Luận án Phó tiến sĩ Khoa học Toán - Lý: Bài toán ngược trong lý thuyết thế vị nêu lên các khái niệm căn bản của lý thuyết thế vị, bài toán thác triển số liệu đo trường điều hòa, bài toán tìm phân bố nguồn, sự duy nhất nghiệm và một số nội dung khác.
g s BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CHU ĐỨC KHÁNH BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYẾT THẾ VỊ Chuyên ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 01 01 LUẬN ÁN PHĨ TIẾN SĨ KHOA HỌC TỐN - LÝ Người hướng dẫn khoa học : GIÁO SƯ TIẾN SĨ ĐẶNG ĐÌNH ÁNG PHĨ TIẾN SĨ NGUYỄN BÍCH HUY Thành Phố Hồ Chí Minh - 1996 - MỤC LỤC MỞ ĐẦU T T CHƯƠNG : TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYẾT THẾ VỊ T T 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN CỦA LÝ THUYẾT THẾ VỊ T T 1.2 BÀI TOÁN THÁC TRIỂN SỐ LIỆU ĐO TRƯỜNG ĐIỀU HÒA 13 T T 1.3 BÀI TỐN TÌM PHÂN BỐ NGUỒN 17 T T 1.4 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH LỖ HỔNG BÊN TRONG MỘT VẬT THỂ 18 T T 1.5 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH MIỀN NGUỒN 19 T T CHƯƠNG : SỰ DUY NHẤT NGHIỆM 24 T T 2.1 SỰ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA MỘT SỐ BÀI TỐN NGƯỢC TUYẾN TÍNH 24 T T Mục lục ii 2.2 SỰ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN NGƯỢC PHI TUYẾN T T 34 CHƯƠNG CHỈNH HĨA MỘT SỐ BÀI TỐN NGƯỢC TUYẾN TÍNH 54 T T 3.1 BÀI TOÁN MOMENT TỔNG QUÁT TRÊN KHỔNG GIAN HILBERT 54 T T 3.2 BÀI TOÁN THÁC TRIỂN SỐ LIỆU ĐO TRƯỜNG ĐIỀU HÒA 68 T T 3.3 BÀI TỐN TÌM PHÂN BỐ NGUỒN 75 T T CHƯƠNG : CHỈNH HĨA MỘT SỐ BÀI TỐN NGƯỢC PHI TUYẾN 80 T T 4.1 BÀI TOÁN (P6) 81 T T 4.2 BÀI TOÁN (P7) 106 T T KẾT LUẬN 115 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 117 T T MỞ ĐẦU Lý thuyết vị phát sinh từ kỷ XIX phận Vật Lý Toán nghiên cứu vị trường lực trường chẳng hạn trường hấp dẫn, điện trường Lý thuyết lừ lâu đóng vai trò quan trọng Toán Lý thuyết lẫn ứng dụng Nhiều toán cụ thể Vật lý Địa cầu, Điện, Điện từ, Cơ,…đã thiết lập dạng toán ngược Lý thuyết vị Tuy nhiên hài tốn thường khơng chỉnh theo nghĩa J Hadamard nghĩa chúng khơng có nghiệm có nghiệm có vơ số nghiệm, tốn có nghiệm nghiệm lại không phụ thuộc liên tục vào kiện Trong vài thập niên trở lại đây, toán ngược đặc biệt tốn khơng chỉnh nhiều nhà Toán học giới quan tâm khảo sát cách rộng rãi Trong toán khơng chỉnh, nghiệm (nếu có) khơng phụ thuộc liên lục vào kiện : nhiễu nhỏ kiện đưa đến sai số lớn cho nghiệm, chí làm tốn trở thành vơ nghiệm Vì vậy, tốn này, ta phải tìm cách chỉnh hóa Nghiệm chỉnh hóa nghiệm xấp xỉ ổn định Nhiều phương pháp chỉnh hóa đưa cơng trình A N Tikhonov, M M Lavrentiev, J L Lions, nhiên việc đánh giá sai số thường gặp khó khăn giải toán cụ thể Một vấn đề đặc biệt quan trọng tốn ngược khơng chỉnh khảo sát tính nghiệm tốn Vấn đề đóng vai Mở đầu trò quan trọng nhiều so với tồn nghiệm (thường bị vi phạm tốn T khơng chỉnh) Việc khảo sát tính nghiệm ý nghĩa thực tế xét xem "Dữ kiện T5 T5 T5 cho có đủ để xác định nghiệm tốn cách ?" mà nhằm xác định T5 nghiệm xác riêng (trong trường hợp tốn có vô sô nghiệm) cần xấp xỉ ổn định T5 T5 T5 T5 T5 Trong lập luận án này, mang tên T "BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYẾT THẾ VỊ" T nghiên cứu số tốn ngược khơng chỉnh quan trọng Lý thuyết vị T T Luận án, phần mở đầu kết luận, chia thành chương : CHƯƠNG : TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYẾT T T5 THẾ VỊ T Mục đích chương từ lý thuyết hàm vị công cụ giải tích, chúng tơi thiết lập mơ hình tốn học cho số toán ngược quan trọng Lý thuyết vị khảo sát chương sau T Trong tiết 1.1, chúng tơi trình bày khái niệm Lý thuyết vị, bắt T5 T5 T5 nguồn từ Định luật Vật lý (Định luật Ncwton, Định luật Coulomb ) đồng thời nêu lại tính chất quan trọng hàm vịT Sau đó, chúng tơi trình bày thành lập mơ hình tốn học cho số toán ngược T5 T5 Lý thuyết vị T Tiết xét toán thác triển số liệu đo đạc trường điều hòa đưa đến tốn ứng với trường hợp chiều trường hợp chiều Mở đầu Tiết 1.3 xét tốn tìm phân bố nguồn sinh trường dựa vào đo đạc vùng bị chặn bên nguồn Tiết 1.4 xét toán xác định lỗ hổng (hay vết nứt) bên vật thể phương pháp điện từ Tiết 1.5 xót tốn xác định miền nguồn sinh trường từ đo đạc bên nguồn CHƯƠNG : SỰ DUY NHẤT NGHIỆM Nội dung chương khảo sát tính nghiệm toán thiết lập chương l Đối với nường hợp tốn khơng có nghiệm (Bài tốn tìm phân bố nguồn) chúng tơi chứng minh tốn có nghiệm vơ số nghiệm tốn có nghiệm có chuẩn nhỏ chọn nghiệm có chuẩn nhỏ làm đối lượng để chỉnh hóa Các toán khảo sát luận án chia thành loại : tốn luyến lính tốn phi tuyến Vì chúng tơi trình bày cách xây dựng nghiệm hóa tốn chương : CHƯƠNG : CHỈNH HÓA MỘT SỐ BÀI TỐN NGƯỢC TUYẾN TÍNH Đối với tốn ngược luyến tính (Bài tốn thác triển số liệu đạc trường điều hòa tốn tìm phân bố nguồn), chúng tơi sử dụng cơng cụ Tốn học tốn moment khơng gian Hilbcrt vơ hạn chiều để xây dựng nghiệm chỉnh hóa Tiết 3.1 trình bày cách xây dựng nghiệm chỉnh hóa cho tốn moment tổng qt khơng gian Hilbcrt vơ hạn chiều Lời giải cho Mở đầu trường hợp : trường hợp kiện xác trường hợp kiện bị nhiễu Các tiết 3.2, 3.3 trình bày cách chuyển tốn ngược luyến tính nói tốn moment áp dụng kết 3.1 để xây dựng nghiệm chỉnh hóa CHƯƠNG : CHỈNH HĨA MỘT SỐ BÀI TỐN PHI TUYẾN Trong chương này, chúng tơi chỉnh hóa tốn xác định miền nguồn trường hợp : trường hợp chiều trường hợp chiều Sử dụng Định lý J.Cronin môi liên quan bậc tơpơ với số nghiệm phương trình phi tuyến, dùng phương pháp xấp xỉ không gian Banach không gian hữu hạn chiều, xây dựng nghiệm xấp xỉ ổn định trường hợp: kiện xác kiện khơng xác CHƯƠNG : TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYẾT THẾ VỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày trước hết khái niệm Lý thuyết vị dựa định luật Vật lý, từ đưa đến định nghĩa số tính chất quan trọng hàm Chúng lơi trình bày kết sử dụng thường xuyên định lý tính nghiệm toán Cauchy Dựa vào khảo sát tổng quát trên, chúng lôi đến thiết lập số toán ngược Lý thuyết vị xuất phát từ toán cụ thể Khoa học ứng dụng Các tốn chúng tơi chun thành phương trình hệ phương trình tích phân tuyến tính phi tuyến Việc khảo sát tính nghiệm xây dựng nghiệm chỉnh hóa tốn trình chương 1.1 Các khái niệm Lý thuyết vị 1.1.1 Trường hàm Lý thuyết trường Newton xây dựng từ Định luật Newton phát biểu sau : Lực lác động chất điểm có khối lượng m1 m2 đặt lại điểm P P tỉ lệ R R R R R R R R thuận với tích khối lượng chúng, tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách chúng Phương lực Chương : Tổng Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thế Vị đường thẳng P P 2, , chiều lực tác động vào chất điểm m1 chiều từ P đến P chiều R R R R R R R R R R lực tác động vào chất điểm m2 chiều từ P đến P R R R R R R Nếu gọi F cường độ lực, r khoảng cách P P Định luật Newton R R R R biểu diễn hỏi cơng thức : (1.1) đó, k số phụ thuộc cách chọn đơn vị đo khôi lượng, chiều dài, lực Lưu ý không Vật lý Địa cầu mà nhiều ngành Vật lý khác người ta gặp lực tác động có dạng (1.1) Điện, Điện từ, Chẳng hạn, lực tác động điện tích m1 , m2 đặt điểm P , P theo Định luật Coulomb R R R R R R R R cho hỏi công thức (1.1) (tuy nhiên chiều lực phụ thuộc loại điện tích dĩ nhiên số k khác) Từ sau, để thuận tiện, ta giả sử (bằng cách chọn đơn vị đo thích hợp) k=1 Công thức (1.1) trở thành : (1.2) Xét chất điểm m đặt P(ξ, η, ζ) Chất điểm sinh lực tác động vào chất điểm đặt lại Q(x,y,z) khơng gian theo (1.2) Ta nói chất điểm m sinh trường lực (Newton) không gian trường lực biểu diễn hỏi công thức : (1.3) Chương : Chỉnh Hóa Một Số Bải Toán Ngược Phi Tuyến 105 (4.48) Gọi (σ n(δ) (ϕ), g n(δ) (ϕ) ng hiệm du y (4.8φ ) ứng với n = n(δ) Do (4.46) (4.47), t a có R R R R (4.49) cho ε > Tồn n ≥ n0 cho R R R R Ta có từ định nghĩa ánh xạ r A : Suy Vậy ta chọn Với δ vậy, ta có cho Chương : Chỉnh Hóa Một Số Bải Toán Ngược Phi Tuyến 106 Vậy Định lý chứng minh 4.2 Bài Toán (P7) Bài toán (P7) phát biểu sau : Cho D miền mở bị chận cho trước thỏa � ) cho Tìm σ ∈C(D f hàm cho trước nằm không gian C (R ) với R R P P Ký hiệu Thì khơng gian Banach thực với chuẩn sup Chương : Chỉnh Hóa Một Số Bải Tốn Ngược Phi Tuyến Đặt � ) S σ0 mở C (D R R R R Bây định nghĩa ánh xạ Bởi Chúng chứng minh : Bổ đề 4.2.1 F ánh xạ thuộc lớp C1 từ P Chứng minh Với σ ∈ P Sσ0 vào C (R2) R R Sσ0 , đặt R R q σ > R R Ta có với (x,y) : Suy Vậy, F(σ)(x,y) tồn với (x,y) thuộc R2 P P R R P P 107 Chương : Chỉnh Hóa Một Số Bải Tốn Ngược Phi Tuyến Cho (x n , yn ) → (x, y) R2 Ta có R R R R P P định lý hội tụ bị chận Lebesgue Vậy F(σ) ∈ C(R2) � bị chận số M > 0, ta có với (ξ, η) ∈ D �, Bây giờ, D P P Do đó, Vậy, F(σ) ∈ C(R2) P P Để chứng minh F ∈ C1(S σ0 , C (R2)), ta đặt P K ∈ C∞(U) với P Ta có P P R R R R P P 108 Chương : Chỉnh Hóa Một Số Bải Tốn Ngược Phi Tuyến Đặt Dễ thấy Q(h) e C (R2) ánh xạ R R P P tuyến tính Ta lại có với (x,y) ∈ R2, P P Mà với Do Vậy Ta chứng minh Q DF(σ) Thật vậy, với 109 Chương : Chỉnh Hóa Một Số Bải Tốn Ngược Phi Tuyến ta có theo định lý giá trị trung bình với θ , θ ∈ (0, 1) R R R R Đặt Ta có với ((x, y), (ξ, η), ξ) ∈ T Vậy Suy với (x,y) ∈ R2, P P 110 Chương : Chỉnh Hóa Một Số Bải Tốn Ngược Phi Tuyến Do Q = DF(σ) � ), σ n, σ ∈ S σ0 Ta chứng minh Bây giả sử σ n → σ C (D R R R R R R R Cho < r < q σ Thì có n0 để ||σ n - σ|| ∞ < r với n ≥ n0 R R R R R R R với n ≥ n0 R Thì ` Suy R ta có R Đặt Mà với R R R 111 Chương : Chỉnh Hóa Một Số Bải Toán Ngược Phi Tuyến 112 Vậy : T � ), C (R2)) Do DF(σ n ) → DF(σ) S (C 0(D T R R R R R P P Nói cách khác, DF liên tục S σ0 bổ đề chứng minh xong □ T T5 R R T5 Bây giờ, giả sử lời giải (P7) nằm tập hợp F compact T T4 T4 Sσ0 , phần tử F khơng âm D� Bài tốn (P7) viết lại R R T T T4 T4 dạng (P7) T Tương tự toán (P6), gọi {X n }, {Y n } dãy không gian hữu hạn T T4 T4 R R R R � ) C (R2) Gọi {Q n } dãy ánh xạ chiều C (D R R R R P P R R xấp xỉ ánh xạ đồng C (R2), nghĩa thỏa : T T5 T5 T5 R R P P T5 Nếu φ n → φ C (R2) Ọ n φ n → φ h.h R2 T R R R R P P R R R R P P Giả sử T Bây gọi W tập mở, bị chận C (R2) thỏa điều kiện T T T R R P P Chương : Chỉnh Hóa Một Số Bải Tốn Ngược Phi Tuyến 113 Gọi {k n}, {σ on }, {g on }, {G n } dãy thỏa T R R R R R R R R G n ánh xạ liên lục từ ����������� ωn x Wn Xn T R R R R (phần đóng ωn x Wn X n x Y n ) vào T1 R R T T R R Chúng tơi xét tốn tương ứng (P7) không gian hữu hạn chiều X n x Y n T R R T T R R sau : Tìm T thỏa X n x Y n T R R R R (4.50) Bằng cách chứng minh lương tự phần chứng minh Định lý 4.1.1, 4.1.2 4.1.3, có � ), Gọi {(σ n , g n )} dãy nghiệm Định lý 4.2.1 Giá sử (P7) có nghiệm (duy nhất) σ ∈ C 0(D (4.50) � ), σ n → σ C 0(D T T T3 T R T2 R T1 T2 R T1 T3 Gọi Γ thành phần liên thông T T4 T4 T1 R R R R T Định lý 4.2.2 Giả sử T R chọn cho Chương : Chỉnh Hóa Một Số Bải Tốn Ngược Phi Tuyến 114 Có chứa Thì tồn tập hợp K0 có độ đo X n x Y n cho với (σ0n , g 0n ) ∈ Γ \ T T5 R R T5 T5 T5 T5 R R R R T5 R R R R K , phương trình (4.50) có nghiệm Ω n R R T5 T5 T5 R R Hơn nữa, có vùng cận β f C (R2) cho vài (φ ∈ β, phương trình T T6 T6 T T T5 R R P P T5 T5 T6 T6 (4.50φ) T có nghiệm (σ,g) = s(φ) Ω n , vờ ánh xạ T R thuộc lớp C1 T T P T6 P R T Định lý 4.2.3 Với giả thiết Định lý 4.2.2, có δ > ánh xạ T8 T8 T5 R R T8 T8 T5 có tính chất T cho phương trình (4.50φ) ứng với n = n(δ) có nghiệm T T thỏa T5 T5 T5 T4 T5 KẾT LUẬN T Nội dung luận án khảo sát số toán ngược Lý thuyết vị T T Phương pháp khảo sát luận án là: - Khảo sát tính nghiệm - Xây dựng nghiệm chỉnh hóa khảo sát tốc độ hội tụ nghiệm chỉnh hóa Các kết đạt luận án chia thành loại : kết cho toán tuyến tính kết cho tốn phi tuyến Với tốn ngược tuyến lính, sau khảo sát tính nghiệm, chúng tơi xây dựng tốn moment tổng qt khơng gian Hilbert vơ hạn chiều nhằm áp dụng vào tốn cụ thể Các kết đạt bổ lúc cho |7|, |14| tác giả sử dụng kiện Cauchy đường cong (hay mặt cong) vô hạn Trong đó, chúng tơi sử dụng kiện Cauchy miền bị chận (chương 3) Kết đặc biệt cho trường hợp kiện khảo sát điều kiện Dirichlet đường y = k (hay mặt z = k) công bố [1].[2] T Đối với toán ngược phi luyến, chứng minh nghiệm toán xấp xỉ toán hữu hạn chiều để xây dựng nghiệm Kết lính nghiệm tốn xác định miền cơng bố [23] tổng qt hóa kết [5] tác giả khảo sát trường hợp miền xác định có lỗ hổng Trong đó, Kết Luận 116 chúng tơi xét tốn trường hợp số lỗ hổng chưa biết Kết T nghiệm tốn xác định nguồn chiều cơng bố |24| Các kết toán xác định nguồn tổng quát hóa kết [11] 11, [12] tác giả khảo sát trường hợp chiều với biên nguồn giả định phẳng Trong đó, chúng tơi xét trường T4 T T T hợp chiều với biên đường (hay mặt) cong T T T TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N Cam, C D Khanh, D N Thanh, V V Thanh, Nghiệm xấp xỉ ổn định chưa toán Dirichlet ngược cho phương trình Laplace nửa khơng gian trên, Thông tin Khoa Học, ĐHSP Tp HCM, Số Đặc Biệt 4/1995, 22-26 [2] D N Thanh, V V Thanh, C D Khanh, Nghiệm xấp xỉ ổn định tốn Dirichlel ngược cho phương trình Laplace nửa mặt phẳng Proceedings of The Fourth Workshop on Applied Mechanics, HoChiMinh City University Of Technology, 1994, XV/I-XV/6 [3] H Brézis, Analyse fonclionnelle, Théorie et applicalions, Masson 1983 [4] R Lattes and J L Lions, Mélhode de quasireversibililé et applicalions Dunod Paris (1967), 240 - 241 [5] D D Ang, L K Vy, Domain Identification for Harmonic Funclions, Acta Applicandae Mathemalicac 38 (1995), 217-238 [6] D D Ang, K Vy, K Gorenflo : A regularization method for the moment problem, Proceedings International Conference Postdam (1993), 37-44 [7] D D Ang, N Thanh, V V Thanh, Regularized solutions of a Cauchy problem for the Laplace equation in an irregular strip, Journal of Integral Equation and Applications, Vol 8, No 4, 1993, 429-441 [8] D D Ang, V V Thanh, L K Vy, Regularizalion of an integral Equation of Gravimelry, Proceedings of the HoChiMinh City Mathematies Consortium First Conference (1993), 8184 [9] D D Ang, V V Thanh, Extrapolation in Gravimelry : A moment problem Proceedings, International Workshop "Numerical Analysis and Applications", HoChiMinh City (1995), 710 Tài Liệu Tham Khảo [10] 118 D D Ang, V.V Thanh, A regularized solution of an inverse problem of T gravimetry, Proceedings, International Workshop "Numerical Analysis and Applications", T3 HoChiMinh City (1995), 11-14 ' [11] T D D Ang, R Gorenflo, L K Vy, A uniqueness theorem for a nonlinear integral equation of T T T T T T gravimetry, International Congress of Nonlinear Analysis (1992), in Tampa, Florida, De T3 Gruyer Publishers (1996) [12] T D D Ang, R Gorenflo, L K Vy, Regularizalion of a nonlinear integral equation in T T gravimetry (to appear in J Inverse & III - Posed Problems) T3 [13] D D Ang, R Gorenflo, T T Le, L K Vy, Reconstruction of an analytic function : A T T T T T moment problem and a problem of optimal recovery Submitted to "Inverse Problem", 1993 T3 [14] D D Ang, N H Nghia, N C Tam : Regularized solutions of a Cauchy problem for the T T T Laplace equation in an irregular layer : A three dimensional model (to appear in Acta T3 Mathematica : Vietnamica) [15] H Bateman, Tables of integral transforms, Mc Graw-Hill Book company, INC NewYorkT T T T3 Toronto-London, 1954 [16] J Baumeister, Stable solution of inverse problem, Friedr Vieweg & Sohn T T3 Brauschweig/Wiesbaden, 1987 [17] D Colton, Partial differential equation : An introduction Random House Inc., New York T T3 1988 [18] R Courant and D Hilbert, Methods of mathematical physics Inter science, New York (1962) [19] J Cronin, Topological degree and the number of solutions of equations, Duke Math, J (1971) T T T T T T3 T T3 38, 531-538 [20] J Douglas, Approximate solution of physically unstable problems, Ecole T4 T C.E.A.E.D.F., Paris, 1965 T5 T5 T5 T5 T T3 Tài Liệu Tham Khảo 119 [21] Erdelyi et al "Tables of integral transforms" Vol 1, Mac-Graw Hill, 1954 [22] O.D Kellogg, Foundations of potential theory, Dove Puhl., New York, 1953 [23] C D Khanh, D D Trong, Domain Idenlifiability for Laplace Equation, Proceedings of the T T T T T T T T T T International Conference on Analysis and Mechanics of Continuous Media, Part II, HoChiMinh City, 27-29 Dec, 1995, pp 497-500 T [24] T T6 T T T T C D Khanh, D N Thanh, A uniqueness theorem in gravimetry, Proceedings, International T6 T Conference "Analysis and Mechanics of Continuous Media", HoChiMinh City, 1995, 202 T 206 [25] T M M Lavrentiev, On the Cauchy problem for the Laplace equation (in Russian), Investia T Akad, Nauk 20(1956), 819-842 T [26] T M Mac Robert, Spherical harmonics, an elementary treatise on harmonic functions with T applications Dove Publication, Inc New York, 1948 T [27] T T S.G Mikhlin, Linear Equations of Mathematical Physics, Holt, Rinehart and Winston, T4 T4 T Inc 1967 T [28] T J.E Payne, Improved stability estimates for classes of ill-posed Cauchy problems, Appl T T T Anal., 19(19X5), 63 - 74 T [29] T T4 A I Prilepko, The uniqueness of the shape of a body determined from exterior potential T5 T5 values, Dokl Acad Sc USSR, 1, 160 (1978), 38 - 41 T [30] T T6 T W J Sternberg T L Smith, The theory of potential and spherical harmonics The University T6 T of Toronto Press, Toronto, Canada, 1952 T [31] T D N Thanh, V V Thanh, L K Vy, Regularization of an integral equation of gravimelry Proceedings of The HoChiMinh City Mathematics Consortium, first T Conference, Vol 1, 1993 81-84 T [32] T A N Tikhonov and V Y Arsenin, Solutions of ill-posed problems, Winston, Wiley, New T York, 1977 T ... ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CHU ĐỨC KHÁNH BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYẾT THẾ VỊ Chuyên ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 01 01 LUẬN ÁN PHĨ TIẾN SĨ KHOA HỌC TỐN - LÝ Người hướng dẫn khoa học. .. T5 T5 T5 T5 T5 Trong lập luận án này, mang tên T "BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYẾT THẾ VỊ" T nghiên cứu số tốn ngược khơng chỉnh quan trọng Lý thuyết vị T T Luận án, phần mở đầu kết luận, chia thành... QUAN VỀ BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYẾT T T5 THẾ VỊ T Mục đích chương từ lý thuyết hàm vị công cụ giải tích, chúng tơi thiết lập mơ hình tốn học cho số toán ngược quan trọng Lý thuyết vị khảo