cắt AB, AC D, E Chứng minh rADE tam giác cân A
Bài 11: Cho nửa đường tròn đường kính AB, dây AC Gọi D điểm cung AC Từ D hạ DE AB Gọi P, Q giao điểm AC với DE, BD
a) So sánh DAB với DQA· ·
b) Chứng minh P tâm đường tròn ngoại tiếp rADQ
Bài 12: Cho rABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi I, K tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp góc A Gọi P điểm cung »BC
a) Chứng minh A, I, P, K thẳng hàng b) Chứng minh PI = PK = PB = PC
Bài 13: Cho rABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) Các đường phân giác góc A, B, C cắt nhau I cắt đường tròn D, E, F
a) Chứng minh BDI tam giác cân
b) Gọi P giao điểm AB DF; Q giao điểm AC DE Chứng minh P, I, Q thẳng hàng c) Gọi K giao điểm AD BC Chứng minh
AI AD
IK=BD §4.Cung chứa góc
Bài 1: Bên góc ABC tam giác ABC dựng điểm M cho:
· · · ·
BMC=30 ; BMA 17 Tính góc BAM BCM= .
Bài 2: Cho ABC, BC = a, ·BAC a= Hai tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện để chu vi đạt giá trị lớn ?
Bài 3: Cho đường tròn (O ; R) tam giác cân ABC (AB = AC > R) có ba đỉnh nằm đường trịn đó. Kẻ đường kính AI Gọi M điểm cung nhỏ AC Mx tia đối tia MC Trên tia đối tia MB lấy điểm D cho MD = MC
a) Chứng minh MA tia phân giác góc BMx
b) Gọi K giao điểm thứ hai đường thẳng DC với đường trịn (O) Tứ giác MIKD hình ? Tại ?
c) Tìm quĩ tích điểm D M di động cung nhỏ AC
Bài 4: Xét đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tia Ax By song song với Một đường tròn tâm M tiếp xúc với AB, Ax, By theo thứ tự C, D, E
a) Nêu cách dựng đường tròn (M)
b) Chứng minh AD + BE không phụ thuộc vào vị trí Ax, By Chứng minh D, M, E thẳng hàng c) Chứng minh AM BM
d) Tìm tập hợp điểm M
Bài 5: Một điểm M nằm nửa đường trịn có đường kính AB cố định Trên tia đối tia MA lấy một điểm H cho MH = MB
a) Chứng minh góc MHB có độ lớn khơng đổi Tìm tập hợp điểm H b) Xác định điểm M cho chu vi tam giác MAB 2,25 lần AB
(13)Bài 6: Trên đường tròn (O), đặt cung »AB cố định Điểm C chạy cung Tìm quĩ tích tâm đường trịn nội tiếp rABC
Bài 7: Cho nửa đ.trịn đường kính AB cố định Trên dây AC kéo dài, lấy điểm D cho CD = CB. a) Tìm quĩ tích điểm D C chạy nửa đường tròn
b) Trên tia CA lấy điểm E cho CE = CB Tìm quĩ tích điểm E C chạy nửa đ.trịn c) Giải tốn thay đường kính AB dây PQ C chạy cung nhỏ »PQ
Bài 8: Cho đường tròn (O), dây AB cố định (AB < 2R) Điểm C chạy cung lớn AB Tìm quĩ tích trực tâm H tam giác ABC
Bài 9: Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB Vẽ dây AC Trên tia AC lấy điểm D cho AD = CB Đường vng góc với AC D cắt tiếp tuyến Ax nửa đường tròn E
a) Chứng minh ADE = BCA
b) Tìm quĩ tích điểm D C chạy nửa đường tròn cho
Bài 10: Cho nửa đường tròn đường kính AB Trên bán kính OC lấy điểm D cho OD khoảng cách CH từ C đến AB Tìm quĩ tích điểm D C chạy nửa đường tròn cho
Bài 11: Cho ABC với Aµ =72 ; B 840 µ = Điểm M thuộc miền ABC thỏa mãn: AMB 102· = ;
·
BMC 126= Tính số đo góc ·MBA
§5 Tứ giác nội tiếp – Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
Bài 1: Cho tam giác ABC (ACB 90· > 0) nội tiếp đường tròn (O) điểm M di động cung lớn AB Gọi I giao điểm MC với AB D giao điểm tiếp tuyến đường tròn (O) điểm B C
a) Gọi P, Q trung điểm IM, IA Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp b) Xác định vị trí điểm M để tứ giác BICD nội tiếp
c) Xác định vị trí M tứ giác AMPQ nội tiếp
d) Trong trường hợp tứ giác BICD AMPQ nội tiếp ABC tam giác ?
Bài 2: Cho đường trịn (O) với dây AB, S điểm cung nhỏ AB Từ S kẻ dây SM, SN cắt AB điểm P, Q
a) Chứng minh tứ giác MPQN nội tiếp b) So sánh tam giác SAM SPA
c) Xét vị trí tương đối đường trịn ngoại tiếp MAP với đường thẳng Á
Bài 3: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB điểm M nằm nửa đường trịn Người ta kẻ nửa mặt phẳng, bờ AB, có chứa điểm M tia Ax, By vng góc với AB Một đường trịn (O’) qua A, M cắt đoạn thẳng AB tia Ax điểm C, P; đường thẳng PM cắt By điểm Q a) Chứng minh tứ giác BCMQ nội tiếp
b) Chứng minh góc PCQ vng
c) Nêu nhận xét giải thích vị trí tương đối đường thẳng QC đường tròn (O’)
Bài 4: Chứng minh định lý: “Trong tứ giác lồi nội tiếp được, tích hai đường chéo tổng tích cạnh đối”
Bài 5: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) với AC > AB Hạ đường cao AH đường kính AD. a) Chứng minh: BAH· =CAD·
b) Chứng minh tia phân giác góc BAC tia phân giác góc HAO c) Chứng minh: ABC ACB· - · =HAO·
Bài 6: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H, G trực tâm trọng tâm ABC I là trung điểm cạnh BC
a) Chứng minh: HA = 2OI
b) Chứng minh H, G, O thẳng hàng
c) Dựng ABC, biết đường cao AD = cm, trung tuyến AG = cm trực tâm H trung điểm AD Bài 7: Cho ABC ngoại tiếp đường tròn (O ; r).
a) Chứng minh tiếp điểm thuộc cạnh chia cạnh thành hai đoạn cho tổng đoạn với cạnh khơng kề với nửa chu vi ABC Chứng minh S = pr, S, p diện tích nửa chu vi ABC
(14)c) Cho ABC, trung tuyến AM, BN cắt điểm G tứ giác CMGN ngoại tiếp đường tròn Chứng minh ABC cân
Bài 8: Cho ABC có ba góc nhọn điểm M nằm B, C Qua M dựng đường tròn (O) tiếp xúc với AB B đường tròn (O’) tiếp xúc với AC C; gọi giao điểm thứ hai chúng N Chứng minh rằng:
a) tứ giác ABNC nội tiếp
b) đường thẳng MN qua điểm cố định điểm M di động cạnh BC
c) Giả sử đường thẳng MN cắt tia AB, AC điểm Q, R Qua R kẻ đường thẳng tiếp xúc với (O) cắt tia AB điểm S; qua Q kẻ đường thẳng tiếp xúc với (O’) cắt tia AC điểm T Chứng minh tứ giác QSRT ngoại tiếp
Bài 9: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm M nằm (O) Gọi H, I, K theo thứ tự chân các đường vng góc hạ từ M xuống đường thẳng AB, BC, CA Chứng minh H, I, K thẳng hàng Bài 10: Cho ABC cân A ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi tiếp điểm (O) với AB, BC, CA lần lượt D, E, F
a) Chứng minh: DE // BF AF BC
b) Chứng minh đường tròn (O’) qua ba điểm B, O, C tiếp xúc với cạnh AB, AC
c) Gọi giao điểm thứ hai đường thẳng BE với đường tròn (O) M; giao điểm đường thẳng BC, DM N Chứng minh BN = NF
Bài 11: Cho tứ giác ABCD I giao điểm đường chéo Chứng minh bán kính các đường tròn nội tiếp tam giác IAB, IBC, ICD mà ABCD hình thoi
Bài 12: Từ điểm A ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm). Trên tia đối tia BC lấy điểm D Gọi E giao điểm DO AC Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), tiếp tuyến cắt đường thẳng AB K Chứng minh bốn điểm D, B, O, K thuộc một đường tròn
Bài 13: Cho rABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H trực tâm, I trung điểm BC. a) Tính tỉ số đoạn thẳng OH bị trung tuyến AI chia
b) Tính tỉ số đoạn thẳng AI bị đoạn OH chia
c) Gọi G trọng tâm rABC C/m O, G, H thẳng hàng OG = 1/2GH (đường thẳng qua O, G, H gọi đường thẳng Euler)
Bài 14: Cho rABC nhọn Tìm tập hợp điểm M thuộc miền tam giác thỏa mãn điều kiện
· · · ·
BAM=BCM ; CAM=CBM.
Bài 15: Cho hai đường tròn cắt A B Một đường thẳng qua A cắt hai đường tròn C D. Tìm quĩ tích tâm đường trịnngoaij tiếp tam giác BCD
Bài 16: Cho rABC cân A, Aµ =450, nội tiếp đường trịn (O) Đường trịn đường kính BC cắt AB M, cắt AC N
a) Chứng minh O thuộc đường tròn đường kính BC
b) Chứng minh: rAMC ; rANB tam giác vuông cân c) Chứng minh MONB hình thang cân Suy
2
MN BC.
2 =
Bài 17: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Từ D kẻ dây DE // AC Gọi K giao điểm của BE AC (giả sử K C hai nửa mặt phẳng khác bờ BD) Chứng minh:
a) rABK ~ rDBC
b) BC.AD + AB.CD = AC.BD
Bài 18: Trên đường kính AB đường tròn (O) lấy hai điểm T, S đối xứng qua O Lấy điểm M trên đường tròn cho MA < MB Các đường thẳng MT, MO, MS cắt tiếp đường tròn C, E, D Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB điểm F Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt ME L, cắt MC N
a) Chứng minh LN = LD
b) Hạ OH CD Chứng minh HLDE tứ giác nội tiếp c) Chứng minh FE tiếp tuyến đường tròn (O)
Bài 19: Cho rABC vuông A Dựng miền ngồi tam giác hình vng ABHK, ACDE. a) Chứng minh H, A, D thẳng hàng
(15)c) Giả sử ABC· >450 Gọi M giao điểm BF ED Chứng minh năm điểm B, K, E, M, C nằm đường tròn
d) Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp rABC
Bài 20: Cho rABC nhọn Các đường cao AH, BK, CL cắt I Gọi D, E, F trung điểm của BC, CA, AB Gọi P, Q, R trung điểm IA, IB, IC Chứng minh:
a) FQRE hình chữ nhật
b) PEDQ, PRDF hình chữ nhật
c) PD, QE, RF cắt trung điểm đoạn thẳng
d) điểm H, K, L, D, E, F, P, Q, R nằm đường tròn (đường tròn Euler)
Bài 21: Cho rABC nhọn, đường cao CH phân giác AM cắt I Từ B kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường thẳng AC D Gọi F hình chiếu AD đường thẳng AM Đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC cắt BI điểm thứ hai E Chứng minh:
a) A, B, F, D, E thuộc đường tròn b) E, C, F thẳng hàng
Bài 22: Cho đường tròn (O) dây AB cố định Lấy điểm P tùy ý đoạn thẳng AB Qua A, P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với đường tròn (O) A Qua B, P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với đường tròn (O) B Hai đường tròn (C) (D) cắt điểm thứ hai N Chứng minh:
a) OCPD laø hình bình hành b) PNO· =900
c) rANB ~ rCPD Khi P chạy đoạn thẳng AB N chạy đường ? d) NP qua điểm cố định
§6 Độ dài đường trịn – Diện tích đường trịn
Bài 1: Người ta chia đường tròn thành phần Lấy điểm chia làm tâm vẽ cung trịn bán kính R Tính chu vi đường riềm cánh
Bài 2: Từ đỉnh hình vng, vẽ miền hình vng cung trịn Tính chu vi của đường riềm cánh
Bài 3: Cho điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng cho AC = DB = 2a, CD = 2b Vẽ phía đường thẳng AB ba nửa đường trịn có đường kính AB, AC, DB Vẽ phía nửa đường trịn có đường kính CD Chứng minh diện tích hình giới hạn nửa đường trịn diện tích hình trịn có đường kính DA
Bài 4: Cho hình vng ABCD có cạnh a, vẽ phía hình vng nửa đường trịn đường kính AB, BC, CD, DA Hãy tính theo a diện tích hình giới hạn nửa đường trịn
Bài 5: Cho rABC vng A Vẽ nửa đường trịn qua A, B, C bên tam giác vẽ hai nửa đường trịn khác có đường kính AB, AC Chứng minh tổng diện tích hai hình trăng khuyết giới hạn nửa đường trịn đường kính BC hai nửa đường trịn bàng diện tích rABC
Bài 6: Cho hai đường tròn (C) (S) tâm o, bán kính R 2R Tiếp tuyến M đường tròn (C) cắt đường tròn (S) A B Gọi C giao điểm tia OM với đường tròn (S)
a) Chứng minh OAC OBC tam giác b) Tính diện tích P hình viên phân ACB
c) Tính diện tích P’ hình giới hạn hai tiếp tuyến AM, AN với đường trịn (C) d) Tính P + P’
……… r ………
(16)§2 Tính chất đối xứng
Bài 7: a) Ta chứng minh AA’ = BB’; suy AD = BE
b) Vì xOy· =600 nên dễ dàng chứng minh
· ·
AIB=DIE 120= Ta chứng minh ATI = BTI
Nên ATI· =BTI· =600 Suy tam giác
Lấy A (hoặc B) làm tâm vẽ cung trịn (A ; AI) cắt cung nhỏ AB T, tâm đường tròn qua A, I, B
c) Ta chứng minh đường trịn tâm T bán kính TI qua O Thật vậy, giả sử (T) cắt IO O’ cắt O’T T’
Ta có ITT '· =2IO 'T '· Nhưng BTT '· =2BO 'T '· Suy ITB· =2IO 'B· , IO 'B· =300
Ta có IOB· =300 Nếu O’B OB hai đường thẳng phân biệt IO 'B IOB· · có góc vị trí góc ngồi cịn góc góc BOO’, chúng Do BO BO’ trùng nhau, O’ trùng với O
PHẦN THUẬN: Ta có TI = TO T thuộc trung trực OI cố định Để đường trịn tâm T cắt tia Ox, Oy TOx ; TOy· · góc nhọn Do T nằm miền góc ·uOv xác định Ou Ox, Ov Oy Do T thuộc đoạn thẳng T1T2 vừa thuộc trung trực OI, vừa thuộc miền góc uOx (để A, B phân biệt)
PHẦN ĐẢO: Lấy T’ thuộc đoạn T1T2 vẽ đường trịn bán kính TI, cắt Ox A’, cắt Oy B, ta phải chứng minh đường tròn (I ; IA’) qua B (Chứng minh IDA’ = IEB’ IA’ = IB’)
KẾT LUẬN: Quĩ tích T đoạn thẳng T1T2, không kể T1, T2
d) AIBT hình thoi nên trực tâm H AIB nằm đường thẳng TI, Bz AI, ta chứng minh Bz BT
Ta chứng minh H thuộc (I) H đối xứng với T qua I
Quĩ tích trực tâm H đoạn thẳng H1H2 đối xứng T1T2 qua I không kể H1, H2
Baøi 8:
a) Ta c/m AO phân giác góc FAE nên AO trục đối xứng góc FAE AO đường thẳng chứa đường kính (O) nên AO trục đối xứng đường tròn (O) F giao điểm AB với (O) Hình đối xứng F giao điểm AC với (O), điểm E F E đối xứng qua AO Vậy AEF tam giác cân
b) Ta c/m được: DOI· =2DFO , EOI· · =2EFO· Suy DOE· =2DFE· =900 hay DO OE
c) Lấy I trung điểm DE, ta có ID = IA = IE = IO Vậy D, A, O, E nằm đường trịn tâm I bán kính DE/2
D' D
B
B' O
C A
Baøi 9:
A
F O
E I
D
C K H B
A'
I
B E T D
B' A O
(17)Ta có C D đối xứng qua O
Lấy B’ đối xứng A qua O B’ cố định CA có hình đối xứng qua O Là DB’ nên CA = DB’, DB = DB’
Suy D nằm trung trực d BB’…
§3 Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn – Tiếp tuyến
Baøi 9:
a) EM = EA ; FM = FB Suy OE + EF + OF = OA + OB. OIB có IOB· =300; ta tính OB=R 3; đó: OE + EF + OF = 2R 3
Giá trị 2R 3 khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Ta tính
· · 1· · 1 ·
AIB 120 ; EIM AIM ; MIF MIB
2 2
= = =
Suy
· 1· ·
EIF AIB hay EIF 60
2
= =
Vậy ·EIF có số đo khơng đổi M chạy cung nhỏ AB
Baøi 10:
a) Tính số đo góc, ta CAO· =300
Hai tam giác OAC CAD có CAO· =30 (chung); ACO0 · =ADC· =300 Vaäy OAC ~ CAD
b) Tam giác COB tam giác đều, OCA· =300 (có nhiều cách chứng minh),
·
CBD 120= Dễõ dàng chứng minh OAC ~ BCD Suy BD = R DCB ~ DAC
DC DB
DA=DC Do DA.DB = DC2 mà DB = R , DA = 3R. Vậy DA.DB = DC2 = 3R2.
Baøi 11:
a) Gọi I trung điểm BH I tâm đường trịn đường kính BH Gọi J trung điểm HC J tâm đường trịn đường kính BH
Ta có IH AH suy AH tiếp tuyến đường trịn đường kính HC Vậy AH tiếp tuyến chung hai đường tròn (I), (J)
b) Chứng minh khơng khó khăn AFHE hình chữ nhật Gọi P giao điểm AH EF. Ta có PE = PF = PH = PA
Chứng minh PEI ~ PHI (c.c.c), suy IEP· =IHP· =900 Vậy EF tiếp tuyến đường tròn (I) Chứng minh PFJ ~ PHJ (c.c.c), suy PFJ· =PHJ· =900 Vậy EF tiếp tuyến đường tròn (J)
Baøi 12:
B I
A
F M
E
O
30 30
30 O
C
D B A
J
I H
C B
P F
E A
K I
H C
B
(18)a) Gọi O trung điểm AI ta có OA = OI = OK Vậy đường trịn tâm O đường kính AI qua K
b) Ta có AOK cân AKO· =OAK· (góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) Ta lại có HK = HB nên HBK· =HKB· Từ ta c/m OK HK.
Vậy HK tiếp tuyến đường trịn O
Bài 13:
a) ACED hình thang vuông
b) Đặt AB = 2R, AD = 2x, DB = 2y HA = HD = x. Ta có hệ thức sau: x + y =R hay HI = R
OH = OA – AH = (x + y) – x = y hay OH = y
Hai tam giaùc OHC IEH có: OH = IE = y ; OC = IH = R ; COH· =HIE· (ñv) Suy OHC = IEH (c.g.c)
Do HC = EH hay HCE tam giác cân H
c) Do OHC = IEH nên Hµ = =Eµ 900, tức HE IE Vậy HE tiếp tuyến đường trịn tâm I
Bài 14:
a) Tự giải.
b) CA = CM (hai tieáp tuyeán cắt C)
Lấy I trung điểm AM, CI đường trung bình AA’M Vậy CA = CA’ Tương tự DB = DB’
c) Ta có AA’ // BB’. Lại có
AC DB
1 CA '=DB'= Vậy B’A’, DC, AB đồng qui
Bài 15:
a) CO AE P, BO AD Q. Gọi I giao điểm OP AQ Hai tam giác PAI QOI có:
µ · ·
P= =Q 90 ; PIA=QIO $
Suy BOC· =DAE·
b) Tứ giác AQOP’ có P$= =Qµ 90 hay P Q 1800 $+ =µ mà tổng góc tứ giác lồi 3600 , suy ra BOC ' DAE ' 180· +· =
§4 Vị trí tương đối hai đường trịn
Bài 8:
a) AOBO’ hình thoi (AO = OB = BO’ = O’A) nên AB OO’ cắt I, trung điểm chung AB OO’ D’ đối xứng D qua O nên D’ thuộc O’
E I D O
H B
C
A
O I K
C A'
M x
B'
D
B A
P'
I Q
O E'
C
C E
D A
B
D' I
B D A
O' O
(19)OCO’D’ hình bình hành (OC // O’D’ ; OC = O’D’)
AB CD’ cắt trung điểm đoạn Nhưng trung điểm AB I, nên CD’ qua I
Vậy AB, OO’, CD’ cắt I, trung điểm đoạn thẳng
b) Tứ giác OCDO’ hình bình hành nên OO’ // CD Vì BA OO’ nên BA CD. Tứ giác ACBD’ có IA = IB, IC = ID nên ACBD’ hình bình hành AD’ // CB Vì DA AD’ (DD’ đường kính) suy DA CB Vậy A trực tâm BCD
Baøi 9:
a) B, A, E thẳng hàng, suy hai đường tròn (A ; DA), (B ; BE) tiếp xúc E
b) Ta c/m ADF· =AED· =FEB· =DFB·
· ·
ADF=DFBÞ BF // AD (*)
Vì ABCD hình bình hành BC // AD (**) Từ (*) (**) ta suy C, B, F thẳng hàng
Bài 10:
Tâm đường trịn tiếp xúc với (O) A nằm đường thẳng OA Giả sử đường tròn (I) thỏa mãn yêu cầu đề bài, tiếp xúc với D B Tại A vẽ tiếp tuyến chung cắt d P, PB = PA Từ ta suy cách dựng
Bài 11:
a) A 'BA· =BAC· =900 Þ A’B // AC Ta coù
· ·
· · ·
OA 'B O 'AC '
OBA ' O 'C'A (OA 'B) =
= =
Do OA’B ~ O’AC’
Ta có BOC đường kính đường trịn (O), B’O’C’ đường kính đường trịn (O’) Ta có BC // B’C’
O 'C ' O 'B' 1
OB = OC =3 nên OO’ , BC’ , B’C đồng qui M. Ta lại có
MO ' O 'C 1
MO = OB =3 Suy M điểm cố định. b) Giả sử PP’ cắt OO’ M1, ta chứng minh
1
M P MO ' 1
MP = MO =3 Suy M1 trùng với M.
c) Phần thuận: AIM· =900 (A, I cố định), đồng thời I không miền ngồi góc PMT Do I nằm cung trịn đường kính AM, giới hạn hai tiếp tuyến MP, MT, cung I1I2 (khi B vị trí P C’ vị trí P’)
Phần đảo: Lấy I’ cung I1I2 Đường thẳng MI’ cắt (O) B1, cắt (O’) C’1, ta phải chứng minh ·
1
B AC ' =1v AI’ B
1C*1 (có thể sử dụng định lí đảo định lí Thales) Kết luận: Quĩ tích điểm I cung I I»1 2.
C D
F
E B
A
I'
B' A
O
P B I
T
C I''
T' C'
B' P' I' I P B
d2 d1
M O'
A O
(20)Baøi 13:
Ta tính B Cµ + =µ 2A ; A B C 180µ µ + + =µ µ suy Aµ =600 Ta tính BC = R 3 Gọi I tâm đường tròn nội tiếp, Gọi D, E, F tiếp điểm (I) với AB, BC, CD Trong tam giác IAD vuông D ta thấy IAD· =IAF· =300, ID = IF = r, AD = AF = r 3
Ta coù: SABC = p.r = 1
2(AB + BC + CA).r =
1
2(AD + AF + DB + CF + CE + EB).r Trong DB + CF = BE + EC = R 3
Thay giá trị biết thu gọn ta SABC = r.(R + r) 3
Bài 14: Ta chứng minh được
DE = DF = R ; SACD = 1
2b.R ; SBCD = 1
2a.R ; SABC = 1
a.b.sin
2 a.
Ta rút
ab.sin R
a b a =
+ .
Ta tính
· · 1800
EDC FDC
2 a
-= =
Gọi M, N giao điểm tiếp tuyến chung K với AC BC
· 1800
KDN
4 a -=
Ta chứng minh CMN cân C nên:
0 ab
MK KN R.tg 45 tg 45 .sin
4 a b 4
a a a
ổ ửữ ổ ửữ
ỗ ỗ
= = ỗốỗ - ứữữ= + ỗỗố - ữữứ
Do OK= =r KN.tgKNO· ,
· 1800 ab
KNO 45 Suy r .sin tg 45
4 4 a b 4
a a a ổ aử
- ỗ ữ
= = - = + ỗỗố - ữữứ
I O D F
E C
B A
F E
D K
N M
C