Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 135 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
135
Dung lượng
1,78 MB
Nội dung
ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: GIẢI TÍCH I Thời gian: Tuần lễ: 1, Tiết 01 - 05 Chương Đơn vị: Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT Giáo viên: Tơ Văn Ban Bùi Văn Định Nguyễn Thị Thanh Hà Giới hạn, liên tục Giới hạn – Liên tục; Mục đích Nắm vài khái niệm tập số sup, inf, định lý yêu cầu cận trên; Tìm giới hạn dãy thơng thường, dãy đơn điệu; Tìm giới hạn hàm dùng phép thay tương đương; Nắm tính chất hàm liên tục, liên tục đoạn kín, giới nội a) Bài giảng §1.1, §1 Giới thiệu học phần GIẢI TÍCH I (15 phút) Giải tích tốn học mơn tốn học liên quan đến vấn đề biến đổi chuyển động Phương tiện chủ yếu nghiên cứu đại lượng vơ bé Nó đề cập đến chuyện đại lượng tiến đến đại lượng Hai nhánh giải tích phép tính vi phân phép tính tích phân liên hệ với định lý giải tích Dưới dạng tốn giải tích, I Newton giải thích chuyển động hành tinh xung quanh mặt trời Ngày nay, giải tích dùng để tính tốn quỹ đạo vệ tinh, dự báo kích cỡ quần thể, số kinh tế, dự báo thời tiết, đo thông số tim mạch, tính tốn phí bảo hiểm Một số chứng minh định lý lược giản, dung lượng kiến thức, tầm sâu trí tuệ tư lơ gíc hoàn toàn đảm bảo, đủ để sinh viên kỹ thuật công nghệ dư sức lĩnh hội dung lượng môn học khác - mà nhiều ngày lớn - bậc đại học Chúng trọng đến khía cạnh áp dụng vấn đề Những ví dụ, tập có tính ứng dụng cao trả lời cho người học câu hỏi học phần này, để làm gì, tác dụng với mơn học tiếp, với lực người kỹ sư tương lai Chúng ta thấy nhiều ví dụ, tập liên quan đến thực tiễn Các khái niệm, định lý, tính chất thường phát biểu lời kết hợp với cơng thức Chính sách riêng Mỗi lần lên bảng chữa tập ghi nhận, cộng vào điểm trình 0.5 điểm Chữa tập sai không bị trừ điểm Hết Chương nộp Bài làm Bài tập Chương Tài liệu tham khảo TT Tên tài liệu Tác giả Nxb Năm xb Giáo trình Giải tích I Tơ Văn Ban Giáo dục 2012 Tốn học cao cấp (T2,3) Giải tích Bài tập giải tích Bài tập Giải sẵn giải tích I Calculus (Early Transcendentals), Nguyễn Đình Trí … Trần Bình Nguyễn Xn Viên Trần Bình Jon Rogawski Giáo dục 2007 KH KT HVKTQS KH KT 2007 2006 2007 W.H.Freeman and Co 2007 BÀI TẬP VỀ NHÀ Ví dụ: Tự đọc; Bài tập: Chữa lớp CHƯƠNG I Trợ: 3; 4(b); 7; 11; 17(b); 25(b) Chính: 8(a, b, c); 9; 12(11 31, Chữa: 11, 14, 16, 18, 24, 27, 29, 31 ); 13(d i: Chữa: e, f, i); 14( a-f, Chữa: a, b, d, f); 15; 19(a, b); 20; 23 Ví dụ cuối chương (b, d, e) CHƯƠNG II Trợ: 1(1, 3, 5, 7, 9, 12, 15, 17, 19); 18(a, d, e); 34; 36(a, b); 41, 42 Chính: 1(13, 21); 3; 6(a, b); 7(b); 9(a,b); 12(a, b, c, d); 13(d); 15(a, c); 16; 18(a); 21; 22(a, b); 25(c); 32(a, b, c, d); 38(a, b); 39(b) BS Nghiệm lại định lý Rolle với hàm số sau, rõ điểm trung gian c định lý tồn tại: 1 x x (a) f (x) x đoạn [-1,1]; (b) f (x) đoạn [-1,1] x 1 x BS Biết hàm ẩn y y(x) từ phương trình xy ln y khả vi y(2) Hãy tính y x VD 2.8; VD 2.16(a, b); 2.21; 2.26(a, b, d); 2.30(d); 2.33; VD 39; VD 2.40 (hình 2.32 a: r arc sin ) CHƯƠNG III Trợ: 1(2, 3, 4, 10, 14, 15, 25, 34, 38) ; 14 (a); 15(a); 18; 25(a, c) Chính: 1(7, 19, 21, 22, 24, 27, 29, 30); 3(g); 2(c,d); 4(a, b); 10(c); 18 19(c, d, e, f); 20(b, c); 21 (a, b); 22; 34(h, i, j, k, l); 35(a f, Chữa: a, b, c)); 36(a i, Chữa: a, b, d, h, i ) BS Xét hội tụ ác ctích phân suy rộng x5 ex dx , x s inx dx ; dx ; dx ; sin x dx ; x x x arctan x dx ; sin 2x dx x6 x2 x x2 1 x5 0 1 x VD 3.26; VD 3.27; VD 3.28 VD 3.32; VD 3.38 (a, b); VD 3.39; VD 3.40; VD 3.41; VD 3.42; VD 3.43; VD 3.44(a) CHƯƠNG IV Trợ: 1( 2, 5, 11, 12, 13, 18, 26); 2, 3( 1, 5, 9, 12); 5(b, f) Chính: 1(28, 29, 30); 11(6); 12(c); 14 (c l, Chữa: c, e, f, i, j, l); 15(a, b, c); 16(a, b); 18(d, e); 21; 23 (c, e); 24(a, b); 26(a i, Chữa: a, c, e, h) 27(a f, Chữa: a, c, d, f); 33(a, c); 34(a, b, c) BS f (x) ln(1 2x) Tính đạo hàm f (2000) (0) x BS Xét hội tụ 12 12 25 n5 n 1n x BS Cho chuỗi hàm n 1 2n 2x n a) Tính tổng riêng thứ x = b) Tìm miền hội tụ chuỗi VD 4.19 (ii); VD 4.23(ii); VD 4.24 (ii, iii, iv); VD 4.25(i, iv)); VD 4.26(1,3) ; 4.5.7 (Ví dụ khác) (a, b, c); VD4.29 (ii) Tài liệu tham khảo cho Học phần GTI TT Tên tài liệu Tác giả Nxb Giáo trình Giải Tơ Văn Ban Nxb Giáo dục tích I Giải tích I Trần Bình KH KT Tốn học cao cấp Nguyễn Đình Giáo dục (T 2) Trí … Bài tập Giải tích Nguyễn Xuân HV KTQS Viên Bài tập Giải sẵn Trần Bình KH KT giải tích Tập Calculus (Early Jon Rogawski W.H.Freeman and Co Transcendentals), Năm xb 2012 2007 2007 2006 2007 2007 CẤU TRÚC ĐỀ THI, CÁCH THỨC CHO ĐIỂM Về phần Số điểm Lý thuyết 2đ Chương 1: Giới hạn, liên tục 2đ Chương 2: Đạo hàm 2đ Chương 3: Tích phân 2đ Chương 4: Chuỗi 2đ Điểm thi 10đ Điểm trình 10đ Điểm chuyên cần 10đ Tổng điểm = điểm chuyên cần x 10% 10đ + điểm trình x 20% + điểm thi x 70% Câu số Câu Câu Câu Câu Câu Hình thức thi: Thi viết Bầu lớp trưởng lớp học phần Kết quả: Số điện thoại giáo viên: Địa Email cần: Webside cần: Danh sách SV (Ít cột kiểm tra sĩ số) Chương GIỚI HẠN, LIÊN TỤC § 1.1 SỐ THỰC (3 tiết) 1.1.1 Mở đầu a Giới thiệu tập số * 1, 2, , n, : * ; * 0, 1, , n, : * , 2, 1, 0, 1, 2, : p * , q * , p : ( trường) q Trong khơng có phần tử kiểu 2, e, , , gọi số vô tỷ Cần đưa vào số vô tỷ để - tập số thực - rộng b Tiên đề số thực Chúng ta công nhận tồn tập hợp số thực, ký hiệu , có trang bị phép cộng + , phép nhân , quan hệ thứ tự thỏa mãn tiên đề (i) – (iv) đây: (i) ( , , ) trường, cụ thể là: (Xem [1]) (ii) quan hệ thứ tự toàn phần , cụ thể là: 1) có tính chất phản xạ: a , a a 2) có tính chất phản đối xứng: a b a, b , a b b a a b 3) có tính chất bắc cầu: a, b, c , a c b c a b 4) quan hệ thứ tự toàn phần: a, b b a Nếu a, b a b, a b , ta nói a nhỏ b viết a b (iii) Giữa phép tốn , quan hệ thứ tự có mối liên hệ sau đây: 1) a b a c b c 2) d 0, a b a d bd (iv) Mỗi tập khơng trống bị chặn có cận Riêng tiên đề (iv) cần có giải thích tỷ mỉ sau c Cận, bị chặn Ta nói x cận (hay biên trên) tập hợp A a A, a x Ta nói y cận (hay biên dưới) tập hợp A a A, y a Ta nói x phần tử lớn (hay giá trị lớn nhất) tập hợp A x A x cận A: x A a A, x a Ký hiệu phần tử lớn tập hợp A Max(A) Tương tự khái niệm phần tử nhỏ nhất; ký hiệu Min(A) Khi A hữu hạn, ta dùng ký hiệu Max(a1 , , a n ) hay Max a i 1 i n Tập A gọi bị chặn tồn (ít nhất) cận Tương tự ta hiểu khái niệm bị chặn Tập hợp A gọi bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn Supremum Phần tử bé cận tập hợp A, tồn tại, gọi cận A, ký hiệu Sup(A) Phần tử lớn cận tập hợp A, tồn tại, gọi cận A, ký hiệu Inf(A) Có thể xảy trường hợp Sup(A) A (và) Inf (A) A Chẳng hạn A (a; b) Dễ thấy tiên đề iv) tương đương với: iv') Mỗi tập không trống bị chặn có cận d Nhúng vào (☼) (☼) Hình 1.1 Mỗi số hữu tỷ xem số thực e Các loại khoảng Có loại khoảng suy rộng sau 1) a, b x : a x b , 6) (a, ) x : a x , 2) [a, b) x : a x b , 7) (, a] x : x a , 3) (a, b] x : a x b , 8) ( , a) x : x a 4) (a, b) x : a x b , 9) (, ) 5) [a, ) x : a x , Các khoảng a, b ; (, a]; [b, ); (, ) : (a, b); ( , a); (b, ); ( , ) : đóng, mở, : nửa đóng, nửa mở; [a, b); (a, b] a, b : (đầu) mút khoảng 1.1.2 Các tính chất tập số số thực a Các bất đẳng thức thường gặp x ; x 0 x y x, y, u, v , xu yv 0 u v Bất đẳng thức Cauchy: x x n n Với x1 0, , x n x1 x n n Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopski-Schwartz: n n n x i yi x i yi i1 i1 i1 b Giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối số thực x số thực, ký hiệu |x|, xác định x x 0, | x | x x c Khoảng cách thông thường d Cận Chúng ta nhắc lại tiên đề cận đúng: Mọi tập A khơng trống bị chặn có cận Sup(A) Hệ Mọi tập A không trống bị chặn có cận Inf(A) Định lý 1.1 Cho A tập không trống Khi (*) M mét cËn trª n , M Sup(A) (**) 0, a A : M a M Chứng minh (i) Điều kiện cần Giả sử M Sup(A) Vậy M cận Ta giả sử không xảy (**), nghĩa 0, a A, a M 0 Như vậy, M cận A Rõ ràng M M Vậy M không cận nhỏ nhất, mâu thuẫn (ii) Điều kiện đủ Giả sử xảy (*) (**) Như M cận Giả sử M không cận nhỏ Vì A bị chặn (ít M) nên tồn cận nhỏ M' M M Đặt M M Theo (**), a A : M M (M M) M a M Vậy M không cận trên, mâu thuẫn Lưu ý Điểm a nói (**) Sup(A) khơng Bạn đọc dễ dàng phát biểu khẳng định tương tự với Inf(A) Ví dụ 1.1 Tìm cận đúng, cận đúng, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2 (nếu có) tập hợp E , n * n e Căn bậc n số dương (☼) (☼) Mệnh đề a 0, n nguyên dương, ! b cho b n a Phần tử b ký hiệu n 2, ta ký hiệu a thay cho n a hay a1/n gọi bậc n a Với a Độc giả tự xử lý tương tự với bậc lẻ số âm: 2n 1 a , a f Tính chất Archimede - Phần nguyên Định lý 1.2 có tính chất Archimede sau đây: 0, A 0, n * : n A 2 A n Định lý 1.3 Với x , tồn số nguyên n cho n x n Số nguyên gọi phần nguyên x, ký hiệu [x] g Sự trù mật (☼) Định nghĩa Cho hai tập hợp số thực A, B, A B Ta nói tập hợp A trù mật tập hợp B b B, 0, a A : b a b Hệ quả: Cho x y hai số thực bất kỳ, x y Tồn số hữu tỷ a để x a y Hình ảnh trực quan: Hai số thực - dù gần - ln có số hữu tỷ (☼) h Số vô tỷ Một số thực gọi số vơ tỷ khơng số hữu tỷ (Tập số vô tỷ ) x y Lưu ý x , y xy x / y (Tổng, tích, thương số hữu tỷ với số vô tỷ số vô tỷ) Định lý 1.5 Tập hợp số vô tỷ trù mật 1.1.3 Tập số thực mở rộng 1.1.4 Lực lượng , (☼) Định nghĩa Cho hai tập A B A gọi có lực lượng bé lực lượng B tồn đơn ánh f : A B A B gọi có lực lượng (có lực lượng nhau) tồn song ánh f : A B Lực lượng tập hợp A ký hiệu Card(A) (có tài liệu ghi #A) Nếu A tập hữu hạn n phần tử: A {a1 , , a n } quy ước Card(A) n Nếu lực lượng A bé lực lượng B ta viết Card(A) Card(B) Tập hợp A gọi có lực lượng đếm được, gọi tắt: A tập đếm được, xếp phần tử A thành dãy; cụ thể là, tồn song ánh f : * A Tập hợp vô hạn tập đếm được gọi có lực lượng khơng đếm (gọi tắt: tập khơng đếm được) Tính chất Lực lượng tập số hữu tỷ [0, 1] đếm Ngồi có: Tập số hữu tỷ đếm Tập điểm hình vng đơn vị [0, a] [0, a] với hai tọa độ hữu tỷ đếm § 1.2 GIỚI HẠN DÃY SỐ (2 tiết) 1.2.1 Sự hội tụ - Phân kỳ a Những khái niệm kết mở đầu a.1 Dãy số Một ánh xạ xác định tập số nguyên dương nhận giá trị thực u : , n u(n) gọi dãy số u1 u(1) : số hạng thứ nhất, …, u n u(n) : số hạng thứ n hay số hạng tổng quát Ký hiệu dãy số {u n , n 1, 2, } hay {u n , n 1} hay đơn giản {u n } Dãy số viết dạng khai triển: u1, u , , u n , Cũng hay xét dãy , n 1 , , n 3 , , n 1 n n n 1 1 1 1 Chúng , , , , , , , , 1, , , 5 a.2 Sự hội tụ, phân kỳ dãy số Định nghĩa Dãy {u n } gọi hội tụ đến giới hạn (hay có giới hạn ) với số , tồn N cho | u n | , n N Khi ta viết lim u n hay u n (n ) n Hình ảnh trực quan điều là: Từ số N đủ lớn trở đi, u n "rơi" vào lân cận ( , ) {u n } dãy hội tụ … {u n } dãy phân kỳ nếu: Chú ý Rất dễ dàng nhận kết quả: lim u n lim | u n | n n Định lý 1.6 (Tính giới hạn) Giới hạn dãy số, tồn Cụ thể là: lim u n 1 n 1 ( | ) ( | ) lim u n n 1 2 Chứng minh Chú ý Mỗi dãy dừng (nghĩa khơng đổi từ số hạng trở đi) dãy hội tụ, hội tụ đến số không đổi nêu Hai dãy số trùng từ số hạng trở hội tụ hay phân kỳ Nếu ta thay đổi số hữu hạn số hạng, hay thêm vào bớt số hữu hạn số hạng dãy dãy hội tụ hay phân kỳ dãy dãy cho a.3 Dãy bị chặn Ta nói dãy { u n } bị chặn (tương ứng: bị chặn trên, bị chặn dưới) tập hợp {u n , n 1, 2, } bị chặn (tương ứng: bị chặn trên, bị chặn dưới) Định lý 1.7 Dãy hội tụ bị chặn Chứng minh a.4 Giới hạn vơ hạn Ta nói dãy {u n } tiến đến + (hay {u n } có giới hạn + ) nếu: L 0, N : n N, u n L Khi ta viết lim u n u n (n ) n Chúng ta dễ hiểu ý nghĩa ký hiệu u n (n ) Ta nói dãy {u n } tiến đến (hay {u n } có giới hạn , {u n } nhận làm giới hạn) nếu: L 0, N : n N, | u n | L Định lý 1.8 Mỗi dãy dần bị chặn Tương tự, dãy dần bị chặn Chứng minh b Tính chất thứ tự giới hạn Định lý 1.9 Giả sử {u n }, {v n } hai dãy thỏa mãn điều kiện u n v n với n N tồn giới hạn lim u n u; lim v n v Khi u v n n Định lý 1.10 Cho hai dãy {u n }, {v n } N , n N, u n v n lim lim u n n n Chứng minh Định lý 1.11 (Định lý kẹp) Cho {u n }, {v n }, {w n } ba dãy Nếu từ số N trở xảy bất đẳng thức u n w n v n {u n } {v n } hội tụ đến giới hạn {w n } hội tụ đến n N, u n w n v n ; lim u lim u lim w n n n n n n c Các phép toán giới hạn Định lý 1.12 Cho {u n }, {v n } hai dãy, , , ba số thực (a ) u n (n ) | u n || | (n ) (b) u n (n ) | u n || | (n ) u n (n ) (c) u n v n (n ) v (n ) n (d) u n (n ) u n (n ) u n (n ) (e) u n v n (n ) {v n } bị chặn u (n ) (f ) n u n v n (n ) v n (n ) 1 (g) u n (n ) dãy xác định từ số N un 1 trở (n ) un u u n , v n (n ) dãy n xác định từ u số N trở lim n n v n (h) Chứng minh Chúng ta chứng minh (e) (h) Định lý 1.13 Cho hai dãy {u n }, {v n } (a) * u n (n ) u n v n (n ) v n bị chặn díi * u n (n ) u n v n (n ) v n (n ) * u n (n ) u n v n (n ) v n (n ) u n (n ) (b) u n v n (n ) C 0, N , n N, v n C (c) 1 u n (n ) xác định từ số un (n ) un (d) u n (n ) (n ) N, n N, u n u n 10 a n 1 2n (n ) an n 1 (i) Đây chuỗi lũy thừa, Vậy R / khoảng hội tụ chuỗi (1 / 2; / 2) Tại x 1 / , chuỗi trở thành 1 1 Đây chuỗi điều hòa đan dấu nên hội tụ 1 , chuỗi phân kỳ Tóm lại, miền hội tụ chuỗi cho [1/2, / 2) Tại x /2, chuỗi trở thành n (ii) lim n n (x 2) n 1 2n u n (x) lim (x 2) n 2n n (x 2) , hội tụ Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi phân kỳ (x 2) 1, x x * Tại x chuỗi trở thành n n n 1 n 2n 2n 2n n 1 n 1 Ta dùng tiêu chuẩn D'Alembert Cauchy cho chuỗi nhận , song nhận thấy n 2n 1 2n 1 lim a n lim 1 e1/2 : Chuỗi phân kỳ n n 2n ĐS: x n n 1 n Cách II Đặt t (x 2) chuỗi t khảo sát n 1 2n thông thường (Tuy nhiên với chuỗi lũy thừa này, ta không cần xét mút trái t 2 khoảng hội tụ (-2, 2) t ) (iii) Rõ ràng khơng thể lũy thừa hóa chuỗi Ta có x x 2n x u n 1 x lim lim n u n x n x 2n 1 / x x x Vậy với x 1 : Chuỗi hội tụ * Xét x 1 chuỗi 1n , chuỗi phân kì n 1 ĐS: ( , 1) (1, 1) (1, ) 4.5.3 Tính chất chuỗi lũy thừa 121 lim a n n # Cho chuỗi lũy thừa (4.12) với khoảng hội tụ (-R, R) tổng chuỗi hàm S(x) (-R, R) Định lý 4.19 Chuỗi (4.12) hội tụ tuyệt đối khoảng hội tụ (-R, R) Định lý 4.20 Với [a, b] ( R, R) tùy ý, chuỗi (4.12) hội tụ [a, b] (Chuỗi lũy thừa hội tụ đoạn tùy ý nằm khoảng hội tụ nó) Định lý 4.21 Tổng S(x) chuỗi lũy thừa (4.12) hàm số liên tục khoảng hội tụ ( R, R) Nếu chuỗi hội tụ mút trái (phải) khoảng hội tụ tổng S(x) liên tục phía phải (trái) mút Định lý 4.22 Có thể lấy tích phân số hạng chuỗi lũy thừa (4.12) đoạn [a; b] nằm khoảng hội tụ (-R, R) nó: b b n n a n x dx a n x dx n 0 a n 0 a (4.18) Đặc biệt, x (R, R) , x a a n n 1 a n t dt a x 21 x n n x n 0 Một cách tương đương, (4.19) a a n n 1 a n x dx C a 0x 21 x n n x (4.20) n 0 Chuỗi vế phải (4.19), (4.20) có khoảng hội tụ (-R, R) Định lý 4.23 Có thể lấy đạo hàm số hạng chuỗi lũy thừa (4.12) điểm khoảng hội tụ nó: x ( R, R) n n 1 (4.21) a n x a1 2a x na n x n 0 Chuỗi vế phải (4.21) có khoảng hội tụ (-R, R) Hệ Có thể lấy đạo hàm (hoặc lấy nguyên hàm) số tùy ý lần chuỗi lũy thừa khoảng hội tụ nó; chuỗi thu có khoảng hội tụ với khoảng hội tụ chuỗi cho 4.5.4 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa a Vấn đề khải triển hàm thành chuỗi lũy thừa (xem [1]) Định nghĩa * Cho hàm số f(x) xác định điểm x lân cận có đạo hàm cấp x Chuỗi hàm f (x ) f (n) (x ) (x x ) (x x ) n 1! n! gọi chuỗi Taylor hàm f(x) x f (x ) * Nếu x , chuỗi Taylor trở thành 122 (4.24) f (0) f (n) (0) n x x (4.25) 1! n! gọi chuỗi Maclaurin hàm f(x) * Nếu chuỗi Taylor (4.24) hội tụ lân cận I (x , x ) điểm x hội tụ đến f(x) lân cận này: f (0) f (x ) f (n) (x ) (x x )1 (x x ) n , x I 1! n! ta nói hàm f(x) khai triển thành chuỗi Taylor lân cận nêu x f (x) f (x ) Từ phân tích ta nhận định lý sau đây: Định lý 4.24 (Tính khai triển) Nếu f(x) khai triển thành chuỗi Taylor lân cận điểm x : f (x) a a1 (x x ) a (x x ) x (x , x ) f(x) khả vi vô hạn lân cận chuỗi vế phải chuỗi (4.24) b Điều kiện để hàm số khai triển thành chuỗi Taylor (☼) c Khai triển Maclaurin số hàm sơ cấp ex x x2 xn 1! 2! n! x ( , ) 2n 1 x3 x5 n 1 x sin x x (1) 3! 5! (2n 1)! x ( , ) x2 x4 x 2n (1) n x ( , ) 2! 4! (2n)! ( 1) ( n 1) n (1 x) x x x ( 1,1) n! cos x x x x n 1 x x ( 1,1) n x x3 n 1 x ln(1 x) x (1) n x ( 1,1] 2n 1 x3 x5 (n 1) x arctan x x (1) 2n x [ 1,1] Dùng khai triển Maclaurin trên, đơi ta nhanh chóng nhận khai triển hàm số Xét ví dụ sau Ví dụ 4.21 Tìm khai triển Maclaurin hàm số y x3 3 x x3 x3 Giải y 1 (x / 3) (x / 3) (1 (x / 3)) 123 x x x n ( 1) n 1 x n 3 n 1 # 4.5.5 Ứng dụng a Tính gần giá trị biểu thức Xem mục 2.4.3 b Tính đạo hàm điểm cho trước Dùng khai triển quen biết ta tìm khai triển Taylor hàm f(x): f (n) (x ) f (x) a n (x x ) (x x )n n! n 0 n 0 n Khi tìm đạo hàm hàm x sau: f (n) (x ) an f (n) (x ) a n n! (4.28) n! Ví dụ 4.22 Cho hàm số f (x) s in x Tính đạo hàm f (2000) (0) (1)n 1 2n 1 (1) n 1 4n 2 f (n) (0) n Giải sinx x sinx x x n! n 1 (2n 1)! n 1 (2n 1)! n 0 4n 2000 n 500.5 không nguyên Vậy f (2000) (0) Ngồi ta có a y (2k 1) (0) y (4k) (0) a 4k 2k 1 1 y (8k 2) (0) (8k 2)! a 8k (4k 1)! (4k 1)! (8k 6) 1 1 (0) (8k 6)! a 8k y (4k 3)! (4k 3)! 4.5.6 Tính tổng số chuỗi (☼) # a Sử dụng trực tiếp chuỗi quen biết Ba chỗi thông dụng x x x x n , x ( 1,1) : 1 x “chuỗi hình học” hay “chuỗi cấp số nhân” x xn e x (, ) 1! n! x : “chuỗi e – mũ” x2 xn (1) n 1 x (1,1) … : “chuỗi loga” n b Đạo hàm hay tích phân chuỗi quen biết hay chuỗi cho Bước 1: Đưa khai triển quen biết, ví dụ ln(1 x) x 124 x x x x n 1 x x (1, 1) Bước (nếu cần): Đạo hàm hay tích phân vế khoảng hội tụ, ví dụ (1 x) (1 x) 2x 3x nx n 1 x (1, 1), 2.3 x 3.4 x n(n 1) x n 2 x ( 1, 1), x x3 x xn n x ( 1, 1), ln(1 x) x ln(1 x) x x x3 x xn (1)n 1 n x (1, 1) Bước (nếu cần): Biểu diễn chuỗi cho thông qua chuỗi Bước (nếu cần): Thay x x thích hợp Cũng ta làm bước với chuỗi cho Nhớ việc lấy đạo hàm thường dễ lấy tích phân Đạo hàm chuỗi cho Tích phân chuỗi quen biết Đạo hàm chuỗi quen biết Tích phân chuỗi cho c Tách chuỗi cho thành tổng B TẬP: Chuỗi có dấu tuỳ ý (2 tiết) b) Thảo luận c) Tự học d) Bài tập chuẩn bị tối thiểu Tài liệu Tài liệu [1] (GT GT 1), tr ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: GIẢI TÍCH I1 Đơn vị: Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT Thời gian: Tuần lễ:14 , Tiết 65 - 70 Giáo viên: Tô Văn Ban Bùi Văn Định Nguyễn Thị Thanh Hà Chương Chuỗi § 4.6 Chuỗi Fourier Mục đích - yêu cầu g) Bài giảng BÀI TẬP: Chuỗi hàm, Chuỗi luỹ thừa (2 tiết) 125 § 4.6 CHUỖI FUORIER (2 tiết) 4.6.1 Chuỗi lượng giác Định nghĩa Chuỗi hàm a (a n cos nx bn sin nx) (4.31) n 1 a , a1 , a , , b1 , b , gọi chuỗi lượng giác Hai định lý sau nêu lên tính chất khởi đầu chuỗi lượng giác Định lý 4.26 Nếu hai chuỗi | an | n 1 | bn | hội tụ chuỗi lượng n 1 giác (4.31) hội tụ tuyệt đối Chứng minh Ta có u n (x) a n cos nx bn sin nx | a n | | b n | Theo tiêu chuẩn Weierstrass ta thu đpcm Định lý 4.27 Nếu a n b n (n ) chuỗi lượng giác (4.31) hội tụ x 2k (k ) 4.6.2 Chuỗi Fourier a Chuỗi Fourier hàm số Bổ đề Cho p, q số nguyên Khi ta có: sin px dx 0; cos px dx (p 0); cos px sin qx dx 0; 0, p q cos px cosqx dx , p q 2, p q 0; 0, p q sin px sin qx dx 0, p q , p q (4.32) Bây giả sử hàm số f(x) tuần hoàn chu kỳ 2 khai triển thành chuỗi lượng giác dạng f (x) a0 (a n cos nx b n sin nx), x n 1 (4.33) Giả sử lấy tích phân số hạng chuỗi vế phải a0 f (x) dx dx a n cos nx dx bn n 1 126 sin nx dx a 0 Vậy a f (x)dx Nhân hai vế (4.33) với cos kx, k 1, 2, giả sử chuỗi thu vế phải lấy tích phân số hạng, ta đến: a0 cos kx dx f (x) cos kx dx a n cos nx cos kx dx b n n 1 sin nx cos kx dx ak cos kx cos kx dx a k a k f (x)cos kx dx Lại nhân hai vế (4.33) với sin kx, k 1, 2, giả sử chuỗi thu vế phải lấy tích phân số hạng, ta a f (x)sin kx dx 20 sin kx dx a n cos nx sin kx dx b n sin nx sin kx dx n 1 bk sin kx sin kx dx b k b k f (x)sin kx dx Tóm lại, hệ số a i , bi phải thỏa mãn a f (x)dx, a (4.34) n f (x)cos nx dx, n 1, 2, b f (x)sin nx dx, n 1, 2, n Định nghĩa Cho hàm f(x) tuần hồn, khả tích đoạn [ , ] Các hệ số a n , b n xác định theo (4.34) gọi hệ số Fourier hàm f(x) Chuỗi lượng giác tương ứng a0 (a n cos nx b n sin nx) n 1 gọi chuỗi Fourier hàm f(x) Nhận xét Nếu hàm f(x) tuần hoàn chu kỳ 2 127 a f (x) dx f (x)dx, a (4.35) a Vậy, tính hệ số Fourier, ta lấy tích phân đoạn có độ dài 2 Tính chất Nếu thêm điều kiện f(x) hàm chẵn thì: n 1, 2, b n 0, (4.36) a n f (x) cos nx dx, n 0, 1, 2, Nếu thêm điều kiện f(x) hàm lẻ thì: a n 0, (4.37) b n f (x)sin nx dx, n 1, 2, Chứng minh Nếu hàm f(x) chẵn hàm f (x)cos nx chẵn, hàm f (x)sin nx lẻ Trái lại, f(x) lẻ hàm f (x) cos nx lẻ, hàm f (x)sin nx chẵn Sử dụng Ví dụ 3.22 ta nhận đpcm b Điều kiện đủ để có khai triển Fourier Định nghĩa Hàm số f(x) gọi đơn điệu khúc đoạn [a, b] có số hữu hạn điểm a a a1 a n b cho khoảng (a , a1 ); ; (a n 1 , a n ) hàm f(x) đơn điệu Tính chất Hàm bị chặn đơn điệu khúc có điểm gián đoạn loại Định lý 4.28 (Định lý Diriclet) Nếu hàm f(x) tuần hoàn chu kỳ 2 , đơn điệu khúc bị chặn đoạn [ , ] chuỗi Fourier hội tụ điểm đến tổng S(x): a0 S(x) (a n cos nx b n sin nx) n 1 (4.38) Hơn nữa, nÕu x điểm liê n tục f(x), f (x) S(x) f (x 0) f (x 0) x điểm gián đoạn f(x) Lưu ý Để đơn giản, ta viết công thức (4.38) dạng f (x) a0 (a n cos nx b n sin nx) n 1 với ý nêu 128 (4.39) Ví dụ 4.26 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) tuần hoàn chu kỳ 2 biết khoảng [ , ) f(x) = x Hình 4.6 Hàm y x, x [ , ) thác triển tuần hồn Ta nhận thấy hàm thỏa mãn điều kiện Định lý Diriclet, khai triển thành chuỗi Fourier Ta có a n f (x)cos nx dx 0, n 0, 1, 2, bn 2 x sin nx dx ( 1) n 1, n 1, 2, 0 n 1 sin nx f (x) sin x sin 2x sin 3x (1) n 1 n Lưu ý x tổng chuỗi S() f ( 0) f ( 0) Tương tự, S() # c Khai triển Fourier hàm tuần hoàn chu kỳ 2 Giả sử hàm f(x) tuần hoàn chu kỳ 2 , đơn điệu khúc, bị chặn Bằng phép đổi biến x x x x (x : x : ) ta f (x) f x F(x ) Thế F(x) hàm tuần hoàn chu kỳ 2 , đơn điệu khúc, bị chặn Vậy ta khai triển thành chuỗi Fourier: F(x) a0 (a n cos nx bn sin nx) n 1 f (x) a0 nx nx a n cos bn sin n 1 hay 129 (4.40) a F(x )dx f (x) dx, 1 nx a n F(x )cos nx dx f (x)cos dx, 1 nx b n F(x )cos nx dx f (x)sin dx (4.41) Ví dụ 4.27 Khai triển hàm f (x) cos x thành chuỗi Fourier Giải Hàm f(x) tuần hoàn chu kỳ Hơn nữa, hàm chẵn nên bn 0, n 1, 2, Theo (4.41), a0 an Vậy /2 /2 .2 /2 cos x dx /2 f (x)cos /2 nx dx / /2 cos x cos 2nx dx [cos (2n 1)x cos(2n 1)x]dx cos x ( 1) n 1 , n 1, 2, 4n cos 2nx (1)n 1 4n n 1 Vì hàm f (x) cos x liên tục nên công thức với x # d Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier Giả sử f(x) hàm đơn điệu khúc, bị chặn [a, b] Ta xây dựng hàm số g(x): - Tuần hoàn chu kỳ T 2 b a ; - Đơn điệu khúc, bị chặn; - g(x) f (x), x [a, b] Rõ ràng có nhiều hàm Ta gọi việc làm thác triển tuần hồn hàm f(x) cho Khi hàm g(x) khai triển thành chuỗi Fourier, tổng chuỗi g(x), f(x) điểm liên tục hàm f(x) Đặc điểm chuỗi thu là: Nếu hàm g(x) chẵn: Chuỗi gồm toàn hàm số cosin; Nếu hàm g(x) lẻ: Chuỗi gồm tồn hàm số sin 1, Ví dụ 4.28 Cho hàm số f (x) x, x 1 1 x Hãy khai triển hàm thành chuỗi Fourier cho chuỗi thu (a) chứa hàm số sin; (b) chứa hàm số cosin 130 Giải (a) Xét hàm g(x) , tuần hoàn chu kỳ x [0, 2] f (x), g(x) f ( x), x [ 2, 0] Hàm đơn điệu khúc, bị chặn, tuần hoàn chu ký 2 nên khai triển thành chuỗi Fourier Hơn nữa, hàm g(x) lẻ nên chuỗi chứa hàm số sin a n 0, n 0, 1, bn nx nx g(x)sin dx f (x)sin dx 2 2 nx nx n sin dx (2 x) sin dx sin 2 n (n) 2 k 1 n 2 (2k 1)2 (1) , n 2k 2 , n 2k n nx (1)n 1 (2n 1)x g(x) sin 2 sin (*) n 1 n 2 n 1 (2n 1) Vậy Trên đoạn [0, 2], tổng chuỗi f(x) 0x2 f (x), (b) Bây đặt g(x) x f ( x), Hàm g(x) chẵn, b n 0, n 1, 2, Ta tính a n Từ ta g(x) x 2x 3x cos cos cos 2 2 (**) 4x 5x 6x cos cos cos 2 Vì g(x) liên tục nên đồng thức xảy với x Từ khai triển khai triển f(x) [0, 2] # Nhận xét (i) Chuỗi hàm số (*) có hệ số cỡ , chuỗi hàm n số (**) có hệ số cỡ Chuỗi (**) hội tụ nhanh n (ii) Người ta chứng minh rằng, hàm f(x) liên tục hệ số Fourier có cấp VCB , Từ chuỗi Fourier hội tụ Trái lại, n hệ số Fourier hàm gián đoạn có cấp VCB 1/n e Áp dụng để tính tổng số chuỗi 131 Ví dụ 4.29 Cho hàm số f(x) tuần hoàn chu kỳ 2 , f (x) x với x [ , ] Hãy khai triển hàm f(x) thành chuỗi Fourier Dựa vào tính (i) ( 1)n 1 n n 1 (ii) ; n 1 n ; (iii) n 1 (2n 1) Giải Hàm f(x) thỏa mãn điều kiện khai triển thành chuỗi Fourier Nó hàm chẵn, b n 0, n 1, 2, 2 a x dx 2 ; a n x cos nx dx 4( 1)n 0 0 n f (x) 2 cos nx 4 (1)n n2 n 1 Các tổng riêng S2 S5 chuỗi thể Hình 4.7 * x : f (0) 2 2 (1) n Sa 12 n n 1 2 n cos n * x : f () 4 (1) 2 3 n n 1 n 1 n 2 2 Sb 4 2 Sa Sb Ta ghi lại kết đẹp đẽ để sử dụng sau * Sc 1 22 33 42 2 , 2 , 12 1 32 52 72 (4.42) # 2 TÓM TẮT CHƯƠNG q n q q : Chuỗi hình học, hội tụ | q | n 0 1 n : Chuỗi điều hoà, phân kỳ n 1 1 1 (1)n 1 : Chuỗi điều hoà đan dấu, hội tụ n 132 1 n p 1p 2p 3p : p – chuỗi, hội tụ p n 1 Chuỗi số dương phân kỳ phân kỳ tới vô Tiêu chuẩn so sánh u n , u n , un , v n hội tụ phân kỳ n 1 n 1 Tiêu chuẩn D’Alembert un chuỗi số dương, lim n n 1 chuỗi u n hội tụ; u n phân kì n 1 n 1 un Tiêu chuẩn Cauchy n chuỗi số dương, lim n n 1 u n 1 un un u n hội tụ; un n 1 n 1 phân kì Tiêu chuẩn tích phân f(x) liên tục, đơn điệu giảm [a, ) f (x)dx u n ( u n f (n) ) hội tụ phân kì n 1 a Tiêu chuẩn Leibniz u n chuỗi đan dấu u1 u u hội tụ Hội tụ tuyệt đối | u n | hội tụ u n hội tụ; un n 1 n 1 n 1 gọi hội tụ tuyệt đối Hội tụ u n (x), x X hội tụ D X đến S(x) n 1 0, N N(), n N : Sn (x) S(x) , x D Tiêu chuẩn Weierstrass u n (x) a n , a n hội tụ u n (x) hội tụ tuyệt đối, D n 1 n 1 Miền hội tụ chuỗi lũy thừa Một dạng ( R, R), ( R, R], [ R, R), [ R, R ] ; R: bán kính hội tụ, ( R, R) : khoảng hội tụ lim n a n 1 lim n a n R n an 133 Có thể lấy đạo hàm (hoặc lấy nguyên hàm) số tùy ý lần chuỗi lũy thừa khoảng hội tụ nó; chuỗi thu có khoảng hội tụ với khoảng hội tụ chuỗi cho Khai triển Taylor f (x) f (x ) f (x ) f (n) (x ) (x x )1 (x x ) n 1! n! Tính đạo hàm điểm f (x) a n (x x ) n f (n) (x ) a n n! n 0 Khai triển Maclaurin số hàm sơ cấp Tính tổng chuỗi hàm: Dùng chuỗi quen biết - Đạo hàm hay tích phân chuỗi quen biết hay chuỗi cho - Tách chuỗi cho thành tổng Chuỗi Fourier * f(x) tuần hoàn chu kỳ 2 , đơn điệu khúc, bị chặn: f (x) a0 (a n cos nx b n sin nx) n 1 a n f (x)cos nx dx, n 0, 1, 2, b n f (x)sin nx dx, n 1, 2, * f(x) tuần hoàn chu kỳ 2 , đơn điệu khúc, bị chặn: a0 nx nx f (x) a n cos b n sin n 1 nx dx, n 0, 1, 2, a n f (x) cos nx b n f (x)sin dx, n 1, 2, *CƠNG BỐ KẾT QUẢ điểm Q trình, điểm thường xun Học viên thắc mắc – Giáo viên trả lời điểm Quá trình – Thường xuyên b) Thảo luận c) Tự học d) Bài tập chuẩn bị tối thiểu Tài liệu Tài liệu [1] (GT GT 1), tr 134 ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: GIẢI TÍCH I Đơn vị: Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT Thời gian: Tuần lễ: 15, Tiết 70-75 Giáo viên: Tô Văn Ban Bùi Văn Định Nguyễn Thị Thanh Hà Chương Chuỗi Fourier (2tiết) Ôn tập Chữa chưa có điều kiện chữa Làm lại ví dụ chưa kịp giới thiệu (3 tiết) (Giáo viên làm chính) Chuẩn bị Nhắc lại câu hỏi lý thuyết, cách học chúng thi Một số kinh nghiệm thi Nhắc lại tinh thần nghiêm túc thi cử Nhắc số quy đinh kỳ thi Mục đích * Củng cố tập cũ - yêu cầu * Sẵn sàng để thi cuối học kỳ a) Bài giảng 135 ... b, d, f); 15; 19(a, b); 20; 23 13 ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: GIẢI TÍCH II Thời gian: Tuần lễ: 2, Tiết - 10 Đơn vị: Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT Giáo viên: Tô Văn Ban Bùi Văn Định Nguyễn Thị Thanh... (GT GT 1), tr Tài liệu ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: GIẢI TÍCH II Thời gian: Tuần lễ: 3, Tiết 11 - 15 Chương Mục đích - u cầu Đơn vị: Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT Giáo viên: Tô Văn Ban Bùi Văn Định Nguyễn... liệu Tài liệu [1] (GT GT 1), tr ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: GIẢI TÍCH I1 Thời gian: Tuần lễ: 4, Tiết 16 - 20 Chương Đơn vị: Bộ môn Tốn, Khoa CNTT Giáo viên: Tơ Văn Ban Bùi Văn Định Nguyễn Thị Thanh