DE CAO HOC DAI SO DHQGHN 2009

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 MÔN THI CƠ BẢN: ĐẠI SỐ Thời gian làm bài: 180 phút Câu I: a. CMR tập hợp tất cả các ma trận thực có dạng: 1 0 1 0 0 1 a b c    ÷  ÷  ÷   lập thành một nhóm với phép nhân ma trận thông thường. b. Nhóm trên có phải là nhóm abel không? Giải thích? Câu II: Cho f là một tự đồng cấu trong R 3 . Ma trận của f trong cơ sở chính tắc là: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 −    ÷  ÷  ÷   a. Tìm tất cả các giá trị riêng và véc tơ riêng tương ứng b. Liệt kê tất cả các không gian ổn định của f . Câu III: Cho ma trận thực đối xứng 13 5 2 1 5 13 2 6 2 2 10 A − −    ÷ = − −  ÷  ÷ − −   a. Hãy chéo hoá ma trận A. b. Kí hiệu v là véc tơ cột x y z    ÷  ÷  ÷   trong R 3 và v t = (x, y, z). Ký hiệu v là độ dài của v. Giả sử v thuộc tập hợp các véc tơ thoả mãn điều kiện v t Av = 1. CMR v bị chặn và hãy xác định chặn trên bé nhất của nó. Câu IV: Kí hiệu M r x s (K) là tập hợp các ma trận r x s với hệ số trong trường K. Cho A thuộc M m x n (K). a. CMR các ánh xạ f: M n x l (K) → M m x l (K) và g: M l x m (K) → M l x n (K) cho bởi: f(B) = AB và g(B) = BA là các ánh xạ tuyến tính. b. Với kí hiệu như trong câu a) khi l = m = n hãy tìm điều kiện cần và đủ để f = g. (hết) . ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 MÔN THI CƠ BẢN: ĐẠI SỐ Thời gian làm bài: 180 phút Câu I: a. CMR tập hợp