Giáo án BDHSG 9 chuyên đề HH Đường tròn Duy

CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN CHỦ ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Đường trịn, hình trịn, góc tâm, số đo cung - Đường trịn tâm O, bán kính R hình gồm điểm cách O khoảng R, kí hiệu (O ; R) - Hình trịn hình gồm điểm nằm đường tròn điểm nằm bên đường trịn 0 - Trên hình vẽ:    180 +) Các điểm A, B, C, D nằm (thuộc) đường tròn; OA = OB = OC = OD = R +) M nằm bên đường trịn; OM < R +) N nằm bên ngồi đường tròn; ON > R +) Đoạn thẳng AB dây cung (dây) +) CD = 2R, đường kính (dây cung lớn nhất, dây qua tâm)  +) AmB cung nhỏ (    180 ) +) AnB cung lớn +) Hai điểm A, B hai mút cung - Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm ( AOB góc tâm chắn cung nhỏ AmB) - Góc bẹt COD chắn nửa đường trịn - Số đo cung: +) Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung 0 s® AmB   (    180 ) +) Số đo cung lớn hiệu 3600 số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn) s® AnB  360   +) Số đo nửa đường tròn 1800, số đo đường tròn 3600 Quan hệ vng góc đường kính dây - Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây AB  CD H => HC = HD - Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây   180 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN Định lí 1: Trong đường trịn a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm AB = CD => OH = OK OH = OK => AB = CD Định lí 2: Trong hai dây đường trịn a) Dây lớn dây gần tâm b) Dây gần tâm dây lớn AB < CD => OH > OK OH > OK => AB < CD Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn a) Đường thẳng đường trịn cắt (có hai điểm chung) - Đường thẳng a gọi cát tuyến (O) d = OH < R HA = HB = 2 R  OH b) Đường thẳng đường trịn tiếp xúc (có điểm chung) - Đường thẳng a tiếp tuyến (O) - Điểm chung H tiếp điểm d = OH = R *) Tính chất tiếp tuyến: Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm a tiếp tuyến (O) H => a  OH c) Đường thẳng đường trịn khơng giao (khơng có điểm chung) d = OH > R Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn - Để nhận biết đường thẳng tiếp tuyến đường trịn ta có hai dấu hiệu sau:  Dấu hiệu 1: Đường thẳng đường trịn có điểm chung (định nghĩa tiếp tuyến)  Dấu hiệu 2: Đường thẳng qua điểm đường tròn vng góc với bán kính qua điểm H   O     a lµ tiÕp tun cđa (O) a  OH t¹i H  Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau; đường trịn nội tiếp, bàng tiếp tam giác GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN a) Định lí: Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm thì:  Điểm cách hai tiếp điểm  Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến  Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm AB  AC;OAB  OAC ; AOB  AOC b) Đường tròn nột tiếp tam giác - Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi đường trịn nội tiếp tam giác, tam giác gọi tam giác ngoại tiếp đường tròn - Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm đường phân giác góc tam giác c) Đường tròn bàng tiếp tam giác - Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh gọi đường tròn bàng tiếp tam giác - Tâm đường tròn bàng tiếp giao điểm hai đường phân giác góc ngồi hai đỉnh giao điểm đường phân giác góc đường phân giác góc ngồi đỉnh - Với tam giác có ba đường trịn bàng tiếp (hình vẽ đường trịn bàng tiếp góc A) Vị trí tương đối hai đường tròn, tiếp tuyến chung hai đường trịn a) Hai đường trịn cắt (có hai điểm chung) - Hai điểm A, B hai giao điểm - Đoạn thẳng AB dây chung R - r < OO' < R + r - Đường thẳng OO’ đường nối tâm, đoạn thẳng OO’ đoạn nối tâm *) Tính chất đường nối tâm: Đường nối tâm đường trung trực dây chung b) Hai đường trịn tiếp xúc (có điểm chung) - Điểm chung A gọi tiếp điểm +) Tiếp xúc A: OO'  R  r GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN +) Tiếp xúc A: OO'  R  r c) Hai đường trịn khơng giao (khơng có điểm chung) +) Ở ngồi nhau: OO'  R  r +) Đựng nhau: OO'  R  r +) Đặc biệt (O) (O’) đồng tâm: OO'  d) Tiếp tuyến chung hai đường tròn - Tiếp tuyến chung hai đường tròn đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn - Tiếp tuyến chung ngồi khơng cắt đoạn nối tâm - Tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm So sánh hai cung đường tròn hay hai đường tròn - Hai cung gọi chúng có số đo - Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn - Kí hiệu: AB  CD; EF  GH  GH  EF Liên hệ cung dây *) Định lí 1: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Hai cung căng hai dây b) Hai dây căng hai cung AB  CD  AB  CD ; AB  CD  AB  CD GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi CHUN ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN *) Định lí 2: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Cung lớn căng dây lớn b) Dây lớn căng cung lớn AB  CD  AB  CD ; AB  CD  AB  CD 10 Góc nội tiếp a) Định nghĩa: - Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây cung đường trịn - Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn b) Định lí: Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp BAC góc nội tiếp chắn cung nửa số đo cung bị chắn nhỏ BC(hình a) chắn cung lớn BC(hình b) BAC  sđ BC c) Hệ quả: Trong đương tròn +) Các góc nội tiếp chắn cung +) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung +) Góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung +) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng 11 Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung a) Khái niệm: - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc có đỉnh nằm đường tròn, cạnh tia tiếp tuyến cạnh chứa dây cung đường tròn - Cung nằm bên góc cung bị chắn - Hình vẽ:  BAx chắn cung nhỏ AmB  BAy chắn cung lớn AnB b) Định lí: - Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn c) Hệ quả: Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung BAx  ACB  BAx  s® AmB BAy  s® AnB sđ AmB 12 Góc có đỉnh bên đường trịn Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi CHUN ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN a) Góc có đỉnh bên đường trịn - Góc có đỉnh nằm bên đường trịn gọi góc có đỉnh bên đường trịn - Hình vẽ: BEC góc có đỉnh bên đường trịn d m a e chắn hai cung BnC , AmD - Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn BEC  s®BnC  s® AmD o c n b b) Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn - Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn góc có đỉnh nằm ngồi đường trịn cạnh có điểm chung với đường trịn - Hai cung bị chắn hai cung nằm bên góc, hình E Am vẽ bên: BEC góc có đỉnh bên ngồi đường trịn, có hai cung bị chắn AmD vµ BnC - Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn D O B BEC  s®BnC  s® AmD n C 13 Kết tốn quỹ tích cung chứa góc a) Bài tốn: Với đoạn thẳng AB góc  0 (    180 ) cho trước quỹ tích điểm M thỏa mãn AMB   hai cung chứa góc  dựng đoạn thẳng AB - Hai cung chứa góc  dựng đoạn thẳng AB đối xứng với qua AB - Khi ỏ = 900 hai cung chứa góc hai nửa đường trịn đường kính AB, suy ra: Quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường trịn đường kính AB (áp dụng kiến thức để chứng minh tứ giác nội tiếp) GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN b) Cách vẽ cung chứa góc ỏ - Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB - Vẽ tia Ax tạo với AB gúc  ( BAx =  ) - Vẽ tia Ay vng góc với tia Ax Gọi O giao điểm Ay với d - Vẽ cung AmB, tâm O bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax c) Cách giải tốn quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (hay tập hợp) điểm M thỏa mãn tính chất T hình H đó, ta chứng minh hai phần: Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) điểm M có tính chất T hình H 14 Tứ giác nội tiếp a) Khái niệm tứ giác nội tiếp - Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp) b) Định lí: - Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện Tứ giác ABCD nội tiếp (O), suy ra: 1800 A  C  B  D  180 c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp  Tứ giác có tổng hai góc đối 1800  Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện  Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác  Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc ỏ Lưu ý: Để chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp ta chứng minh tứ giác hình : Hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân 15 Đường trịn ngoại tiếp Đường trịn nội tiếp GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi CHUN ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN - Đường trịn qua tất đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác đa giác gọi đa giác nội tiếp đường tròn - Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác gọi đường tròn nội tiếp đa giác đa giác gọi đa giác ngoại tiếp đường trịn I - Bất kì đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường tròn nội tiếp - Trong đa giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp gọi tâm đa giác 16 Một số định lí áp dụng : (khơng cần chứng minh) a) Định lí 1: +) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng trung điểm cạnh huyền +) Nếu tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác vng b) Định lí 2: Trong đường trịn, hai cung bị chắn hai dây song song c) Định lí 3: Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung d) Định lí 4: Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây cung (khơng phải đường kính) chia cung căng dây thành hai cung e) Định lí 5: Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại, đường kính vng góc với dây qua điểm cung căng dây 17 Độ dài đường trịn, độ dài cung trịn, diện tích hình trịn, diện tích hình quạt trịn a) Độ dài đường trịn Cơng thức tính độ dài đường trịn (chu vi hình trịn) bán kính R là: Hoặc C =2 R C = d Trong đó: C : độ dài đường trịn R: bán kính đường trịn d: đường kính đường trịn   3,1415 số vơ tỉ GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN b) Độ dài cung tròn Độ dài cung tròn n0 là: l  Trong đó:  R.n 180 l : độ dài cung trịn n0 R: bán kính đường trịn n: số đo độ góc tâm c) Diện tích hình trịn S   R Trong đó: S : diện tích hình trịn R : bán kính hình trịn   , 14 d) Diện tích hình quạt trịn  R 2n R Hoặc Squat = Squat  360 Trong đó: S diện tích hình quạt trịn cung n0 R bỏn kớnh l độ dài cung n0 hình quạt tròn   3,14 B BÀI TẬP Bài : Cho nửa đường trịn (O; R), đường kính AB, M điểm nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến A B C D a/ Chứng minh CD = AC + DB tam giác COD vuông b/ Chứnh minh AC.BD  R c/ Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD d/ Khi BM = R, tính theo R diện tích tam giác ACM Bài : Cho đường tròn (O), đường kính AB tiếp tuyến Bx Trên tia Bx lấy điểm M; AM cắt đường tròn S, gọi I trung điểm AS a/ Chứng minh điểm O, I, M, B thuộc đường tròn b/ Chứng minh OI.MA = OA.MB Bài : Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) lấy điểm C tùy ý; CB cắt đường tròn (O) D Gọi M trung điểm BD E giao điểm AC với tiếp tuyến đường tròn (O) D Chứng minh : a/ AD // OM b/ AC.OB = BC.MO c/ Bốn điểm O, A, E, D thuộc đường trịn, xác định tâm bán kính đường tròn Bài 4: Cho (O;R) điểm A nằm bên ngồi đường trịn, biết OA = 2R Kẻ tiếp tuyến AB với đường trịn Vẽ dây BC vng góc với OA I a/ Tính OI, BC theo R b/ Vẽ dây BD (O) song song với OA Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng c/ Tia OA cắt (O) E Tứ giác OBEC hình gì? Vì sao? Bài 5: Cho (O;R) đường kính BC Lấy điểm A (O) cho AB = R a/ Tính số đo góc A, B, C cạnh AC theo R b/ Đường cao AH ABC cắt (O) D Chứng minh: ADC tam giác c/ Tiếp tuyến D (O) cắt đường thẳng BC E Chứng minh: EA tiếp tuyến (O) d/ Chứng minh: EB CH = BH EC Bài 6: Cho ABC vuông A (AB < AC) Đường trịn (O) đường kính AC cắt BC H GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN a/ Chứng minh: AH  BC b/ Gọi M trung điểm AB Chứng minh HM tiếp tuyến (O) c/ Tia phân giác HAC cắt BC E cắt (O) D Chứng minh: DA DE = DC2 d/ Trường hợp AB = 12cm, AC = 16cm, tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AMH Bài 7: Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB Trên đoạn OB lấy điểm H cho HB = 2HO Đường thẳng vng góc với AB H cắt nửa (O) D Vẽ đường tròn (S) đường kính AO cắt AD C a/ Chứng minh: C trung điểm AD b/ Chứng minh: bốn điểm C, D, H, O thuộc đường tròn c/ CB cắt DO E Chứng minh: BC tiếp tuyến (S) d/ Tính diện tích tam giác AEB theo R Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) đường kính BC với AB < AC a/ Tính BAC b/ Vẽ đường trịn (I) đường kính AO cắt AB, AC H, K Chứng minh: ba điểm H, I, K thẳng hàng c/ Tia OH, OK cắt tiếp tuyến A với (O) D, E Chứng minh: BD + CE = DE d/ Chứng minh: đường tròn qua ba điểm D, O, E tiếp xúc với BC Bài 9: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 6cm Trên đoạn OB lấy điểm M cho MB = 1cm Qua M vẽ dây CD đường tròn (O) vng góc với AB a/ Chứng minh: tam giác ABC vng tính BC b/ Đường thẳng qua O vng góc với AC cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) E Chứng minh: EC tiếp tuyến đường tròn (O) c/ Gọi F giao điểm hai tia AC DB Kẻ FH  AB H gọi K giao điểm hai tia CB FH Chứng minh: tam giác BFK cân d/ Chứng minh: Ba điểm H, C, E thẳng hàng Bài 10: Cho đường trịn (O;R), đường kính AB Qua điểm A B vẽ hai tiếp tuyến (d) (d’) với đường tròn (O) Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) M cắt đường thẳng (d’) P Từ O vẽ tia vng góc với MP cắt đường thẳng (d’) N a) Chứng minh OM = OP tam giác NMP cân b) Hạ OI vng góc với MN Chứng minh OI = R MN tiếp tuyến đường tròn (O) c) Chứng minh: AM BN = R2 d) Tìm vị trí M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ Bài 11: Cho hai đường trịn (O;R) (O’;r) tiếp xúc ngồi A Vẽ tiếp tuyến chung DE , với D thuộc (O) E thuộc (O’) kẻ tiếp tuyến chung A cắt DE I Gọi M giao điểm OI AD, N giao điểm O’I AE a) Chứng minh ADE vuông b) Tứ giác AMIN hình ? Vì ? c) Chứng minh hệ thức: IM OI = IN IO’ d) Chứng minh OO’ tiếp tuyến đường trịn có đường kính DE e) Tính độ dài DE biết OA = cm, O’A = 3,2 cm f) Chúng minh DE tiếp tuyến đường trịn đường kính OO’ g) Chứng minh DE2 = 4Rr  AB  Bài 12 : Cho nửa đường tròn  O; Từ A, B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc   nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By C D Đường thẳng AD CB cắt N a) Tính COD b) Chứng minh MN // AC c) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD d) Tìm vị trí M để AC + BD có giá trị nhỏ GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi 10 CHUN ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN Bài 13 : Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm đường tròn cho OA = 2R Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) a) Chứng minh OA  BC b) Vẽ đường kính CD Chứng minh BD // AO c) Chứng minh tam giác ABC d) AD cắt đường tròn E Chứng minh AE AD = 3R2 Bài 14 : Cho tam giác ABC vuông A có AH đường cao Đường tròn tâm E đường kính BH cắt AB M đường tròn tâm I đường kính CH cắt cạnh AC N a) Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật b) Cho biết : AB = 6cm, AC = 8cm Tính độ dài đoạn thẳng MN c) Chứng minh MN tiếp tuyến chung hai đường tròn (E) (I) d) Để AMHN hình vng ABC cần có điều kiện ? Bài 15: Cho hình vuông ABCD M điểm tùy ý BD, kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD a) Chứng minh điểm A, E, M, F nằm đường tròn b) Chứng minh: DE = CF c) Chứng minh đường thẳng DE, BF, CM đồng quy d) Xác định vị trí điểm M cạnh BD để diện tích tứ giác AEMF lớn CHỦ ĐỀ : GĨC VÀ ĐƯỜNG TRỊN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa – Định lý Ký hiệu toán học Hệ Góc tâm: Trong (O,R) có: AOB tâm chắn AmB đường tròn, số đo góc  AOB = sđ AmB tâm số đo cung bị chắn Hình vẽ Góc nội tiếp: * Định lý: Trong (O,R) có: BAC nội tiếp chắn BC đường trịn, số đo góc  BAC = sđ BC nội tiếp nửa số đo cung bị chắn * Hệ quả: Trong a) (O,R) có: BAC n.tiế p chắ n BC  đường trịn:  a) Các góc nội tiếp EDF n.tiế p chắ n EF    BC  EF chắn cung  BAC  EDF   b) (O,R) có: b) Các góc nội tiếp BAC n.tiế p chắ n BC  chắn cung chắn   BAC  BDC cung BDC n.tiế p chắ n BC  (O,R) có: BAC n.tiế p chắ n BC    EDF n.tiế p chắ n EF c) Góc nội tiếp (nhỏ   BAC  EDF 900) có số đo BC  EF   nửa số đo góc c) (O,R) có:  GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi 11 CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN tâm chắn cung BAC n.tiế p chắ n BC    BAC  BOC BOC tâ m chắ n BC d) Góc nội tiếp chắn nửa d) (O,R) có: đường trịn góc vng BAC nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính BC  BAC = 900 Góc tạo tia tiếp (O,R) có: tuyến dây cung: * Định lý: Trong BAx tạo tia tiếp tuyến dây đường trịn, số đo góc cung chắn AB  BAx = sđ AB tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn (O,R) có: * Hệ quả: Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Góc có đỉnh bên đường trịn: * Định lý: Góc có đỉnh bên đường trịn nửa tổng số đo hai cung bị chắn Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn: * Định lý: Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn BAx taï o bở i tt & dc chắ n AB   BAx  ACB ACB nộ i tiếp chắ n AB  (O,R) có: BEC có đỉnh bên đường trịn  BEC = (sđ BC  sđ AD) (O,R) có: BEC có đỉnh bên ngồi đường trịn  BEC = (sñ BC  sñ AD) Cung chứa góc: * Tập hợp điểm nhìn đoạn thẳng AB góc  khơng đổi hai cung trịn chứa góc  * Đặc biệt: a) ADB  AEB  AFB   nhìn a) Các điểm D, E, F thuộc nửa mặt phẳng bờ đoạn AB  A, B, D, E, F thuộc AB, nhìn đoạn AB đường trịn GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi 12 CHUN ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN góc khơng đổi  Các đểm A, B, D, E, F thuộc đường tròn b) Các điểm C, D, E, F nhìn đoạn AB góc vng  Các đểm A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn đường kính AB Tứ giác nội tiếp: * Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm dường tròn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn * Định lý: Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 b) ACB  ADB  AEB  AFB  900 nhìn đoạn AB  A, B, C, D, E, F thuộc đường trịn đường kính AB * Tứ giác ABCD có A, B, C, D  (O)  ABCD tứ giác nội tiếp (O) * Tứ giác ABCD nội tiếp (O)   A  C  180     B  D  180 * Tứ giác ABCD có: * Định lý đảo: Nếu A  C  1800  ABCD tứ giác tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 n.tiếp tứ giác nội tiếp Hoặc: B  D  1800  ABCD tứ giác đường tròn n.tiếp Độ dài đường tròn, cung tròn: C = 2 R = d * Chu vi đường tròn:  * Độ dài cung tròn: Diện tích hình trịn, hình quạt trịn: * Diện tích hình trịn: * Diện tích hình viên phân: * Diện tích hình vành khăn: 1800 S   R2   d2  R2n R S Diện tích hình quạt trịn:  Rn 360  Sviên phân = Squạt - SABC S   ( R12  R22 ) GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi 13 CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Các phân giác góc ABC , ACB cắt đường tròn E, F CMR: OF  AB OE  AC Gọi M giao điểm của OF AB; N giao điểm OE AC CMR: Tứ giác AMON nội tiếp tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác Gọi I giao điểm BE CF; D điểm đối xứng I qua BC CMR: ID  MN CMR: Nếu D nằm (O) BAC = 600 Bài 2: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M điểm cạnh BC N điểm cạnh CD cho BM = CN Các đoạn thằng AM BN cắt H CMR: Các tứ giác AHND MHNC tứ giác nội tiếp Khi BM = a Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn MN theo a Kéo dài AM cắt DC I CMR: 1  không đổi M di chuyển cạnh BC AM AI Bài 2’: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M điểm cạnh DC N điểm cạnh BC cho DM + BN = MN a) Tính số đo góc MAN b) Đường chéo BD cắt AM, AN E F CMR: EF2 = ED2 + BF2 c) CMR chu vi  CMN không phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh BC d) Chứng minh đường thẳng MN tiếp tuyến đường tròn (A ; a) e) Xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác CMN lớn Bài 2”: Cho hình vng ABCD có cạnh a Một điểm M chuyển động cạnh DC Trên cạnh BC lấy điểm N cho MAN  450 a) Chứng minh DM + BN = MN b) Đường chéo BD cắt AM, AN E F CMR: EF2 = ED2 + BF2 c) CMR chu vi  CMN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh BC d) Chứng minh đường thẳng MN tiếp tuyến đường tròn (A ; a) e) Xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác CMN lớn Bài 3: Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O Đường cao BH CK cắt (O) E F a) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp b) CMR: OA  EF EF // HK c) Khi  ABC tam giác có cạnh a Tính diện tích hình viên phân chắn cung nhỏ BC (O) d) CMR: AB.BK + AC.CH = BC2 Bài 4: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E điểm cạnh BC Qua B vẽ đường thẳng vng góc với tia DE H, đường thẳng cắt tia DC F a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D nằm đường tròn b) CMR: DE.HE = BE.CE c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a E trung điểm BC d) CMR: HC tia phân giác DHF e) Gọi I giao điểm DE AB CMR: 1  không đổi E di chuyển cạnh DE DI BC Bài 5: Một hình vng ABCD nội tiếp đường trịn Tâm O bán kính R Một điểm M di động cung ABC , M không trùng với A,B C, MD cắt AC H GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi 14 CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN 1) CMR:Tứ giác MBOH nội tiếp đường tròn DH.DM = 2R2 2) CMR: MD.MH = MA.MC 3)  MDC  MAH M vị trí đặc biệt M’ Xác định điểm M’ Khi M’D cắt AC H’ Đường thẳng qua M’ vng góc với AC cắt AC I Chứng minh I trung điểm H’C Bài 6: Cho hai đường tròn (O; 20cm) (O’; 15cm) cắt A B Biết AB = 24cm O O’ nằm hai phía so với dây chung AB Vẽ đường kính AC đường trịn (O) đường kính AD đường trịn (O’) a) CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Tính độ dài đoạn OO’ c) Gọi EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) (E, F tiếp điểm) CMR: Đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng EF Bài 7: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax By C D CMR: a) Tứ giác AOMC nội tiếp b) CD = CA + DB COD = 900 c) AC BD = R2 Khi BAM = 600 Chứng tỏ  BDM tam giác tính diện tích hình quạt trịn chắn cung MB nửa đường tròn cho theo R Bài 8: Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O hai tiếp tuyến MA MB đến đường tròn (O), A, B tiếp điểm C nằm M, D a) CMR: MA2 = MC MD b) Gọi I trung điểm CD CMR: điểm M, A, O, I, B nằm đường tròn c) Gọi H giao điểm AB MO CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn Suy AB phân giác CHD d) Gọi K giao điểm tiếp tuyến C D đường tròn (O) CMR: điểm A, B, K thẳng hàng Bài 9: Cho hình vuông ABCD cạnh a , lấy điểm M thuộc cạnh BC (M khác B,C) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng DM H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC K Chứng minh: BHCD tứ giác nội tiếp Chứng minh: KM  DB Chứng minh: KC KD = KH KB Kí hiệu SABM, SDCM diện tích tam giác ABM, tam giác DCM CMR: (SABM + SDCM ) khơng đổi Xác định vị trí M BC để S2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ theo a Kéo dài AM cắt DC I CMR: 1  không đổi M di chuyển cạnh BC AM AI Bài 10: Cho điểm A ngồi đường trịn (O, R) Gọi AB, AC hai tiếp tuyến đường tròn (B C hai tiếp điểm) Từ A vẽ tia cắt đường tròn E F (E nằm A F) a) CMR:  AEC  ACF đồng dạng Suy AC2 = AE AF b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh điểm A, B, O, I, C nằm đường tròn c) Từ E vẽ đường thẳng vng góc với OB cắt BC M Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp đường tròn Suy tứ giác MIFB hình thang GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi 15 CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN d) Giả sử cho OA = R Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ngồi hình trịn (O) Bài 11: Cho đường tròn (O; R)và điểm A nằm bên ngồi đường trịn với OA = 3R Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( O) ( B, C hai tiếp điểm) a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp b) Kẻ đường kính CD (O) chứng minh BD // OA c) Kẻ dây BN (O) song song với AC, AN cắt (O) M chứng minh MC2 = MA.MB d) Gọi F giao điểm BN với CD Tính theo R diện tích tam giác BCF Bài 12: Từ điểm T nằm bên ngồi đường trịn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến TA, TB với đường trịn Biết góc AOB = 1200 dây BC = 2R a) Chứng minh OT // AC b) Biết tia OT cắt đường tròn ( O, R) D Chứng minh tứ giác AOBD hình thoi Bài 13: Cho tam giác ABC vuông A, biết AB = 6cm, AC = 8cm Vẽ đường cao AH, đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB E cắt AC điểm F a) Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh AI vng góc với EF a) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC Tính diện tích hình trịn tâm K Bài 14: Cho tam giác ABC nhọn, đường trịn (O) đường kính BC cắt AB, AC E D, CE cắt BD H a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp b) AH cắt BC F chứng minh FA tia phân giác góc DFE c) EF cắt đường tròn K ( K khác E) Chứng minh DK// AF d) Cho biết góc BCD = 450 , BC = cm Tính diện tích tam giác DBC Bài 15: Cho đường tròn ( O) điểm A (O)sao cho OA = 3R vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( B C hai tiếp tuyến ) a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( O) D ( khác B) đường thẳng AD cắt ( O) E Chứng minh AB2= AE AD c) Chứng minh tia đối tia EC tia phân giác góc BEA d) Tính diện tích tam giác BDC theo R Bài 16:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB >AC, nội tiếp đường tròn tâm (O,R), hai đường cao AD, CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BDHF nội tiếp? Xác định tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác b) Tia BH cắt AC E chứng minh HE.HB= HF.HC c) Vẽ đường kính AK (O) Chứng minh AK vng góc với EF d) Trường hợp góc KBC= 450, BC = R tính diện tích tam giác AHK theo R Bài 17: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Ba đường cao AE, BF, CK cắt H Tia AE, BF cắt đường tròn tâm O I J a) Chứng minh tứ giác AKHF nội tiếp đường tròn b) Chứng minh hai cung CI CJ c) Chứng minh hai tam giác AFK ABC đồng dạng với Bài 18: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O; R ),các đường cao BE, CF a Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp b Chứng minh OA vng góc với EF c P hình chiếu E AB, Q hình chiếu P BC, PQ cắt BE K Chứng minh FK//AC GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi 16 CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN Bài 19: Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt H 1) CMR: a) AE.AC = AF.AB = AH.AD b) HA.HD = HB.HE = HC.HF c) AB2 + BC2 + CA2 = 2(AH.AD + BH.BE + CH.CF) d) H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF e) HD HE HF DB EC FA CB HD FA     AD BE CF DC EA FB CD HA FB 2) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường thẳng AC I, qua C kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt BI K CMR: EF  AK 3) CMR: a) SAEF = SABC cos2A b) AE.BF.CD = AB.BC.AC.cosA.cosB.cosC c) S DEF   (cos A  cos B  cos C ) SABC Bài 20: Cho (O,R) dây BC < 2R cố định; A chạy cung lớn BC 1) Khi  ABC nhọn có đường cao AD; BE; CF đồng quy H CMR: a) H tâm đường tròn nội tiếp  DEF b)  AEF  ABC Từ chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp  AEF khơng đổi c) OA  EF d) SABC = p ' R ( p ' nửa chu vi  DEF) e) Tìm vị trí điểm A cung lớn BC để p ' đạt giá trị lớn f) BC2 = BE.BH + CF.CH 2) Khi A chạy cung lớn BC Gọi giao điểm AH (O) A ' a) Chứng minh H A ' đối xứng qua BC b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp  HAB,  HBC,  HCA c) Chứng minh: AH = OM với M trung điểm BC d) Chứng minh H, G, O thẳng hàng ( G trọng tâm  ABC) e) Khi A chạy BC H chạy đường nào? f) Gọi M, N, P trung điểm CB, AC, AB Kẻ đường thẳng Mx//OA; Ny//OB; Pz//OC CMR: Mx, Ny, Pz đồng quy Bài 21: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh rằng: 1) AB2 + HC2 = BC2 + HA2 = CA2 + HB2 2) AB.HC + BC.HA +AC.HB = 4S (với S diện tích△ABC) 3) AE AF.EF   cos A AB AC.BC 4) BH.BE + CH.CF + AH.AD =  AB2  BC  CA2  5) H tâm đường tròn nội tiếp △ABC 6) AE.CD.BF = AF.BD.CE = DE.EF.FD HB.HC HC.HA HA.HB DH EH FH DB EC FA       AB AC BC.BA CA.CB AD BE BE DC EA FB HB.HC HC.HA HA.HB CB HD FA     8) AB AC BC.BA CA.CB CD HA FB AD BE CF   9 9) HD HE HF HD HE HF    10) AH BH CH 7) GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi 17 CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN HA HB HC 11)    BC CA AB S S S 12) AEF2  BDF2  CDE2 AH BH CH AH BH CH 13)   2 HD HE HF AB  BC  CA A 14)  tan (ra bán kính đường trịn bàng tiếp góc A △ABC) 2 AB  AB  BC A 15) r  tan (r bán kính đường trịn nội tiếp △ABC) 2 AB.BC.CA 16) R  (R bán kính đường trịn ngoại tiếp △ABC) 4S ABC 17) BC2 = AB2 + AC2 - 2AB.AC.cosA 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) BC CA AB    2R sin A sin B sin C HA + HB + HC <  AB + BC + CA  A BC sin  2 AB.AC A B C sin sin sin  2 cosA+cosB+cosC  S AEF  cos A S ABC S BFEC  sin A S ABC S DEF  sin A  cos B  cos 2C S ABC 26) A, B, C tâm đường trịn bàng tiếp △DEF 27) OB vng góc với DF (O tâm đường trịn ngoại tiếp △ABC) 28) Kẻ FH EK vng góc với BC (H, K  BC), kẻ HM //AC KN//AB (M  AB, N  AC) Chứng minh EF//MN 29) BF.BA = BH.BE = BD.BC 30) HA.HD = HB.HE = HC.HF 31) AB2 + BC2 + CA2 = 2(AH.AD + BH.BE + CH.CF) 32) EA FA HA   EC FB HD GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi 18 ... vng, hình thang cân 15 Đường trịn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN - Đường tròn qua tất đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa... tiếp đường tròn - Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác gọi đường tròn nội tiếp đa giác đa giác gọi đa giác ngoại tiếp đường tròn I - Bất kì đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường tròn. .. Trường THCS Nguyễn Trãi CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN a) Góc có đỉnh bên đường trịn - Góc có đỉnh nằm bên đường trịn gọi góc có đỉnh bên đường trịn - Hình vẽ: BEC góc có đỉnh bên đường tròn d m a e chắn hai