Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 197 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
197
Dung lượng
3,42 MB
Nội dung
PGS TS TƠ VĂN BAN BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH I (Phiên bê ta II: 03-09 / 2010) Hà nội - 2010 M ỤC L ỤC Mục lục Lời nói đầu Các ký hiệu hay sử dụng Chương I Giới hạn, liên tục §1.1 Số thực 1.1.1 Mở đầu 1.1.2 Các tính chất sơ cấp số thực 1.1.3 Các tính chất 1.1.4 Đường thẳng thực mở rộng 1.1.5 Lực lượng , § 1.2 Giới hạn dãy số 1.2.1 Hội tụ - Phân kỳ 1.2.2 Dãy đơn điệu § 1.3 Hàm biến số 1.3.1 Các phương pháp biểu diễn hàm số 1.3.2 Hàm chẵn, lẻ, 1.3.3 Hàm số ngược 1.3.4 Các hàm sơ cấp 1.3.5 Một số hàm thông dụng khác 1.3.6 Mơ hình tốn học § 1.4 Giới hạn hàm số 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Các tính chất giới hạn hàm số 1.4.3 Các phép toán giới hạn 1.4.4 Sử dụng VCB, VCL để tìm giới hạn § 1.5 Sự liên tục 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Các tính chất sơ 1.5.3 Các tính chất hàm liên tục đoạn kín 1.5.4 Bổ sung giới hạn 1.5.5 Một số ví dụ Chương Đạo hàm, vi phân §2.1 Đạo hàm vi phân cấp 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Các phép toán với đạo hàm điểm 2.1.3 Đạo hàm hàm hợp 2.1.4 Đạo hàm hàm ngược 2.1.5 Đạo hàm theo tham số 2.1.6 Bảng đạo hàm 2.1.7 Đạo hàm phía, đạo hàm vơ 2.1.8 Vi phân 2.1.9 Đạo hàm hàm ẩn §2.2 Đạo hàm vi phân cấp cao 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Quy tắc Leibnitz 2.2.3 Vi phân cấp cao §2.3 Các định lý giá trị trung bình 2.3.1 Định lý Rolle 2.3.2 Định lý Lagrange 2.3.3 Quy tắc L'Hơpital §2.4 Cơng thức Taylor 2.4.1 Thiết lập công thức 2.4.2 Khai triển Marlourin số hàm sơ cấp 2.4.3 Ứng dụng § 2.5 Các ứng dụng đạo hàm 2.5.1 Quy tắc tìm cực trị, giá trị lớn nhất, bé 2.5.2 Lồi, lõm, điểm uốn 2.5.3 Khảo sát hàm số y f (x) 7 11 12 15 16 18 18 23 30 30 37 37 39 40 42 42 42 43 46 47 48 48 51 52 55 56 59 59 59 60 61 61 62 63 64 64 66 68 68 69 70 70 70 72 74 76 76 77 78 80 80 80 80 2.5.4 Khảo sát đường cong cho dạng tham số 2.5.5 Khảo sát đường cong cho dạng tọa độ cực 2.5.6 Mối quan hệ vận tốc Chương III Tích phân § 3.1 Tích phân 3.1.1 Định nghĩa, tính chất 3.1.2 Bảng tích phân 3.1.3 Phương pháp tính tích phân bất định 3.1.4 Tích phân bất định số lớp hàm sơ cấp § 3.2 Tích phân xác định 3.2.1 Định nghĩa tính chất mở đầu 3.2.2 Các lớp hàm khả tích 3.2.3 Các tính chất tích phân xác định 3.2.4 Cách tính tích phân xác định 3.2.5 Tính gần tích phân xác định § 3.3 Ứng dụng tích phân xác định 3.3.1 Tính diện tích hình phẳng 3.3.2 Độ dài đường cong 3.3.3 Thể tích vật thể 3.3.4 Diện tích mặt cong 3.3.5 Tọa độ trọng tâm 3.3.6 Moment tĩnh, moment qn tính, cơng… 3.3.7 Định lý biến thiên toàn cục 3.3.8 Hai lược đồ áp dụng tổng qt § 3.4 Tích phân suy rộng 3.4.1 Tích phân với cận vơ hạn 3.4.2 Tích phân hàm khơng bị chặn 3.4.3 Một số ví dụ Chương Chuỗi § 4.1 Chuỗi số 4.1.1 Định nghĩa 4.1.2 Điều kiện cần chuỗi hội tụ 4.1.3 Tiêu chuẩn Cauchy 4.1.4 Các tính chất phép tốn § 4.2 Chuỗi số dương 4.2.1 Các tính chất mở đầu 4.2.2 Các quy tắc khảo sát hội tụ § 4.3 Chuỗi với dấu 4.3.1 Chuỗi đan dấu 4.3.2 Hội tụ tuyệt đối § 4.4 Chuỗi hàm số 4.4.1 Sự hội tụ, miền hội tụ 4.4.2 Hội tụ 4.4.3 Tính chất chuỗi hàm hội tụ § 4.5 Chuỗi lũy thừa 4.5.1 Khái niệm chuỗi lũy thừa, bán kính hội tụ 4.5.2 Quy tắc tìm bán kính hội tụ 4.5.3 Tính chất chuỗi lũy thừa 4.5.4 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa 4.5.5 Ứng dụng 4.5.6 Tính tổng số chuỗi 4.5.7 Một số ví dụ 4.5.8 Sự tồn hàm liên tục không khả vi § 4.6 Chuỗi Fourier 4.6.1 Chuỗi lượng giác 4.6.2 Chuỗi Fourier Tài liệu tham khảo 85 87 94 96 96 96 98 98 104 112 112 113 115 118 125 128 128 129 131 132 133 133 133 134 137 137 141 142 149 149 149 150 151 151 152 152 153 156 156 157 159 159 160 161 162 162 163 164 165 167 169 176 178 179 179 179 186 KÝ HIỆU HAY SỬ DỤNG Ký hiệu , , * n (a; b), [a; b], (a; b], |a| [x] {x} n! Max A (MinA) lim x n Ý nghĩa tập số thực, tập số thực dương tập số tự nhiên 0,1,2,…, tập số 1, 2, tập số nguyên 0; 1; 2; tập số hữu tỷ không gian Euclide thực n chiều khoảng suy rộng : khoảng, đoạn, nửa khoảng trị tuyệt đối số thực a, phần nguyên số thực x {x} phần phân (lẻ) số thực x x = x - [x] ; tập hợp gồm phần tử x giai thừa n ! = n phần tử lớn (nhỏ nhất) tập A giới hạn dãy số xn n giới hạn hàm số f(x) x dẫn đến a lim f (x) x a lim f (x), ( lim f (x)) giới hạn hàm số f(x) x dần đến a từ bên phải (từ bên trái) x a x a hàm số; - giá trị hàm f điểm x hàm ngược hàm f(x) f(x) 1 f (x) f : A B df x dx ' f (x ) (f ' (x )) f ' x ; f (n) (x); d n f (x) ánh xạ từ A vào B; - hàm số với tập xác định A, tập giá trị chứa B đạo hàm bậc hàm f(x) đạo hàm phía phải (trái) hàm f(x) x0 đạo hàm bậc n hàm f(x) dx n df, d f, vi phân cấp một, cấp 2, hàm f(x) f (x) dx tích phân suy rộng loại I hàm f(x) [a; ) a f (x) o (g(x)) f (x) O(g(x)) f (x) g(x) VCB # (☼), (☼) f(x) vô bé bậc cao so với vô bé g(x) f(x) vô bé bậc so với vô bé g(x) f x vô bé tương đương với vô bé g(x) vô bé kết thúc chứng minh kết thúc ví dụ bắt đầu (kết thúc) mục, phần… bỏ qua lần đọc PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bêta II: 03-09/2010 Chương GIỚI HẠN, LIÊN TỤC § 1.1 SỐ THỰC 1.1.1 Mở đầu a Giới thiệu Chúng ta có hiểu biết tốt số hữu tỷ từ thời học phổ thơng; có hiểu biết định số vô tỷ, số thực Để hiểu chúng sâu sắc xác, người ta phải xây dựng hệ thống tiên đề xác cho số thực Sau loại số mà loài người nhận thức lịch sử phát triển mình: * Các số tự nhiên khác không 1, 2, , n, ký hiệu * ; * Các số tự nhiên 0, 1, , n, ký hiệu * Bởi thiếu phần tử mà cộng với 0, người ta đưa vào số nguyên âm , 2, 1, 0, 1, 2, , ký hiệu Trong khơng có phần tử mà nhân với 2, 3, Vậy người ta đưa thêm vào phần tử dạng p / q , số hữu tỷ p * , q , p , ký hiệu Trong đại số ta biết trường q Trong khơng có phần tử kiểu 2, e, , , gọi số vô tỷ Cần đưa vào số vô tỷ để - tập số thực - rộng Có nhiều cách xây dựng tập số thực dùng số thập phân vơ hạn tuần hồn, lát cắt Dedekin, Chúng ta đưa phương pháp xây dựng số thực sau đây, dễ hiểu chấp nhận rộng rãi b Tiên đề số thực Chúng ta công nhận tồn tập hợp số thực, ký hiệu , có trang bị hai luật hợp thành (phép toán) quan hệ thứ tự sau cho: i) ( , , ) trường, cụ thể là: (☼) 1) Phép cộng có tính chất kết hợp: a, b, c , (a b) c a (b c) 2) Phép cộng có tính chất giao hốn: a, b , a b b a -PGS TS Tơ Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 PGS TS Tơ Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bêta II: 03-09/2010 3) có phần tử trung lập với phép cộng, ký hiệu 0, thỏa mãn điều kiện: a , a a a 4) a có phần tử đối, ký hiệu a thỏa mãn điều kiện: a (a) (a) a 5) Phép nhân có tính chất kết hợp: a, b, c , (a.b).c a.(b.c) 6) Phép nhân có tính chất giao hốn: a, b , a.b b.a 7) có phần tử trung hòa với phép nhân, ký hiệu 1, thỏa mãn điều kiện: a.1 1.a a 8) Mọi phần tử a {0} có phần tử nghịch đảo, ký hiệu a 1 , thỏa mãn điều kiện a a 1 a 1.a 9) Phép nhân phân phối với phép cộng: a, b, c , a.(b c) a.b a.c (☼) ii) quan hệ thứ tự toàn phần , cụ thể là: 1) có tính chất phản xạ: a , a a 2) có tính chất phản đối xứng: a b a, b , a b b a a b 3) có tính chất bắc cầu: a, b, c , a c b c a b 4) quan hệ thứ tự toàn phần: a, b b a Nếu a, b a b, a b , ta nói a nhỏ b viết a b iii) Giữa phép toán , quan hệ thứ tự có mối liên hệ sau đây: 1) a b a c b c 2) d 0, a b a.d b.d iv) Mỗi tập không trống bị chặn có cận Các địi hỏi i) - iv) xem tiên đề số thực Riêng tiên đề iv) cần có giải thích tỷ mỉ sau c Cận, bị chặn Ta nói x cận (hay biên trên) tập hợp A a A, a x -PGS TS Tơ Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bêta II: 03-09/2010 Ta nói y cận (hay biên dưới) tập hợp A a A, y a Ta nói x phần tử lớn (hay giá trị lớn nhất) tập hợp A x A x cận A: x A a A, x a Ký hiệu phần tử lớn tập hợp A Max(A) Tương tự điều khái niệm phần tử nhỏ Ký hiệu phần tử nhỏ tập hợp A Min(A) Khi A hữu hạn, ta dùng ký hiệu Max(a1 , , a n ) hay Max a i thay cho ký 1 i n hiệu Max a1, , a n Tập A gọi bị chặn tồn (ít nhất) cận Tương tự ta hiểu khái niệm bị chặn Tập hợp A gọi bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn Supremum Phần tử bé cận tập hợp A, tồn tại, gọi cận A, ký hiệu Sup(A) (đọc supremum tập hợp A) Phần tử lớn cận tập hợp A, tồn tại, gọi cận A, ký hiệu Inf(A) Có thể xảy trường hợp Sup(A) A (và) Inf (A) A Chẳng hạn A (a; b) Dễ thấy tiên đề iv) tương đương với: iv') Mỗi tập không trống bị chặn có cận d Nhúng vào (☼) Ta biết tốt Ta có - gọi số thực Bây ta xây dựng ánh xạ f : cho đơn ánh f Như nêu trên, dùng để ký hiệu phần tử trung lập phép nhân n ta xác định số thực f(n), ký hiệu n.1 sau: -PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bêta II: 03-09/2010 -* n 1 n.1 n ( 1) ( 1) Bây q , m , n * cho q (1.1.1) m Ta xác định số thực f(q), n ký hiệu q.1, sau: q.1 (m.1).(n.1)1 Rõ ràng vế phải số thực Mặt khác, định nghĩa hợp lý q có m' m biểu diễn khác: q từ chỗ n' n m 'n n 'm (m.1).(n '.1) (m '.1)(n.1) ; nhân vế với số thực (n '.1) 1 (n.1) 1 ta (m.1).(n.1)1 (m '.1).(n.1).(n.1)1.(n '.1) 1 (m'.1)(n '.1) 1 Vậy, hai biểu diễn q cho kết Rõ ràng ánh xạ f đơn ánh Vậy ta đồng với {.1, q } f () tập hợp Như vậy, coi phận (☼) e Các loại khoảng Có loại khoảng suy rộng sau 1) a; b x : a x b , 2) [a; b) x : a x b , 3) (a; b] x : a x b , 4) (a; b) x : a x b , 5) [a; ) x : a x , 6) (a; ) x : a x , 7) (; a] x : x a , 8) ( ; a) x : x a 9) (; ) Các khoảng a; b ; (; a]; [b; ); (; ) : đóng (a; b); ( ; a); (b; ); ( ; ) : mở [a; b); (a; b] : nửa đóng, nửa mở a, b : mút khoảng o Khoảng I bỏ mút, có, gọi phần I, ký hiệu I 10 -PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 PGS TS Tơ Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bêta II: 03-09/2010 Khoảng I, lấy thêm mút gọi bao đóng I, ký hiệu I 1.1.2 Các tính chất sơ cấp số thực a Các bất đẳng thức Các bất đẳng thức số thực mà biết từ phổ thông đúng, chẳng hạn x ; x 0 x y x, y, u, v , xu yv 0 u v Các bất đẳng thức Cauchy, Cauchy-Bunhiacopski-Schwartz nghiệm Bất đẳng thức Mincopski (Bất đẳng thức tam giác n ) 1/2 n n n 2 (x y ) x i i yi2 i i 1 i 1 i1 hay || x y || || x || || y || (1.1.2) Chứng minh Bình phương vế đưa bất đẳng thức C-B-S b Giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối số thực x số thực, ký hiệu |x|, xác định x x 0, | x | x x Gía trị tuyệt đối có tính chất biết, ví dụ n n | x i | | x i |, i 1 i 1 x, y , Max(x, y) (x y | x y |), Min(x, y) (x y | x y |), | x | | y | | x y |, | a | b b a b c Khoảng cách thông thường ĐN Khoảng cách (thông thường) ánh xạ d: (x, y) d(x, y) | x y | Số d(x, y) gọi khoảng cách điểm x y (hay từ x đến y) Tính chất Các tính chất sau suy trực tiếp từ định nghĩa giá trị tuyệt đối -PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 11 PGS TS Tơ Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bêta II: 03-09/2010 1) x, y , d(x, y) 0; d(x, y) x y : tính xác định dương 2) x, y , d(x, y) d(y, x) : tính đối xứng 3) x, y, z , d(x, y) d(y, z) d(x, z) : bất đẳng tam giác 1.1.3 Các tính chất a Cận Chúng ta nhắc lại tiên đề cận đúng: Mọi tập A không trống bị chặn có cận Sup(A) Hệ Mọi tập A khơng trống bị chặn có cận Inf(A) Ví dụ 1.1 Tìm cận cận (nếu có) tập hợp (1)n E n , n * n 1 1 1 1 Giải E 1; ; ; ; 16 2 k * , u 2k u 2k 1 u 2k 1 2k 1 2k 1 2k 1 u2 2k 4 1 1 u1, 2k 2k 3 u2 Như u1 u n u 2 Sup(E) Max(E) u / 4, Inf (E) Min(E) u1 1 / # Định lý 1.1 Cho A tập khơng trống Khi (*) M môt cân trên, M Sup(A) 0, a A : M a M (**) Chứng minh a) " " : Cần Giả sử M Sup(A) Vậy M cận Ta giả sử không xảy (**), nghĩa 0, a A, a M 0 Như vậy, M cận A Rõ ràng M M Vậy M không cận nhỏ nhất, mâu thuẫn b) " " : Đủ Giả sử xảy (1) (2) Như M cận Giả sử M khơng cận nhỏ Vì A bị chặn (ít M) nên tồn cận nhỏ M' M M Đặt M M Theo (**), a A : M M (M M) M a M 12 -PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tơ Văn Ban, Giải tích - Những tập nâng cao, Nxb Giáo dục, 2005 [2] Trần Bình, Giải tích 1, Nxb Khoa học Kỹ thuật, 2006 [3] Trần Bình, Bài tập giải sẵn Giải tích, Nxb Khoa học Kỹ thuật, 2007 [4] Dương Minh Đức, Phương pháp học toán đại học - Tập 1, Nxb Giáo dục, 2001 [5] W.J.Kaczkor, M.T Novak, Bài tập giải tích 1, Nxb Đại học Sư phạm, 2003 (Tiếng Việt) [6] Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nxb Giáo dục, 2003 [7] Lê Ngọc Lăng, Nguyễn Chí Bảo, Trần Xuân Hiển, Nguyễn Phú Trường, Ơn thi học kì thi vào giai đoạn 2, Nxb Giáo dục, 1997 [8] Y.Y.Liasko và…, Giải tích tốn học - Các ví dụ toán, Nxb Đại học THCN, 1978 (Tiếng Việt) [9] J M Monier, Giáo trình Tốn - Tập 1, 2, - Giải tích 1, 2, 4, Nxb Giáo dục (Tiếng Việt) [10] V Nhi-e-mưt-ski, M Slut-ska-i-a, A.Tre-ka-xôp, Giáo trình giải tích tốn học, Tập I, Tập II, Nxb Giáo dục, 1964 (Tiếng Việt) [11] Pơlya.G, Tốn học suy luận có lí, Nxb Giáo dục, 1968 (Tiếng Việt) [12] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp (T2,3), Nxb Giáo dục, 1997 [13] R Adams, Calculus: A Complete Course, Addison Wesley, 1991 [14] Jon Rogawski, Calculus (Early Transcendentals), W.H.Freeman and Co, 2007 [15] J Stewart, Culculus, Brooks Cole, 4th edi 2005, edi 2007 [16] Н В БОГМОЛОВ, ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТМАТИКЕ, ИЗ "ВЫСШАЯ ШКОЛА", МОСКВА, 1967 [17] Б.П.ДЕМИДОВИЧ, СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗИ, “НАУКА”, МОСКВА, 1977 186 PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 Bộ mơn Tốn 28 - 03 - 2010 CẤU TRÚC ĐỀ THI, CÁCH THỨC CHO ĐIỂM Mơn học: Giải tích Học phần: Giải tích Câu số Về phần Số điểm Câu Lý thuyết 2đ Câu Chương 1: Giới hạn, liên tục 2đ Câu Chương 2: Đạo hàm 2đ Câu Chương 3: Tích phân 2đ Câu Chương 4: Chuỗi 2đ Điểm thi 10đ Điểm trình 10đ Điểm chuyên cần 10đ Tổng điểm = điểm chuyên cần x 10% 10đ + điểm trình x 20% + điểm thi x 70% Tài liệu tham khảo cho mơn Giải tích I STT Tên tài liệu Tác giả NXB Giáo dục KH KT HVKTQS KH KT Addison Wesley W.H.Freeman and Co Nxb GD 2007 2007 2006 2007 1991 Bài giảng điện tử 2010 Toán học cao cấp (T2,3) Giải tích Bài tập giải tích Bài tập Giải sẵn giải tích I Calculus: A Complete Course Nguyễn Đình Trí … Trần Bình Nguyễn Xn Viên Trần Bình R Adams Calculus (Early Transcendentals), Giải tích - Những tập nâng cao Bài giảng Giải tích I Jon Rogawski Tô Văn Ban Tô Văn Ban PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 Năm XB 2007 2005 187 PGS TS Tơ Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 B Bài tập nhà B Đề tập (tài liệu [3]) Chương I Giới hạn, liên tục *2[1(c,d); 3; 4; 8; 9; 12- 18; 20; 23; 33; 34] *3[16; 18; 21; 22; 24; 25; 31 ; 32; 33; 34; 37; 38; 41; 43; 45; 48; 52; 54; 55(b,d); 58; 59; 62; 65; 69; 70; 72; 73] Chương 2- Đ ạo hàm vi phân *4[5; 7;; 12(c); 20; 28; 38; 40; 42; 43(c); 48; 50; 51(c); 53; 57; 60; 61; 67; 68; 70; 71; 75; 85(a,d); 89; 91; 92; 94; 96(a)] *5[1; 5; 6; 12; 13; 15; 19; 24; 29; 38; 47; 51; 53; 63; 70; 86; 97; 100; 102; 103; 104; 105; 107; 108] Chương Tích phân *6[3; 7; 9; 13; 18; 24; 29; 31; 33; 45; 54; 62; 66; 67; 72; 77; 86; 103; 106; 120; 122; 127; 138; 151; 152; 157; 161; 167] *7[ 3; 5; 13.3; 17; 18; 30; 36; 37; 44; 49; 57; 62; 74; 108; 110; 114; 119; 126; 130; 135; 136; 140; 141; 145; 148; 151; 165; 161; 167; 169; 181; 199; 205; 223; 252] *8[4; 7; 13; 30; 35; 40; 41; 42; 47; 55; 64; 98; 104; 107; 108] Chương Chuỗi *9[2; 9; 21; 30; 32; 38; 41; 47; 50; 54; 59; 61.3; 65; 69; 74; 78; 80; 85; 88; 92; 97; 104] *10[ 2; 8; 11; 15; 25; 29; 33; 37; 56; 63; 66; 70; 71; 75; 83; 84; 85; 87; 93; 97; 101; 108; 109; 112; 118; 121; 124; 127; 130; 131; 133] *11[ 4; 8; 10; 11.3; 13.1] (b) Bổ sung - Tài liệu (2): CI HƯỚNG DẪN ÔN TẬP BÀI TẬP GIẢI TÍCH I (26-03-2010) Biến đổi: Nhân vào tử mẫu lượng thích hợp, nhân liên hợp, , đưa giới hạn để tìm GH Thay tương đương cấp cần thiết, tìm GH Tìm số để hàm liên tục, khả vi Xét liên tục (không điểm) hàm cho nhiều biểu thức Biến đổi tổng riêng thành công thức đơn giản, tìm GH GH dạng 1 , 0. , Thay tương đương ( cần thiết biến đổi trước), để tìm GH Tìm GH theo quy tắc L’Hospital, đạo hàm theo cận Tìm GH trái phải để xét liên tục Dùng quy tắc L’Hospital trợ giúp xét liên tục GH dạng (A-A)/0 Dùng giới hạn hàm số để tìm giới hạn dãy số Đổi biến t x x tìm giới hạn lim f(x) x x0 Sự liên tục hàm cho nhiều công thức Giới hạn điểm thường n n(n 1) / 2; 12 22 n n(n 1)(2n 1) / liên tục đều, không liên tục Đơn điệu, bị chặn 188 PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 CII, III CIV Tổng tích phân Tính vi phân điểm, số gia cho trước Tiếp tuyến đồ thị điểm cho trươc Tiệm cận theo cách thông thường, dùng khai triển Đạo hàm hàm ngược; Đạo hàm hàm ẩn (cấp 2) Đạo hàm hàm phần nguyên với hàm khác Đạo hàm theo tham số đến cấp Tính liên tục thơng qua đạo hàm Tìm khai triển Mac lo ranh đến cấp hàm ẩn Khai triển Macloirin đến cấp 3, dùng quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao Khảo sát vẽ đồ thị hàm số TĐ Đề Khảo sát vẽ đồ thị đường cong cho dạng tham số Khảo sát, vẽ ĐT cách đưa TĐ cực Chứng tỏ hàm số thoả mãn định lý Roll, Lagrange Cauchy đoạn cho trước, tìm điểm c định lý Tính TPBĐ: Đặt biến, phần, Đặt biến, tính TP bất định Đặt biến, khảo sát hội tụ Dùng BĐT tích phân, xét hội tụ dãy liên quan đến TP Tiêu chuẩn so sánh để xét hội tụ Sự hội tụ tương đối, tuyệt đối, (dùng đặt biến để đơn giản cần) Chuyển dạng tham số (chủ yếu TĐ cực) tính độ dài ĐC, diện tích hình phẳng Đạo hàm theo cận dùng quy tắc L'Hospital TP (xác định) hàm cho số biểu thức Đặt biến, dẫn hội tụ phân kỳ TP suy rộng Tách a A a I1 I ; khảo sát hội tụ I1, I2 riêng B (Quan trọng) I I1 I , TP phần với I1 I I1 I2 , đổi biến với TP I2 để dùng BĐT tích phân b Tách miền lấy TP thành đoạn thích hợp để CM 0 a Độ dài ĐC dạng tọa độ Đề Các, dạng tham số, (lưu ý tính đối xứng, cần chuyển TĐ cực) Diện tích phần MP giới hạn đường cong kín dạng tham số CV Xét hội tụ, tính giá trị TP suy rộng Diện tích hình phẳng giới hạn ĐC Đặt biến kiểu tọa độ cực Diện tích hình phẳng giới hạn ĐC dạng TĐ cực Diện tích hình phẳng giới hạn ĐC, chuyển TĐ cực Diện tích mặt trịn xoay Sự hội tụ chuỗi: lim a n , so sánh, Leibnitz, tích phân, Chuỗi có số hạn tổng quát không dần đến Tiêu chuẩn leibnitz Đặt biến, đưa chuỗi lũy thừa (Lũy thừa hóa), khảo sát họi tụ Đưa hàm dạng tổng hàm dễ khai triển để khai triển PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 189 PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 Tìm miền hội tụ chuỗi Matlourin Dùng khai triển biết, khai triển hàm số thành chuỗi Mac lo ranh; tìm miền hội tụ chuỗi 1 x Khai triển hàm số thành chuỗi luỹ thừa u 1 x Cho hàm số Tính đạo hàm f (n) (0) Tìm khoảng hội tụ; tìm tổng chuỗi hàm (trong khoảng hội tụ) Sự hội tụ chuỗi hàm: Coi biến x tham số, khảo sát hội tụ chuỗi số Khai triển hàm cách tính đạo hàm nó, khai tiển hàm đạo hàm, suy khai triển cần tìm x Đạo hàm hàm cho, khai triển hàm đạo hàm, tích phân vế để thu khai triển hàm cho Áp dụng: Tính tổng chuỗi số Khai triển hàm thành chuỗi Maclaurin, tìm miền hội tụ chuỗi thu tính tổng; dùng khai triển quen thuộc Tính đạo hàm tổng chuỗi Taylor (Maclaurin) x0 (tại 0) Tính tổng riêng thứ giá trị cho trước Tìm miền hội tụ, hội tụ tuyệt đối chuỗi lũy thừa Khai triển hàmđã cho thành chuỗi lũy thừa x + Khai triển hàm tuần hoàn chu kỳ l biết hàm đoạn (-l/2; l/2) Tìm chuỗi Fourier hàm cho [0; 2] dạng tổng quát, dạng có sin, có cos Tính tổng chuỗi số thơng qua chuỗi hàm CÂU HỎI LÝ THUYẾT Học phần GIẢI TÍCH I (10 – 2010) Câu I.1 Phát biểu chứng minh bổ đề Bolzano-Weierstrass giới hạn 2đ dãy Định lý (Bổ đề Bolzano-Weierstrass) Từ dãy số thực, bị chặn trích dãy hội tụ Chứng minh Cho dãy bị chặn {u n } a1 , b1 : n * , a1 u n b1 Đặt h b1 a1 Rõ ràng đoạn [a1; b1 ] chứa vô hạn phần tử dãy {u n } Chọn phần tử u n1 tùy ý dãy {u n } Như a1 u n1 b1 Chia đôi đoạn [a1 ; b1 ] điểm (a1 b1 ) / , đoạn [a1; (a1 b1 ) / 2] , [(a1 b1 ) / 2; b1 ] Có đoạn chứa vô hạn phần tử dãy {u n } Gọi đoạn [a ; b ] b a h Rõ ràng [a ; b ] [a1; b1 ]; b a ( 1 ) 2 Chọn phần tử u n tùy ý {u n } cho n n1 u n nằm đoạn [a ; b ] : a u n b Tương tự, quy nạp ta xây dựng dãy đoạn [a n ; b n ] mà + Chứa vô hạn phần tử dãy {u n } 190 PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 PGS TS Tơ Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 + [a k 1; b k 1] [a k ; b k ] , b k 1 a k 1 bk a k dãy {u n } cho n k n k 1 Chọn phần tử u n k a k u n k bk h 2k (*) Dãy đoạn [a k ; b k ] lồng (nói cách khác, {a k }, {b k } hai dãy kề nhau) Theo định lý biết, tồn giới hạn chung chúng: lim a k lim b k k k lim u n k Theo định lý kẹp (đpcm) k Câu 1.2 Định nghĩa hàm liên tục điểm, khoảng, đoạn Chứng minh 2đ định lý triệt tiêu hàm liên tục ĐN Cho hàm số y f (x), x (a; b) Hàm gọi liên tục tai x (a; b) lim f (x ) xx Nếu f(x) liên tục điểm x (a; b) gọi liên tục (a; b) Nếu f(x) xác định [a;b], liên tục (a; b) lim f (x) f (a); lim f (x) f (b) x a x b f(x) gọi liên tục [a; b] Định lý Cho hàm số f(x) liên tục [a; b] f (a)f (b) Khi tồn c (a; b) để f (c) Chứng minh Rõ ràng ta cần xét trường hợp f a f b Ta xây dựng hai dãy c n , d n theo quy nạp sau + Đặt c0 = a; d = b Ta có f(c0) < < f(d0); d c b a + Đặt u0 = (c0 + d 0)/2 Nếu f(u0) = u0 điểm c phải tìm; dừng trình Nếu f(u0) < đặt c1 = u0 d1 = d0 Nếu f(u 0) > đặt c1 = c0 d = u0 Trên đoạn [c1;d1], f(x) liên tục; f(c1) < < f(d1); d1 c1 b a / + Giả sử phải tiếp tục trình trên, đặt u1 = (c1 + d1)/2 Nếu f(u 1) = u1 điểm c phải tìm; dừng trình Nếu f(u1) < đặt c2 = u1 d2 = d1 Nếu f(u2) > đặt c2 = c1 d2 = u1 Trên đoạn [c2;d2] , f(x) liên tục; f(c2) < < f(d2); d c b a / 2 Tiếp tục trình Giả sử trình dừng lại bước thứ n đó, u n giá trị c lần tìm Giả sử trình vơ hạn, ta có hai dãy kề c n , d n (dãy đoạn [c n ; d n ] lồng nhau, co lại) Chúng có giới hạn chung c: lim c n lim d n c n n Từ tính liên tục f(x) suy f c lim f c n lim f d n f c n n Vậy f c (đpcm) PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 191 PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 Câu 1.3 Phát biểu chứng minh định lý Weierstrass hàm liên tục đoạn kín [a; b] 2đ Định lý Weierstrass Cho f(x) liên tục đoạn đóng [a; b] Khi bị chặn, đạt cận M Max f x x a ;b cận m Min f x x a;b Chứng minh + Trước hết ta chứng minh tập giá trị J f x , x a ; b f(x) bị chặn Giả sử ngược lại, J không bị chặn, chẳng hạn, không bị chặn Khi N * , x N a ; b: f x N N Dãy x n bị chặn, theo Bổ đề Bolzano - Weierstrass, trích hội tụ: klim x n x a ; b Vì f(x) liên tục k f x lim f x n k lim n k , mâu thuẫn Vậy J bị chặn k k dãy x n k x0 nên Tương tự, J bị chặn dưới, từ J bị chặn Đặt m Inf f x ; M Sup f x a ; b a ; b + Bây ta chứng tỏ tồn t a ; b , f t M Thực vậy, theo tính chất Suprimum, 1/ n , t n a ; b : M M / n f t n M (*) Do t n , n 1, , bị chặn, lại theo Bổ đề Bolzano - Weierstrass tồn dãy t n k hội tụ: klim tn k t a ; b Từ tính liên tục f(x) (*) suy f t lim f t n k M k Như hàm f(x) đạt giá trị lớn M t0 Tương tự, f(x) đạt giá trị nhỏ m Câu I.4 Định nghĩa hàm liên tục tập Chứng minh định lý Heine hàm liên 2đ tục tập com pắc (trên đoạn kín, giới nội) Định nghĩa Cho I khoảng mở rộng (chứa đầu mút hay không) hàm số f (x), x I Ta nói hàm số f(x) liên tục I nếu: 0, : x1, x I cho x1 x f (x1 ) f x ) Định lý (Heine) Cho f(x) hàm liên tục đoạn [a; b], a, b Khi f(x) liên tục [a; b] (Hàm liên tục đoạn kín, giới nội liên tục đó) Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử ngược lại, hàm số f(x) liên tục [a; b] không liên tục 0, n * , u n , v n [a; b]: 192 PGS TS Tơ Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 u n v n 1/ n f (u n ) f (v n ) (*) (**) Xét dãy {u n } Đây dãy bị chặn, theo bổ đề B – W, tồn dãy {u n k } hội tụ Xét dãy {v n k } dãy {v n } Đây dãy bị chặn Lại theo bổ đề B – W, tồn dãy {v n k } hội tụ i Rõ ràng, dãy {u nk } dãy dãy {u n k } {u n k } hội tụ nên i hội tụ Ký hiệu {u n k } {u n } , {v n k } {u n } , dãy hội tụ i i Do (*), lim u n lim vn c [a; b] n n Vì f(x) liên tục lim f (u n ) f (c) n lim f (vn ) f (c) n lim f (u n ) f (vn ) lim f (u n ) f (c) lim f (c) f (vn ) , n n n mâu thuẫn với (**) Mâu thuẫn chứng minh khẳng định định lý Câu 1.5 Phát biểu chứng minh định lý Rolle Phát biểu định lý Lagrange, định lý Cauchy ĐL Rolle Cho hàm f(x) xác định liên tục đoạn [a; b], khả vi khoảng (a; b) f (a) f (b) Khi tồn điểm c (a; b) để f (c) Chứng minh Trước hết ta có bổ đề sau (định lý Ferma) Bổ đề Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a; b) , đạt cực trị c (a; b) khả vi c Khi f (c) CM bổ đề Giả sử c điểm cực đại f(x) Tồn giới hạn f (x) f (c) f (c) lim 1 0; x c x c 2đ f (x) f (c) 2 x c x c f (c) lim Vì f (c) 1 Vậy f (c) Tương tự cho trường hợp c điểm cực tiểu CM định lý Vì f(x) liên tục đoạn [a;b] nên theo định lí Weierstrass, đạt giá trị lớn M Max f x giá trị nhỏ m Min f x a ; b + Nếu m = M f(x) = f(a) = const a ; b x a ; b , kết luận định lý rõ ràng + Nếu m < M f(a) khác với hai giá trị m M, ví dụ f a M Vì f(x) đạt giá trị lớn nên tồn c a ; b để f(c) = M f c f a f b nên c đầu mút a đầu mút b Vậy c a ; b Theo định lý Ferma, f ' c *Định lý Lagrange Cho hàm f(x) xác định liên tục đoạn [a; b], khả vi khoảng (a; b) Khi tồng tai điểm c (a; b) để PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 193 PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 f (c) f (b) f (a) ba * Định lý Cauchy Cho f(x), g(x) liên tục [a;b], khả vi khoảng (a;b), g x , x a ; b Khi có điểm ca; b cho: f b f a f c g b g a g c Câu I.6 Định nghĩa tích phân xác định theo cận biến thiên Phát biểu định lý 2đ giải tích (định lý tính liên tục, tính khả vi tích phân theo cận biên thiên) Chứng minh khẳng định thứ định lý Định nghĩa Cho f(x) khả tích đoạn [a; b] Khi x [a; b] , f(x) khả tích [a; x] Đặt x (x) f (t)dt a gọi tích phân xác định với cận biến thiên Định lý (1) Nếu hàm f(x) khả tích [a; b] (x) liên tục [a; b] (2) Nếu f(x) khả tích [a; b] liên tục x [a; b] (x) khả vi x (x ) f (x ) (3) f(x) liên tục [a; b] (x) khả vi [a; b] (x) f (x) , x [a; b] Nói cách khác, (x) nguyên hàm f(x) [a; b] Chứng minh Để đơn giản trình bày ta giả sử x (a; b) Xét h đủ nhỏ cho x h [a; b] Ta có x0 h (x h) x0 h x0 f (t)dt a f (t)dt a x h f (t)dt (x ) x0 Theo định lý trung bình thứ (x h) (x ) h [m; M] với m f (t)dt x0 (*) f (x); M Inf x[x ; x h] Sup f (x) x[x ; x h] Do [m; M] [m; M] với m Inf f (x); M Sup f (x) nên bị x[a; b] x[a; b] chặn Cho qua giới hạn ta lim[ (x h) (x )] hay (x) liên tục x h 0 Câu 1.7 Các định nghĩa tích phân suy rộng cuả hàm không bị chặn Phát biểu tiêu chuẩn so sánh nói lên hội tụ, phân kỳ tích đ phân * Giả sử f(x) xác định a; b , không giới nội lại lân cận điểm b khả tích a ; b , đủ nhỏ Nếu tồn giới hạn (hữu hạn hay vô hạn) lim b 0 a 194 f x dx , PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 PGS TS Tơ Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 giới hạn gọi tích phân suy rộng (loại II) hàm f(x) [a;b], kí hiệu b a f x dx hay f x dx a ;b Nếu giới hạn hữu hạn, ta nói tích phân suy rộng b a f x dx hội tụ; trái lại, giới hạn vơ hạn hay khơng tồn tại, ta nói tích phân suy rộng b a f x dx phân kì * Tương tự, ta định nghĩa tích phân suy rộng (loại II) cho hàm f(x) không bị chặn mút trái a [a;b] * Cho hàm f(x) xác định (a;b), không giới nội lân cận điểm a lân cận điểm b Nếu có điểm c a ; b cho hai tích phân c a f x dx b c f x dx hội tụ, ta nói tích phân suy rộng (loại II) b a f x dx hội tụ giá trị b c b a f x dx = a f x dx + c f x dx Trái lại, hai tích phân phân kì, ta nói tích phân suy rộng (loại II) b a f x dx phân kì Định nghĩa khơng phụ thuộc vào việc chọn điểm trung gian c Định lý Giả sử f(x) g(x) hai hàm xác định [a; b) , không giới nội lân cận điểm b khả tích [a; b- ] , đủ nhỏ Giả sử x [a; b), f (x) g(x) Khi đó: b TP b g(x)dx hội tụ TP a b TP f (x)dx hội tụ a b f (x)dx phân kỳ TP g(x)dx phân kỳ a a f (x) k (0 k ) TP x b g(x) Đặc biệt, lim b b f (x)dx g(x)dx a a hội tụ phân kỳ * Nếu f(x) liên tục a; b f x O (khi x b ) bx b a f x dx hội tụ với phân kì với Câu 1.8 Định nghĩa chuỗi đan dấu; định nghĩa hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Phát biểu chứng minh định lý điều kiện cần hội tụ chuỗi đan dấu Chuỗi Maclaurin hàm sơ cấp Định nghĩa Các chuỗi a1 a a a a1 a a a (a i 0) gọi chuỗi đan dấu PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 2đ 195 PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 - Chuỗi an gọi hội tụ TĐ chuỗi n 1 an hội tụ; gọi n 1 HT không tuyệt đối hay bán hội tụ chuỗi an hội tụ chuỗi n 1 an n 1 phân kỳ Định lý Cho chuỗi đan dấu a1 a a (a n 0) Nếu a n dãy đơn điệu giảm đến chuỗi hội tụ Ngồi n Sn an a1 (*) i 1 CM a) S2k (a1 a ) (a a ) (a 2k 1 a 2k ) {S2n , n 1, 2, } dãy tăng S2k a1 (a a ) (a 2k 2 a 2k 1 ) a 2n a1 (**) Vậy {S2k } dãy bị chặn Từ hội tụ Đặt S lim S2k k lim S2k 1 lim (S2k a 2k 1 ) lim S2k lim a 2k 1 S k k k k lim Sn S Vậy chuỗi cho hội tụ n b) Từ (**) ta thấy (*) với n chẵn Với n lẻ S2k 1 a1 (a a ) (a 2k a 2k 1 ) a1 Vậy (*) xảy với n lẻ ex x x2 xn 1! 2! n! (***) x sin x x x3 x5 x 2n 1 (1) n 3! 5! (2n 1)! x cos x x2 x4 x 2n (1) n 2! 4! (2n)! x (1 x) x ln(1 x) x ( 1) ( 1) ( n 1) n x x (1 x 1) 2! n! x x3 x x n 1 (1) n n 1 (1 x 1) x3 x5 x7 x 2n 1 (1) n (1 x 1) 2n (Chỉ cần nêu khai triển trên) Câu I.9 Phát biếu định lý nói lên tính chất chuỗi lũy thừa khoảng hội tụ 2đ Chuỗi Maclaurin hàm sơ cấp arctgx x 196 PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 - Cho chuỗi lũy thừa anxn (1) n 1 với khoảng hội tụ (-R; R) tổng chuỗi hàm S(x) (-R; R) Định lý Chuỗi (1) hội tụ tuyệt đối điểm x : x R (Chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối khoảng hội tụ nó) Định lý Với [a; b] ( R; R) tùy ý, chuỗi (1) hội tụ [a; b] (Chuỗi lũy thừa hội tụ đoạn tùy ý nằm khoảng hội tụ nó) Định lý Tổng S(x) chuỗi lũy thừa (1) hàm số liên tục khoảng hội tụ ( R; R) Nếu chuỗi hội tụ mút trái (phải) khoảng hội tụ tổng S(x) liên tục phải (trái) mút Định lý Có thể lấy tích phân số hạng chuỗi lũy thừa (1) moị đoạn [a; b] nằm khoảng hội tụ (-R; R) nó: b b n n a x dx n0 n n0 a n x dx a a Đặc biệt, x (R; R) x a a n n 1 a n x dx a x 21 x n n x n 0 Chỗi vế phải có khoảng hội tụ (-R; R) Định lý Có thể lấy đạo hàm số hạng chuỗi lũy thừa (1) điểm khoảng hội tụ nó: x (R; R) n n 1 a n x a1 2a x na n x n 0 Chuỗi vế phải có khoảng hội tụ (-R; R) Hệ Có thể đạo hàm (hoặc tích phân) vơ số lần chuỗi lũy thừa khoảng hội tụ nó; chuỗi thu có khoảng hội tụ với khoảng hội tụ chuỗi cho x x2 xn ex x 1! 2! n! sin x x x3 x5 x 2n 1 (1) n 3! 5! (2n 1)! x x2 x4 x 2n (1) n x 2! 4! (2n)! ( 1) ( 1) ( n 1) n (1 x) x x x ( 1 x 1) 2! n! cos x n 1 x x3 x n x ln(1 x) x (1) n 1 x3 x5 x7 x 2n 1 ( 1) n 2n (Chỉ cần nêu khai triển trên) arctgx x ( 1 x 1) ( 1 x 1) PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2010 197 KHOA: CƠNG NGHỆ THƠNG TIN BỘ MƠN: TỐN CHƯƠNG TRÌNH MƠN HỌC Tên mơn học: GIẢI TÍCH Dùng cho hệ đào tạo: KỸ SƯ QUÂN SỰ DÀI HẠN TT Tên phần, chương, mục Số Hình thức giảng dạy tiết LT BT TN BTL Chương I: Giới hạn, liên tục hàm biến 19 12 1.1 Số thực 3 Hệ tiên đề tập hợp số thực Các tính chất tập hợp (các loại khoảng, tính chất Archimede, tính trù mật ) II Lực lượng tập hợp 1.2 Giới hạn dãy số Hội tụ- Phân kỳ Tính chất thứ tự dãy hội tụ Các phép toán dãy hội tụ Dãy đơn điệu Dãy kề Dãy định lý Bolzano-Weierstrass Dãy nguyên lý Cauchy Số e 1.3 Hàm số biến số Định nghĩa, đồ thị hàm số Hàm số hợp Hàm chẵn, lẻ, tuần hoàn Hàm đơn điệu, hàm số ngược Hàm lũy thừa, mũ, logarit, lượng giác (đọc), lượng giác ngược, hyperbol 1.4 Giới hạn hàm số Các định nghĩa Các tính chất phép tốn giới hạn hàm số Sử dụng VCB, VCL để tìm giới hạn 1.5 Sự liên tục Các định nghĩa Các tính chất sơ Các tính chất hàm liên tục đoạn: Định lý Weierstrass, Định lý triệt tiêu hàm liên tục Liên tục đều: Định nghĩa, Định lý Heine (Cantor) Hàm sơ cấp: Định nghĩa, tính chất Chương II: Đạo hàm vi phân 198 2 1 2 15 7 10 11 12 2.1 Đạo hàm vi phân cấp Định nghĩa, ý nghĩa hình học Các tính chất đại số hàm khả vi điểm Đạo hàm hàm hợp, đạo hàm hàm ngược Bảng đạo hàm (tự đọc) Đạo hàm theo tham số Đạo hàm phía, đạo hàm vơ Vi phân: định nghĩa, ý nghĩa vi phân, mối quan hệ hàm khả vi có đạo hàm, tính bất biến dạng vi phân cấp 1, ứng dụng vi phân cấp 2.2 Đạo hàm vi phân cấp cao Các định nghĩa Quy tắc tính 2.3 Các định lý giá trị trung bình Định lý Rolle (Bổ đề Ferma) Định lý Lagrange Định lý Cauchy (không chứng minh) Quy tắc L’ Hospital khử dạng vô định 2.3.Công thức Taylor Thiết lập phát biểu định lý Công thức Maclaurin hàm sơ cấp 2.4 Các ứng dụng Quy tắc tìm cực trị, giá trị lớn nhất, bé (tự đọc) Lồi, lõm, điểm uốn Khảo sát hàm số y f (x) (tự đọc) Khảo sát đường cong cho dạng tham số Khảo sát đường cong cho dạng tọa độ cực Chương 3: tích phân 3.1 Tích phân bất định Định nghĩa, tính chất Bảng tích phân (tự đọc, lưu ý) Phương pháp tính TPBĐ: Biến đổi thơng thường đưa TP bản, đổi biến , đặt biến, tích phân phần Tích phân phân thức hữu tỷ Tích phân số hàm vơ tỷ Tích phân hàm lượng giác 3.2 Tích phân xác định 199 2 1 2 1 2 18 10 13 14 15 16 17 18 Định nghĩa nhận xét mở đầu Các lớp hàm khả tích (khơng CM) Các tính chất TPXĐ: tính chất tuyến tính, hệ thức Sac lơ, tính chất liên quan đến thứ tự, ĐL trung bình 1, 2, 3.3 Cách tính tích phân xác định Tích phân xác định với cận biến thiên (định lý Giải tích) Cơng thức Newton - Lepnitz Đổi biến số Tích phân phần Tính gần TPXĐ 3.4 Ứng dụng Hai lược đồ áp dụng Tính diện tích hình phẳng (tọa độ Descartes: tự đọc, tham số, tọa độ cực) Độ dài cung, thể tích Diện tích mặt trịn xoay (tự đọc) Tọa độ trọng tâm Moment tĩnh, moment quán tính, cơng… (tự đọc) 3.5 Tích phân suy rộng Tích phân có cận vơ hạn Các định nghĩa Tiêu chuẩn hội tụ: tiêu chuẩn so sánh, tiêu chuẩn Cauchy, hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ, tiêu chuẩn Diricle (giới thiệu) Tích phân hàm khơng bị chặn Các địng nghĩa Tiêu chuẩn hội tụ Đổi biến với TP suy rộng Kiểm tra Chương 4: Chuỗi 4.1 Chuỗi số Định nghĩa, điều kiện hội tụ, tính chất chuỗi hội tụ 4.2 Chuỗi số dương Định nghĩa điều kiện hội tụ Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert TC Cauchy Tiêu chuẩn tích phân Chuỗi có dấu Các định nghĩa HT tuyệt đối, bán HT Chuỗi đan dấu 200 2 1 2 21 11 10 2 2 ... Văn Ban - B? ?i giảng Gi? ?i tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2 010 v PGS TS Tô Văn Ban - B? ?i giảng Gi? ?i tích I - Phiên bêta II: 03-09/2 010 -sin x x lim... Tơ Văn Ban - B? ?i giảng Gi? ?i tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2 010 PGS TS Tô Văn Ban - B? ?i giảng Gi? ?i tích I - Phiên bêta II: 03-09/2 010 Vậy lim u n... Tơ Văn Ban - B? ?i giảng Gi? ?i tích I - Phiên bê ta II: 03-09/2 010 PGS TS Tơ Văn Ban - B? ?i giảng Gi? ?i tích I - Phiên bêta II: 03-09/2 010 | sin(n