Ôn thi cao học Đại số (Cơ sở)

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI CAO HỌC Môn: ĐẠI SỐ Chuyên ngành: KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phần A: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH I. Lý thuyết 1. Không gian vectơ: Độc lập và phụ thuộc tuyến tính, cơ sở; không gian con, không gian thương; hạng của một vectơ; toạ độ của vectơ đối với cơ sở. 2. Ánh xạ tuyến tính: Ảnh và hạt nhân; đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu; định lý đồng cấu. ảnh của ánh xạ tuyến tính. 3. Ma trận - Định thức: Các phép toán trên ma trận, các phếp biến đổi sơ cấp, ma trận nghịch đảo; vành các ma trận, nhóm tuyến tính tổng quát; ánh xạ tuyến tính thay phiên, định thức của ma trận và ánh xạ tuyến tính, hạng của ma trân. 4. Hệ phương trình tuyến tính: Hệ phương trình Cramer, công thức Cramer; hệ thuần nhất, hệ tổng quát, phương pháp khử Gauss; định lý Kronecker-Capelli. 5. Vectơ riêng, giá trị riêng; ma trận chéo hoá được. 6. Dạng toàn phương và dạng song tuyến tính: Phân loại dạng toàn phương thực; định lý về chỉ số quán tinh. 7. Không gian vectơ Euclid: Cơ sở trực chuẩn; biến đổi trực giao, nhóm các ma trận trực giao; chéo hoá các phép biến đổi đối xứng. II. Bài tập Tiêu chuẩn 1:(Chứng minh không gian vectơ con) Cho A là một không gian vectơ 'AA Để Chứng minh A’ là không gian vectơ con của A: i) Chứng minh 'A ( 'xA ) ii) Chứng minh , ' ' ', ' x y A x y A x A R x A Tiêu chuẩn 2:(Cơ sở, số chiều của không gian vectơ) Hệ độc lập tuyến tính: Một hệ hữu hạn vectơ 12 , , , n V được gọi là độc lập tuyến tính nếu: 12 1 0 0 n i i n i a x a a a Cơ sở của không gian vectơ: Một hệ i iI gọi là cơ sở của không gian vectơ nếu: i) Hệ i iI là hệ độc lập tuyến tính ii) : (F I, F h÷u h¹n) ii iF Va Số chiều của không gian vectơ V: Số vectơ của một cơ sở (hữu hạn) được gọi là số chiều của không gian vectơ Ký hiệu: dimV Tiêu chuẩn 3: (Ánh xạ tuyến tính) Định nghĩa: Cho hai không gian vectơ V và W (trên R) Ánh xạ :WfV là ánh xạ tuyến tính nếu: i) ( ) ( ) ( ); ,f x y f x f y x y V ii) ( ) ( ); ,f x f x x V K Nếu f là đơn ánh thì f đơn cấu tuyến tính Nếu f là toàn ánh thì f toàn cấu tuyến tính Nếu f là song ánh thì f đồng cấu tuyến tính Nếu :f V V f là ánh xạ tuyến tính Ảnh, hạt nhân: Cho :WfV là ánh xạ tuyến tính i) ()fV được gọi là ảnh của KÝ hiÖu : Im ( )f f f |V ii) 1 (0) ( ) 0ffV| được gọi là hạt nhân của KÝ hiÖu : Kerff Ma trận của ánh xạ tuyến tính: V có cơ sở: 12 { , , , } n (1) W có cơ sở: 12 { , , , } m (2) Giả sử có biểu diễn: 1 11 1 21 2 1 1 12 1 22 2 2 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) mm mm n n mn m f a a a f a a a f a a a Khi đó ma trận: 11 21 1 12 22 2 12 m m n n mn a a a a a a A a a a được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở (1); (2). Tiêu chuẩn 4: (Tìm trị riêng và vectơ riêng của ánh xạ tuyến tính) Cho phép biến đổi tuyến tính :f V V . Giả sử ij () nn Aa là ma trận của phép biến đổi tuyến tính f + Tìm trị riêng: Giải phương trình 0AE (E là ma trận đơn vị) trị riêng là . + Tìm vectơ riêng: Giải hệ 11 1 12 2 1 12 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 nn nn n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x (I) vectơ riêng 12 ( , , , ) n x x x x là nghiệm không tầm thường của (I). Bài 1: Tính trong đó ,, là nghiệm của phương trình: x px q 3 0 Giải: Theo định lý Viet ta có 0 . Cộng cột (1), cột (2) vào cột (3) ta có: 0 00 0 Bài 2: Chứng minh a b b c c a a b b c c a a b b c c a 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 13 0 Giải: Nhân cột (2) với (-1), cột (3) với 1 rồi cộng vào cột (1) ta được: a b c c a a b c c a VT a b c c a a b c c a a b c c a a b c c a a b c c a b c a b c c a b c a b c c a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 13 3 3 3 3 13 1 1 1 1 1 1 1 (1) (2) 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2 22 2 2 2 0 Ghi chú: + (1): Nhân cột (1) với (-1) cộng vào cột (3) + (2): Nhân cột (3) với (-1) cộng vào cột (2) Bài 3: Tìm hạng của ma trận A 4 3 5 2 3 8 6 7 4 2 4 3 8 2 7 8 6 1 4 6 Giải: d d d d d d d d d d d d d d d A 2 ( 2) 1 2 3 2 3 3 1 3 4 ( 3) 2 4 4 ( 2) 1 4 4 3 5 2 3 4 3 5 2 3 0 0 3 0 4 0 0 3 0 4 0 0 3 0 4 0 0 0 0 0 0 0 9 0 12 0 0 0 0 0 Vậy rankA 3 Bài 4: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A 1 3 2 2 1 3 3 2 1 Giải: Ta sử dụng phương pháp định thức: Ta có: det 1 27 8 6 6 18A A 11 13 5 21 A 21 32 1 21 A 31 32 7 13 A 12 23 7 31 A 22 13 5 31 A 32 12 1 23 A 13 21 1 32 A 23 13 7 32 A 33 13 5 21 Vậy A 1 5 1 7 1 7 5 1 18 1 7 5 Bài 5: (2004) Cho ma trận 1 3 1 3 5 1 3 3 1 A a) Tìm giá trị riêng – vectơ riêng của A b) Tính A 2004 . Giải: a) Tìm giá trị riêng – vectơ riêng của A Tìm giá trị riêng của A Xét đa thức đặt trưng: Ta có: 2 1 0)2)(1( 133 153 131 2 a a aa a a a Vậy A có 2 giá trị riêng: a=1, a=2 Tìm vectơ riêng của A Với a=1 ta có 000 110 132 330 110 132 033 143 132 Ta được hệ: Vậy có VTR (1,1,1) Với a=2 ta có 000 000 133 133 133 133 Ta được hệ bx ax xxx bx ax xxx 3 2 321 3 2 321 33033 Vậy có 2 VTR (1,1,0), (-1,0,3) b) Ta có 301 011 111 Q Ma trận chéo của A là (Q -1 AQ) 2004 =Q -1 A 2004 Q vậy A 2004 =QB 2004 Q -1 = = 1 2004 2004 2004 200 020 001 QQ Bài 6: Cho ánh xạ tuyến tính f: R 4 R 3 có ma trận trong cặp cơ sở chính tắc là: 3502 1132 1201 Xác định nhân và ảnh của f , Hỏi f có đơn cấu , toàn cấu không? Vì sao? Giải : Từ ma trận ta có ánh xạ 1 1 1 0 032 3 2 1 3 32 321 x x x ax xx xxx 200 020 001 1 AQQB 1 2004 200 020 001 QQ 1 2 3 4 1 3 4 1 2 3 4 1 3 4 ( , , , ) ( 2 ,2 3 , 2 5 3 )f x x x x x x x x x x x x x x Xác định nhân và ảnh của f tức là tìm cơ sở và số chiều của Imf, Kerf Tìm cơ sở và số chiều của Kerf Ta có 0.3502 0.1132 0.1201 0.5100 0.1530 0.1201 Ta được hệ )(, 3 15 26 33 3 5 1 3 5 2 05 053 02 4 3 2 1 4 43 432 431 43 432 431 Ra ax ax ax ax ax xx x x xx xxx xx xxx xxx f có 1 ẩn tự do nên dimKerf = 1 và Kerf có cơ sở là (-33,26,15,3) Vậy f không đơn cấu vì dimKerf = 1 Tìm cơ sở, số chiều của Imf Ta có: B= 0.510 0.150 0.030 0.221 0.150 0.030 0.050 0.221 0.2600 0.1500 0.510 0.221 0.000 0.39000 0.510 0.221 Vậy Rank (B)=3 nên dimImf=3 và Imf có 1 cơ sở gồm 3 vectơ (f(e 1 ),f(e 4 ),f(e 2 )) f không toàn cấu vì dimImf=3 Bài 7: (2005) Cho dạng toàn phương 323121 2 3 2 2 2 1321 2222),,( xxxaxxxxxxxxxf a) Đưa dạng toàn phương vể dạng chính tắc b) Với giá trị nào của a thì f là xác định dương và nửa xác định dương 0.311 0.512 0.030 0.221 Giải : a) Ta có: 222 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 ( , , ) 2 2 2 f x x x x x x x x x x x x 2 2 2 1 2 3 2 3 3 ( ) ( 1) (1 2 )x x ax x a x a x[] Đặt 33 322 3211 33 322 3211 )1( )21( )1( yx yayx yayyx xy xaxy axxxy Cơ sở f chính tắc là u 1 =(1,0,0),u 2 =(-1,1,0),u 3 =(1-2a,a-1,1) ma trận 100 110 2111 a a T u b) f xác định dương khi -2a 2 +2a>0 10 a f nửa xác định dương khi -2a 2 +2a=0 1,0 aa Bài 8: Tìm giá trị riêng – vectơ riêng và chéo hoá ma trân A= 221 221 115 Giải Tìm giá trị riêng Xét đa thức đặt trương: 3 6 0 0189 221 221 115 23 a a a aaa a a a Vậy A có 3 GTR a=0, a=6, a=3 Tìm Vectơ riêng Với a=0: Ta có 000 990 221 115 221 221 221 221 115 Ta được hệ ax ax x ax xx xxx 3 2 1 3 32 321 0 099 022 suy ra VTR (0,a,a) VTR (0,1,1) Với a=6: Ta có 000 330 111 421 241 111 Ta được hệ: ax ax ax ax xx xxx 3 2 1 3 32 321 2 033 0 suy ra VTR (-2a,-a,a) VTR (-2,-1,1) Với a=3: Ta có 000 330 121 112 221 121 121 211 112 Ta được hệ ax ax ax ax xx xxx 3 2 1 3 32 321 3 033 02 suy ra VTR (3a,a,a) VTR (3,1,1) Ma trận cần tìm là T= 111 111 320 và T -1 AT= 300 060 000 Bài 9: Cho f: R 4 R 3 định bởi f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )=(x 1 -x 2 +x 3 ,2x 1 +x 4 ,2x 2 -x 3 +x 4 ) a) Tìm cơ sở và số chiều của Kerf, Imf b) Tìm u R 4 sao cho f(u)=(1,-1, 0) Giải a) Tìm cơ sở số chiều của Kerf, Imf Tìm cơ sở số chiều của Kerf Với x=(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) 1 2 3 14 2 3 4 0 : ( ) 0 2 0 20 x x x Kerf x R f x x x x x x Ta có ma trận mở rộng 0.1120 0.1002 0.0111 0.0100 0.1220 0.0111 Biến đổi ta được hệ ax x ax ax Rx x xxx xxx 2 0 0 022 0 4 3 2 1 4 3 432 321 là nghiệm tổng quát của hệ ta có dimKerf =1 cơ sở của Kerf là (1,1,0,2) Tìm cơ sở và số chiều của Imf Ta có f(e 1 )=(1,2,0), f(e 2 )=(-1,0,2), f(e 3 )=(1,0,-1), f(e 4 )=(0,1,1) Imf=(f(e 1 ),f(e2),f(e 3 ),f(e 4 )) Ta có 110 101 201 021 000 100 200 021 Nên dimImf =3 Vậy cơ sở của Imf là (f(e 1 ),f(e2),f(e 3 )) b) Tìm u R 4 sao cho f(u)=(1,-1, 0) Ta có : f(u)=(1,-1, 0) =(x 1 -x 2 +x 3 ,2x 1 +x 4 ,2x 2 -x 3 +x 4 ) Ta được hệ ax x xx xx xxx xx xxx 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 02 12 1 4 3 42 41 432 41 321 (a R) [...]... ngụi, a Kớ hiu: aX = { ax : x Xa = { xa : x X X} X} CMR: X l nhúm a X ta cú: aX = Xa = X Gii X l nhúm , ta bit rng phng trỡnh ax = b, ya = b luụn cú nghim trong X a, b X, nờn: X aX, X Ngc li : theo gi thit X Xa; hin nhiờn aX , aX = X = Xa, ax = b, ya = b luụn cú nghim trong X, a,b a X, Xa X Vy aX = X = Xa X, nờn cỏc phng trỡnh: X Do ú X l mt nhúm Bi 6: X = Z3 xỏc nh phộp toỏn hai ngụi: (k1, k2, k3 )(... X và X= a tc X trựng vi nhúm con sinh bi phn t a, bao gm tt c nhng lu tha nguyờn ca a Vy: X a a n :n Z Nh vy: chng minh X l nhúm Cyclic theo nh ngha 1 ta bt buc phi ch ra cho c mt phn t sinh a X , ng thi phi chng minh bt kỡ phn t x X u vit c di dng mt lu tha nguyờn ca a nh ngha 2: Cho nhúm X v a X , cp ca phn t a l cp ca nhúm con Cyclic sinh bi phn t a nh c Bi 1: Cho X l nhúm Cyclic, X u l nhúm xiclic... Z Z {(k1,k2 ): k1,k2 (k1 , k2 )(l1 , l2 ) (k1 l1 , k2 Z} vi phộp toỏn hai ngụi: ( 1)k1 l2 ) Chng minh rng nhúm con A sinh bi phn t a (0,1) l nhúm con chun tc ca X Phõn tớch ban u: Trong bi toỏn ny gi thit ó cho A l nhúm con a Vỡ vy ch cũn phi kim tra A tho món iu kin chun tc Tuy nhiờn mun lm iu ú thỡ phi bit c dng tng quỏt ca phn t A, tc trc ht phi mụ t tng minh cỏc phn t ca A Gii Ta cú: A a n : n . CƯƠNG ÔN THI CAO HỌC Môn: ĐẠI SỐ Chuyên ngành: KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phần A: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH I. Lý thuyết 1. Không gian vectơ: Độc lập và phụ thuộc tuyến tính, cơ sở; không gian con, không. không gian vectơ nếu: i) Hệ i iI là hệ độc lập tuyến tính ii) : (F I, F h÷u h¹n) ii iF Va Số chiều của không gian vectơ V: Số vectơ của một cơ sở (hữu hạn) được gọi là số chiều của không. chuẩn 2 :(Cơ sở, số chiều của không gian vectơ) Hệ độc lập tuyến tính: Một hệ hữu hạn vectơ 12 , , , n V được gọi là độc lập tuyến tính nếu: 12 1 0 0 n i i n i a x a a a Cơ sở của không gian