Áp dụng phương pháp gần đúng hydrodynamics tìm hệ thức tán sắc của hệ bose einstein hai thành phần bị giới hạn bởi cấu trúc trụ (2017)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ NGỌC THÚY ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC CỦA HỆ BOSE- EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI CẤU TRÚC TRỤ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học ThS HOÀNG VĂN QUYẾT HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Th.S Hoàng Văn Quyết người tận tình nghiêm khắc hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo giảng dạy em bốn năm qua, đặc biệt thầy cô Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, giảng dạy trang bị cho em kiến thức học tập, nghiên cứu khố luận cơng việc sau Trong trình nghiên cứu thời gian có hạn bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận đóng góp q thầy bạn để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Ngọc Thúy LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “Áp dụng phương pháp gần hydrodynamics tìm hệ thức tán sắc hệ Bose- Einstein hai thành phần bị giới hạn cấu trúc trụ ” hồn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo Th.S Hoàng Văn Quyết Tôi xin cam đoan đề tài kết nghiên cứu tơi khơng trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Ngọc Thúy MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1 Lịch sử hình thành phát triển 1.2 Tổng quan nghiên cứu thực nghiệm ngưng tụ Bose Einstein Condensates 10 1.2.1 Loại ánh sáng tạo đột phá vật lý 10 1.2.2 Kỹ thuật lưu trữ khôi phục ánh sáng 12 1.3 Tổng quan nghiên cứu lý thuyết ngưng tụ Bose-Einstein có liên quan đến khóa luận 15 1.3.1 Thống kê Bose – Einstein 15 1.3.2 Toán tử Hamilton 23 1.3.3 Phương trình Gross-Pitaevskii 25 1.3.3.1 Hệ riêng biệt 25 1.4 Sơ lược phương pháp hydrodynamics 30 CHƯƠNG ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC CỦA HỆ BOSEEINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI CẤU TRÚC TRỤ 37 KẾT LUẬN VÀ THẢO LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ý tưởng ngưng tụ Bose- Einstein Condensates (BEC) Satyendra Nath Bose (Ấn Độ) Albert Einstein (Mỹ) tiên đoán từ năm1924 Nhưng tới năm 1980 kỹ thuật laze phát triển đủ để làm siêu lạnh nguyên tử đến nhiệt độ thấp BEC thực đến năm 1995 quan sát thực nghiệm BEC trạng thái vật chất quan trọng phòng thí nghiệm để quan sát nhiều hiệu ứng vật lý mà vật chất khác khơng có, hiệu ứng lượng tử Trong thập niên qua, nhờ phát triển tuyệt vời kỹ thuật dùng thực nghiệm để tạo khí siêu lạnh người ta tạo thực nghiệm BEC hai thành phần từ phân tử khí gồm hai thành phần khí khác điều quan trọng điều khiển cường độ tương tác hai thành phần để sinh trạng thái theo ý muốn Đây mơi trường lý tưởng để kiểm chứng phòng thí nghiệm nhiều tượng lượng tử khác nhau, chẳng hạn hình thành xốy Abrikosov, vách ngăn hai thành phần, trạng thái soliton, trạng thái ripplon, đơn cực Ở Việt Nam BEC vấn đề mẻ, học sinh sinh viên Vì việc tìm hiểu BEC sinh viên cần thiết Do điều kiện nghiên cứu thực nghiệm Việt Nam sinh viên gặp nhiều khó khăn (thiết bị, kinh phí,…) nên để tìm hiểu BEC tìm hiểu phương diện lí thuyết Vì thời gian kiến thức hạn hẹp nên sinh viên chúng em tìm hiểu khía cạnh nhỏ BEC Vì em chọn nghiên cứu đề tài: “ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC CỦA HỆ BOSE- EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI CẤU TRÚC TRỤ’’ làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Tìm hệ thức tán sắc phonon hệ ngưng tụ Bose- Einstein phương pháp Hydrodynamics Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: tính chất bề mặt tiếp giáp, tính nhiệt động, tính thống kê hệ BCE hai thành phần Phạm vi: nghiên cứu trường hợp hai chất lỏng không trộn lẫn Nhiệm vụ nghiên cứu Tổng quan nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm BCE Trình bày hệ phương trình Gross-Pitaevskii Xây dựng phương trình liên tục Áp dụng phương pháp gần Hydrodynamics tìm hệ thức tán sắc phonon hệ Bose- Einstein hai thành phần bị giới hạn cấu trúc trụ Phương pháp nghiên cứu Trong khuôn khổ lý thuyết Gross-Pitaevskii áp dụng phương pháp gần Hydrodynamics Đóng góp đề tài Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên NỘI DUNG CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1 Lịch sử hình thành phát triển Albert Einstein (1897-1955) nhà vật lí lý thuyết sinh Đức Khi bước vào nghiệp mình, Eisntein nhận học Newton khơng thống định luật học cổ điển với định luật trường điện từ Từ ơng phát triển thuyết tương đối đặc biệt, với báo đăng năm 1905 Tuy nhiên, ơng thấy ngun lý tương đối mở rộng cho trường hấp dẫn, đến năm 1916 ông xuất báo cáo thuyết tương đối tổng quát Ông người đặt sở cho lý thuyết lượng tử ánh sáng Năm 1917, Einstein sử dụng thuyết tương đối tổng quát để miêu tả mơ hình cấu trúc tồn thể vũ trụ Một thành tựu khoa học ông ý tưởng ngưng tụ Bose-Einstein Condensates năm 1924 nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath Bose suy định luật Planck cho xạ vật đen lúc xem photon chất khí nhiều hạt đồng Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tưởng với Einstein hai nhà khoa học tổng quát hóa lý thuyết Bose cho khí lý tưởng nguyên tử tiên đoán nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước sóng chúng trở thành lớn đến mức chồng lên Các nguyên tử nhận dạng nhân tạo nên trạng thái lượng tử vĩ mô hay nói cách khác siêu nguyên tử - tức BEC Về mặt lý thuyết hạt vật lý chia làm hai lớp bản: lớp boson lớp fermion Boson hạt có ''spin nguyên'' (0, 1, 2, ), fermion hạt có spin ''bán nguyên'' (1/2, 3/2 ) Các hạt boson tuân theo thống kê Bose- Einstein, hạt fermion tuân theo thống kê Fecmi- Dirac Ngoài hạt fermion tuân theo nguyên lý ngoại trừ Pauli, ''hai hạt fermion tồn trạng thái lượng tử'' Ở nhiệt độ phòng, boson fermion phản ứng giống nhau, giống hạt cổ điển tuân theo gần thống kê Mắcxoen- Bônxơman (bởi thống kê Bose-Einstein thống kê Fecmi- Dirac tiệm cận đến thống kê Mắcxoen- Bônxơman nhiệt độ phòng) Có thể khẳng định nhiệt độ thấp khí Bose có tính chất khác hẳn khí Fermion (chẳng hạn khí điện tử tự kim loại) Thật hạt Boson khơng chịu chi phối nguyên lý cấm Pauli nên nhiệt độ khơng tuyệt đối tất có lượng   0, trang thái tất chất khí trạng thái có E  Còn khí fermion khác, nhiệt độ T  0oK hạt chiếm trạng thái có lượng từ đến mức fermion, lượng hệ khác khơng (E # 0) Xét việc áp dụng thống kê Bose-Einstein vào hệ hạt có spin ngun hay spin khơng (ví dụ photon, mezon, nguyên tử electron nucleon chẵn, ) gọi hạt Boson hay khí Bose Khi nhiệt độ hạ xuống thấp Tc theo ngun lý bất định 1/2 Heisenberg hạt boson có bước sóng Đơbrơi B=(2ħ /mkBT) B tăng lên nhiệt độ giảm Khi B so sánh với kich thước không gian nguyên tử sóng Đơbrơi chồng chất lên tạo thành bó sóng hạt có trạng thái lượng tử ta gọi trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) Sự chuyển pha dẫn đến ngưng tụ Bose Einstein xuất nhiệt độ hệ nhiệt độ giới hạn, khí phân bố chiều hệ hạt khơng tương tác mà khơng có bậc tự nội nó, cho cơng thức: 2/3 2πћ2 ≈ �� Ϛ(3/2) Tc= ( � ) � 3.3125ћ �2/3 ��� Tc nhiệt độ giới hạn n mật độ hạt m khối lượng boson ћ số Plăng thu gọn kB số Boltzmann ς hàm Zeta Riemann; ς(3/2)≈ 2.6124 Về thực nghiệm chất khí lượng tử siêu lạnh có tính chất đặc biệt mang lại hệ lí tưởng để nghiên cứu tượng vật lý Với việc chọn erbium, đội nghiêm cứu đứng đầu Frencesca Ferlaino thuộc Viện Vật lí Thực nghiệm, Đại học Innsbruck, chọn nguyên tố lạ, tính chất đặc biệt mang lại khả hấp dẫn để nghiên cứu câu hỏi lĩnh vực vật lí lượng tử "Erbium tương đối nặng có từ tính mạnh Những tính chất dẫn tới trạng thái lưỡng cực cực độ hệ lượng tử", Ferlaino cho biết Cùng nới nhóm nghiên cứu mình, bà tìm phương pháp đơn giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp phương tiện laser kĩ thuật làm lạnh bay Ở độ gần độ không tuyệt đối, đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ngưng tụ BoseEinstein từ tính Trong ngưng tụ, hạt tính chất cá lẻ chúng đồng hóa thành trạng thái chúng " Những thí nghiệm với erbium cho phép chúng tơi thu kết sâu sắc trình tương tác phức tạp hệ tương quan mạnh đặc biệt, mang lại điểm xuất phát để nghiên cứu từ tính lượng tử với nguyên tử lạnh", Franlaino nói Cesium, strontium erbium ba nguyên tố hóa học mà nhà vật lí Innsbbruck cho ngưng tụ thành cơng vài năm trở lại Một đột phá quan trọng thực Rudolf Grimm nhóm nghiên cứu ông hồi năm 2002 họ thu ngưng tụ cesium, dẫn tới vô số kết khoa học năm sau Một người nhận tài trợ START khác, Florian Schreck, thành viên thuộc nhóm nghiên cứu Rudolf Grimm, người thực hóa ngưng tụ strontium hồi năm 2009 Và Francesca Ferlaino lập tiếp kì cơng với ngun tố erbium Cho đến nay, khắp giới có tổng cộng 13 nguyên tố làm cho ngưng tụ Mười số ngưng tụ tạo mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC chế giải thích cho tính siêu chảy Heli-4 tính siêu dẫn nhiệt độ thấp số vật liệu Năm 1995, khí ngưng tụ tạo nhóm Eric Cornell Carl Wieman phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Cơng nghệ Tiêu chuẩn Quốc gia (NIST) Đại học Colorada Boulder, họ làm lạnh khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk) Cũng thời gian này, Wolfgang Ketterle Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ngưng tụ Bose- Einstein nguyên tử Natri trì hệ 2000 nguyên tử thời gian lâu cho phép nghiên cứu tính chất hệ Vì mà Cornell, Wieman, Ketterle nhận giải Nobel Vật lý năm 2001 � � ��0 (�� ) ��� ��22 � �2 = � (� �2 (2.26) ) Kết hợp (2.11), (2.23) (2.5) có [2]: 11�10 �� −  22 � 20�� = − �2 − 1)��� � (� �� (2.27) � � �0 (�� ) ��� ↔ �10 �1 � � ��0 (�� ) ��� + �20 (� )� � (�  � (�  02 = )� � − 1)��� Cuối ta rút được:  �2 �� −1) (� 2 0 (�� ) 0( �1 �10 ��) +�2 � 20 1 (�0 ) ��1 (�0 ) � = (2.28) Trong ta có �1 = �1 �10 , �2 = �2 �20 �2 = Vậy � (�2 �� −1) ��02 ( 0 ( �� ) ��� + 1 (�0 ) (2.29)  (�� ) ��� �� (�) ��0 ) Phương trình (2.29) cho thấy khơng ổn định mao mạch xảy �< �0 −1 Bây mở rộng đến trường hợp thành phần đầu tên chảy theo hướng dương trục z với vận tốc V, thành phần khơng hoạt động Các trạng thái có dạng: Ф1 = − ��11 � 10 � ћ �ћ+ Ф2 = − ��22 � 20 ћ �� + �Ф , � + �Ф Các điều kiện biên sửa đổi sau: � ( �� +Ф � ( �� ) � ) �(��) = � �� �(��) Ф2 ) = ћ ( , (2.30) �=��0 �1 �� � ћ , (2.31) �� �2 �� �=��0 R(σ) xác định (2.23) Thay (2.23) vào (2.30) (2.31) ta được: ћ � � �����( −� �1 �1 (��0 )��� � + ��) = ћ� −� � ��� = � � (�� )��� − � 2 ( −� +�� ) �1 � = �ћ� � Từ rút được: �2 = (� ) (�1 �� � (2.32) 0) ћ� Thay (2.32) vào (2.20), (2.21): � � � (� −�� ) �0 (�� ) ��� ��11 � �10 = �� (� ) ,  �� − 22 = � � � ��0 (�� ) ��� � (� ) 20 (2.33) Mặt khác ta có: 1 �� − 10  2 �+  11 �� �10 11 � =− (2.34) �2 −  � �� 22 20 22 20 (� � − 1)��� ��02 � �� hay ��11 �10 ��1 − ��22 �20 ��2 = − 2 − 1)��� � (2.35) (� Thay (2.33) vào (2.31): � 10 � � � (� − �� ) �0 (�� ) ��� (� � �� − 1)��� (2.36) (� + � 20 � �2 � ��0 (�� ) ��� ���1 ( ���0 ) ��0 ) =− � �� Cuối ta phương trình: �0 (�� ) (�1 �10 )� ) �� (� ) + ��0 (�� ) �2 �20 � (� − �1 �10 �0 (�� ) � � (� ) � +  (� 2�20 − 1) = (2.37) �� 20 �0 (�� ) Đặt �1 �10 � (� ) = � �0 (�� ) �1 �10 � (� ) ��0 (�� ) + �2 �20 0 (� ) =� Phương trình (2.37) có nghiệm: �±= � � 2 ���±√�2 � � −2 ( � �� −1) 2� (2.38) Biểu thức (2.38) hệ thức tán sắc phonon ta xét sóng dài Mặt khác phương trình (2.38) cho thấy không ổn định mao mạch xảy � < ��, không phụ thuộc vào V Khi V = lại thu kết (2.29) KẾT LUẬN VÀ THẢO LUẬN Về khóa luận hồn thành mục đích đề là: - Tìm hiểu tổng quan nghiên cứu thực nghiệm ngưng tụ BEC - Tìm hiểu tổng quan nghiên cứu lý thuyết ngưng tụ BEC - Dẫn chi tiết phương trình GP, hệ phương trình GP - Trình bày phương pháp hydrodynamics - Áp dụng phương pháp hydrodynamics để tìm hệ thức tán sắc hai ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần bị giới hạn cấu trúc trụ Do làm quen với công việc nghiên cứu nên hồn thành khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót mong thầy, bạn sinh viên góp ý để em hồn thiện khóa luận vốn kiến thức thân Em chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Kazuki Sasaki, Naoya Suzuki, and Hiroki Saito, Capillary instability in a two-component Bose-Einstein condensate, Physicalreviewa 83, 053606 (2011), [2] Hoang Van Quyet , Tran Huu Phat, Ripplon modes of two segregated Bose- Einstein Condensates in confined geometry, Communications in Physics, Vol 26, No (2016), pp 11-18 DOI:10.15625/08683166/26/1/7790 ... 25 1.4 Sơ lược phương pháp hydrodynamics 30 CHƯƠNG ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC CỦA HỆ BOSEEINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI CẤU TRÚC TRỤ 37 KẾT LUẬN... PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC CỦA HỆ BOSE- EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI CẤU TRÚC TRỤ’’ làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Tìm hệ thức tán sắc phonon hệ. .. gần Hydrodynamics tìm hệ thức tán sắc phonon hệ Bose- Einstein hai thành phần bị giới hạn cấu trúc trụ Phương pháp nghiên cứu Trong khuôn khổ lý thuyết Gross-Pitaevskii áp dụng phương pháp gần Hydrodynamics