ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 MÔN THI CƠ SỞ: GIẢITÍCH Thời gian làm bài: 180 phút Câu I: 1. Phát biểu và CM định lý về tính khả vi của tổng chuỗi hàm trong một đoạn thẳng. 2. Cho chuỗi hàm: ( ) 1 n n u x ∞ = ∑ trong đó u n (x) là các hàm đơn điệu và xác định trên đoạn [a;b]. Giả sử chuỗi ( ) 1 n n u x ∞ = ∑ hội tụ tuyệt đối tại hai đầu mút x = a và x = b. CMR chuỗi hàm ( ) 1 n n u x ∞ = ∑ hội tụ đều trên [a,b]. Câu II: 1. Tính: 1 x 0 x e dx α β +∞ − ∫ với , α β là các tham số thực 2. Giả sử A là tập mở trong R n và hàm số f: A → R liên tục trên A. Đặt B = ( ) { } /x A f x α β ∈ < < trong đó α < β. CMR B là tập mở trong R n . Câu III: 1. Phát biểu và CM định lý Fecmat về điều kiện cần của cực trị địa phương. Từ đó phát biểu điều kiện cần cho cực trị địa phương của hàm f: A → R, trong đó A là một tập trong R n . 2. Giả sử hàm số f liên tục và dương trong [ ) 0,+∞ . Đặt ( ) ( ) ( ) 0 0 , 0 x x tf t dt x x f t dt ϕ = > ∫ ∫ Tính ϕ’(x) với x > 0 và Chứng minh ϕ là hàm đơn điệu tăng trong ( ) 0;+∞ Câu IV: Cho hàm véc tơ f: R → R 2 t a (acost, asint) (a > 0) và g: R 2 → R là hàm khả vi trên R 2 . Đặt h = gof là hàm hợp của f và g. CMR tồn tại hai điểm t 1 , t 2 trong R sao cho h(t 1 ) = h(t 1 + π) và h’(t 2 ) = 0 (Hết) . ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 180 phút Câu I: 1. Phát biểu